Podemos construir tabelas de frequências. duas ou mais variáveis qualitativas.

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1 MAE 116 III Estatística DescritivaIII FEA -2º Semestre de

2 Associaçãoentre variáveisqualitativas Tabelasde Contigência 2

3 Podemos construir tabelas de frequências conjuntas (tabelas de contingência), relacionando duas ou mais variáveis qualitativas. Exemplo 1: Caracterização Postural Dados CEA06P24 do projeto Caracterização Postural de Crianças de 7 e 8 anos das Escolas Municipais da Cidade de Amparo/SP. Estudo realizado pelo Depto de Fisioterapia, Fonoaudiologia e Terapia Ocupacional da Faculdade de Medicina da USP; Ano de realização: 2006; Finalidade: mestrado; Análise Estatística: Centro de Estatística Aplicada(CEA), IME-USP. 3

4 a) Há indícios de associação entre Lado da Escoliose e Tipo de Mochila? Lado da Escoliose Tipo Mochila Ausente Direito Esquerdo Total Carrinho Escapular Lateral Total Qual é o significado dos valores desta tabela? 4

5 Verificar associação na tabela de contingência através da: - porcentagem segundo as colunas, ou - porcentagem segundo as linhas. 5

6 Porcentagem segunda as linhas(tipo de Mochila) Lado da Escoliose Tipo Mochila Ausente Direito Esquerdo Total Carrinho 10,0% 46,2% 43,8% 100,0% Escapular 13,0% 28,5% 58,5% 100,0% Lateral 8,7% 43,5% 47,8% 100,0% Total 11,5% 36,3% 52,2% 100,0% Comparando as porcentagens de cada uma das linhas, observamos que os tipos carrinho e lateral causam mais escoliose nos lados direito e esquerdo. Já o tipo escapular causa mais escoliose no lado esquerdo. 6

7 b) Há indícios de associação entre o Sexo da criançaeotipo de Mochila utilizada por ela? Tipo de Mochila Sexo Carrinho Escapular Lateral Total Feminino Masculino Total

8 Porcentagem segunda as linhas (Sexo da Criança) Tipo de Mochila Sexo Carrinho Escapular Lateral Total Feminino 41,41% 46,09% 12,50% 100% Masculino 27,55% 65,31% 7,14% 100% Total 35,40% 54,43% 10,17% 100% Comparando as porcentagens de cada uma das linhas, observamos que as meninas preferem mais as mochilas tipo escapular e depois carrinho enquanto os meninos preferem mais o tipo escapular. Há pouca preferência pelo tipo lateral. 8

9 Associaçãoentre variáveisquantitativas Correlaçãoe Regressão 9

10 Objetivo Estudar a relação entre duas ou mais variáveis quantitativas. Exemplos Idade e altura das crianças; Tempo de prática de esportes e ritmo cardíaco; Tempo de estudo e nota na prova; Taxa de desemprego e taxa de criminalidade; Expectativa de vida e taxa de analfabetismo. 10

11 Investigaremos a presença ou ausência de relação linear sob dois pontos de vista: a) Quantificando a força dessa relação: correlação. b) Explicitando a forma dessa relação: regressão. Representação gráfica de duas variáveis quantitativas: Diagrama de Dispersão 11

12 Exemplo 2:nota na prova e tempo de estudo X : tempo de estudo (em horas) Y : nota na prova Pares de observações (X i, Y i ) para cada estudante Tempo(X) Nota(Y) 3,0 4,5 7,0 6,5 2,0 3,7 1,5 4,0 12,0 9,3 Nota Tempo 12

13 Exemplo no R O arquivo CEA05P11contém dados sobre o projeto: Avaliação de um trabalho de Ginástica Laboral implantado em algumas unidades da USP. Consideremos as variáveis: Estado Geral de Saúde antes (EGS_a): é uma autoavaliação do funcionário a respeito do seu estado de saúde antes do início das atividades (quanto maior o índice, melhor o EGS); Vitalidade antes (Vit_a): avalia a influência do cansaço e fadiga nos trabalhos diários antes do início das atividades(quanto maior o índice, melhor). 13

14 No R 14

15 Diagrama de Dispersão 15

16 Coeficiente de correlação linear Éumamedidaqueavaliaoquantoa nuvemdepontos no diagrama de dispersão aproxima-se de uma reta. 16

17 O coeficiente de correlação linear de Pearson é dado por em que XeY são as médias de X e Y,respectivamente; S X es Y são os desvios padrão de X e Y,respectivamente. 17

18 Fórmula alternativa S 2 = n i= 1 X 2 i nx (n 1) 2 18

19 Voltando ao Exemplo 2 Tempo (X) Nota (Y) 3,0 4,5 7,0 6,5 2,0 3,7 1,5 4,0 12,0 9,3 - - (X- X) (Y- Y) 2,31 1,71 5,89 5,76 25, (X- X) (Y- Y) -2,1-1,1 1,9 0,9-3,1-1,9-3,6-1,6 6,9 3,7 25,5 28, ,2 - X = 5,1 - Y = 5,6 S 2 x = (-2,1) (6,9) 2 = 78,2 4 = 19,55 S x = 4,42 S 2 y = (-1,1) (3,7) 2 = 21,9 4 = 5,47 S y = 2,34 Então, r = 4. 41,2 4,42. 2,34 = 0,

20 Criando arquivos no R 20

21 Criando arquivos no R Digitar os dados na janela do editor e dar nomes às variáveis e fechar. 21

22 Propriedade: -1 r 1 Casos particulares r= 1 correlação linear positiva e perfeita; r=-1 correlaçãolinearnegativaeperfeita; r= 0 inexistência de correlação linear. 22

23 r = 1, correlação linear positiva e perfeita r = -1, correlação linear negativa e perfeita 23

24 r Y X Y X

25 r 1 r -1 25

26 Exemplo 3: criminalidade e analfabetismo Considere duas variáveis observadas em 50 estados norte-americanos: Y: taxa de criminalidade X: taxa de analfabetismo 26

27 Diagrama de Dispersão Podemos notar que, conforme aumenta a taxa de analfabetismo (X), a taxa de criminalidade (Y) tende a aumentar. Nota-se também uma tendência linear. 27

28 Cálculodacorrelação _ Y= _ 7,38 X= 1,17 ΣX i Y i = 509,12 (média de Y) e S Y = 3,692 (desvio padrão de Y) (média de X) e S x = 0,609 (desvio padrão de X) Correlação entre X e Y: 28

29 Exemplo 4: expectativa de vida eanalfabetismo Considere duas variáveis observadas em 50 estados norte-americanos: Y: expectativa de vida X: taxa de analfabetismo 29

30 Diagrama de Dispersão Podemos notar que, conforme aumenta a taxa de analfabetismo (X), a expectativa de vida (Y) tende a diminuir. Nota-se também uma tendência linear. 30

31 Cálculodacorrelação _ Y= _ 70,88 X= 1,17 (média de Y) e S Y = 1,342 (desvio padrão de Y) (média de X) e S x = 0,609 (desvio padrão de X) ΣX i Y i = 4122,8 Correlação entre X e Y: 31

32 Comentário: Na interpretação do coeficiente de correlação linear é importante visualizar o diagrama de dispersão. Suponha o seguinte exemplo: 6 variáveis são medidas em 11 indivíduos Id X Y1 Y2 Y3 X4 Y ,04 9,14 7,46 8 6, ,95 8,14 6,77 8 5, ,58 8,74 12,74 8 7, ,81 8,77 7,11 8 8, ,33 9,26 7,81 8 8, ,96 8,10 8,84 8 7, ,24 6,13 6,08 8 5, ,26 3,10 5, , ,84 9,13 8,15 8 5, ,82 7,26 6,42 8 7, ,68 4,74 5,73 8 6,89 Correlação de Pearson entre X e Y1 = 0,816 Correlação de Pearson entre X e Y2 = 0,816 Correlação de Pearson entre X e Y3 = 0,816 Correlação de Pearson entre X e Y4 = 0,817 Mesmos valores de correlação. Qual a forma esperada da dispersão conjunta destas variáveis? 32

33 Diagramas de Dispersão e Coeficientes de Correlação r = 0,816 Dispersão esperada! Y1 7 Y ,0 7,5 X 10,0 12,5 15,0 3 5,0 7,5 X 10,0 12,5 15, Pontos influentes! Y Y ,0 7,5 X 10,0 12,5 15, X

34 Análise de Regressão Diagramas de Dispersão Explicar a forma da relação por meio de uma funçãomatemática: Y=a+bX 34

35 Análise de Regressão Reta ajustada: O que são ae b? a : intercepto b : inclinação ou coeficiente angular 35

36 Análise de Regressão Iguais coeficientes angulares Diferentes interceptos Diferentes coeficientes angulares Iguais interceptos 36

37 Reta ajustada: Interpretação de b: Para cada aumento de uma unidade em X, temos um aumento médio de b unidades em Y. y y y y y tag(α ) = = b x x x + 1 x y 1 = y 2 2 y 1 1 = b 1 1 x 1 x

38 Reta ajustada (método de mínimos quadrados) e 1 e 1 38

39 Reta ajustada (método de mínimos quadrados) Os coeficientes ae bsão calculados da seguinte maneira: b n X iy i i 1 = = n X ( ) 2 n 1 S X Y a = Y b X 39

40 No Exemplo 3, A reta ajustada fica dada por Ŷ : valorpreditoparaa taxade criminalidade X : taxade analfabetismo Interpretação deb:paraumaumentodeumaunidade na taxa do analfabetismo (X), a taxa de criminalidade (Y) aumenta, em média, 4,257 unidades. 40

41 Graficamente, temos Como desenhar a reta no gráfico? 41

42 No Exemplo 4, A retaajustada fica dada por Ŷ : valor predito paraaexpectativadevida X : taxa de analfabeti smo Interpretação deb:paraumaumentodeumaunidade na taxa do analfabetismo (X), a expectativa de vida (Y) diminui, em média, 1,296 anos. 42

43 Graficamente, temos 43

44 Continuando com o arquivo CEA05P11 44

45 Saída Coefficients: Estimate Std.Error t value Pr(> t ) (Intercept) *** EGS_a e-05 *** a b Ŷ = 27, ,41886EGS_a 45

46 Exemplo 5: consumo de cerveja etemperatura Y: consumo de cerveja diário por mil habitantes (em litros); X: temperatura máxima(em ºC). As variáveis foram observadas em nove localidades com as mesmas características demográficas e sócioeconômicas. 46

47 Exemplo 5: descrição dos dados Localidade Temperatura Consumo (X) (Y)

48 Diagrama de Dispersão 400 Co onsumo Temperatura A correlaçãoentre Xe Yé r = 0,

49 A retaajustadafica dada por: Qual é a interpretação de b? Aumentando-se um grau de temperatura (X), o consumo de cerveja (Y) aumenta, em média, 4,74 litros por mil habitantes. Qual é o consumo previsto para uma temperatura de 25ºC? Y ˆ = 217,37 + 4,74 = ( 25) 335,87 litros 49