Medidas de associação para variáveis categóricas em tabelas de dupla entrada

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1 Medidas de associação para variáveis categóricas em tabelas de dupla entrada a) Quiquadrado de Pearson: mede a associação de tabelas de dupla entrada, sendo definida por: c ( e e ij ij n ) ij, em que é o número de linhas e c o número de colunas da tabela. O termo n na expressão representa as frequências observadas da tabela e ij esperadas na condição de independência entre as categorias. e ij as frequências Exemplo 1: A tabela abaixo representa um levantamento a respeito do tipo de lesão sofrido na cabeça, por motociclistas, em relação do uso do capacete. a) Encontre as porcentagens do tipo de lesão em função do uso do capacete. b) Você diria que existe associação entre o uso do capacete e a gravidade da lesão na cabeça de motociclistas? Tipo de lesão Uso do Capacete SIM NÃO Marginal das linhas Grave Leve Marginal das colunas Tabela Uso do Capacete x Tipo de lesão e perfil coluna. Tipo de lesão Uso do Capacete Uso do Capacete % SIM NÃO SIM NÃO Grave Leve Total Perfil coluna, representação gráfica.

2 Notas: i) A tabela para Uso do Capacete x Tipo de lesão é do tipo x, logo = colunas e c = linhas; ii) As frequências observadas em cada casela (cruzamento das linhas e colunas) são: n 11 = 15; n 1 = ; n 1 = 45 e n = 18. O total geral é, então: n = iii) As frequências esperadas na situação de independência são calculadas pelo produto das distribuições marginais das linhas e colunas, dividido pelo total geral n. Desta forma: e 11. ; e ; e ; e 5.. iv) Tabela com os valores esperados (as marginais das linhas e das colunas não sofrem alteração): Tabela com valores esperados na situação de independência. Uso do Capacete Marginal Tipo de lesão das SIM NÃO linhas Grave Leve Marginal das colunas O cálculo do de Pearson é dado por: (. 15). (14.8 ) 14.8 ( ) 37.8 (5. 18) O de Pearson deve ser comparado com um valor tabelado, que depende do número de linhas e colunas da tabela (que é o número de graus de liberdade). O número de graus de liberdade se uma tabela é dado pelo número de linhas menos um multiplicado pelo número de colunas menos um, isto é: gl ( 1) ( c 1) Para uma tabela x, o número de graus de liberdade é igual a gl ( 1) ( 1) 1.

3 Para uma tabela x, o número de graus de liberdade é 1 e, o valor de comparação 1 neste caso, é igual a Portanto, o valor de 9.7, obtido pelo cálculo do de Pearson, é maior do que o valor de comparação 3.84, indicando que há uma relação entre o uso do capacete e a gravidade da lesão na cabeça. O de Pearson varia de 0 a n, sendo n o número total de casos da tabela de contingência. O valor n indica a associação perfeita e o valor 0 a falta total de associação, ou seja, de independência. Portanto, valores altos de indicam associação entre as categorias da tabela e, quanto maior o valor de, mais forte será essa associação. Entretanto, como depende do valor de n, e também do número de linhas e colunas da tabela, essa dependência pode afetar a interpretação. Nesse sentido outras medidas são propostas na literatura. Assim sendo, serão introduzidas as medidas a seguir, que quantificam do grau da associação. b) Coeficiente :. n O coeficiente varia de 0 a 1, sendo que o valor 0 corresponde a ausência de associação e o valor 1 representando associação completa. Este coeficiente só pode ser aplicado para tabelas. Uma forma do coeficiente dividido por ( t 1) é dado pelo coeficiente V de Cramér V, t = min(l, c), n( t 1) que também varia de 0 a 1, tendo a mesma interpretação do anterior. O coeficiente V de Cramér tem a vantagem de poder ser usado em tabelas de dimnsão maior do que. Quando temos tabelas, e V são iguais. c) Coeficiente de Contingência: C. n O coeficiente C não alcança o valor 1, sendo usualmente apresentado na sua forma ajustada para que possa alcançar o máximo 1. C t * C t t 1 ( t 1)( n), t = min(l, c). 1 O valor de comparação para tabelas de dupla entrada depende de elementos da teoria das probabilidades e da inferência estatística e não serão abordados aqui. O valor de comparação, quando necessário, será fornecido juntamente com o problema.

4 Critérios de classificação para os coeficientes e C (ou C*) não são muito comuns de serem encontrados. As maiorias dos autores citam apenas que valores próximos de 0 representam associação fraca ou nenhuma e quanto mais próximo de 1, mais forte é a associação, porém, a escala desses coeficientes não é linear, interferindo na interpretação. A seguir são apresentadas diversas classificações para os coeficientes acima: i) Barbetta (001), pag 61, apresenta a seguinte classificação para o coeficiente de contingência. C* 0 associação fraca C* 0.5 associação moderada C* 1 associação forte ii) Witte & Witte, pag 375, indicam uma classificação para o coeficiente V. V 0.01 (V 0.1) associação fraca V 0.09 (V 0.3) associação moderada V 0.5 (V 0.5) associação forte iii) Na internet, diversos sites também indicam classificações diferentes para tais o coeficiente de contingência. De 0 a 0.1 associação fraca ou nenhuma 0.1 a 0.3 associação baixa 0.3 a 0.5 associação moderada 0.5 associação forte De (1) 0.1 associação fraca 0.1 a 0.3 associação moderada 0.3 associação forte (1) segundo o site, essa classificação é dada como regra geral para a interpretação de todas as medidas de associação. Apesar da dificuldade em se encontrar uma classificação mais objetiva, podemos notar que praticamente todas as classificações acima indicam o valor 0.3 para associação moderada. Desta forma, tomando esse valor como referência, vamos adotar a classificação do site por ser o que mais discrimina. Medidas de associação para o exemplo 1: t = min(, ) =, então 9.7 C * 0.41 ( 1)(9.7 ) O C * indica uma associação moderada.

5 Ainda: Coeficiente : , 9.7 Coeficiente V de Cramér: V associação moderada. ( 1) Exemplo : Dados de grau de instrução por região de procedência de funcionários de uma empresa (livro Bussab & Morettin). Tabela com os valores observados: Procedência Grau de instrução 1º. grau º. grau superior Totais Linhas Capital Interior Outro estado Totais Colunas Frequências esperadas na condição de independência: e ; e e ; e ; e 6. 0 e 3. 0 ; e ; e e Tabela com os valores esperados na condição de independência: Procedência Grau de instrução 1º. grau º. grau superior Totais Linhas Capital Interior Outro estado Totais Colunas

6 Cálculo do de Pearson: (5.0 6) 5.0 (3.0 3) 3.0 (7.5 7) 7.5 (4.5 4) 4.5 (.5 ).5 (1.5 ) 1.5 (4.0 3) 4.0 (6.0 7) 6.0 (.0 ) Número de graus de liberdade para uma tabela 3x3: gl ( 31) (3 1) 4. Com 4 graus de liberdade o valor de comparação é Com0 o de Pearson, igual a 0.97, é muito menor do que o valor de comparação, não há evidência de associação entre o grau de instrução e a região de procedência dos empregados, isto é, o grau de instrução independe da região de procedência (e vice-e-versa). Neste caso, não é necessário calcular o coeficiente de contingência, porém, vamos realizar os cálculos apenas como curiosidade: O C * indica uma associação fraca. t = min( 3, 3 ) = C * (3 1)(0.97 ) Ainda: Coeficiente : , 0.97 Coeficiente V de Cramér: V associação fraca.

7 Exemplo 3: Estudo sobre mulheres presas. Dados de 163 mulheres (e 97 filhos) presas em uma penitenciária e em uma cadeia do estado de São Paulo. Fatores de riscos e de proteção com relação aos filhos. Uma informação importante diz respeito sobre quem contou para o(s) filho(s) sobre a prisão da mãe e se a mãe conversou com o(s) filho(s) aos a prisão. Tabela Quem contou para seu filho sobre a prisão Conversou com o filho depois da prisão Quem contou para seu Conversou com o filho depois da prisão Total filho sobre a prisão Não Sim Parentes maternos A criança presenciou a prisão A criança não sabe Pai Irmãos Outro Total Tabela com os valores esperados na condição de independência Quem contou para seu Conversou com o filho depois da prisão filho sobre a prisão Não Sim Total Parentes maternos A criança presenciou a prisão A criança não sabe Pai Irmãos Outro Total Ou seja: 3. 1, ; 15. 5; e assim por diante

8 (3.1 17) 3.1 ( ) 13.1 ( ) 43.9 (4.5 9) 4.5 Valor de Pearson: (calculado pelo software Minitab) (15.5 5) 15.5 (8.5 4) 8.5 (9.5 40) 9.5 (1.7 1) 1.7 (11.4 7) 11.4 (4.3 5) 4.3 (1.6 6) (6.9 4) 6.9 O de Pearson é grande indicando que pode haver uma associação entre as categorias. Número de graus de liberdade: gl = ( 1) (6 1) = 5 Com 6 graus de liberdade o valor de comparação é: > há evidências de que existe associação. a) Coeficiente de contingência: t = min(, 6 ) = C * associação de moderada a forte. ( 1)( ) b) Coeficiente : , Coeficiente V de Cramér: V associação forte. 15 ( 1) Contribuição para o cálculo do de Pearson. Quem contou para seu Conversou com o filho depois da prisão filho sobre a prisão Não Sim Parentes maternos A criança presenciou a prisão A criança não sabe Pai Irmãos Outro Total Somas

9 Tabela com valores de comparação em função dos graus de liberdade. Valor de gl comparação