Análise de Observabilidade baseada em Variâncias de Medidas Estimadas

Transcrição

1 Análise de Observabilidade baseada em Variâncias de Medidas Estimadas W. A. Oliveira e M. C. de Almeida Resumo--Neste trabalho é apresentado uma metodologia completa para análise de observabilidade de sistemas de energia elétrica. A observabilidade da rede é verificada a partir do traço da matriz de covariância das medidas estimadas, as variâncias dos fluxos estimados permitem a identificação das ilhas observáveis e a restauração da observabilidade é realizada a partir das variâncias das medidas estimadas. As variâncias necessárias são obtidas da matriz de ganho linearizada regularizada. Além das medidas disponíveis, na formação da matriz de ganho regularizada admitese a existência de pseudo-medidas de ângulo em todas as barras da rede. A formulação matemática proposta é bastante adequada para a inclusão de medição fasorial sincronizada. Testes realizados com a rede de 4 barras do IEEE são apresentados. Palavras-chave--análise de observabilidade, covariância das medidas estimadas, estimação de estado, medição fasorial sincronizada, variância dos fluxos estimados. A I. INTRODUÇÃO estimação de estado representa um dos tópicos mais estudados na área de modelagem e processamento em tempo-real de sistema de energia elétrica. Desde os primeiros estudos publicados em []-[]-[3], inúmeros melhoramentos e modelos foram propostos, o que resultou na consolidação teórica e prática dos estimadores de estado. Dentre as propostas inovadoras destaca-se, por exemplo, a modelagem generalizada da rede. Esta modelagem permite estimar simultaneamente as variáveis de estado convencionais (módulos e ângulos das tensões nas barras) e o estado de chaves e disjuntores, de modo que erros na topologia possam ser detectados e corrigidos ao mesmo tempo em que o estado da rede é estimado [4]. O objetivo do estimador de estado (EE) é prover um estado preciso e confiável do sistema de energia a partir de topologia do sistema e de medidas obtidas em tempo real. Desde os primeiros modelos, o processo de estimação é realizado a partir de três funções básicas: análise e restauração de observabilidade, estimação de estado, e identificação e detecção de erros grosseiros. Estas funções são geralmente executadas separadamente apesar de serem fortemente Este trabalho foi patrocinado pelas Fundações de Pesquisa FAPESP, CAPES e CNPq. M. C. Almeida Departamento de Sistema de Energia Elétrica, DSEE/FEEC/UNICAMP, CEP Campinas-SP, Brasil. ( madson@dsee.fee.unicamp.br). W. A. Oliveira Departamento de Sistema de Energia Elétrica, DSEE/FEEC/UNICAMP, CEP Campinas-SP, Brasil. ( wilson.aparecido.oliveira@gmail.com). relacionadas. Este artigo trata da função de análise de observabilidade. A análise de observabilidade é a função que avalia a solvabilidade do problema de estimação de estado. Inicialmente esta função deve determinar se o conjunto de medidas disponíveis é suficiente para que o estado de toda a rede seja determinado. Destaca-se que mesmo quando o sistema de medição é planejado para tornar a rede totalmente observável, situações imprevistas como falhas no sistema de comunicação podem tornar o sistema momentaneamente não observável. Neste caso, a função de análise de observabilidade deve identificar as partes observáveis (ilhas observáveis) e não observáveis da rede e, em seguida, identificar um conjunto de pseudo-medidas de injeção capazes de restaurar a observabilidade de toda a rede sem interferir na qualidade do estado estimado dentro das ilhas observáveis [5]. Depois que a solvabilidade do problema é verificada, o estimador de estado encontra a melhor estimativa para as condições de operação do sistema. Finalmente, realiza-se o tratamento de erros grosseiros, onde as medidas contendo erros grosseiros são identificadas e corrigidas, caso o grau de redundância das medidas seja adequado. Neste contexto, este artigo apresenta uma metodologia para a análise de observabilidade de sistemas de energia elétrica baseada na variância das medidas estimadas e na variância dos fluxos de potência estimados. As principais contribuições deste trabalho são o mecanismo de verificação da observabilidade, baseado no traço da matriz de covariância das medidas estimadas, e o mecanismo de restauração da observabilidade, desenvolvido a partir da análise das variâncias das medidas. Além disso, destaca-se a discussão e a exemplificação da inclusão de medição fasorial sincronizada na metodologia apresentada. Na próxima seção deste artigo é apresentado o modelo do estimador de estado regularizado linearizado. Este modelo permite o cálculo das variâncias mesmo no caso de redes não observáveis. Em seguida, na seção III, são apresentadas todas as fases da metodologia de análise de observabilidade seguida de exemplos que permitem uma fácil compreensão dos mecanismos propostos. Na seção IV são apresentados os algoritmos propostos desenvolvidos a partir das metodologias descritas. Na seção V apresenta-se uma discussão sobre a inclusão de medição fasorial nos métodos propostos, seguida de um exemplo ilustrativo. Na seção VI são apresentados testes e resultados baseados na rede de 4 barras do IEEE e, finalmente, na seção VII, são apresentadas as conclusões.

2 II. ESTIMADOR REGULARIZADO LINEARIZADO Considere o modelo de medição linearizado abaixo. z = J + e Onde: é o vetor contendo as variáveis de estado (ângulos das tensões); z é o vetor contendo m medidas e n pseudo-medidas de ângulos de tensões; J é a matriz Jacobiana; e é o vetor de erros randômicos. O estado estimado pelo método dos mínimos quadrados ponderados é obtido a partir da equação: G = J Vz com J H ; W I V S Onde: ( ' ) indica a transposição; G = J'VJ é a matriz de ganho regularizada; H é a matriz jacobiana das medidas; I é a matriz identidade de ordem n representando a matriz jacobiana das pseudo-medidas de ângulo das tensões; W - é a matriz de covariâncias das medidas; S - é a matriz de covariâncias das pseudo-medidas. W é uma matriz diagonal cujos elementos são a inversa das variâncias das medidas, W i,i = /σ e S é uma matriz diagonal cujos elementos são o inverso das variâncias das pseudomedidas, S i,i = /σ p. De acordo com as matrizes definidas, a matriz de ganho regularizada linearizada pode ser reescrita como: G ' H WH S A matriz G é dita regularizada, pois, como ela contém pseudo-medidas de ângulo de tensão em todas as barras, o seu posto é completo. De modo similar às abordagens clássicas, admite-se que as medidas de potência ativa e reativa são realizadas aos pares e existem medidas de magnitude tensão suficientes [6] e, por essa razão, um modelo linearizado foi adotado. A. Verificação da Observabilidade Conforme discutido em [7], a matriz de covariância dos estados estimados Θ é a inversa da matriz ganho, portanto, G () Além disso, a matriz de covariância das medidas estimadas é definida como segue: R H H () Admitindo a partição das matrizes proposta na seção anterior, assumindo que σ = /σ p, σ < e admitindo que os ramos das redes sejam representados por reatâncias unitárias, como é comum nas metodologias de análise de observabilidade, é possível mostrar que: se tr ( R) ( n ) a rede é observável; se tr ( R) ( n ) a rede é não observável. onde tr(r) é o traço da matriz de covariância das medidas estimadas R. Neste ponto é importante observar que como a matriz S tem posto completo, a matriz ganho regularizada linearizada, ao contrário da matriz ganho linearizada convencional, sempre terá inversa. Exemplo O sistema da Figura é o mesmo utilizado na referência [7]. Este sistema radial de quatro barras possui reatâncias unitárias para todas as linhas. As variâncias das medidas são consideradas iguais a -4, enquanto que as variâncias das pseudo-medidas são iguais a 4. ' III. ANÁLISE DE OBSERVABILIDADE O problema de análise de observabilidade de sistemas de energia elétrica é composto por três funções. Na primeira delas a observabilidade da rede é verificada. Em seguida, são identificadas as ilhas observáveis e, finalmente, deve-se encontrar um conjunto de pseudo-medidas, geralmente pseudo-medidas de injeção, capazes de tornar a rede completamente observável sem alterar o estado estimado das ilhas observáveis. Nesta seção apresenta-se uma metodologia completa de análise de observabilidade que utiliza variâncias das medidas estimadas. As variâncias são calculadas partindo da matriz de ganho regularizada linearizada. Nesta matriz, as medidas disponíveis são associadas a variâncias pequenas, enquanto as pseudo-medidas de ângulo são associadas a variâncias elevadas. Figura. Sistema de Teste para o Caso Parcialmente Observável Neste caso o sistema de medidas contém uma medida de injeção na barra, uma medida de fluxo de potência no ramo e pseudo-medidas de ângulo de tensão em todas as barras. Conforme o modelo apresentado, a matriz Jacobiana, as matrizes de ponderação e as matrizes de covariâncias são:

3 3 H P P 3 4, 4 4 W, S,,3333,3333,3333,3333,3333,3333 4,,3333,3333,3333,,, R 4.,, Como há duas medidas disponíveis, a matriz de covariâncias das medidas estimadas tem dimensão x, e o seu 4 traço é. Como este traço é menor que 4 ( n ) 3, a rede é não observável. Note, por exemplo, que se uma medida de fluxo for alocada no ramo 3 4 4, o traço da nova matriz R passa a valer 3 indicando que a rede se torna observável. se limiar, o ramo k m é observável; se P limiar, o ramo k m é não observável. P Para a determinação do limiar, diversos testes foram realizados considerando as variâncias das medidas entre - e -6 e as variâncias das pseudo-medidas entre e 6, sendo que um limiar igual a alcançou resultados satisfatórios para todos os sistemas analisados. Com as suposições matemáticas adequadas é possível demonstrar que um limiar igual a é adequado. Entretanto, esta demonstração não faz parte dos objetivos deste artigo. Exemplo Considere novamente o sistema da Figura, com os mesmos valores para as reatâncias e para as variâncias das medidas e pseudo-medidas. O resultado do cálculo das variâncias dos fluxos estimados, de acordo com (3), é indicado na Figura como caso parcialmente observável. É possível notar que as variâncias dos fluxos nos ramos e 3, que são observáveis, apresentam valores muito menores que a variância do fluxo 3 4, o qual é não observável. Além disso, observa-se que nos ramos observáveis as variâncias dos fluxos estimados são menores que. B. Identificação das ilhas observáveis A idéia central é calcular os intervalos de confiança dos fluxos de potência estimados dos ramos. Se um ramo é não observável, o intervalo de confiança resultará grande quando comparado ao de um ramo observável. O intervalo de confiança é uma função do desvio padrão do fluxo de potência estimado e é calculado a partir do fluxo de potência ativa linearizado. Considere o fluxo de potencia ativa no ramo k m escrito como ' P k m x x onde x é a reatância do ramo, é o vetor estimado dos ângulos das tensões e é um vetor contendo apenas os elementos l e -l nas posições k e m respectivamente. A variância estimada de P é: P x ' Na forma matricial, P kk mm (3) x onde Θ ij é o elemento da linha i e da coluna j da matriz Θ. De acordo com as equações () e (3) as variâncias dos fluxos de potência estimados dependem da ponderação (inverso das variâncias) das medidas e das pseudo-medidas. Novamente, admitindo que σ = /σ p, σ < e que os ramos das redes sejam representados por reatâncias unitárias, é possível mostrar que: Figura. Variâncias do Fluxo de Potência Ativa Linearizado Estimado Sistema de 4 barras (Figura ). C. Restauração da Observabilidade Em [5] afirma-se que ao adicionar um conjunto mínimo de pseudo-medidas não redundantes (pseudo-medidas críticas) à rede tornando-a observável, o estado das ilhas observáveis não é alterado. Uma medida ou pseudo-medida é crítica para a observabilidade da rede quando a sua retirada torna a rede não observável. As pseudo-medidas candidatas à restauração da observabilidade podem ser fluxos e/ou injeções de potência. Neste artigo serão consideradas apenas as injeções de potência. As pseudo-medidas de injeção candidatas são aquelas situadas em barras adjacentes a ramos não observáveis. Os valores adotados para as pseudo-medidas podem ser obtidos do comportamento histórico da rede, bem como podem ser adotados os últimos valores conhecidos dessas grandezas.

4 4 Exemplo 3 Retomando o exemplo, como o ramo 3 4 é o único não observável, as injeções nas barras 3 e 4 formarão a lista de injeção candidatas. Note que barras que contém medidas de injeção não podem fazer parte da lista de barras candidatas. Alocando uma pseudo-medida de injeção em uma das barras candidatas constata-se que tr ( R) ( n ) e, portanto, a rede passa a ser observável. Destaca-se que na restauração a variância das pseudo-medidas de injeção alocadas deve ser igual à variância das medidas disponíveis. As matrizes de interesse são mostradas abaixo para o caso de uma pseudo-medida de injeção alocada na barra 4. H,5,5,5,5,5,5 4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 A matriz de covariâncias dos estados estimados resultante é: R 4 A Figura, mostra as variâncias estimadas dos fluxos de potência ativa para o sistema de quatro barras no caso parcialmente observável e com a inclusão da pseudo-medida de injeção na barra 4 (caso observável). Nesta figura observase claramente que após a inclusão da pseudo-medida todos os ramos tornam-se observáveis e, portanto, a rede é observável, o que confirma a informação obtida do traço de R. IV. ALGORITMOS Com base nos conceitos apresentados, esta seção mostra os algoritmos para a realização das três funções do processo de estimação de estado. O Algoritmo provê a verificação da observabilidade, o Algoritmo, a identificação das ilhas observáveis, enquanto que o Algoritmo 3, mostra a restauração da observabilidade. Algoritmo Verificação da Observabilidade : Montar a matriz de covariâncias das medidas estimadas R, conforme a Equação (); : Se tr ( R) ( n ), então, a rede é observável, portanto, pare; 3: Caso contrário, a rede é não observável. Algoritmo Identificação das Ilhas Observáveis : Calcule as variâncias : Se P, conforme a Equação (3); P < limiar, o ramo k m é observável; 3: Se P > limiar, o ramo k m é não observável; 4: Se há injeções irrelevantes, remova estas injeções e volta ao passo. 5: Forme as ilhas agrupando os ramos observáveis. No caso da restauração da observabilidade, é recomendável remover as injeções irrelevantes antes de formar as ilhas observáveis. As injeções irrelevantes são as injeções disponíveis em barras adjacentes a um ou mais ramos não observáveis [5]. A necessidade de remoção das injeções irrelevantes torna o procedimento iterativo, entretanto, em geral, com apenas duas passagens pelo algoritmo todas as injeções irrelevantes são removidas e as ilhas observáveis podem ser identificadas. A necessidade de remoção das injeções irrelevantes é comum a todos os algoritmos clássicos. Algoritmo 3 Restauração da Observabilidade : Obtenha a lista de injeções candidatas; : Inclua uma injeção candidata na rede e execute o Algoritmo. Caso a rede permaneça não observável, volte ao passo ; 3: A solução é o conjunto de pseudo-medidas incluídas. Observe que não pode haver injeções candidatas em barras que tem injeções disponíveis. Além disso, no passo do Algoritmo 3, todas as medidas disponíveis, incluindo as injeções irrelevantes, devem ser consideradas. V. MEDIÇÃO FASORIAL SINCRONIZADA Nesta seção a metodologia proposta é aplicada a redes contendo medições fasoriais e medidas tradicionais obtidas via SCADA. Partindo da premissa que uma dada PMU (do inglês Phasor Measurement Units) possa medir o fasor de tensão na barra onde está instalada e os fasores de corrente nos ramos adjacentes [8]-[9]-[] e que a impedância de todos os ramos corresponda a p.u., a parte real de um fasor de corrente pode ser aproximadamente escrita como []: Real(I ij ) = i - j onde i e j são os ângulos de tensão das barras i e j, respectivamente. Assim, a matriz Jacobiana pode ser representada da seguinte forma: i j H i... I ij

5 5 Para aplicar a metodologia proposta, nos exemplos mostrados a seguir foi considerada a reatância de todos as linhas igual a p.u.,3, 3,,,,,,,,,,,,,, Figura 3. Sistema de Teste de 4 Barras Radial Exemplo 4 Neste exemplo, foi considerado o sistema de medição indicado na Figura 3. As variâncias são as mesmas dos exemplos anteriores. As variâncias dos fluxos de potência estimados para o caso sem a PMU estão indicadas na Figura 4, onde se verifica que apenas o ramo - é observável. As matrizes de interesse são: A Figura 4 mostra as variâncias dos fluxos de potência ativa linearizados estimados após a inclusão da PMU. Neste caso, a rede se torna observável, já que todos os seus ramos passam a ser observáveis. VI. TESTES E RESULTADOS Nesta seção são apresentados testes realizados com o sistema de 4 barras do IEEE mostrado na Figura 5. Os ramos foram representados por reatâncias unitárias, as variâncias das medidas são iguais a -4, enquanto que as variâncias das pseudo-medidas são iguais a 4. H,5,5 4,5,5,, Figura 5. Sistema de 4-Barras IEEE com Medidas Disponíveis Figura 4. Variâncias dos Fluxos de Potência Ativa Linearizado Estimados Sistema de 4 barras (Figura 3) sem e com inclusão de PMUs. Exemplo 5 Neste exemplo, foi considerado o sistema de medição indicado na Figura 3, com os mesmos valores de reatâncias e variâncias das medidas e pseudo-medidas; porém, acrescido de uma PMU na barra 3, que está disponibilizando as seguintes medições fasoriais sincronizadas: 3, I,3 e I 3,4. Neste caso as matrizes de interesse são: H O traço da matriz de covariâncias das medidas estimadas é igual a x -4, sendo menor que (n-) σ ; logo, conclui-se que o sistema é não observável. A Figura 6 mostra os ramos observáveis e não observáveis definidos a partir das variâncias dos fluxos linearizados estimados. Como (n-) σ = (3 x -4 ), então, é necessária a inclusão de duas pseudo-medidas de injeção para que a rede se torne observável. Após a aplicação do algoritmo de restauração da observabilidade as pseudo-medidas de injeção das barras 3 e 6 foram selecionadas. A Figura 6 mostra as variâncias dos fluxos estimados após a inclusão de P 3 e depois de P 6. Com a alocação de P 3 a observabilidade da rede não é restaurada já que os mesmos ramos do caso anterior permanecem não observáveis e o traço da nova matriz R passa a valer x -4. Entretanto, após a alocação de P 6 todos os ramos se tornam observáveis e o traço da matriz R passa a valer 3 x -4, o que indica a observabilidade da rede.

6 6 VII. CONCLUSÕES Neste trabalho foi apresentada uma metodologia para análise de observabilidade de sistemas de energia elétrica. A metodologia apresentada permite determinar se uma rede é ou não observável através do traço da matriz de covariância das medidas estimadas e permite ainda identificar as ilhas observáveis e as partes não observáveis a partir da análise das variâncias dos fluxos de potência estimados. Na metodologia proposta admite-se que pseudo-medidas de ângulo estão disponíveis em todas as barras da rede. A estas pseudomedidas de ângulo são associadas variâncias elevadas, indicando que estas pseudo-medidas contêm informações de baixa qualidade. Em oposição, as medidas de fluxo e de injeção de potência disponíveis são associadas a variâncias pequenas, indicando que estas medidas contêm informações confiáveis. De forma similar às abordagens clássicas, admite-se que as medidas de potência ativa e reativa são realizadas aos pares e que há medidas suficientes de magnitude tensão e, portanto, um modelo linearizado do estimador de estado é adotado. Para comprovar a viabilidade da metodologia proposta foram apresentados testes realizados com o sistema 4-barras IEEE. Além disso, apresentam-se exemplos com um sistema de pequeno porte, executado passo a passo, que permite a clara compreensão da aplicação da metodologia proposta. Em relação aos aspectos computacionais, o uso do lema de modificação das matrizes inversas pode ser usado para a inclusão e remoção de medidas, juntamente com esquemas de armazenamento e fatoração de matrizes esparsas tornando os algoritmos computacionalmente eficientes, mesmo para aplicações em tempo real. Destaca-se ainda que a formulação matemática da metodologia proposta é bastante adequada para a inclusão de medição fasorial sincronizada, conforme resultados apresentados. VIII. REFERÊNCIAS [] F. Schweppe e J. Wildes. Power system static-state estimation, Part I: Exact model. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v. PAS-89, n., January 97. [] F. Schweppe e D. Ron. Power system static-state estimation, Part II: Approximate model, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v. PAS-89, n., 97. [3] F. Schweppe. Power system static-sate estimation, Part III: Implementation, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v. PAS-89, n., 97. [4] O. Alsaç, N. Vempati, B. Stott e A. Monticelli. Generalized state estimation. IEEE Transactions on Power Systems, vol. 3, no. 3, pp , August 998. [5] A. J. Monticelli e F. F. Wu. Network observability: Theory. IEEE Transactions on Apparatus and Systems, PAS-4(5):4-48, may 985. [6] G. R. Krumpholz, K. A. Clements e P. W. Davis. Power System Observability: A Practical Algorithm Using Network Topology. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, PAS-99(4), July 98. [7] M. C. Almeida, A. V. Garcia, E. N. Asada. Regularized Least Squares Power System State Estimation. IEEE Transactions on Power Systems, Sep.. [8] G. P. Borges. Análise de Observabilidade e Identificação de Medidas Críticas para Sistemas de Medição Formados por Medidas Convencionais e Fasoriais Sincronizadas. Tese de mestrado, Universidade de São Paulo Escola de Engenharia de São Carlos,. [9] J. Chen e A. Abur. Placement of PMUs to enable bad data detection in state estimation. IEEE Transactions on Power Systems, [S.l.], v., n.4, p.68-65, 6. [] J. B. A. London, S. A. R. Piereti, R. A. S. Benedito e N. G. Bretas. Redundancy and observability analysis of convention and PMU measurements. IEEE Transactions on Power Systems, [S.l.], v.4, n.3, p.69-63, Aug. 9. [] J. Zhu e A. Abur. Effect of phasor measurements on the choice of reference bus for state estimation. IEEE Power Engineering Society General Meeting, [S.l.], p.-5, 7. IX. BIOGRAFIAS Madson C. de Almeida recebeu sua graduação de Mestre e Doutor em engenharia elétrica em 999 e 7, respectivamente, da Universidade Estadual de Campinas, Brasil, onde é Professor Assistente do Departamento de Sistemas de Energia Elétrica. Suas áreas de pesquisa são planejamento e controle do sistema de potência. Wilson A. de Oliveira recebeu sua graduação em engenharia elétrica em 4, da Universidade Estadual de Campinas, Brasil, onde é aluno de mestrado do Departamento de Sistemas de Energia Elétrica. Suas áreas de pesquisa são planejamento e controle do sistema de potência. Figura 6. Variâncias do Fluxo de Potência Ativa Linearizado Estimado (IEEE 4-Barras) Sistema da Figura 5