Revisão de conceitos. Aula 1. Introdução à eletrónica médica João Fermeiro

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1 Revisão de conceitos Aula 1 Introdução à eletrónica médica João Fermeiro

2 Objetivos Compreender os erros presentes num sistema de medida Rever os indicadores estatísticos mais relevantes Considerações sobre características estáticas e dinâmicas de um sistema. Elaborar alguns exercícios.

3 Fontes de erro Entende-se por erro a diferença entre uma medição de um sistema e o valor real da grandeza. Existem diversos aspetos que podem condicionar a reposta de uma medição.

4 Exatidão e Precisão O que é a exatidão? Esta aufere o grau de proximidade de uma medição X m relativamente ao valor real de X r. O que é a precisão? Esta aufere o grau de proximidade entre um conjunto de medições, não necessariamente próximos do valor real X r. Em termos estatísticos a exatidão está associada ao valor da média തX enquanto que o valor da precisão está associada ao valor do desvio-padrão σ.

5 Exatidão versus Precisão Generalizando estes conceitos podemos dizer que existem quatro combinações possíveis de exatidão/precisão nas medições de instrumentos. X X

6 Tipos de erros Os erros dividem-se em: Erros grosseiros Este tipo de erro é de natureza fortuita. Podem ocorrer devido a uma má leitura de quem opera o instrumento de medida. Uma forma de evitar ou eliminar este erro é efetuar um número grande de medições da grandeza desejada e eliminar os valores aberrantes que se destaquem no conjunto das medições.

7 Tipos de erros Os erros dividem-se em: Erros sistemáticos Este tipo de erros ocorrem no momento em que a medição é efetuada. Geralmente provém de uma má ou não calibração do instrumento ou de uma má preparação do sistema de medição (montagem incorreta de um setup de medição). Neste sentido as leituras realizadas pelo sistema têm uma resposta sempre afetada com o mesmo desvio do valor real da grandeza.

8 Tipos de erros Os erros dividem-se em: Erros sistemáticos Outra situação que ocorre frequentemente é o esquecimento do efeito de carga do aparelho de medida sobre o circuito, isto é, o não ter em conta as características que o aparelho de medida tem sobre o circuito elétrico. Os erros sistemáticos só conseguem ser drasticamente reduzidos de duas formas: se houver uma calibração prévia do instrumento de medida ou se o valor do desvio no instrumento de medida for conhecido a priori, sendo então usado para fazer uma compensação na resposta da leitura.

9 Tipos de erros Os erros dividem-se em: Erros aleatórios Estes erros como o nome indica são erros inesperados e cujo controlo está para além das possibilidades de quem efetua as medições ou de qualquer calibração prévia e a sua causa ou causas são difíceis de identificar. Geralmente estes erros apresentam amplitudes baixas fazendo com que haja um desvio relativamente baixo.

10 Indicadores estatísticos mais relevantes Em termos da instrumentação médica é relevante relembrar os seguintes indicadores estatísticos: Média Mediana Variância e desvio-padrão Regressão linear

11 Média Existem diversos tipos de médias sendo as quatro seguintes as mais conhecidas: Média aritmética Média quadrática Média geométrica Média harmónica

12 Média Aritmética A média aritmética തX obtém-se somando todos os valores medidos, x k, e dividindo essa soma pelo número de medições N. N തX = 1 N k=1 x k

13 Média Quadrática A média quadrática തX 2 obtém-se aplicando a raiz quadrada ao quociente entre a soma dos quadrados dos valores medidos x k, e o número de medições N. തX 2 = N 1 N k=1 x k 2

14 Média Geométrica A média geométrica obtém-se aplicando a raiz de ordem N ao produto das N medições x k entre si. N N k=1 x k

15 Média Harmónica A média harmónica é o inverso da média aritmética do inverso das N medições x k, ou seja, é o inverso da média aritmética dos valores y k = 1 Τx k. N 1 1 N k=1 y k = 1 1 N 1 N x k k=1

16 Características especiais das médias As mais médias mais utilizadas são a aritmética e a geométrica. No entanto estas apresentam uma propriedade inconveniente, por serem sensíveis a valores aberrantes no conjunto de valores. Exemplificando Imaginemos o conjunto de valores H = 3,3,3,3,4,5,5,6,7,7,7,500. Os valores das médias são: Aritmética = 50 Quadrática = 150 Geométrica = 7,22 Harmónica = 4,89 Podemos concluir que os valores obtidos pelas médias aritmética e quadrática destoam da maioria dos elementos do conjunto.

17 Características especiais das médias Por outro lado se ao invés de valores aberrantes tivermos valores de resposta nula as médias geométrica e harmónica são gravemente afetadas. Exemplificando se considerarmos o conjunto de valores H = 3,3,3,3,4,5,5,6,7,7,7,0. os valores das médias são: Aritmética = 4,55 Geométrica = 0 Quadrática = 5,01 Harmónica = 0

18 Características especiais das médias Podemos concluir que é necessário escolher bem o tipo de média que melhor se adequa ao conjunto de dados para uma melhor média do conjunto. Para conjuntos de valores considerados normais podemos concluir que existe uma relação entre as diferentes médias dada pela seguinte inequação média harmónica média geométrica média aritmética média quadrática

19 Mediana A mediana pode ser em comparação à média o indicador estatístico mais adequado por indicar o ponto central num conjunto de valores, sendo assim robusta à presença da valores aberrantes. Se o número de medições for muito elevado, ambos os conjuntos de valores inferior e superior à mediana ocupam apróximadamente metade (50%) do conjunto das medições. Para por exemplo o conjunto de valores H = 3,3,3,3,4,5, 5, 6,7,7,7,500 a mediana toma o valor 5.

20 Desvio-padrão O desvio-padrão (σ) representa a medida de dispersão das medições x k em torno da média aritmética. É dado pela raiz da média dos quadrados dos valores y k (erros entre as leituras e a média), isto é, y k = x k തX. Este é outro indicador estatístico muito importantes pois para além de ser sempre positivo o intervalo തX σ, തX + σ contém 68% das medições. σ = N 1 N k=1 x k തX 2

21 Desvio padrão Se dobarmos ou triplicarmos o desvio-padrão passamos a obter respetivamente 95% e 99,7% das medições como podemos ver pela figura.

22 Variância A Variância é outro indicador estatístico usado, fornece informação acerca da dispersão dos valores. É dada pela média dos quadrados dos valores y k, isto é, y k = x k തX. Por outras palavras é igual ao desvio-padrão ao quadrado. N Var(x) = 1 N k=1 x k തX 2

23 Regressão linear A regressão linear consiste em determinar uma reta para obter o valor estimado de uma variável y a partir de alguns valores de x. Isto é trata-se de um método estatístico para relacionar y com x através de uma reta. Se assumirmos que as medições y i se podem exprimir em função de duas parcelas f 1,i e f 2,i, onde a primeira é responsável por estabelecer uma relação linear entre y i e x i enquanto a segunda inclui todos os fatores que contribuem para o desvio de y i relativamente à reta em x i então tem-se: y i = f 1,i + f 2,i = A + B. x i + ε i

24 Regressão linear Os coeficientes A e B são determinados tendo por base a minimização da soma dos desvios de y i à reta em x i, minimizando da seguinte forma N min f 1,i + f 2,i N 2 = min i=1 y i A + Bx i 2 i=1

25 Regressão linear Daí a designação de aproximação linear pelo método dos mínimos quadrados, sendo os coeficientes A e B determinados pelas seguintes equações N N N N N Nj 2 A = x 2 i y j y i x i x i x 2 i x i i=1 j=1 i=1 i=1 i=1 i=1 N N N N Nj 2 B = N y i x i y j x 2 i x i x i i=1 j=1 i=1 i=1 i=1

26 Regressão linear Um coeficiente de boa aproximação da reta ao conjunto de pontos é o coeficiente de correlação r. Quanto mais próximo da unidade maior a semelhança dos pontos da reta relativamente às medições. Este coeficiente obtém-se através da fórmula N N Nj r = x i തX y i തY x i തX 2 y i തY 2 i=1 i=1 i=1 ε i

27 Características estáticas Entende-se por característica estática uma quantidade numérica que não apresente variação durante um intervalo de tempo de utilização de um instrumento ou cuja variação é muito lenta quando comparada com a duração do intervalo.

28 Características estáticas Gama de entrada (em inglês range) também conhecido como gama de operação é o intervalo de valores entre o mínimo e o máximo da grandeza que está a ser medida para uma resposta linear. Gama de saída (em inglês full scale) Diferença aritmética entre o máximo e o mínimo

29 Características estáticas - Resolução Temos o exemplo da Resolução que é uma grandeza intrínseca do instrumento de medida. A Resolução é a menor mudança incremental do parâmetro de entrada que causa uma variação detetável no valor de saída. Esta pode ser expressa como uma percentagem da faixa de leitura ou em valores absolutos.

30 Características estáticas - Sensibilidade Temos outro exemplo a sensibilidade. A sensibilidade S relaciona a variação da grandeza de saída ΔX_out com a variação da grandeza de entrada ΔX_in, dado pela fórmula S X in,k = lim X in X in,k ΔX out X in X in,k = lim ΔX in 0 ΔX out ΔX in ቤ = dx out Xin dx =X in in,k

31 Características estáticas - linearidade Outra característica que podemos destacar é a linearidade. Esta quantifica o grau de concordância entre a entrada e a saída do sistema. Isto é, um sistema diz-se linear se por exemplo: Para duas entradas x1 e x2 e as duas saídas respectivas y1 e y2 então se x1+x2 for a entrada, a saída será y1+y2. Para uma entrada x1 cuja saída é y1, então se k*x1 for a entrada então k*x2 será a saída.

32 Características estáticas Gama dinâmica A gama dinâmica está associada ao conceito de de gama de operação. Esta é dada pela razão entre o maior valor da grandeza de entrada que não força o instrumento a sair da zona linear de funcionamento e entre o plano de ruído N. Sinais com amplitudes inferiores do plano de ruído não podem ser detetados pelo instrumento pois a sua presença é mascarada pelo ruído. DR = 20log 10 max X in max X in = 20log min X 10 in N db

33 Características estáticas Histerese Histerese é o desvio na resposta do sensor ao sinal de entrada dependendo do sentido de variação. É comum encontrar este fenómeno em instrumentos que contenham molas.

34 Exercício 1 Os resultados de uma avaliação a uma disciplina foram X={ } Qual a nota média aritmética à disciplina? Calcule as médias harmónica, geométrica e quadrática. Calcule a mediana. Calcula o desvio-padrão e a variância. Comparar entre si as quatro médias. 34

35 Exercício 1 X={ } Qual a nota média à disciplina? തX = Calcule as médias harmónica, geométrica e quadrática. Calcule a mediana. Calcula o desvio-padrão e a variância. Comparar entre si as quatro médias. 35

36 Exercício 1 X={ } Qual a nota média à disciplina? തX = Calcule as médias harmónica, geométrica e quadrática. തXh = , തXg = , തXq = Calcule a mediana. Calcula o desvio-padrão e a variância. Comparar entre si as quatro médias. 36

37 Exercício 1 X={ } Qual a nota média à disciplina? തX = Calcule as médias harmónica, geométrica e quadrática. തXh = , തXg = , തXq = Calcule a mediana. X = 10 Calcula o desvio-padrão e a variância. Comparar entre si as quatro médias. 37

38 Exercício 1 X={ } Qual a nota média à disciplina? തX = Calcule as médias harmónica, geométrica e quadrática. തXh = , തXg = , തXq = Calcule a mediana. X = 10 Calcula o desvio-padrão e a variância. σ = e Var(x) = Comparar entre si as quatro médias. média harmónica média geométrica média aritmética média quadrática 38

39 Exercício 2 Os resultados de uma medição foram X={80, 100, 110, 101, 104, 105, 99, 100, 111, 110} Qual a nota média aritmética das medições? Calcule as médias harmónica, geométrica e quadrática. Calcule a mediana. Calcula o desvio-padrão e a variância. Comparar entre si as quatro médias. 39

40 Características dinâmicas Estas caracterizam o comportamento de um aparelho de medida em termos da resposta a uma entrada variável no tempo. 40

41 Função transferência O conceito de função de transferência aplica-se a sistemas lineares. Um sistema com respostas y(t), y 1 (t) e y 2 t às entradas x t, x 1 (t) e x 2 (t) diz-se linear, se as respostas a k. x t e x 1 t + x 2 (t) forem respetivamente k. y t e y 1 t + y 2 t. A função transferência H jf de um sistema linear obtém-se a partir da equação diferencial responsável por relacionar a entrada x t com a saída y t. 41

42 Função transferência O funcionamento da maioria dos instrumentos de medida pode aproximar-se por um sistema linear e pode ser descrito por uma equação diferencial ordinária linear de coeficientes constantes: a n d n y(t) dt n = b n d n x t dt n + + a 1 dy t dt + + b 1 dx t dt + a 0 y t + b 0 x(t) Aplicando a transformada de Fourier obtém-se a n j2πf n Y if + + a 0 Y jf = b n j2πf n X if + + a 0 X jf 42

43 Função transferência Após a colocação de Y jf e X jf em evidência e se dividir um pelo outro obtém-se a função de transferência desejada: H jf = Y if X if = b n j2πf n + + b 1 (j2πf) + b 0 a n j2πf n + + a 1 (j2πf) + a 0 A função é complexa e por isso é usual apresentarem-se dois gráficos distintos em função da frequência f: módulo e fase. 43

44 Características dinâmicas Resposta Indicial A resposta indicial de um sistema linear é o sinal produzido na saída em resultado de uma entrada igual ao degrau unitário u(t) centrado na origem. A transformada de Fourier do degrau unitário centrado em t 0, isto é, I[u(t t 0 )] é dado por I u t t 0 = e j2πft 0 j2πf No caso particular em que x t = u(t) tem-se X if = Τ 1 (j2πf) cuja saída no domínio das frequências é Y if = X if H if = 1 j2πf H(if) 44

45 Características dinâmicas Sistemas de ordem zero Num sistema desta ordem a relação entre a entrada e a saída obedece à seguinte equação: a 0. y t = b 0 x t ou y t = k. x(t) com k = b 0 a 0 onde k é o coeficiente de sensibilidade estática. Neste caso a respota y t é ideal na medida em que se relaciona linearmente com a entrada x t. Exemplos de sistemas de ordem zero incluem os potenciómetros e amplificadores de tensão os quais providenciam atenuação e amplificação, respetivamente. 45

46 Características dinâmicas Sistemas de primeira ordem Num sistema de primeira ordem, a relação entre a entrada e a saída obedece a: dy(t) a 1 + a dt 0 y t = b 0. x t Que corresponde a uma função de transferência: H jf = Y if X if = b 0 a 1 (j2πf) + a 0 = k j2πfτ Onde k é o coeficiente de sensibilidade estática e k = b 0 a 0, e τ é a constante de tempo e τ = a 1 a 0

47 Bibliografia Correia, J.H. (2013). Introdução à Instrumentação Médica. Lisboa: LIDEL Khandpur, R.S. (2004) Biomedical Instrumentation: Technology and Applications. New York: Mcgraw-hill.