Aula 1: Conceitos Introdutórios. EAC-042: Ajustamento de Observações

Transcrição

1 EAC-042: Ajustamento de Observações Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges 1 1/13

2 OBJETIVOS: O Ajustamento tem por objetivo dar solução única para problemas onde o número de observações é redundante e o sistema de equações inconsistente, bem como a estimativa da precisão da solução adotada. A inconsistência do sistema de equações é devido as flutuações probabilísticas das observações e faz com que um determinado subconjunto de dados proporcione valores diferentes de um outro subconjunto. A solução única nestes problemas é dada pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) desenvolvido independentemente por GAUSS (1795) e LEGENDRE (1805). 2/13

3 Para se realizar o ajustamento de observações ou medidas, é necessário que os dados excedam o mínimo requerido para a solução do problema. Convém salientar que o ajustamento não melhora os resultados das medições (não corrige eventuais erros grosseiros ou sistemáticos presentes nas medidas). O resultado final do ajustamento são os valores para as incógnitas e estimativas de sua precisão, pois segundo CAMARGO (2000), nenhum resultado terá valor cientifico ou técnico se não estiver acompanhado de sua precisão. Essa precisão pode ser expressa por 1, 2 ou 3 vezes o valor do desvio padrão. 3/13

4 A partir das técnicas de ajustamento é possível detectar a presença de erros grosseiros em um conjunto de observações, efetuar o planejamento da coleta de dados e saber a priori se tais dados atenderão as prescrições estabelecidas. Segundo GEMAEL (1994), a partir das observações redundantes sujeitas a flutuações probabilísticas e de uma estimativa de sua precisão, o AJUSTAMENTO tem por objetivo: a) Estimar, mediante a aplicação de modelos matemáticos adequados e do MMQ, um valor único para cada uma das incógnitas de problema; b) Estimar a precisão de tais incógnitas e a eventual correlação entre elas. 4/13

5 Observações: As observações ou medidas possuem uma propriedade inerente a elas, conhecidas como flutuações probabilísticas, pois quando se repete n vezes a medida de uma grandeza, os n valores não são idênticos, mas estão dispersos numa certa região ou intervalo, que tradicionalmente eram interpretados como erros de observação. Os valores numéricos das observações são de fundamental importância para a ciência e engenharia, pois submetem o instrumento à análise e manipulação. 5/13

6 Modelo Matemático: Sempre se recorre a fórmulas, equações ou expressões matemáticas quando se necessita descrever matematicamente uma realidade física, mas como um modelo matemático é definido como sendo um sistema teórico ou um conceito abstrato, que descreve uma situação física ou uma série de eventos, não é necessário explicar totalmente a situação física, mas relacionar somente os aspectos ou propriedades de interesse. Desse modo, ele pode apresentar-se de formas diferentes para uma mesma situação física, dependendo do propósito em questão. 6/13

7 Modelo Matemático: Nota-se que o modelo matemático não descreve exatamente o fenômeno, os eventos ou a realidade física. Descreve aspectos de interesse desta realidade e com aproximação requerida. O modelo matemático é composto de duas partes, modelo funcional e modelo estocástico. 7/13

8 Modelo Funcional: O modelo funcional constitui a parte determinística da realidade física ou evento em consideração. Quando as medidas são planejadas, um modelo funcional é usualmente escolhido para representar o sistema físico ou fictício com o qual as medidas estão associadas. As medidas são feitas usualmente com a finalidade de avaliar valores para alguns ou todos os parâmetros do modelo funcional. 8/13

9 Modelo Funcional: Como exemplos podemos citar: 1. Modelo geométrico em Topografia: um triângulo plano no espaço euclidiano é caracterizado por 3 ângulos, 3 vértices, 3 lados e talvez também uma orientação com respeito a um sistema de coordenadas; 2. Modelo geométrico em fotogrametria: fotos aéreas são consideradas imagens perspectiva dos pontos no terreno; 3. Modelo dinâmico em Geodésia: campo de gravidade terrestre. 9/13

10 Modelo Funcional: Modelos funcionais não são freqüentemente estabelecidos explicitamente, mas por implicação. Se por um momento um topógrafo diz que mediu uma distância, eles se refere que dois objetos são abstraídos e considerados como dois pontos geométricos. A distância geométrica deve ser reduzida ao plano de projeção ou sobre o elipsóide. O mesmo se diz dos ângulos. O modelo funcional deve estar com acuracidade suficiente para o propósito em questão. As observações efetuadas são então introduzidas no modelo e todas considerações devem ser levadas a efeito. 10/13

11 Modelo Estocástico: O modelo estocástico descreve as propriedades estatísticas das observações, que sempre estão sujeitas a incontáveis influencias. Elas podem estar sujeitas as influencias físicas que não podem ser completamente controlada, resultando em uma certa variabilidade do resultado quando as observações são repetidas. Tem-se ainda como causas, além das físicas, a falibilidade humana e as imperfeições instrumentais. Do ponto de vista prático é difícil estabelecer as propriedades estatísticas das observações. Um caminho é repetir as medidas e derivar as propriedades requeridas, mas isto demanda tempo e dinheiro. 11/13

12 Modelo Estocástico: Um outro caminho, frequentemente usado na pratica é assumir as propriedades estatísticas com base em observações similares (mesmo tipo e circunstância) que foram realizados no passado. Todas as suposições sobre as propriedades das variáveis envolvidas é chamada de modelo estocástico. Ele inclui todas as variáveis do modelo. Elas podem ser consideradas fixas (constantes durante o ajustamento ou conhecida a priori), livre (incógnitas do ajustamento) e semi-livres (podem variar, porém com algumas restrições). 12/13

13 Referências Bibliográficas CAMARGO, P. O. Ajustamento de Observações. Presidente Prudente: Ed. UNESP, p. GEMAEL, C. Introdução ao ajustamento de observações: aplicações geodésicas. Curitiba: Ed. da UFPR, p. 13/13