EAC-082: Geodésia Física. Aula 08 Altitudes Científicas

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1 EAC-082: Geodésia Física Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges Aula 08 Altitudes Científicas 1 1/38

2 Altitude Científicas Em função do problema para se determinar a variação da densidade de massas ao longo crosta, a altitude ortométrica só pode, de forma geral, ser obtida mediante hipóteses simplificativas quanto à composição da litosfera ou estrutura do geopotencial. Na prática, adota-se como aproximação as altitudes científicas definidas por: H P C = C P G m 1 Onde G m é um valor aproximado de g m entre P e P, determinado com base em alguma forma de redução aproximada ou estimada a partir do esferopotencial. 2/38

3 Altitude Científicas O potencial produzido pela Terra Verdadeira é denominado de Geopotencial (W 0 ), e o potencial produzido pela Terra Normal é denominado de Esferopotencial (U 0 ). A diferença do Geopotencial e do Esferopotencial, em um mesmo ponto, é denominado de Potencial Anômalo. O caráter unívoco da determinação da altitude e seu significado físico são garantidos pela determinação do número geopotencial de P (C P ) e as grandezas g m, γ m e G m são parâmetros que estabelecem uma escala métrica ou sistema de altitude. 3/38

4 Altitude Científicas Estes sistemas possuem diferenças de pequena ordem e todos eles podem ser utilizados com segurança para a realização de uma rede geodésica vertical de referência. A seguir serão apresentados alguns sistemas de altitudes. 4/38

5 Altitude Normal Chama-se Terra Normal a um elipsóide de revolução com a mesma massa (M) da Terra real, a mesma velocidade angular ( ) e cujo potencial de gravidade normal (U o ) sobre sua superfície é igual ao potencial de gravidade (W o ) sobre o Geóide. U 0 W 0 A Terra Real não tem uma forma regular, pois não tem uma distribuição homogênea de massa. A principal irregularidade é o achatamento. As irregularidades secundárias, as alturas geoidais, são da ordem de 100 metros. 5/38

6 Altitude Normal A altitude normal foi proposta por Molodensky em 1954, visando solucionar o problema da altitude ortométrica, que consiste na determinação do valor médio da gravidade ao longo da vertical, entre a superfície do geóide e a superfície física. Sabendo-se o valor médio pode-se reduzir os valores da gravidade, observados sobre a superfície física, ao geóide. 6/38

7 Altitude Normal Neste tipo de altitude, não se consideram as massas acima da superfície de referência (o elipsóide de revolução). Assim, desconsiderando-se as massas acima do modelo elipsoidal, adota-se como adequada a aplicação da redução de ar livre, obtendo-se altitudes normais sem a necessidade de informações sobre a estrutura da crosta. 7/38

8 Altitude Normal Esta alternativa permite resolver o problema com as densidades de massa da crosta. O resultado é a determinação da anomalia de altura ao invés da altura geoidal. A superfície que se vincula ao elipsóide através da anomalia de altura é o quase-geóide. 8/38

9 Altitude Normal h =altitude geométrica ; H =altitude ortométrica; N =altura geoidal; ζ = anomalia de altura; HN = altitude normal. 9/38

10 ҧ Altitude Normal A altitude normal é obtida dividindo o número geopotencial pelo valor médio da gravidade normal ao longo da normal no ponto Pi (VANÍCEK & KRAKIWSKY, 1986; p. 372): H i N = C i ҧ γ i 2 Onde γ i é a média da gravidade normal ao longo da normal, dada por: γҧ i = 1 P i N H න γdh i P /38

11 Altitude Normal Tradicionalmente tem-se o conhecimento das superfícies física, elipsoidal e geoidal em Geodésia. O problema de Molodenskii envolve duas outras: Teluróide e o Quasigeóide. Na primeira, o potencial de gravidade da Terra real em P é igual ao potencial de gravidade da Terra normal em Q. É a superfície que se separa da superfície física pela anomalia de altura. Plotando-a a partir do elipsóide determina a superfície do Quasigeóide, a qual não define uma equipotencial. Devem ainda ser destacadas a superfície do Nível Médio dos Mares (NMM) e também a sua altitude em relação ao geóide Topografia do NMM (TNMM) como elementos a serem considerados. 11/38

12 Altitude Normal A correção aplicada aos desníveis brutos para a correção normal é dada pela seguinte equação: Para os pontos inicial (A) e final (B) deve-se determinar o valor médio da gravidade normal γҧ entre a estação observada e seu correspondente no quase-geoide ao longo da linha normal (equivalente a média de γ realizada sobre a linha normal entre o teluróide e o elipsoide de referência). Calcula-se primeiramente o valor da gravidade normal γ correspondente aos pontos A e B com a expressão (fórmula Somigliana) dada por Moritz (1980): 12/38

13 Altitude Normal O valor de γ é dependente dos parâmetros do elipsoide de referência e da latitude, sendo e 2 = a 2 b 2 /a 2 a primeira excentricidade do elipsoide k = b γ p /a γ e 1 Onde γ p e γ e são a gravidade normal no equador e nos polos respectivamente, para o elipsoide de referência. 13/38

14 Altitude Normal A equação para calcular γҧ deriva da correção de segunda ordem arlivre da gravidade (Heiskanen e Moritz,1967): Onde m α ω 2 /γ e e α = achatamento do elipsoide de referência dado por: α = a b /a A determinação de γҧ não necessita do conhecimento sobre distribuição de densidade de massas ou correções no terreno, tornando o sistema de altitudes normal, uma alternativa à utilização da altitude ortométrica. 14/38

15 Altitude Normal Parâmetros para o elipsoide GRS80: 15/38

16 Altitude Normal Observando a equação para cálculo da gravidade normal média nota-se sua dependência da altitude normal. Como solução utiliza-se um valor inicial de H igual à altitude nivelada de P, calcula-se um novo valor de γ, ҧ retornando-se à equação H N i = C i ഥγ i e calculando um novo valor para a altitude normal. Os cálculos são refeitos com novas iterações até que se obtenha uma diferença insignificante entre as duas últimas. 16/38

17 Altitude de Vignal Na determinação desta altitude considera-se, de forma aproximada, um valor nulo para a ondulação do geóide para efeitos do cálculo da gravidade média. Observando a equação geral 1, determina-se o valor G m através da seguinte equação: G m = g S V = γ φp 0,3086 H P 2 Onde γ φp é a gravidade normal (em mgal) no elipsoide para a latitude de P, que pode ser calculada, por exemplo, pelo teorema de Clairaut, dada por: 17/38

18 Altitude de Vignal Onde: Assim: γ φp = γ e 1 + βsen 2 φ + β 1 sen 2 2φ H P V = β = 5 2 m α mα β 1 = α2 8 5mα 8 m a ω2 γ e C P γ φp 0, 1543H P 10 5 Obtendo-se H P V em metros. 18/38

19 Altitude de Helmert Para o cálculo desta altitude, Helmert utilizou-se do gradiente de POINCARÉ-PREY para estimar um valor médio da gravidade no interior da crosta entre o geóide e um ponto P na superfície. Para o entendimento precisamos incialmente conceituar as equações de LAPLACE, POISSON e de BRUNS. Considerando uma esfera homogênea de massa M e raio r, vimos que o potencial gravitacional de atração (ou newtoniano) em um ponto exterior às massas atrativas é dado pela função escalar definida por: V = G M 19/38 : l

20 Altitude de Helmert Considerando l expresso em termos das coordenadas cartesianas de um ponto P, a equação de Laplace nos diz que o laplaciano do potencial gravitacional em pontos externos às massas atrativas é nulo. V = 2 V x V y V z 2 = 0 : 20/38

21 Altitude de Helmert 1999): Para um ponto interior à esfera, tem-se que (GEMAEL, V = V 1 = 2 G π ρ 3r2 l 2 Onde ρ = densidade e l = distância do ponto P ao centro de massa atrativo. Considerando agora um ponto P do interior de uma distribuição contínua de massas divididas em duas partes, sendo a primeira considerando uma esfera E, de raio r, suficientemente pequeno para que a densidade ρ em seu interior possa ser admitida constante e que contenha P e a segunda o restante das massas. 21/38 3

22 Altitude de Helmert O potencial em P será obtido a partir da soma dos potenciais: V = V 1 + V 2 Onde V 1 representa o potencial engendrado pela esfera menor E e V 2 representa o potencial das massas que circundam a esfera E. Utilizando o operador de Laplace e sabendo-se que o mesmo possui propriedade distributiva temos: V = V 1 + V 2 Exprimindo l em função das coordenadas cartesianas do ponto P, calcula-se o laplaciano da função V 1 : 22/38

23 Altitude de Helmert V 1 = 2 G π ρ 3r2 l 2 3 = 4Gπρ Como V 2 = 0, resulta: V = 2 V x V y V z 2 = 4Gπρ Conhecida como a Equação de POISSON (1812). 23/38

24 Altitude de Helmert O gradiente de POINCARÉ-PREY é deduzido da Equação de BRUNS. Para obtenção da Equação de BRUNS deve-se considerar a velocidade de variação de g ao longo da vertical (ou o gradiente vertical da gravidade), dada por: δ 2 W δz 2 = δg δz A partir da equação de POISSON aplicada ao Potencial Gravífico W temos: W = 2 W x W y W z 2 = 4Gπρ + 2w2 24/38

25 Altitude de Helmert Considerando que, conforme demonstra Gemael (1999) pág. 115 e 116: 2 W x W y 2 = 2gC m Onde C m é a curvatura média da equipotencial em um ponto temos: 2gC m + δ2 W δz 2 = 4Gπρ + 2w2 δg δz = 4Gπρ 2w2 2gC m Que é chamada de equação de BRUNS. 25/38

26 Altitude de Helmert Assim, da equação de BRUNS obtém-se o gradiente de POINCARÉ-PREY dado por: δg δh = δγ δh + 4Gπδ O gradiente da gravidade normal δγ δh = 0,3086 com o termo corretivo 4Gπδ = 0,2238 conduz a um gradiente interno usado nas primeiras camadas subjacentes ao solo: δg δh = 0,0848 mgal/metro 26/38

27 Altitude de Helmert Helmert utilizou este gradiente para estimar um valor médio da gravidade no interior da crosta, entre o geóide e o ponto P na superfície, obtendo: G m = g P + 0,0424H Observando a equação geral 1, e considerando-se: Onde: G m = g S H = g P + C F A A = 0,2238 H S (componente vertical da atração do platô de Bourguer com ρ = 2,67g/cm 3 ; 27/38

28 Altitude de Helmert C F = 0,3086 H S (Correção free-air); H S = H P 2 redução); (Altitude média de um Ponto S ao longo da linha de H P = σ H (Desnível bruto medido). Tem-se: H P H = C P g S H = C P g P +0,0848H S = C P g P +0,0424H P A equação de Helmert equivale a considerar a gravidade média obtida no ponto médio do desnível bruto eliminando o platô de Bourguer entre P e S. 28/38

29 Altitude de Helmert Exemplo de cálculo da Altitude Ortométrica de Helmert. Para o cálculo da altitude ortométrica de Helmert para o vértice P23 localizado na base da estação SATGPS do IBGE realizou-se o duplo nivelamento e contranivelamento geométrico a partir da Referência de Nível RN 104P do IBGE localizada próximo ao bairro de Peitudos em Ouro Fino/MG. 29/38

30 Altitude de Helmert Após a obtenção dos desníveis realizou-se um ajustamento por MMQ obtendo-se as cotas ajustadas para os vértices da linha de nivelamento, e consequentemente os desníveis ajustados. 30/38

31 Altitude de Helmert ID Hn (m) σ (m) g GravSur(mGal) 104P 849,243 0, ,676 M01 846,461 0, ,429 M02 869,101 0, ,880 M03 867,706 0, ,059 M04 858,681 0, ,490 M05 861,716 0, ,042 M06 857,481 0, ,136 M07 844,292 0, ,328 M08 856,510 0, ,029 M09 849,415 0, ,840 M10 852,978 0, ,382 M11 856,678 0, ,360 P11 850,652 0, ,785 P23 932,062 0, ,765 31/38

32 Altitude de Helmert Hn g médio gi C trecho C trecho H(Helmert) , , ,319-27, , , , , , , , ,1021-1, , ,850-13, , ,7078-9, , ,898-88, , ,6809 3, , ,579 29, , ,7158-4, , ,493-41, , , , , , , , , , , , , , ,5060-7, , ,855-69, , ,4087 3, , ,548 34, , ,9710 3, , ,683 36, , ,6726-6, , ,853-58, , , , , , , , , /38

33 Altitude de Baranov Nesta proposta para cálculo da altitude ortométrica, existe um relacionamento do valor medido de g e da gravidade normal, o que equivale à adoção de outra superfície de referência entre o elipsóide e o geóide. Observando a equação geral 1, determina-se o valor G m através da seguinte equação: G m = g S B = g P + γ φp 2 Onde γ φp é a gravidade normal no elipsoide para a latitude de P, calculada pelo teorema de Clairaut, visto anteriormente: 33/38

34 Altitude de Baranov Assim tem-se a altitude de Baranov dada por: H P B = 2 C P g P + γ φp : 34/38

35 Altitude Ortométrica Free-Air Considerando-se a equação geral 1, determina-se o valor G m através da seguinte equação: G m = g S F = g P + 0,3086 H P 2 Obtendo-se Altitude Ortométrica do Ar Livre dada por: H P F = C P g P + 0,1543 H P 35/38

36 Correção Ortométrica Esta correção é também conhecida como correção de não paralelismo entre as linhas equipotenciais e é aplicada ao desnível medido, buscando a consideração de ordem física em um nivelamento, a qual elimina o efeito da variação da distância entre geópes, devida a variação de latitude. Esta denominação não corresponde à definição precisa de altitude ortométrica, embora tenha sido adotada no Brasil e aplicada nas redes de nivelamento do IBGE. 36/38

37 Correção Ortométrica Este tipo de correção independe de observações gravimétricas e pode ser dada por: Na equação acima, H m é a altitude média da seção de nivelamento considerada; φ m a latitude média da seção; φ representa a diferença de latitudes entre os extremos da seção; e C 1 e C 2 são os coeficientes do campo de gravidade normal, respectivamente com valores de 0, e -0, /38

38 Referências Bibliográficas Gemael, C. Introdução à geodésia física Ed. da UFPR, Curitiba, MEDINA, A. S.; GEMAEL, C.; FREITAS, S. R. C. A Altitude e o Sistema de Referência Vertical. Anais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidente Prudente - SP, 9-13 de julho de p FREITAS, S.R.C.; BLITZKOW, D. Altitudes e Geopotencial. IGeS Bulletin N.9 International Geoid Service, June 1999, 47 62, Milan. SEVERO, T. C. Estudo das Altitudes Físicas Aplicado à Rede Altimétrica Fundamental do Brasil no Estado do Rio Grande do Sul. Dissertação de Mestrado. Porto Alegre /38