TOPOGRAFIA. Aula 02 Sistema de Coordenadas e Unidades de Medidas

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1 FUCAMP Fundação Carmelitana Mário Palmério TOPOGRAFIA Aula 02 Sistema de Coordenadas e Unidades de Medidas Profº Weldon Martins

2 Sumário Sistema de Coordenadas Cartesiano Superfície Terrestre Modelo Esférico Modelo Elipsoidal Modelo Geoidal Modelo Plano Efeito da curvatura terrestre Unidades de medidas

3 Sistema de Coordenadas Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de coordenadas relativas de pontos. Para tanto, é necessário que estas sejam expressas em um sistema de coordenadas. São utilizados basicamente um tipo de sistemas para definição da posição tridimensional de pontos: sistemas de coordenadas cartesianas

4 Sistema de Coordenadas Cartesianas Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do que atribuindo coordenadas ao mesmo. Estas coordenadas por sua vez deverão estar referenciadas a um sistema de coordenadas. No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas retangulares ou cartesiano. Este é um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si. A origem deste sistema é o cruzamento dos eixos X (abscissas) e Y (ordenadas).

5 Sistema de Coordenadas Cartesianas Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensional é caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z) denominadas de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um único ponto, denominado de origem. Conforme a posição da direção positiva dos eixos, um sistema de coordenadas cartesianas pode ser dextrógiro ou levógiro. Um sistema dextrógiro é aquele onde um observador situado no semieixo OZ vê o semi-eixo OX coincidir com o semi-eixo OY através de um giro de 90 no sentido anti-horário. Um sistema levógiro é aquele em que o semi-eixo OX coincide com o semi-eixo OY através de um giro de 90 no sentido horário.

6 Sistema de Coordenadas Cartesianas Dextrógiro x Levógiro --> Regra da Mão Direita Dextrógiro Levógiro

7 Superfície Terrestre Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para a sua representação, mais simples, regulares e geométricos e que mais se aproximam da forma real para efetuar os cálculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexa a figura empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os cálculos sobre esta superfície. Basicamente temos quatro superficies p/ representar a Terra: Esfera Elipsóide Geóide Plano

8 Superfície Terrestre Modelo Esférico Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, como no caso da Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitude e longitude. Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e longitude astronômicas. - Latitude Astronômica (Φ): é o arco de meridiano contado desde o equador até o ponto considerado, sendo, por convenção, positiva no hemisfério Norte e negativa no hemisfério Sul. - Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador contado desde o meridiano de origem (Greenwich) até o meridiano do ponto considerado. Por convenção a longitude varia de 0º a +180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a -180º por oeste de Greenwich.

9 Superfície Terrestre Modelo Elipsoidal A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução. O elipsóide de revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado. Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados em trabalhos de Geodésia no mundo.

10 Superfície Terrestre Modelo Elipsoidal Latitude Geodésica (φ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul. Longitude Geodésica (λ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste. A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física. No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS SIstema de Referência Geocêntrico para as AméricaS), cujos semi-eixo maior e achatamento são: a = ,000 m f = 1/298,

11 Superfície Terrestre Modelo Geoidal O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível, sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado.

12 Superfície Terrestre Modelo Geoidal As linhas de força ou linhas verticais (em inglês plumb line ) são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto (em inglês direction of plumb line ) simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de vertical.

13 Superfície Terrestre Modelo Plano Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até aproximadamente 80 km

14 Superfície Terrestre Modelo Plano Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia são: a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção localizado no infinito. b) a superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfície terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimetrico o referido datum vertical brasileiro. c) as deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e a refração atmosférica têm as seguintes aproximadas: l (mm) = - 0,001 d³ (km) h (mm) = +78,1 d² (km) h (mm) = +67 d² (km) l = deformação planimetrica devida a curvatura da Terra, em mm. h = deformação altimétrica devida a curvatura da Terra, em mm. h = deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração atmosférica, em mm. d = distância considerada no terreno, em km.

15 Superfície Terrestre Modelo Plano Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia são: d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1:35000 nesta dimensão e 1:15000 nas imediações da extremidade desta dimensão. e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do levantamento topográfico; f) o eixo das ordenadas (Y) é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades do levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para uma direção notável do terreno, julgada como importante.

16 Modelo Plano Superfície Terrestre

17 Efeito da curvatura na distância Ao substituir a real forma da terra, pelo plano topográfico, comete-se um erro denominado erro de esfericidade. Geodésia a superficie terrestre é curva Topografia a superficie é plana O erro de esfericidade na distância (ΔS) corresponde à diferença entre os comprimentos do segmento S' e do arco S. ΔS = S' S Calculando S' S' = R. TgΘ ' Calculando S 2πR o S Θ S = (π.r.θ) / 180 S = R.Θ

18 Efeito da curvatura na distância ΔS = R. tgθ - (π.r.θ) / 180 ΔS = R. tgθ - R.Θ ΔS = R(tgΘ - Θ) Desenvolvendo tg θ em série tg Θ = Θ + (Θ³/3) + (2.Θ 5 /15) + e utilizando somente o primeiro termo, para angulos pequenos: ΔS = R.[ Θ + (Θ³/3) Θ] ΔS = R. (Θ³/3) sabe-se que Θ=S/R, logo... ΔS = S³/(3.R²)

19 Efeito da curvatura na distância A tabela abaixo apresenta valores de erros absolutos e relativos para um conjunto de distâncias.

20 Erro de curvatura na Altimetria Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria (Δh)... Sabe-se que cos(θ) = R / (R+Δh) Isolando Δh Δh = R.(1/cos(Θ) - 1) Desenvolvendo a série de 1/cos(Θ), considerando que Θ = S/R tem-se: Δh = S²/(2.R)

21 Efeito da curvatura na Altimetria A tabela abaixo apresenta valores de erros na altimetria para um conjunto de distâncias O efeito da curvatura é maior na Altimetria do que na Planimetria (Distâncias) Pode-se sem erro apreciável considerar plenamente satisfatório a representação planimétrica em planos tangentes com projeções paralelas e os cálculos feitos com fórmulas da trigonometria plana.

22 Efeito da Curvatura Exercícios: Use o raio da Terra igual a km A) Calcule o Erro de esfericidade na planimetria (ΔS) e Altimetria (Δh) para uma distância S de metros; Resposta: ΔS=0,00177m Δh= 2,82m B) Considerando Θ= 5', calcule a distância obtida na superfície plana (S') e na superfície curva (S). Após calcule o erro absoluto (ΔS) Resposta: S'= 9.264,796m; S= 9.264,789m Erro absoluto (ΔS)= 0,007m;

23 Unidades de Medidas Em Topografia trabalha-se com quatro espécies de grandezas, a saber: lineares; superficiais; volumétricas e angulares.

24 Medidas Lineares Em 1789, a Academia de Ciência da França criou o Sistema Métrico Decimal (SMD) - um sistema de medidas baseado numa "constante natural", não arbitrária - constituído inicialmente de três unidades básicas: o metro, que deu nome ao sistema, o litro e o quilograma. Dentro do Sistema Métrico Decimal, a unidade de medir a grandeza comprimento foi denominada metro e definida como "a décima milionésima parte da quarta parte do meridiano terrestre". Em 1799, para materializar o metro, construiu-se uma barra de platina de secção retangular, com 25,3mm de espessura e com 1m de comprimento de lado a lado, que ficou conhecida como o "metro do arquivo". A partir da 17ª Conferência Geral de pesos e medidas, realizada em 1983, o metro passou a ser definido como sendo comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/ de segundo.

25 Medidas Lineares No sistema internacional de medidas os múltiplos e submúltiplos do metro mais utilizados são: quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam), decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

26 Medidas Lineares Padrão EUA e Inglaterra Padrão antigo do Brasil

27 Medida Superficial No SI a unidade fundamental é o metro quadrado (m²). Os múltiplos e submúltiplos mais empregados são representados por: Km²; hm²; dam²; dm², mm² Para quantificar áreas rurais emprega-se ainda o hectare (ha), sendo: 1 ha = 1 hm² = m² que tem com submúltiplos 1 Are (a) = 10-2 ha = 100 m² e 1 Centiare (ca) = 10-4 ha = 1 m². Portanto, 84,3562 ha, por exemplo, pode ser lido como 84 hectares, 35 ares e 62 centiares.

28 Medida Superficial No passado, que se pode verificar em escrituras antigas, adotou-se no Brasil as unidades de superfície mostradas na Tabela abaixo. Ainda hoje é comum falar-se em Alqueire, unidade que deve ser substituída por hectare ou unidades do SI.

29 Medida Volumétrica No SI a unidade fundamental é o metro cúbico, m³. Para volume menor emprega-se também o litro (l ou L), 1 litro = 1 dm³ Na Resolução de 1988 do CONMETRO o litro está classificado como Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrição de Prazo.

30 Medida Angular No SI a unidade fundamental para ângulo plano é o Radiano (rad). É o ângulo central subtendido por um arco de círculo de comprimento igual ao do respectivo raio sendo, portanto, uma circunferência dividida em 2π partes iguais. Vale lembrar que π (PI) é o valor da razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Esse número irracional é expresso por uma dizima infinita não periódica, que nos dias de hoje, com a ajuda dos computadores, já é possível determinar com centenas de milhões de casa decimais. π = 3,

31 Medida Angular Relação entre medidas angulares e lineares

32 Medida Angular Sistema Sexagesimal Neste sistema, a circunferência é divida em 360 partes iguais, sendo cada parte denominada grau ( ). Um grau é dividido em 60 partes iguais denominadas, minutos ( ). Um minuto é dividido em 60 partes iguais denominadas, segundos ( ). 2π = 360 ; Na Resolução de 1988 do CONMETRO, grau, minuto e segundos estão classificadas como Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrição de Prazo.

33 Medida Angular Sistema Centesimal Este sistema não está definido no SI. Nele a circunferência é divida em 400 partes iguais,sendo cada parte denominada GRADO (g). Um grado é dividido em 100 partes iguais denominadas, MINUTOS ( ) ou centígrados. Um minuto é dividido em 100 partes iguais denominadas, SEGUNDOS ( ) ou decimiligrados. Sendo 380,2345 grados = 380 grados, 23 centígrados e 45 decimiligrados ou 380g

34 Referências Bibliográficas Alguns trechos deste documento são retirados, na integra, de: Norma ABNT NBR Execução de Levantamentos Topográficos; Notas de aula de EAM310, Prof. Dalto Domingos Rodrigues UFV; Fundamentos de Topografia, Luis Augusto Koenig Veiga, Maria Aparecida Z. Zanetti, Pedro Luis Faggion UFPR; Curso de Topografia, 5ª edição, 1977, Lélis Espartel; Notas de Aula de Topografia Básica Prof. Fernando Alves Pinto e Afonso dos Santos UFV; Notas de Aula de Geomática I Profª Msc. Suelem Farias Martins UFU Monte Carmelo;