EAC-082: Geodésia Física. Aula 09 Equação Fundamental da Geodésia Física

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1 EAC-082: Geodésia Física Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges Aula 09 Equação Fundamental da Geodésia Física 1 1/14

2 Potencial Anômalo 1. Definição A denominação de Terra Normal refere-se a um elipsóide de revolução ao qual se atribui a mesma massa da Terra real M (incluindo a atmosfera), com distribuição homogênea e a mesma velocidade de rotação ω da terra real, onde seu centro é coincidente com o centro de massa da Terra. Uma condição importante é a imposição de que sua superfície limitante deve ser equipotencial (à superfície do geóide, é imposta a condição de possuir geopotencial W, numericamente, igual ao esferopotencial U da superfície da Terra normal). 2/14

3 Potencial Anômalo A diferença entre os potenciais produzidos, num mesmo ponto, pela Terra Real e pela Terra Normal, denomina-se de Potencial Anômalo ou Potencial Perturbador. Matematicamente pode ser considerado como o potencial gerado pelas massas anômalas que transformam a Terra Normal em Terra Real. A soma das massas anômalas, positivas e negativas, é nula; uma vez que admite-se que a Terra Normal e a Terra Real possuem massas iguais, variando apenas a distribuição de massa. 3/14

4 Potencial Anômalo O potencial produzido pela Terra Verdadeira é denominado de Geopotencial (W), e o potencial produzido pela Terra Normal é denominado de Esferopotencial (U). A diferença do Geopotencial e do Esferopotencial, em um mesmo ponto, é denominado de Potencial Anômalo ou Potencial Perturbador. T = W U O Potencial Centrífugo (Q), é o potencial devido à rotação da Terra, apresentando o mesmo valor para a Terra Real e Terra Normal. Assim, ao efetuar a operação W U, temse que a influência do potencial centrífugo no potencial anômalo é nula. Isto significa que o Potencial Anômalo é uma função harmônica no exterior das massas atraentes. 4/14

5 Potencial Anômalo A condição para uma função f ser harmônica é: Δ f = 0 T = 2 T x T y T z 2 = 0 Sendo o potencial anômalo uma função harmônica, implica dizer que este pode ser desenvolvido em uma série de harmônicos esféricos. 5/14

6 Anomalia da Gravidade (Δg) Os três parâmetros básicos do campo da gravidade que são usados na Geodésia Física são: a anomalia da gravidade, o desvio da vertical, e a altura geoidal. Anomalia da Gravidade (Δg) A anomalia da gravidade (Δg) é definida como o escalar cujo valor é igual a diferença entre a magnitude da gravidade do ponto, reduzido ao geóide, e a gravidade normal do ponto (no elipsóide). g = g P γ P 6/14

7 Anomalia da Gravidade (Δg) A separação entre as superfícies do elipsóide e a do geóide é denominado de ondulação do geóide ou altitude geoidal, que pode ser calculada utilizando-se das Fórmulas de Stokes (em função da anomalia da gravidade). 7/14

8 Anomalia da Gravidade (Δg) O ângulo em P, formado pela direção do vetor gravidade g P e γ P constitui o desvio da vertical, que é definido pela componente meridiana ξ e pela componente primeiro vertical η, já vistos anteriormente. ξ = φ a φ η = λ a λ cos φ 8/14

9 Distúrbio da Gravidade g O distúrbio da gravidade g é definido como a diferença entre os módulos do vetor gravidade g P e o módulo da gravidade normal γ P no mesmo ponto. O vetor distúrbio da gravidade: g = g P γ P g = g P γ P g = grad W U = grad T g = W n + U n W n + U n = T n Lembrando que a altitude ortométrica é contada ao longo da vertical: g = Τ T H 9/14

10 Equação fundamental da Geodésia Física A Equação Fundamental da Geodésia Física relaciona a anomalia da gravidade, que resulta de medidas efetuadas sobre a superfície física da Terra, com o potencial anômalo que é desconhecido. Considerando a diferença de potencial entre os esferopes passantes por P e P, podemos escrever: U 0 U = ഥN γҧ U = U 0 ഥN γҧ Introduzindo este valor na equação T = W U, aplicada a um ponto P do geóide, temos: T P = W P U P = W 0 U T P = W 0 U 0 + ഥN γҧ 10/14

11 Equação fundamental da Geodésia Física Derivando a equação anterior e aproximando a vertical com a normal, temos: T n = W 0 n U 0 γ + N n n T γ = g + γ + N n n g γ = g = N γ n T n Que é uma das formas da chamada equação fundamental da Geodésia Física. Esta equação nos revela que a anomalia da gravidade g é consequência de: 11/14

12 Equação fundamental da Geodésia Física 1. Do fato de g referir-se a um ponto do geoide (o g medido na superfície da terra deve ser reduzido ao geoide) e de γ ser calculado no elipsoide, é o que mostra a primeira parcela denominada de termo de BRUNS. 2. Da atração das massas anômalas O esferopotencial U por referir-se a um modelo conhecido geometricamente e fisicamente, pode ser facilmente calculado com precisão, o mesmo não ocorrendo com o geopotencial W. Impondo-se a injunção W P = U P ou W 0 = U 0, ou seja, assumir que o geopotencial sobre o geoide é igual ao esferopotencial sobre o elipsoide. Nestas condições a equação T P = W 0 U 0 + ഥN γҧ reduz-se a: 12/14

13 Equação fundamental da Geodésia Física T = ഥN γҧ Expressão conhecida como equação de BRUNS, que permite relacionar a ondulação do geoide com o potencial perturbador. Introduzindo a equação acima na equação g γ = g = N γ T n n obtemos a equação fundamental da Geodésia Física sob outra forma: g = T γ γ n T n Observando a equação g γ = g quando o valor de N for zero o valor da anomalia da gravidade se confunde com o distúrbio da gravidade. 13/14

14 Referências Bibliográficas GEMAEL, C. Introdução à geodésia física Ed. da UFPR, Curitiba, HEISKANEN, W. A., MORITZ, H. Physical Geodesy. San Francisco: W.H. Freeman and Company, /14