As fórmulas para a determinação da gravidade teórica (ou normal) sobre a terra normal são do tipo

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1 . A FÓRMULA INTERNACIONAL DA GRAVIDADE NORMAL As fórmulas para a determinação da gravidade teórica (ou normal) sobre a terra normal são do tipo γ = γ e β sin 2 φ + termos de ordem superior [.] Com precisão de primeira ordem (α 2 = 0), por exemplo, temos γ = γ e + β sin 2 φ [.2] Com precisão de segunda ordem (α 3 = 0) γ = γ e + β sin 2 φ + β sin 2 2φ [.3] Onde γ e γ e são respectivamente a gravidade normal no paralelo φ e no equador; os coeficientes β e β dependem das dimensões do elipsóide de referência e da velocidade angular. Vários autores propuseram valores numéricos para os três parâmetros que aparecem na fórmula [.3] resultando diversas fórmulas da gravidade normal, cujo nome é o do autor proponente. Não é difícil perceber o inconveniente da multiplicidade de tais fórmulas. Por isso, na Assembléia Geral da U.G.G.I., reunida em Praga em 927, foi debatido, mas sem que houvesse uma solução, o problema da adoção de uma fórmula internacional da gravidade normal visando uma uniformização nas aplicações da fórmula. Na Assembléia seguinte, realizada em Estocolmo, 930, foi adotada oficialmente a fórmula sugerida por Cassinis, fundamentada nos trabalhos de Pizzitti, Somigliana, Silva, Heiskanen etc e aplicável ao elipsóide internacional de Hayford (924), onde a = m α = 297 Para γ e foi escolhido o valor calculado por Heiskanen em 928 com base em anomalias isostáticas da gravidade, resultando γ 30 = 978, , sin 2 φ sin 2 2φ [.4] onde γ vem expresso na mesma unidade que γ e, no caso o Gal. Os valores extremos equador γ e = 978,049 pólos γ p = 983,22 revelam uma discrepância de 572 mgal. Em 967, decorrido quase meio século, após a adoção da fórmula internacional da gravidade, a U.G.G.I. recomendou o Sistema Geodésico de Referência 967 cujas constantes básicas já foram apresentadas e cujos valores derivados são as seguintes: α = 298,247

2 α = 0, ω = rad/s m = 0, γ e = ,846 mgal γ p = ,739 mgal β = 0, β = 0, do que resultou, para a fórmula internacional da gravidade 967 γ 67 = 97803,8 + 0, sin 2 φ 0, sin 2 2φ [.5] Muitas vezes é usada a fórmula que não utiliza o dobro da latitude e é mais precisa γ = 97803, , sin 2 φ + 0, sin 4 φ [.6] 2. CÁLCULO DOS PARÂMETROS DE UMA FÓRMULA DA GRAVIDADE NORMAL Conforme foi visto na seção anterior, a fórmula da gravidade normal é do tipo γ = γ e + β sin 2 φ + β sin 2 2φ [2.] A obtenção de uma fórmula da gravidade normal consiste na determinação dos parâmetros γ e, β e β. Isto pode ser feito com a utilização de valores observados da gravidade em pontos distintos. Em princípio, para uma terra ideal, esses parâmetros podem ser obtidos a partir de três pontos. Entretanto, devido à irregular distribuição de massas, essa fórmula, conforme já sabemos, é apenas uma aproximação. Assim, são necessárias observações abundantes para a resolução de um sistema de equações de condição pelo método dos mínimos quadrados. Encontrados os valores numéricos desses coeficientes, teremos uma fórmula da gravidade normal, que representa uma lei de distribuição da gravidade que mais se aproxima da real. Vamos admitir que com base em um grande número de dados gravimétricos, geograficamente bem distribuídos, pretendemos introduzir correções para melhor ajustar os valores de γ e e β na fórmula [2.]. A fórmula que procuramos é do tipo γ = γ e + x + β + y sin 2 φ + β sin 2 2φ [2.2] Subtraindo desta a antiga [2.], resulta dγ = γ γ = γ e + x + β + y sin 2 φ + β sin 2 2φ +

3 γ e + β sin 2 φ + β sin 2 2φ Com precisão de primeira ordem, temos dγ = x + yγ e sin 2 φ [2.3] A anomalia da gravidade antes da correção proposta seria Δg = g 0 γ [2.4] e após Δg = g 0 γ + dγ que com [2.3] toma a forma Δg = x yγ e sin 2 φ + Δg [2.5] Assimilando a anomalia Δg a um resíduo v = x + yγ e sin 2 φ Δg [2.6] Obtemos as equações de observação nas quais as anomalias medidas Δg representam os termos independentes. As correções x e y são obtidas minimizando as somas dos quadrados dos resíduos. Em princípio, a cada estação gravimétrica onde se processou a determinação de uma anomalia da gravidade corresponde uma equação de observação do tipo [2.6]. A aplicação do método dos mínimos quadrados conduz a duas equações normais a a x + a b y + a = 0 b b y + b = 0 [2.7] Foi este, em linhas gerais, o método utilizado por Heiskanen em 938 para deduzir correções aos parâmetros da fórmula internacional. Isto foi feito considerando a superfície terrestre dividida em quadrados de e substituindo as estações gravimétricas de cada um por uma única estação hipotética, central, de anomalia igual à média das anomalias isostáticas do quadrado. Por razões de ordem prática, Heiskanen incorporou a contaste γ e = à incógnita y ficando com equações de observação da forma x + y sin 2 φ i + Δg i = v i às quais correspondem às equações normais nx + y sin 2 φ i + Δg i = 0 y sin 4 φ i + Δg i sin 2 φ i = 0 Valendo-se de 59 quadrados e de anomalias isostáticas, Heiskanen chegou às seguintes equações normais

4 59x + 496y 676,6 = 0 239y 394 = 0 e das quais obteve x = 3.92 mgal y = 3,94 mgal Introduzindo essas correções na fórmula internacional 930 resulta γ = 978, , sin 2 φ 0, sin 2 2φ 3. GRADIENTE NORMAL DA GRAVIDADE NORMAL O gradiente normal da gravidade normal / exprime a taxa de variação de γ ao longo da normal. Admitindo em primeira aproximação a terra normal como esférica, homogênea e ainda destituída de movimento de rotação, podemos escrever γ GM R 2 [3.] A derivada normal será = = 2GM = 2γ R R 3 R [3.2] Adotando os valores médios γ = 98 Gal e R = cm, resulta R = 0,3080 mgal/m [3.3] Uma expressão mais rigorosa pode ser obtida da fórmula de Bruns aplicada a pontos exteriores a terra normal, o que nos dá = 2γC 2ω2 [3.4] A forma da terra normal é a de um elipsóide de revolução o que nos permite escrever C = 2 M + N [3.5] onde M e N são os raios de curvatura de duas seções normais, perpendiculares entre si, que são respectivamente a seção meridiana M = a e 2 q 3/2 [3.6] E a seção primeiro vertical

5 N = aq /2 [3.7] com q = e 2 sin 2 φ De modo que 3 + = q M N 2+q 2 e 2 a e 2 = 3 2 e 2 sin 2 φ+ + 2 e 2 sin 2 φ+ e 2 a( e 2 ) = 2 e 2 2e 2 sin 2 φ a( e 2 ) [3.8] Levando esta expressão em [3.5] e a expressão aí obtida em [3.4] e fazendo m = aω 2 /γ e, obtemos = 2γ 2 e 2 2e 2 sin 2 φ 2a( e 2 ) 2mγ e a [3.9] Com precisão de primeira ordem (α 2 = 0), chega-se a = 2γ e 2 ( + a 2 e2 sin 2 φ + m) Ou em função do achatamento α = e 2 = 2γ a + α 2α sin 2 φ + m [3.0] Para o elipsóide de referência 967 a = m α = 0, m = 0, resulta: a) no equador γ = 97803,846 = 0,30877 mgal/m b) no paralelo 45 γ = 98069,047 = 0,30856 mgal/m c) nos pólos γ = 98327,720 = 0,30834 mgal/m De modo que o valor médio será = 0,3086 mgal/m [3.] sobre a superfície da terra normal.