Histogramas. 12 de Fevereiro de 2015

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1 Apêndice B Histogramas Uma situação comum no laboratório e na vida real é a de se ter uma grande quantidade de dados e deles termos que extrair uma série de informações. Encontramos essa situação em pesquisas de opinião, na classificação de produtos industrializados, na caracterização de uma população, no resultado de uma colisão entre partículas subatômicas e em muitos outros exemplos. Sabemos intuitivamente que ter um conjunto grande de dados é bom, mas o que fazer com eles? Neste Apêndice vamos ver uma análise estatística bem básica, que você poderá usar em qualquer área em que for atuar, baseada na construção de um histograma e do cálculo da média e do desvio padrão. Vamos ver um exemplo dessa construção aplicando-a a um conjunto de medidas do período de um pêndulo simples. Suponha que um aluno realizou o conjunto de N = 100 medidas relacionadas na tabela B.1. T(s) T(s) T(s) T(s) T(s) T(s) T(s) T(s) T(s) T(s) 2,7572 2,7779 2,8753 2,2747 2,7934 2,7524 2,5963 2,7656 3,0376 3,3122 2,2496 2,4900 3,2255 2,7082 3,1866 1,9964 2,4286 2,8684 3,3925 2,7289 1,9154 2,3902 3,1911 2,7354 2,6591 2,7175 3,0865 2,5922 2,9031 2,6265 3,0182 3,1634 2,6027 3,1995 1,7365 3,2880 3,2444 2,5051 2,9800 2,5974 2,4493 2,7289 2,4364 2,8538 2,8431 2,9940 2,5028 2,5058 3,7085 3,3272 3,0343 2,6654 2,7709 2,4196 2,6359 2,9121 2,6573 2,8597 2,7957 2,7995 2,6050 2,5288 2,6348 2,7352 2,3866 2,6251 2,3283 3,3204 3,4361 2,7763 3,4252 3,1978 2,2228 2,1029 3,4341 3,5109 2,7653 2,7191 2,3851 2,4484 2,7237 2,7091 2,6622 3,4943 2,7243 2,4018 2,3138 3,1882 2,6864 2,8487 3,2349 2,9837 2,4838 3,0688 2,6266 3,6141 2,5203 2,9692 2,4440 3,1977 Tabela B.1: Conjunto de dados resultantes de uma experiência de medição do período de um pêndulo simples, feitas com um cronômetro de precisão s. Examinando a tabela diretamente é difícil obter alguma informação relevante sobre a experiência. Começamos a análise definindo duas grandezas importantes, a média e o desvio padrão. Partimos de um conjunto de N medições de uma determinada grandeza, levando a um certo conjunto de dados que escrevemos como {x 1, x 2... x N }. Os valores x i são indenpendentes 31

2 32 APÊNDICE B. HISTOGRAMAS entre si, ou seja, uma medição não afeta a outra. valor médio ou valor esperado É simplesmente a média aritmética dos x i. x = 1 N N x i. (B.1) O valor médio representa um valor típico da grandeza medida. desvio padrão A caracterização do conjunto de medidas não está completa se informamos apenas o valor médio. Devemos informar também sobre a uniformidade das medidas. Para tal definimos a flutuação δx i x i x de cada medida em relação ao valor médio. Por definição temos que N N N δx i = (x i x) = x i xn = 0. (B.2) Isto significa que as N flutuações não são idependentes entre si. Temos um vínculo, uma relação entre elas. Usando esta relação, a equação (B.2), podemos sempre expressar uma das medidas em função das outras N 1. Por exemplo: N = 2 δx 1 = δx 2 N = 3 Se δx 1 e δx 2 são independentes, δx 3 = (δx 1 + δx 2 ). Assim, temos N 1 flutuações independentes. Definimos o desvio padrão σ P em termos das flutuações como δx 2 = σ P = 1 N δx 2 i = 1 N (x i x) 2. (B.3) N 1 N 1 Note que a divisão por N 1 faz com que o desvio padrão fique indefinido quando N = 1, como deveria. Quanto maior o valor de σ P, mais diferentes entre si são as medidas. Podemos ter conjuntos de medidas com o mesmo valor médio, mas diferentes desvios padrões, e vice-versa. A grandeza σ 2 P recebe o nome de variância. Aqui cabe uma observação importante. Neste contexto de tratamento estatístico de dados experimentais, associamos o desvio padrão à incerteza da medida, mas ele pode ser, por si só uma grandeza a ser medida, como no exemplo a seguir. Exemplo B.1 A rugosidade de uma superfície é uma grandeza extremamente importante. Processos de corrosão e de deposição são estudados lenvando-se em conta essa grandeza. Na figura abaixo vemos o que seria o perfil de uma superfície irregular. Para determinar sua rugosidade, definimos um referencial qualquer e medimos a altura da superfície a intervalos constantes, obtendo um conjunto de dados {h 1, h 2,......h N }. O desvio padrão em relação a h dá a rugosidade da superfície.

3 33 Para os dados da tabela B.1 obtemos T = 1 N N T i = 2,8 s σ P = 1 N ( Ti T ) 2 = 0,4 s N 1 Agora vamos à construção do histograma, que é um tipo especial de gráfico em que a frequência relativa, ou o número de ocorrências de valores medidos, é expressa em função do valor das medidas. Os dados são classificados em intervalos, permitindo um entendimento muito melhor de como os valores estão distribuídos. A construção de um histograma envolve os seguintes passos: 1. Obter de uma tabela com N valores da grandeza que se quer estudar. Quanto maior o valor de N, mais significativo será o resultado. 2. Determinar os valores mínimo e máximo de x. 3. Definir o tamanho do intervalo x que será usado para classificar os dados. Em inglês este intervalo recebe o nome de bin que significa caixa ou compartimento. Este termo também é muito usado em portugues, no contexto de construção de histograma. Normalmente usa-se a regra de que o número n de bins deve ser da ordem de N, tendo a variação total, calcula-se x. Em geral tomamos como extremos valores x min e x max, tais que todos os dados sejam incluídos ao mesmo tempo que a escala de leitura para o gráfico é fácil leitura. 4. Classificar os dados pelos intervalos ou bins. Definir N i como o número de dados entre x i e x i + x. Este processo recebe o nome de binning. 5. Opcional: dividir a contagem em cada intervalo, N i, pelo número total de dados, definindo a frequência relativa F i = N i /N. 6. Traçar o gráfico de F i, ou de N i, em função de x i, que é o valor central de cada bin.

4 34 APÊNDICE B. HISTOGRAMAS Note que usando a divisão por N explicada no item 5 temos a normalização n n F i = N i N = 1 N n N i = 1, (B.4) onde n é o número de bins. Vamos agora construir o histograma seguindo esses passos, usando os dados da tabela B.1. Começamos verificando os valores extremos. O menor valor de período na tabela é T min = 1,7365 s, e o maior, T max = 3, 7085 s. Para simplificar vamos fazer o gráfico entre 1,72 s e 3,72 s, com 10 bins de largura T = 0,2 s. Contamos quantas medidas caem em cada intervalo e dividimos por N =100 cada contagem. Com isso obtemos os valores de F i. Para a construção do gráfico associamos as frequências F i ao centro de cada bin e aí colocamos uma coluna de altura proporcional a F i, obtendo o histograma de frequências mostrado na figura B.1. T(s) Figura B.1: Histograma relativo aos dados da tabela B.1. Observando o histograma da figura B.1 notamos a concentração de valores em torno de T = T=2,8 s. Quando os valores do período se afastam do valor médio, o número de ocorrências cai bastante. Agora vamos ver como a forma do histograma se altera se um número maior de medidas é utilizado na sua construção. Suponha que numa experiência equivalente, sejam tomadas N = 1000 medidas do período, sendo os valores mínimo e máximo 1,585 s e 3,993 s, respectivamente. Em vez de mostrar a tabela com os N = 1000 valores, vamos apresentar o resultado da contagem por bins. Construimos o histograma com bins de largura 0,25 s, indo de 1,55 a 4,05 s. A tabela B.2 mostra o resultado da classificação dos dados nesses bins. F i é a frequência relativa, ou seja, o número de dados no intervalo centrado no valor indicado na primeira coluna, dividido por N. Por exemplo, havia quatro valores entre 1,550 s e 1,800 s, correspondento ao primeiro

5 35 bin (i = 1). Temos F 1 = = 0,004 T 1 = 1, ,800 2 = 1,6750 s Os valores de F na tabela B.2 podem ser considerados como estimativas para as probabilidades i T i (s) F i 1 1,6750 0, ,9250 0, ,1750 0, ,4250 0, ,6750 0, ,9250 0, ,1750 0, ,4250 0, ,6750 0, ,9250 0,007 Tabela B.2: Valores de frequência relativa para a construção de um histograma referente a um conjunto de N = 1000 medidas de período de um pêndulo simples. O histograma referente a esta tabela está na figura B.2. 2 P Figura B.2: Histograma relativo a um conjunto de dados similar aos da tabela B.1, mas com N = 1000 valores, classificados em bins de largura T = 0,25 s. No gráfico estão indicados o valor médio, T = 2,8 s e o desvio padrão σ P = 0,4 s. Comparando este gráfico com o da figura B.1, podemos observar que é muito mais simétrico, e apresenta menos flutuações, consequência do aumento do número de medidas. A região compreendida entre T σ P e T + σ P concentra a maior parte do dados. T(s) de se obter uma medida de período nos intervalos considerados. Já que o valor de F dá a fração

6 36 APÊNDICE B. HISTOGRAMAS de medidas no intervalo, vamos fazer a aproximação 1 P i = F i = N i N A partir da tabela B.2 podemos calcular a probabilidade de se ter uma medida na região central do histograma, entre 2,300 s e 3,300 s. Usando a regra da adição de probabilidades, somamos as probabilidades referentes a todos os bins dentro dos limite definidos. Por exemplo, P(2,300 < T < 3,300) = P(2,300 < T < 2,550) + P(2,550 < T < 2,800) + P(2,800 < T < 3,050) + P(3,050 < T < 3,300) 1 É uma aproximação porque temos um número finito de medidas. A definição experimental de probabilidade é P i = lim F N i i = lim N N N. Na prática N será sempre finito, por isso devemos usar o maior número possível de medidas

7 37 Se usamos a frequência relativa de cada intervalo como sendo a probabilidade de encontrar a medida no intervalo, temos que 4 P(2,300 < T < 3,300) = P i i=4 4 = F i i=4 = 0, , , ,148 = 0,79 ou 79%. Finalmente, observamos que a forma geral do histograma também depende do valor de T considerado para a classificação dos dados. Por exemplo, a figura B.3 mostra um histograma construído com T = 0,20 s sobre o mesmo conjunto de dados da figura B.2. Como o intervalo considerado na contagem é menor, o número de dados em cada intervalo também será menor, por isso os valores de frequência são todos menores. Com um número finito de dados, se diminuímos muito o tamanho do intervalo haverá vários sem nenhum dado, vários com um só dado, etc. Quando o número de dados for muito grande, N, poderemos definir intervalos infinitesimais que conterão um número significativo de dados. Com isso será possível construir um histograma cuja forma será independente do tamanho do intervalo. Nesse limite estaremos partindo para uma descrição contínua. Veremos mais sobre este assunto no Apêndice D T(s) Figura B.3: Histograma relativo ao mesmo conjunto de dados da figura B.2, mas com T = 0,20 s. Note como a forma geral foi alterada, e em especial os valores de frequência. Construção de histogramas no QtiPlot A maior parte dos programas de gráfico já vêm com diversas ferramentas para a análise estatística de dados. Uma dessas ferramentas é exatamente a de construção de histogramas.

8 38 APÊNDICE B. HISTOGRAMAS O ponto de partida é uma tabela contendo os dados que queremos analisar, numa única coluna. Selecione essa coluna e escolha: Analysis-Statistics on Columns. O resultado será uma tabela como a mostrada na figura B.4 Nela podemos identificar o valor médio (Mean), o Figura B.4: Resultado da análise estatística dos dados de período. desvio padrão (StandardDev), o valor máximo (Max) e o valor mínimo (Min). Tendo os valores extremos e o número de dados, divida o intervalo Max-Min por um número de intervalos, ou bins, que seja aproximadamente N. Veja quanto vai valer cada bin. Novamente selecione a coluna com os dados e escolha agora Analysis-Frequency Count. Aparecerá uma janela pedindo os valores máximo e mínimo e o binsize, que é o tamanho do intervalo de classificação. Verifique se os valores indicados são adequados. Edite os valores, se for o caso. Feito isso, escolha Apply. O resultado será a tabela mostrada na figura B.5. Para Figura B.5: Tabela gerada pela análise estatística dos dados originais e respectivo histograma. nossa análise apenas as duas primeira colunas interessam. A primeira (BinCentr) tem a posição do centro de cada intervalo e a segunda (Count), o número de dados no intervalo. Selecione a coluna Count e depois escolha Plot-Columns para obter o gráfico como o mostrado na figura.

9 62 APÊNDICE B. HISTOGRAMAS

10 Bibliografia [1] B P Flannery, W H Press, S A Teukolsky, and W Vetterling. Numerical recipes in C. University of Cambridge, New York, [2] Paul L Meyer. Probabilidade: aplicações à estatística. In Probabilidade: aplicações à estatística. Livro Técnico,