DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL COM O USO DO MÉTODO ASTROGEODÉSICO NUMA PEQUENA ÁREA DE VIÇOSA MG

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1 p. 001 de 005 DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL COM O USO DO MÉTODO ASTROGEODÉSICO NUMA PEQUENA ÁREA DE VIÇOSA MG FLAVIO HENRIQUE ELOI ANTONIO SIMÕES SILVA Universidade Federal de Viçosa- UFV Departamento de Engenharia Civil, Viçosa, MG asimoes@ufv.br RESUMO - Este trabalho mostra o resultado da determinação do desvio da vertical pelo método astrogeodésico e a partir deste o cálculo das diferenças de ondulações do geóide para pontos numa pequena área em Viçosa MG. Essa diferença de ondulação do geóide pode ser calculada por uma integral proposta por Helmert. Essa metodologia foi aplicada neste trabalho, tendo como alvo o Campus da Universidade Federal de Viçosa (UFV), onde foi lançada uma série de pontos locados em linhas meridianas. Através da comparação das coordenadas astronômicas, e as coordenadas geodésicas, obtidas por receptores GPS, calculou-se o desvio da vertical para todos os pontos, a partir do qual se obteve a ondulação geoidal ABSTRACT - This paper shows the result of determining the vertical deviation by astrogeodetic method and from this calculating the differences of the geoid undulations for a set of stations in a small area in Viçosa MG. This difference of geoid undulations can be calculated by an integration developed by Helmert. This methodology was applied in this work at the Universidade Federal de Viçosa (UFV), where has been implemented a set of points on the meridian lines. By comparing the astronomical coordinates, and geodetic coordinates obtained by GPS receivers, the deviation from vertical has been calculated for every station, from which it was obtained geoid undulations 1 INTRODUÇÃO A Geodésia Física em sua maior parte preocupa-se com o estudo da gravidade e suas aplicações geodésicas. O geóide é uma superfície equipotencial do campo gravitacional da Terra que se aproxima do nível médio dos mares não perturbado. O conhecimento do geóide é muito importante para diversas áreas, mas não é muito simples sua determinação podendo-se dizer que é uma tarefa das mais difíceis das Ciências Geodésicas. Conhecer o geóide seria estabelecer um modelo matemático que melhor represente a Terra considerando as forças físicas que nela atuam. O modelo matematico que lembra a Terra é o elipsóide, que não considera as forças físicas que nela atuam. Podemos dizer que existem três diferentes técnicas para se determinar o geóide: gravimetria, processo astrogeodésico e o GPS/nivelamento. O conhecimento do geoide para engenharia é importante porque é a partir dele que se calcula a altura geoidal ou ondulação do geoide, que é uma das parcelas para a transformação da altitude geométrica em altitude ortométrica (neste trabalho, e para fins praticos, altitude ortométrica é a distância do geoide ao ponto de interesse na superficie fisica) Este trabalho pretende mostrar a determinação dos desvios da vertical e as alturas geoidais através do processo astrogeodésico, chamado assim porque utiliza observações astronômicas e determinações geodésicas. Através deste processo, serão obtidos os desvios da vertical que propiciarão o cálculo das distâncias entre o geóide e o elipsóide, as ondulações geoidais N. MATERIAIS E MÉTODOS Antes de entrar no método aplicado acreditamos que algumas definições básicas são necessárias. Os receptores GPS nos fornecem de forma rápida e precisa a altitude geométrica. Porém para transformar essa altitude em ortométrica, necessita-se conhecer o que chamamos de ondulação geoidal ou altura geoidal. A ondulação geoidal ou altura geoidal é a distância entre a superfície geoidal e a superfície elipsoidal, contada sobre a normal (SILVA, 00).

2 Av. Sta Rita Pça. Cristóvão Lopes de Car valho A v. Sta Rita Rua Vereador CEMITÉRIO DOM V IÇOSO JoséValentino Rua do Pintinho da Cruz Pto 3 Pto Pto 1 E N T RA D A D E S E R V IÇ O C E R C A BLOCO B ( CCA) E N T R A D A D E SE R VI ÇO E N T RA D A P R I NC I P AL E N T R A D A P RI NC I P A L E N TR A D A D E S E RV I Ç O BLO CO A (CCB) E N T R A D A D E SE R VI Ç O Pto 17 ALMOXARIFADO DA QUÍMIC A SALAS F G E D H I C 9 33 J 8 34 B Pto 0 Pto PINTURA E VIDRAÇARIA A 10 x Pto Pto 1 Pto 11 Pto 10 Po nto C6 X= 06,838 Y= 591,151 Z= 657,1 59 Pto 15 Pto 14 P ont of IS X=0 9,1 0 Y=61 8,60 5 Z =658,165 Pto 09 Pto 08 Pto 07 P on to MAT X=1 1,7 39 Y=7 38,3 98 Z =6 1,91 7 III Simpósio Brasileiro de Ciências Geodésicas e Tecnologias da Geoinformação Recife - PE, 7-30 de Julho de 010 p. 00 de005 A distância entre as duas superfícies é aproximadamente a diferença das altitudes ortométrica e geométrica, porque as retas suportes dessas altitudes não são colineares. Assim, a ondulação do geóide pode ser calculada da seguinte forma da equação 9. As coordenadas astronômicas, latitude (φ) e longitude (λ), chamadas também de coordenadas geográficas, são determinadas via astronomia de campo, estando desta forma vinculada a um sistema terrestre instantâneo, ou seja, um sistema onde seu eixo de rotação varia com o tempo. O sistema terrestre é um sistema geocêntrico, onde o eixo Z i coincide com o eixo de rotação terrestre, sendo orientado positivamente para o pólo norte; o eixo X i, no plano equatorial, passa pela interseção do plano meridiano de Greenwich com o plano equatorial e o eixo Y i dá a orientação dextrógira ao sistema (OLIVEIRA, 004). As coordenadas geodésicas curvilíneas são relacionadas à figura matemática conhecida como elipsóide de revolução. A latitude geodésica e a longitude geodésica materializam pontos na superfície terrestre e próximos a ela em relação ao elipsóide. A latitude geodésica é o ângulo que a normal ao elipsóide, que passa pelo ponto forma com a sua projeção sobre o plano equatorial do elipsóide. A longitude geodésica pode ser definida como, o ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico considerado como origem (λ=0) e pelo meridiano geodésico do ponto. Segundo GEMAEL (1999), o meridiano geodésico de um ponto tem o seu plano formado, definido, pela reta normal ao elipsóide que passa pelo ponto e pelo eixo de rotação médio. Para a obtenção do desvio da vertical pelo método astrogeodésico, precisa-se obter as coordenadas geodésicas (latitude e longitude). Neste trabalho estas foram obtidas através de observações GPS. As coordenadas astronômicas foram obtidas por visadas à estrelas, usando o método da passagem pelo meridiano. Foram lançados 9 pontos em 3 linhas. Estas linhas são todas linhas meridianas. A opção por linhas meridianas é para usar somente uma componente do desvio da vertical. Com isso evitou-se a determinação das longitudes astronômicas dos pontos. Na figura 1 podemos observar a região onde linhas e pontos estão materializados. É uma pequena área dentro do Campus da UFV. Trav. Dr. Felício Brandi Rua Padre Serafim Rua Gomes Barbosa Av. P.H. Rolfs DEPARTAMENT O DE FITOT ECNIA Figura 1 Área onde se localizam os pontos. Para auxiliar na elaboração dos programas de observações para a astronomia obtiveram-se as coordenadas dos pontos iniciais de cada linha. As 3 linhas serão aqui denominadas de Cent, Cape e Casa. A linha Cent tem dois pontos, a linha Cape quatro pontos e a linha Casa 3 pontos, perfazendo os 9 pontos utilizados no trabalho. Com o conhecimento das coordenadas do ponto inicial de cada linha determinou-se o meridiano do lugar em cada um desses pontos para locação dos demais pontos. Para as observações astronômicas, foi usado teodolito de leitura direta de 1 munido de ocular de cotovelo e todos acessórios pertinentes a observações noturnas. Observe-se que ao longo do trabalho evitou-se lidar com o tempo, e para isso utilizou-se para a determinação da latitude o método da passagem meridiana do astro. Sabe-se que na passagem pelo meridiano o astro terá o seu ângulo horário nulo. Assim tem-se para estrelas que culminam ao norte do zênite: CENTRAL TELEFÔNICA (1) n Z n Para estrelas que culminam ao sul do zênite: () s Z s Desta forma, obtém-se o valor da latitude astronômica do ponto, valendo lembrar que, tanto Z S quanto Z N estão corrigidos de todos os fatores causadores de erro na leitura zenital. Após determinação das coordenadas astronômicas dos pontos, estes foram ocupados com receptores GPS para obtenção das coordenadas geodésicas. Utilizou-se uma ocupação com rastreio de aproximadamente quarenta e cinco minutos em cada ponto. Para obtenção do desvio da vertical, o método astrogeodésico compara as coordenadas astronômicas com as geodésicas, a partir do qual se obtém as componentes do desvio da vertical, uma vez que o desvio da vertical é um vetor. As componentes do desvio da vertical podem ser definidas como mostram as equações 3 e 4.

3 p. 003 de005 Em que = a g (3) = ( a g ) cos g (4) a é a latitude astronômica g é a latitude geodésica g é longitude geodésica a é a longitude astronômica As componentes assim calculadas são válidas para o desvio da vertical definido por Helmert (Torge, 1991) pelo fato do ponto está na superfície física da Terra e não exatamente no geóide. Sabe-se que a partir de suas componentes o desvio da vertical ou inclinação do geóide é calculado segundo a fórmula: (5) Devido o fato das linhas propositadamente terem sido locadas em linhas meridianas, para o presente trabalho elimina-se a componente primeiro vertical, ficando o desvio da vertical igual a componente meridiana. (6) Calculados todos os desvios da vertical, calculou-se a diferença de ondulação geoidal entre dois pontos consecutivos, percorrendo todo alinhamento, o que proporciona o conhecimento da diferença de ondulação entre todos os pontos. Existem diversas formas e métodos para obtenção da ondulação do geóide. Helmert desenvolveu a integração dos desvios da vertical ao longo de um alinhamento (Torge, 1991) o que se chama de nivelamento astronômico. Desta forma a diferença de ondulação geoidal entre dois pontos consecutivos pode ser calculada pela equação 7. N N1 ds (7) Sendo ds incrementos de distância entre os pontos em estudo, ou seja, o espaçamento entre os pontos 1 e do alinhamento; e o desvio da vertical ao longo do alinhamento. Porém a equação 7 é resolvida utilizando-se de uma aproximação proposta por Helmert. Desta forma ao utilizar esta aproximação obtemos a ondulação da seguinte forma. n i i N si i 1 1 Em que: n Número de estações que compõem o alinhamento estudado. s Distância entre as duas estações consecutivas. (8) δ i Desvio da vertical da estação i. Note que se obtém neste método apenas a diferença de ondulação geoidal N, e não a ondulação geoidal diretamente. Assim é necessário que se tenha conhecimento da ondulação geoidal N num dos pontos para se calcular as ondulações geoidais dos demais pontos. Neste caso para se obter a ondulação geoidal de um dos pontos optou-se por fazer o transporte de uma altitude ortométrica conhecida até os pontos iniciais das linhas meridianas. Como referencial altimétrico, utilizou-se a RN3307F da Rede Altimétrica do SGB situada no pátio do LEA (Laboratório de Engenharia de Agrimensura). Esta RN tem altitude ortométrica de 656,358 metros. O transporte da altitude foi feito através de nivelamento geométrico de precisão com todos os procedimentos normais num levantamento desse tipo. Conhecidas as altitudes ortométricas dos pontos iniciais, fez-se rastreamento com receptores GPS nesses pontos para se obter as altitudes geométricas. Desta forma determinou-se a ondulação geoidal para os pontos iniciais dos alinhamentos através da altitude geométrica obtida com GPS, e a altitude ortométrica obtida através do nivelamento geométrico. Para isso usouse a equação a seguir: N h H (9) A partir da ondulação geoidal do primeiro ponto, obteve-se a ondulação geoidal dos demais, somando-se a ondulação inicial à diferença de ondulação calculada pela equação 8. 3 RESULTADOS Seguem os resultados obtidos com a metodologia e equações anteriores. A tabela 1 que mostra a ondulação geoidal dos primeiros pontos de cada linha foi obtida com a equação 9. Tabela 1 - Altitudes e ondulação do geóide, em metros, dos pontos iniciais. Identificação do Ponto Altitude Ortométrica Altitude Geométrica Ondulação do Geóide Cent 01 66, ,8-6,158 Cape , ,30-6,83 Casa , ,405-6,90 A tabela mostra as latitudes astronômicas obtidas através das equações 1 e. Note-se que a obtenção das latitudes astronômicas juntamente com a obtenção das

4 p. 004 de005 altitudes ortométricas é a parte mais penosa deste trabalho. Tabela - Valores da latitude astronômica dos pontos e seus desvios padrão. Ponto Latitude Astronômica Desvio Padrão Cent ,80 1,0 Cent ,390 1,10 Cape ,864,0 Cape ,350 1,57 Cape ,540,31 Cape ,90 1,77 Casa ,730,10 Casa ,70,0 Casa ,0 1,85 A tabela 3 mostra os desvios da vertical para os pontos das linhas meridianas que foram calculados usando as equações 3 e 6. Tabela 3 Desvio da vertical para os pontos das linhas meridianas. Ponto Desvio da Vertical Desvio Padrão Cent 01 1,0 0,97 Cent 0,1 1,01 Casa 01 7,1 1,3 Casa 0 4,48 0,98 Casa 03,6 1,08 Cape 01 9,53 1,33 Cape 0 0,45 1,30 Cape 03 1,94 1,03 Cape 04 1,8 1,14 Percebe-se que houve uma diferença significativa do desvio da vertical entre os pontos. Os pontos Cent 01 e Cape 01 têm desvio da vertical de 1,0 e 9,53 respectivamente. Como a região de estudo é pequena, e aparentemente não há distúrbios de massa acreditava-se em valores mais homogêneos. Na tabela 4 é mostrado a diferença de ondulação geoidal entre os pontos da rede cujos valores forma obtidos com a equação 8. Tabela 4 - Diferença de ondulação geoidal entre os pontos. DIFERENÇA DE ONDULAÇÃO DO GEÓIDE Ponto Ponto N (m) Cent 01 Cent 0 0,0007 Cape 01 Cape 0 0,000 Cape 0 Cape 03 0,0004 Cape 03 Cape 04 0,0013 Casa 01 Casa 0 0,0015 Casa 0 Casa 03 0, CONCLUSÕES Diante dos resultados encontrados neste trabalho, verifica-se como já comentado que há uma aparente inconsistência nos valores dos desvios da vertical. Há valores altos se comparados aos demais nos pontos Cape 01 e Casa 01. Estes pontos coincidentemente são os pontos iniciais das linhas. Há que se verificar com novas observações no entorno desses pontos se estes valores se confirmam. Como era de se esperar as diferenças de ondulação do geóide que envolvem estes ponto são também as maiores. O questão ainda não solucionada nesta abordagem que é simples de executa, é a falta de um ponto de validação que não seja dependente de modelos geoidais. Há de se fazer outros testes no mesmo local e em locais que se conheçam os desvios da vertical para que se ganhe confiança no método. Neste sentido estão para ser feitos outros levantamentos em diferentes e nesta mesma área. REFERÊNCIAS GEMAEL C.. Introdução à Geodésia Física. Curitiba: Curitiba: Editora da UFPR, p. HEISKANEN W. A.; MORITZ H. Physical Geodesy. Áustria: Ed. Institute of Physical Geodesy,1979. LI, J. & SIDERIS, M.G. Marine gravity and geoid determination by optimal combination of satellite altimetry and shipborne gravimetry data. Berlin: Springer- Verlag, Journal of Geodesy, v. 71, p , LOBIANCO, M.C.B., BLITZKOW, D., MATOS, A.C.O.C., O Novo Modelo Geoidal para o Brasil, IV Colóquio Brasileiro de Ciências Geodésicas - IV CBCG, Curitiba, 005.

5 p. 005 de005 MENESES, J. L. S. Nivelamento Astrogeodésico: Importância e Aplicabilidade no Brasil. Dissertação de mestrado apresentada ao curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas na Universidade Federal do Paraná, OLIVEIRA, L. C. ; OLIVEIRA, B. P.. A Influência do Desvio da Vertical e da Ondulação Geoidal no Processamento das Redes Geodésicas. In: Claudia Pereira Krueger; Jorge Antonio Silva Centeno. (Org.). Série em Ciências Geodésicas - Cartografia: Instrumento de Renovação Política e Inovação Tecnológica. Curitiba: UFPR, 004, v. 4, p SANTOS, M. S. T; SÁ, N. C. Metodologia para Determinação de Altitude Ortométrica com uso do GPS e de Modelo Geoidal Gravimétrico. COBRAC 006 Congresso Brasileiro de Cadastro Técnico Multifinalitário UFSC Florianópolis 15 a 19 de Outubro 006. SILVA, M. A., Obtenção de um Modelo Geoidal para São Paulo, Dissertação de mestrado, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, 00. TORGE, W. Geodesy. a Ed. Berlin: de Gruyter, 1991