Mecânica experimental Lima Junior, P.; Silva, M.T.X.; Silveira, F.L.

Transcrição

1 ATIVIDADE 02 Texto de Apoio I Desvio Padrão da Média e Intervalos de Confiança Variabilidade e desvio padrão Quando realizamos uma série de observações do mesmo mensurando sob as mesmas condições, podemos obter resultados ligeiramente diferentes. Essa variabilidade dos resultados das medições é chamada flutuação estatística e, em geral, é resultado de fatores que não conseguimos (ou não desejamos) controlar experimentalmente. Em um processo de medição cuidadoso, vários fatores podem ser controlados ou eliminados, porém, como esse controle é imperfeito, o resultado da medição sempre possuirá alguma variabilidade. Há vários tipos de desvio padrão, mas todos eles são medidas da variabilidade de séries de medidas. Quanto maior for a flutuação estatística, maior será o desvio padrão. O desvio padrão é uma medida da variabilidade de uma série de medidas. Média e redução da variabilidade A presença de flutuações estatísticas está relacionada à precisão da medição. Medidas mais precisas flutuam menos e medidas menos precisas flutuam mais. Assim, a variabilidade está relacionada à confiabilidade. Medidas muito variáveis são medidas pouco confiáveis. Uma maneira de melhorar a confiabilidade do resultado de uma medição é tomar por resultado a média de uma série de observações. Esse procedimento reduz as flutuações estatísticas, pois a média de uma série de observações experimentais sempre flutua menos que as observações individuais. O resultado de uma medição será, preferencialmente, a média de uma série de observações. A Figura 1 representa três séries de observações imprecisas. Como é possível perceber, individualmente, as observações estão distantes do centro do alvo (que representa o valor verdadeiro do mensurando). Entretanto, se calcularmos a média dessas observações, perceberemos que essas médias são muito mais confiáveis (estão mais próximas ao valor verdadeiro e flutuam menos) que as observações individuais. Figura 1. Representa três séries de observações imprecisas. Ilustra como é possível obter medidas confiáveis de observações com muita flutuação estatística. Os tipos de desvio padrão O desvio padrão é uma maneira prática e objetiva de determinar a variabilidade do resultado de uma medição. Ou seja, ele é uma maneira de avaliar a confiabilidade de medidas experimentais. O desvio padrão pode ser considerado uma medida da confiabilidade de medidas. A rigor, existem três tipos de desvio padrão: (1) desvio padrão populacional ; (2) desvio padrão amostral ; e (3) desvio padrão da média. A primeira vista eles são muito parecidos, mas possuem fórmulas e significados bem diferentes. Todos eles são medidas de variabilidade, ou seja, quanto maior for a flutuação estatística do resultado da medição, maior será o desvio padrão associado a essa medição. O Quadro 1 apresenta os três tipos de desvio padrão e seus respectivos significados e expressões matemáticas. 30

2 Quadro 1. Desvios padrão de grandezas experimentais e seus significados 1. Nome Definição Matemática Significado Desvio padrão populacional Determina a variabilidade de uma população de medidas. No caso de grandezas Físicas, uma população de N medidas experimentais possuirá uma quantidade virtualmente infinita de elementos. Desvio padrão amostral Desvio padrão da média Estima a o desvio padrão populacional a partir de uma quantidade finita de dados experimentais. Estima a variabilidade da média de uma amostra de medidas. Em um laboratório, o resultado da medição será, preferencialmente, a média de uma série de observações individuais. Assim, o desvio padrão da média é o mais útil dos três, pois ele permite estimar a confiabilidade da média. Quanto mais confiável for a média, menor será seu desvio padrão. O desvio padrão da média estima a confiabilidade da média de uma série de observações. Calculando o desvio padrão da média O cálculo do desvio padrão da média envolve uma soma de desvios ao quadrado que pode assustar um pouco à primeira vista mas é extremamente simples e pode ser realizado automaticamente nas melhores calculadoras científicas. Considere, por exemplo, que dois grupos de estudantes mediram diversas vezes o período de um pêndulo simples sob as mesmas condições. A Tabela 1 representa os procedimentos para o cálculo do desvio padrão da média. Tabela 1. Calculando o desvio padrão da média de uma série de observações. Medidas individuais Desvio Desvio ao quadrado 1,46 s 0,176 s 0, s 2 1,21 s -0,074 s 0, s 2 1,28 s -0,004 s 0, s 2 1,38 s 0,096 s 0, s 2 1,09 s -0,194 s 0, s 2 Média. s Soma dos Desvios. Soma dos desvios ao quadrado. Em primeiro lugar, obtém-se a média. A partir da média, calculam-se os desvios e os desvios ao quadrado para cada observação. A soma dos desvios ao quadrado é o ingrediente principal do desvio padrão. Observe que, enquanto a soma dos desvios é sempre aproximadamente igual a zero, a soma dos desvios ao quadrado é sempre positiva e é tão maior quanto mais dispersas estiverem as medidas individuais. Por isso, a soma dos desvios ao quadrado é tão importante e aparece em todos os três tipos de desvio padrão. 1 As equações foram escritas respeitando a seguinte notação: é o desvio padrão populacional, é o desvio padrão amostral e é o desvio padrão da média; é o valor verdadeiro do mensurando (obtido a partir da média de uma quantidade infinita de observações) e é a média da série de observações em que é o número de elementos. 31

3 Enfim, para obter o desvio padrão da média, dividimos a soma dos desvios ao quadrado por e tiramos a raiz quadrada do resultado 2. Assim, obtém-se o desvio padrão da média. Desvios padrão e a quantidade de observações Como já foi destacado, para calcular desvios padrão é preciso obter primeiro a soma de desvios ao quadrado em que é o número de observações realizadas. O desvio padrão amostral. Como o desvio padrão amostral é obtido dividindo essa soma de termos por, o resultado obtido será relativamente independente da quantidade de observações realizadas. Isso ocorre porque, ao aumentar a quantidade de observações, o denominador e a quantidade de termos da soma aumentam de maneira aproximadamente proporcional. Por isso, o desvio padrão amostral é relativamente independente da quantidade de observações realizadas. O desvio padrão da média. Em contrapartida, como o desvio padrão da média é igual ao desvio padrão amostral dividido por (Quadro 1), decorre que o desvio padrão da média diminuirá com o aumento da quantidade de observações. Para perceber melhor essa dependência entre o desvio padrão da média e a quantidade de observações realizadas, considere novamente os estudantes que estão tentando estimar o período de um pêndulo simples realizando observações repetidas. Esses estudantes mediram a média do período e o desvio padrão dessa média para 5, 10 e 20 observações. Os resultados podem ser obtidos na Tabela 2. Tabela 2. Médias e desvios padrão das médias em uma série de observações de período. Número de observações Média Desvio Padrão da Média 5 1,29 s 0,06 s 10 1,28 s 0,04 s 20 1,29 s 0,02 s Observe que o desvio padrão possui a mesma unidade da grandeza que está sendo medida. Como o desvio padrão da média é uma medida da confiabilidade da média, podemos perceber que, ao aumentar o número de medidas, são obtidas médias cada vez mais confiáveis (como era de se esperar!). Desvio padrão da média e intervalos de confiança Tendo em mãos a média e o desvio padrão da média de uma série de observações, estamos a um passo de calcular intervalos que, muito provavelmente, contém o valor verdadeiro do mensurando. Tais intervalos são chamados intervalos de confiança. A forma geral de um intervalo de confiança é, em que é chamado fator de abrangência. A probabilidade com que o valor verdadeiro pertence a esse intervalo é chamada nível de confiança e geralmente é representada pela letra p. A saber, existem fortes razões teóricas para assumirmos que, na maioria das situações experimentais, os fatores de abrangência se relacionam com os níveis de confiança conforme apresentado na Tabela Apresentar as razões da divisão por n(n-1) foge um pouco ao escopo deste texto, mas, se você está curioso, sinta-se encorajado a perguntar a algum professor ou colega mais experiente. 3 A correspondência entre níveis de confiança p e fatores de abrangência k apresentada na Tabela 3 vale para as medidas de grandezas físicas cujas flutuações estatísticas podem ser bem descritas por uma distribuição normal de probabilidades. A discussão do que é uma distribuição normal de probabilidades foge um pouco ao escopo deste texto de apoio. Por agora, é fundamental destacar que, segundo um teorema da estatística (teorema do limite central), quando há muitas fontes de erro em uma medida (ou seja, quando há muitos fatores produzindo flutuações estatísticas) sem que uma fonte predomine sobre a outra, a distribuição estatística do resultado da medição será aproximadamente normal. Enfim, na maioria das situações práticas, vale a Tabela 3. 32

4 Quadro 2. Intervalo de confiança, fator de abrangência e nível de confiança Conceito Significado Representação Matemática Intervalo de Confiança Fator de Abrangência Nível de confiança Intervalo em que a probabilidade de ocorrência do valor verdadeiro é conhecida. Fator que multiplica do desvio padrão (da média) na composição do intervalo de confiança. Probabilidade com que se pode afirmar que o valor verdadeiro pertence ao intervalo. p Tabela 3. Intervalos e níveis de confiança. Nível de Confiança Fator de Abrangência 68,27 % 1 90 % 1, % 1,960 95,45 % 2 99 % 2,576 99,73 % 3 Tendo essa informação em mãos, é possível elaborar intervalos de confiança a partir das médias e seus respectivos desvios padrão. Por exemplo, considere um grupo de estudantes que, buscando determinar o alcance de um projétil lançado 5 vezes sob as mesmas condições, tenha obtido: co. Com esse resultado de medição, podemos construir diversos intervalos de confiança. Assim, nesse exemplo, todas as afirmações a seguir serão igualmente corretas: 1. O alcance verdadeiro pertence ao intervalo de a com probabilidade igual a aproximadamente. 2. O valor verdadeiro do alcance deve estar entre e ao nível de confiança. 3. Sendo o valor verdadeiro do alcance, com. Assim, como se percebe, mesmo não sendo possível determinar exatamente o valor verdadeiro de grandezas experimentais, é possível construir intervalos em que a probabilidade de ocorrência dos valores verdadeiros é conhecida. Observe que esses intervalos são tão estreitos quanto menor for o desvio padrão utilizado para construí-los. Assim, medidas mais precisas produzirão intervalos mais precisos. Enfim, essa é a maneira mais correta de expressar o resultado de uma medição. Considerações finais Após essa discussão, reconhecemos que é possível aumentar a confiabilidade de medidas experimentais aumentando a quantidade de observações e considerando a média dessas observações como resultado da medição. Além disso, destacamos que o desvio padrão da média é uma medida da confiabilidade desse resultado de medição. Enfim, com este texto aprendemos a: (1) calcular e interpretar o desvio padrão da média de uma série de observações; (2) obter intervalos de confiança a partir da média e do desvio padrão dessa média. 33

5 Como citar este texto de apoio LIMA JUNIOR, P.; SILVA, M.T.X.; SILVEIRA, F.L. Desvio padrão da média e intervalos de confiança. In:. Mecânica experimental: Subsídios para o laboratório didático. Porto Alegre: IF-UFRGS, p No prelo. Disponível em < Acesso em 15 mar