CONDENSADO DE BOSE-EINSTEIN Andrés Rodriguez Salas Instituto de Fisica de São Carlos Junio 20 de 2011

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1 Resumo CONDENSADO DE BOSE-EINSTEIN Andrés Rodriguez Salas Instituto de Fisica de São Carlos Junio 20 de 20 O tratamento estadistico dado por Bose ao problema da radiação do corpo negro, tratando a luz como corpusculos solidos que não interagem, abriou a puerta para Einstein prever um determinado comportamento da materia em uma certa densidade temperatura critica conhecido por Condensado de Bose- Einstein. Este estado da materia só ocorre em temperaturas proximas do zero absoluto. O comportamento das partículas que compõem o condensado é bosônicos que nos diz que todas as particulas que estão no estado fundamental, não é se comportar como particulas individuais, mas como un tudo, onde o comprimento de onda de Brolie é a caracteristica ao sistema do tamanho do Codensado. 2 Instrodução No início dos anos 20, Satyendra Nath Bose estudou o problema da radiação do corpo negro, que trata de radiação como um gas não interativas monoatômico, e començou derivar a ecuação de Planck. Para isso, ele usou a estatistica, posteriormente, nomeado em honra do seu nome "estatistica de Bose". As ideas de Einstein generalizou as debose, não só para a quanta de luz, mas também as para particulas que têm massa. O Einstein foi capaz de deduzir a equação de estado para um gás ideal quântico. Neste ponto, Albert Einstein advertiu a existência de um novo estado da materia, considerando que, além de uma densidade critica as particulas se condensam no estado fundamental. Esse fenomenno puramente quântico é conhecido como o Condesado de Bose Einstein. Os sistemas quânticos com partículas idênticas são bem relevantes, devido ao conceito de que as partículas quânticas não tem um caminho de nido, mas há uma função de onda associada a partícula que representa a probabilidade de encontrar a partícula em um ponto, se zermos uma medição. Portanto, a existência de duas partículas similares, desde que estejam perto, as partículas seriam indistinguíveis. Portanto, as partículas, formam um sistema em que as permutações de suas funções de onda são iguais. Em outras palavras, teríamos o sistema composto da seguinte forma j (! r ) 2 (! r 2 ) + 2 (! r ) (! r 2 )j 2 = j 2 (! r ) (! r 2 ) + (! r ) 2 (! r 2 )j 2 ()

2 Agora uma do sistema preparada como segue: j (! r ) 2 (! r 2 ) 2 (! r ) (! r 2 )j 2 = j 2 (! r ) (! r 2 ) (! r ) 2 (! r 2 )j 2 (2) Equação mostra que a introdução de um estado trocados no sistema não há mudança. Em contraste com a equação 2 da função de onda tem a ordem inversa, ou seja, tem o estado oposto. para estas equações é dito que o primeiro é simétrico eo antisimétrico segundo. Agora podemos relacionar o conceito de simetria com o spin da partícula da seguinte forma, os sistemas de partículas com número de spin inteiro deve ter funções de onda simétrica, que são regidos pela estatísticas de Bose. O número de partículas com spin fracionario têm consequências assimétrica em que essas partículas são regidos pelas Fermi-Dirac. As primeiras são conhecidas Bósons e as segundas como férmions. No caso das partículas condensadas apresentmr Spin inteiro, assim não cumprem com o princípio de exclusão de Pauli e sigem as estatísticas de Bose. 3 Geração de um Condensado de Bose-Einstein 3. Estatistica quântica O condendo Bose-Einstein é um estado da matéria que ocorre em determinadas condições. Estes são principalmente de baixa densidade e uma temperatura próxima do zero absoluto, ou seja, o mínimo de energia cinética. A razão que o condensado está presente em baixas temperaturas (T_ baixa temperatura crítica {c}) é o potencial químico ser equivalente à energia do sistema. Entre a faixa de zero absoluto e a temperatura crítica, as ocupações no átomo não pode mudar eo nível de energia fundamental começa a ser povoada macroscopicamente. Isto signi ca que para sistemas bosônicos, eles começam a se condensar no mesmo nível estado quântico ou o mínimo de energia possível. As estatísticas de Bose-Einstein, temos: hn k i = (3) e (" k ) donde = =k B T, : potencial químico. Olhando para a equação 3, que tende ao in nito quando o argumeto da exponencial é zero e cai rapidamente, isso ocorre porque os bósons não atendem o princípio de exclusão de Pauli pode, portanto, muitos deles no mesmo estado quântico. Ahara se o sistema tem N número de partículas, a soma deve corresponder agora, N = X (4) e (" k ) k Agora, suponha que a diferença de estados consecutivos é tão pequena que a soma se torna uma integral. Antes, é conveniente separar em dois montantes, o 2

3 número total de partículas em N = N 0 + N 0,onde N 0 é o número de partículas encontradas no estado fundamental e N 0 representam as partículas encontradas nos demais estados. Para o caso de partículas que estão em diferentes estados, para a integral fundamental tem a forma de: N 0 = Z 0 (E) = 2V g s h 3 onde g s é a degenerecencia. (E) de (5) e (E ) (2m) 3=2 p E Realizando o tratamento matemático necessário podemos expressar o número de partículas como N max = g s (2m) 3=2 V h 3 g 3=2 (z) (k B T ) 3=2 (6) O número máximo de partículas que pode ser encontrados em uma dada temperatura. Agora podemos de nir a temperatura crítica para a qual o potencial químico é nulo. T 0 = 3:3 }2 2=3 g m 3=2 2=3 N (7) V Se dividirmos a expressão 6 pelo número total de partículas, temos: 3=2 N max T N = (8) T 0 Analisando-se a equação 8 pedemos dizer que para a temperaturasuperor à temperatura crítica o número de ocupação do estado fundamental é baixo, isso quer dizer que os Bosons estão nos niveis excitados. Para temperaturas abaixo da temperatura crítica os bósons estão no estado fundamental, porque a população nos estado excitado tende a zero. Agora vemos que o número total de partículas no estado fundamental é: " # 3=2 T N 0 = N (9) Quando a temperatura T! 0;a população do estado fundamental será igual ao número total de partículas. isto signi ca que o estado fundamental será totalmente preenchida por bósons o que faz o sistema ser chamado de Bose- Einstein. Neste estado de temperaturas baixas corresponde a uma sobreposição das funções de onda de partículas que estão ocupando o estado fundamental. A T 0 3

4 Figure : Fração relativa de atomos bosonicos em um condensado em fução da razão entre a temperatura e a teperatura critica. Figure 2: Distribução de velocidades de Maxwell-Bolmann em um Condensado de Bose Einstein 87 Rb. 4

5 Figure 3: a) Atomos ultrafrios, b) Atomos em estados de Condensado de Bose Einstein. posição dos átomos não está de nido, as partículas param de se comportar como pontos localizados, aqui nós temos que pensar a idéia de pacotes associados com a partícula. Como a temperatura tende a zero os aumentos pacote de tamanho e sobreposições com a onda associada à partícula seguinte, quando a temperatura tende tem zero assim que faz a distribuição de velocidades, como mostrado na Figura 2, em que mostra a distribuição de Maxwell-Boltzmann velocidades em diferentes temperaturas criticas. O comprimento de onda de De Broglie associado, cresce rapidamente como mostrado na equação 0, em função da temperatura DB = ~ (2mk B T ) =2 (0) Pacotes de diferentes átomos que estão no estado fundamental irão se fundir em um pacote chamado superátomos macroscópica. Aqui os átomos não são partículas com compartimentos individuais mas omençam ser parte de tudo, e esses átomos exibem comportamento das partículas em um estado de coerência quântica macroscópica. Na gura três pode ser visto em parte como os átomos estão dispostos a temperaturas muito baixas, na segunda parte nota-se que nesta fase desapar e o sistema tornar um superátomo único. 4 Conclusões Estatísticas de Bose é válido não só para os fótons como Bose originalmente tinha postuladado, mas também para as partículas que têm massa e átomos, esta estatística mostra uma fantantisco resultado que Albert Einstein previu, a equação deduzida por Einstein para um gás atômica foi experimentalmentee comprovada em 995 pelo físico alemão Wolfgang Ketterle (com o qual ele recebeu o Prêmio Nobel de Física em 200), este fenômeno é chamado de Condensado de Bose-Einstein. Abaixo de uma temperatura crítica, os átomos começam 5

6 a mudar seu comportamento de partículas para mostrar a sua natureza ondulatória e o fato de que esses átomos se comportam como bósons faz com que o número total de átomos do sistema tende para o estado fundamental mínimo de energia, ( podemos dizer que o potencial químico é equivalente à energia do sistema). O comprimento de onda de De Brglie dos átomos se sobrepõem e formam um grande comprimento de onda Broli que caracteriza o sistema como um todo. Neste ponto, os átomos começam a se comportar como o próprio sistema mostram a consistência Quântico. 5 Referencias [] Landau, Lifschitz. Vol. 5. Statistical physics part. Vol 5, pp [2] Ph. W. Courteille,, V. S. Bagnato and V. I. Yukalov. Bose Einstein Condensation of Trapped Atomic Gases. Laser Physics, Vol., No. 6, 200, pp Laser Physics, Vol., No. 6, 200, pp [3] Vanderlei Salvador Bagnato. A Condensacão de Bose-Einstein. Revista Brasileira de Ensino de F sica, vol. 9, no., mar co, 997 6