Termoestatística. Microestados e Macroestados: Postulado Fundamental da Física Estatística

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1 Termoestatística Microestados e Macroestados: Postulado Fundamental da Física Estatística

2 Estrutura Microscópica dos Sólidos: O Modelo de Einstein Cada átomo é representado por três osciladores (movimento 3D), cuja energia é dada por: E = n x ~! 0 + n y ~! 0 + n z ~! 0 =(n x + n y + n z )~! 0 = N~! 0 Admite-se, no modelo, que o movimento de cada átomo é independente dos demais.

3 Questão de Fundamental Importância: Se um sólido tem q quanta de energia e N osciladores (3 por átomo), de quantas maneiras é possível distribuir a energia entre os osciladores? Representação de q círculos (para q quanta) e (N 1) separadores (para N osciladores), ilustrada para o caso q = 4 e N = 3: (1, 2, 1) (3, 0, 1) Número de arranjos não redundantes: = no. de permutacoes dos objetos no. de permutacoes redundantes = (q+n 1)! q!(n 1)!

4 Exercício: De quantas maneiras podemos distribuir: (a) 4 quanta entre 3 osciladores (1 átomo)? (b) 8 quanta entre 3 osciladores (1 átomo)? (c) 4 quanta entre 6 osciladores (2 átomos)? (d) 8 quanta entre 6 osciladores (2 átomos)?

5 (a) 4 quanta entre 3 osciladores (1 átomo)? q =4 e N =3: = (q+n 1)! q!(n 1)! = 6! 4! 2! = 15 (b) 8 quanta entre 3 osciladores (1 átomo)? = 10! 8! 2! = 45 (c) 4 quanta entre 6 osciladores (2 átomos)? = 9! 4! 5! = 126 (d) 8 quanta entre 6 osciladores (2 átomos)? = 13! 8! 5! = 1287 Importante: Note que Ω cresce significativamente quando aumentamos q ou N, e ainda mais significativamente quando aumentamos q e N mantendo a densidade de energia qħω 0 /N constante.

6 Microestados e Macroestados A termodinâmica se ocupa de sistemas macroscópicos dotados de estrutura microscópica. Por exemplo, tanto o gás ideal monoatômico quanto o sólido de Einstein (macroscópicos) são constituídos por átomos (microscópicos). Os estados dos sistemas macroscópicos, denominados macroestados, se caracterizam por condições impostas às macrovariáveis. Por exemplo: sólido com energia interna constante, U = qħω 0. Em geral, há vários arranjos das partículas microscópicas que constituem o sistema, denominados microestados, compatíveis com um dado macroestado. Por exemplo, há vários arranjos possíveis para os quanta de energia entre os átomos de um sólido compatíveis com uma dada energia interna U = qħω 0.

7 Exemplo: Distribuição da Energia. Se definimos 1 átomo como sistema de interesse, a condição U = 4ħω 0 (energia interna igual a 4 quanta) define um macroestado do átomo. Todos os arranjos dos quanta entre os osciladores compatíveis com esta condição são microestados. Ω =15 microestados

8 Exemplo: Distribuição das Posições. Vamos construir um modelo simplificado de gás ideal, denominado gás de rede. O volume do gás é subdividido em N células (sítios), onde podem ser acomodadas q partículas não interagentes. Como as partículas colidem elasticamente quando muito próximas (no gás ideal), admite-se que duas partículas não podem ocupar o mesmo sítio (no gás de rede). Definimos um macroestado do gás de rede com N sítios especificando seu número de partículas (q). Todas as combinações (permitidas) para as q partículas nos N sítios definem microestados: Exemplos de microestados para N = 9 e q = 2. = N! q!(n = 36 q)!

9 Postulado (Suposição) Fundamental da Física Estatística: Em um sistema isolado (com macroestado bem definido), todos os microestados compatíveis são equiprováveis (mesma probabilidade). Como devo entender a afirmação são equiprováveis? De duas maneiras (equivalentes segundo a Hipótese Ergódica): 1) Suponha que tenhamos um sistema isolado com N microestados (compatíveis com o macroestado). Se realizarmos um grande número de observações do sistema anotando a distribuição dos microestados, iremos obter o mesmo número de ocorrências para cada microestado. 2) Suponha que tenhamos um grande número de sistemas idênticos (no mesmo macroestado). Se realizarmos uma observação em cada um deles, iremos obter o mesmo número de ocorrências para cada microestado.

10 Átomos em Contato Térmico: Exercício: Considere um sistema formado por dois átomos iguais (6 osciladores com o mesmo ω 0 ) em contato térmico. O sistema tem q = 4 quanta de energia, de forma que q 1 + q 2 = 4, onde q 1 ħω 0 é a energia do átomo 1 e q 2 ħω 0 a energia do átomo 2. Preencha a tabela abaixo, expressando o número de microestados do átomo 1 (Ω 1 ), do átomo 2 (Ω 2 ) e do sistema de dois átomos (Ω), em função de q 1. q 1 q 2 q 1 q 2 Ω 1 Ω 2 Ω

11 Átomos em Contato Térmico: Perceba que, embora mais restritivas do que a condição q = 4, as condições q 1 = 0, 1, 2, 3 e 4, as quais estabelecem a divisão da energia entre os sub-sistemas (átomos 1 e 2), ainda caracterizam macroestados, ao quais correspondem Ω microestados. Notando que N 1 =N 2 =3 (número de osciladores em cada átomo), e N = N 1 +N 2 = 6, teremos: q 1 q 2 Ω 1 Ω 2 Ω OBS1: q 2 = q q 1 1 = (q 1+N 1 1)! q 1!(N 1 1)! 2 = (q 2+N 2 1)! q 2!(N 2 1)! = 1 2 OBS2: As distribuições de q 1 quanta no átomo 1 e q 2 quanta no átomo 2 são eventos independentes. Portanto, Ω = Ω 1 Ω 2.

12 Átomos em Contato Térmico: Os dados da tabela podem ser lançados em um histograma (esquerda). Sendo o número total de microestados Ω tot = (q+n 1)!/[q! (N 1)!] = 9!/[4!5!] = 126, poderemos também expressar o resultado em termos da probabilidades dos macroestados, P(q 1 ) = Ω 1 Ω 2 /Ω tot (direita). Ω = Ω 1 Ω P = Ω 1 Ω 2 /Ω tot q 1 q 1

13 Ω = Ω 1 Ω 2 q 1 O macroestado mais provável é q 1 = 2. Isso não significa que um microestado compatível com q 1 = 2 seja mais provável que um microestado compatível com q 1 = 0, 1 ou 3 (os microestados são equiprováveis! com probabilidade 1/126 neste exemplo). O macroestado q 1 = 2 é mais provável por ser compatível com o maior número de microestados (Ω = 36). Como veremos, o macroestado mais provável em geral corresponde à distribuição equitativa da energia por oscilador, q 1 /N 1 q 2 /N 2.