Probabilidade e valores expectáveis Uma partícula numa caixa uni-dimensional encontra-se no primeiro estado excitado (n = 2).

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1 Probabilidade e valores epectáveis Uma partícula numa caia uni-dimensional encontra-se no primeiro estado ecitado (n 2). a) Desenhe ψ 2 () em função de para este estado. b) Qual é o valor epectável <> para este estado? 1

2 Uma partícula numa caia uni-dimensional encontra-se no primeiro estado ecitado (n 2). a) Desenhe ψ 2 () em função de para este estado. b) Qual é o valor epectável <> para este estado? a) Função de onda para uma partícula ψ no seu 1ª estado ecitado: 2 ( ) 2 sen ( ) sen ψ ψ 2 () 2

3 Uma partícula numa caia uni-dimensional encontra-se no primeiro estado ecitado (n 2). a) Desenhe ψ 2 () em função de para este estado. b) Qual é o valor epectável <> para este estado? b) Mudança de variáveis: 2 2 π π 2 π Ψ d sen d θ, θ dθ d, d dθ 2 θ sen θ dθ θ sen θ dθ θ θ θ θ 2 π 2 2 π sen2 cos Tabela de integrais 3

4 Probabilidade e valores epectáveis Uma partícula numa caia unidimensional encontra-se no estado fundamental (n 1). A caia está na região. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada nas seguintes regiões: a) < < /2 ; b) < < /3 ; c) < < 3/4. 4

5 Uma partícula numa caia unidimensional encontra-se no estado fundamental (n 1). A caia está na região. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada nas seguintes regiões: a) < < /2 ; b) < < /3 ; c) < < 3/4. ψ 1 ( ) 2 π sen P ab b 2 Ψ a d P() para < < d: Mudança de variáveis: d 2 2 π P sen d θ π P ( ) sen θ dθ sen θdθ π π P ' 2 θ sen2θ π 2 4 θ θ, π π dθ d, d dθ π (tabela de integrais) 5

6 Uma partícula numa caia unidimensional encontra-se no estado fundamental (n 1). A caia está na região. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada nas seguintes regiões: a) < < /2 ; b) < < /3 ; c) < < 3/4. P 2 θ sen2θ π 2 4 a) b) π 2 2 θ sen2θ 2 π P( ),5 π 2 4 π 4 π 3 2 θ sen2θ 2 π sen P ( ),196 π 2 4 π π c) 3π 4 2 θ sen2θ 2 3π sen6π P ( ),99 π π

7 Probabilidade e valores epectáveis Uma partícula numa caia unidimensional encontra-se no primeiro estado ecitado (n 2). A caia está na região. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada nas seguintes regiões: a) < < /2 ; b) < < /3 ; c) < < 3/4. 7

8 Uma partícula numa caia unidimensional encontra-se no primeiro estado ecitado (n 2). A caia está na região. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada nas seguintes regiões: a) < < /2 ; b) < < /3 ; c) < < 3/4. 2 ( ) ψ 2 sen P() para < < d: Mudança de variáveis: P ab d b 2 Ψ 2 2 P sen d θ P ( ) sen θ dθ sen θdθ π P 1 θ sen2θ π 2 4 a d (tabela de integrais) θ, dθ d, d dθ 8

9 Uma partícula numa caia unidimensional encontra-se no primeiro estado ecitado (n 2). A caia está na região. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada nas seguintes regiões: a) < < /2 ; b) < < /3 ; c) < < 3/4. a) b) P 1 θ sen2θ π θ sen2θ 1 π P( ),5 π 2 4 π 2 π 3 1 θ sen2θ 1 sen 4π P( ),42 π 2 4 π π c) 3π 2 1 θ sen2θ 1 3π P( ),75 π 2 4 π 4 9

10 Refleão e transmissão de ondas electrónicas: barreira de potencial Uma partícula de massa m com número de onda k 1 desloca-se ao longo do eio ( < ). A energia potencial da partícula é zero para < e U > para >. Mostre que, se a energia total for E α U, com α 1, o número de onda k 2 na região > é dado por α 1 k2 k1 α 1

11 Uma partícula de massa m com número de onda k 1 desloca-se ao longo do eio (<). A energia potencial da partícula é zero para < e U > para >. Mostre que, se a energia total for E α U, com α 1, o número de onda k 2 na região > é dado por k2 ( α 1 α ) k1. Conservação da energia (região >): h 2 k 2 2 2m +U αu k 2 2mU α 1 h Conservação da energia (região <): k 2 k 1 2mU h ( α 1) 2mαU h h 2 k 1 2 2m + αu k 1 2mαU h α 1 α k α 1 k α

12 Refleão e transmissão de ondas electrónicas: barreira de potencial Um electrão de energia 1 ev incide numa barreira de potencial com 25 ev de altura e 1 nm de largura. 2 e α a) Use T para determinar a probabilidade de o electrão atravessar a barreira. b) Repita para a largura de,1 nm. m e c kev hc 1, MeV m 12

13 Um electrão de energia 1 ev incide numa barreira de potencial com 25 ev de altura e 1 nm de largura. a) Use 2 T e α para determinar a probabilidade de o electrão atravessar a barreira. b) Repita para a largura de,1 nm. a) 2 T e α α 2m U E h 2 2m U E h α 2mc2 ( U E) hc ( ) m e c kev hc 1, MeV m 2 511keV 25 ev 1 ev T ep 2 1 m 5,91 1 1,974 1 MeV m b) ( ) 2 511keV 25 ev 1 ev T ep 2 1 m 1,89 1 1,974 1 MeV m