Aeroelasticidade Estática - Torção de asas Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA/IEA

Transcrição

1 AE-49 - AEROELASTICIDADE Aeroelasticidade Estática - Torção de asas Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA/IEA

2 Divergência de uma asa Caso de estudo divergência de uma asa sem enflechamento, com rigidez igualmente distribuída ao longo da envergadura. Hipóteses: Alongamento grande, pequenas deformações, de forma a permitir que a asa seja modelada por uma equação diferencial linear; Pode-se assumir a teoria de St. Venant, e a asa pode ser idealizada como um conjunto de pequenas seções de asa justapostos ao longo da envergadura.

3 Modelo estrutural da asa contínua V ¼ c T y ( ) = dθ GJ dy cg e d L t(y) Eixo elástico θ c x T Aproximação da asa por uma viga dy tdy V y Condição de contorno dt dt Σ M y = 0 = T tdy T + dy = t dy dy dy

4 Modelo estrutural da asa contínua Assume-se que a estrutura está sujeita a uma distribuição de torque t(y) contínua, ao longo da envergadura, com sinal positivo, o que representa um momento de cabrar de cada seção. Da teoria de St. Venant, pode-se relacionar as equações de equilíbrio com as forças atuantes: T y ( ) dθ = GJ dy dt d dθ = GJ = t( y) dy dy dy

5 Esforços aerodinâmicos Os esforços aerodinâmicos atuantes são função das deformações estruturais, e neste caso assume-se um primeira aproximação onde a interferência aerodinâmica; A equação anterior pode ser empregada para calcular a divergência de uma asa como a indicada na figura anterior.

6 Modelo aerodinâmico Teoria das faixas: Assume que não existe interferência aerodinâmica entre faixas que discretizam a asa ao longo da envergadura. l y = qcc = qcc + ( ) α ( α θ) l l o α t y = qcec α α + θ + qc C + nmgd ( ) ( ) Desta forma o carregamento aerodinâmico pode ser facilmente assumido como a soma dos carregamentos aerodinâmicos de infinitas seção típicas distribuídas ao longo da envergadura. α l o mac

7 Equações de equilíbrio - Momentos raiz T dy t dy T+dT/dy V ponta y dt dy = t y ( ) dt d dθ = GJ = t( y) dy dy dy ( ) ( ) t y = qcecl α αo + θ + qc Cmac + nmgd d dy dθ GJ + qcecl αθ = qcec + l o qc c + mac nmgd dy ( ) αα

8 Solução da Equação diferencial d θ qcec l α + θ K dy = GJ e λ = ( ) l o mac lα K = qcec αα + qc c + nmgd / GJ θ Que possui solução na forma Fazendo + λ θ = K qcec GJ simplificamos para ( y) = Asin y+ Bcos y K/ θ λ λ λ

9 Condições de contorno Para resolvermos o problema precisamos definir condições de contorno. Para particularizar a nossa solução: θ y = Asin λy+ Bcos λy K / λ ( ) A forma de particularizar é aplicar as condições de contorno que caracterizam o nosso problema, isto é uma asa reta, sem afilamento engastada na raiz e com distribuição constantes das propriedades de rigidez (G e J) Engastamento na raiz θ K λ K λ ( 0) = 0= B B = Momento na ponta da asa (em y = L) é nulo: K T( L) = GJθ ( L) = 0= GJ AλcosλL λsinλl λ

10 Condições de contorno Resolvendo as equações resultantes da aplicação da condição de Contorno, temos A e B definidos pela relações anteriores chegando a: K θ( y) = 1 cos λy ( tan λl)( sin λy) λ c c mac nmgd θ( y) = αo cosλy ( tan λl)( sin λy) e Cl α qcec lα Esta equação representa a distribuição de torção de uma asa reta e Alongada, sujeita a um carregamento aerodinâmico que a deforma em Torção. Claro que associado a este carregamento pode existir uma flexão, porém o deslocamento vertical da asa não lateral o carregamento aerodinâmico, quando o enflechamento for nulo.

11 Amplificação da torção Note que temos um termo que pode se tornar infinito dependendo do seu argumento; Pode portanto associar este comportamento a um critério de divergência. K θ( y) = 1 cos λy ( tan λl)( sin λy) λ tan(λl) π/10 π/10 3π/10 4π/10 λl π/ λl = π

12 Critério de divergência: Do resultado apresentado graficamente, podese estabelecer o seguinte critério: λ q D π qcecl α = = L GJ π GJ π GJ 1 = = L ceclα L c LeCl α Pode-se fazer uma analogia deste resultado com o obtido para a seção típica, a pressão dinâmica é diretamente proporcional a rigidez e inversamente proporcional a área da asa.

13 Solução formal para a divergência Um resultado importante que foi observado na seção típica, é que a divergência é uma fenômeno associado a estabilidade da estrutura e, consequentemente independe de forças externas atuantes. Desta forma podemos estudar a equação que representa a distribuição de torção para asa na sua forma homogênea: d θ dy qcec l GJ α + θ = 0

14 Solução elementar Assume-se as mesmas condições do caso anterior, e consequentemente A e B serão diferentes. d θ dy qcec l GJ θ α + = 0 θ y A λy B λy ( ) = sin + cos Conhecida a solução elementar, e considerando conhecido A e b, pode-se partir para o estudo da estabilidade do sistema aeroelástico.

15 Critério de estabilidade de Euler Do equilíbrio estático, chega-se a relação geral entre força e deslocamento em regime linear: { F} = [ K]{ u} Assumindo que existe uma pequena perturbação u p, que se soma a condição de equilíbrio estático discriminada daqui por diante como u s, tem-se os seguinte conjunto de equações: (Leonard Euler, matemático suíço, )

16 Critério de estabilidade de Euler [ K ]{ u} = [ K]{ u + u } = { F} p s (acrescentamos a perturbação) [ K]{ u } + [ K]{ u } = { F} S Porém, do equilíbrio estático temos: [ p K u = F K u = ]{ } { } [ ]{ } { } { u } {} p = 0 s [ K ] = [ 0] p Solução trivial Caracteriza um estado de estabilidade neutra 0

17 Critério de estabilidade de Euler Se então: [ K]{ u } = { 0} e { u } { 0} p A equação derivada do determinante de [K] deve ser nula (Δ=0); Δ=0 é a equação característica, e as suas raízes são os auto-valores do sistema; É um polinômio de ordem N, onde N é a dimensão da matriz [K] Se Δ>0 o sistema é estável Se Δ<0 o sistema é instável Determinante de uma matriz: A condição para que se tenha solução não nula para u p, só existe se det[k] = 0! p

18 Nosso caso de estabilidade... ( ) θ ( ) 0 T L = GJ L = ( L) A cos L B sin L 0 θ = λ λ λ λ = A( λcos λl) + B( λsin λl) = 0 ( ) θ ( 0) = 0 θ 0 = Asinλ0+ Bcosλ0= 0 A(0) + B(1) = A 0 ( λcos λl) ( λsin λl = ) B 0

19 Determinante de estabilidade λ 0 1 A 0 ; λcosλl 0 ( λcos λl) ( λsin λl = Δ= = ) B 0 λl = π, 3π,... ( n +1)π Soluções para a equação onde o determinante se anula. O menor valor deste conjunto é a pressão dinâmica de divergência. Como: qcec π = λ L = GJ 4 lα π qcecl α π GJ = q D = 4L GJ L ceclα λ L = π λ 4 = q Dcec lα L GJ é o autovalor!

20 Efeito no ângulo de torção twist angle % divergence q 50% divergence q % divergence q nondimensional distance from wing root

21 Exemplos de Aplicação V elastic axis M s fuselage b flexible attachment T(0) y(0) V line of aerodynamic centers c y b y y(b) Divergência de uma asa com engaste flexível θ + λ θ = 0 λ = qcec l α GJ M s K T θ( 0) T( 0) = GJ θ ( 0) K T θ 0 ( ) = GJ θ ( 0)

22 Condições de contorno V M s T(0) y K T GJ θ 0 y(0) b y(b) ()= θ () Tb ()= GJ θ b 0 θ b ()= 0 ( ) = 0

23 Determinante de Estabilidade θ(y) = Asin λy + Bcosλy θ (y) = Aλ cos λy Bλ sinλy K T GJ θ 0 ()= θ () 0 B K T b GJ = Aλb Aβλb B = 0 β = GJ K b T O sistema de equações pode ser representado da mesma forma do caso onde o engaste da asa é rígido. Define-se o parâmetro b como sendo a forma de representar o quanto o engaste é rígido com relação a rigidez em torção da asa.

24 Determinante de Estabilidade A torção na ponta da asa por sua vez é nula, o que implica em uma condição a mais que permite montar o sistema de equações para definir A e B. βλb λ cosλb θ (b) = Aλ cos λb Bλ sin λb = 0 O sistema de equações, escrito na forma matricial fica portanto: 1 A λ sinλ b B = 0 0 E o determinante de divergência aeroelástica é dado por: Δ=λ( βλbsin λb + cosλb)= 0

25 Equação de estabilidade ( b b b) Δ= λ βλ sin λ + cosλ = 0 βλbsin λb+ cosλb= 0 cos λb= βλbsin λb tan λb = λ = qcec lα GJ 1 βλb. β = GJ K b T function value tan λb 1/λb divergence β=0.75 divergence β=0.5 divergence β= dynamic pressure parameter (λb/π) clamped root divergence

26 Resposta final Velocidade relativa de divergência β=0.5 1 clamped support β=0 more flexible attachment Parâmetro de rigidez relativa β 3 4 5