Álgebra Linear para LEIC - A

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Álgebra Linear para LEIC - A Teste - 7 de Janeiro de 22 Versão A Duração: 9 minutos Resolução (com explicações detalhadas e resoluções alternativas) (.5 val.). Diga, justificando, se a seguinte transformação, T : R 2 R 2, T(x,y) = (x y,x 2 ), é linear. Resolução Temos que T(λ(x,y)) = T(λx,λy) = (λx λy,λ 2 x 2 ) = λ(x y,λx 2 ) mas λt(x,y) = λ(x y,x 2 ) Escolhendo λ e x obtem-se T(λ(x,y)) λt(x,y), pelo que T não é uma transformação linear. (.5 val.) 2. Encontre uma base para o núcleo da transformação linear, T : R R T(x,y,z) = (x+2y +z,x+2y +z,x+2y +z) Resolução Sabemos que Nuc(T) = { (x,y,z) R : T(x,y,z) = } = Conjunto Solução do sistema: x+2y +z = x+2y +z = () x+2y +z =. Aplicando o método de eliminação de Gauss (ou fazendo uma justificação simples atendendo ao facto das equações serem todas iguais) à matriz do sistema A = L 2 L 2 L L L L 2 = B,

2 concluimos que o sistema () é equivalente à seguinte equação com incógnitas x+2y +z =. As incógnitas livres são y,z. Uma base de Nuc(T) pode ser encontrada escolhendo y =,z = v = ( 2,,) y =,z = v 2 = (,,), Base de Nuc(T) = (v,v 2 ) = (( 2,,),(,,)).. Considere a transformação linear T : P 2 (R) P 2 (R) T(p)(x) = 2p (x)+p(x). ( val.) (a) Encontre a matriz de T na base canónica. Resolução Paraencontrar amatrizadet nabasecanónica temosdeaplicart aosvectores da base canónica (,x,x 2 ) de P 2 (R) e decompor o resultado novamente na base canónica. Temos T() = = + x+ x 2 T(x) = 2+x = 2 + x T(x 2 ) = 4x+x 2 = 4 x+ x 2, pelo que A = 2 4 (.5 val.) (b) Encontre a matriz de T 2 na base canónica. Resolução Temos T 2 = T T, pelo que a matriz de T 2 na base canónica é B = A 2, B = A 2 = 4 4 = Considere a matriz C = (.5 val.) (a) Diga, sem fazer cálculos, por que razão é um valor próprio de C.

3 (.5 val.) Resolução A matriz C tem duas linhas iguais pelo que é singular, P() = det(c) = det(c I) = e portanto é um valor próprio de C (é uma raiz do polinómio característico). (b) Calcule os valores próprios de C e as suas multiplicidades algébricas e geométricas. Resolução I O polinómio característico (que já sabemos ter λ = como raíz) é P(λ) = det(c λi) = (2 λ)( λ)(2 λ)+2( ( λ)2) = = ( λ)[(2 λ) 2 4] = ( λ)[λ 2 4λ] = λ(λ )(λ 4). Logo, os valores próprios são λ =,λ 2 =,λ = 4, todos com multiplicidade algébrica, ma(λ i ) =. Uma vez que mg(λ) ma(λ), concluimos que também mg(λ i ) =, i =,2,. Resolução II Da alínea anterior sabemos que λ = é um valor próprio de C. Da forma da matriz C (a sua segunda coluna tem a segunda entrada igual a e as restantes iguais a zero, i.e. é igual a e 2 ) vemos também que o vector e 2 = (,,) é vector próprio de C com valor próprio λ 2 =. Usando agora a relação tr(c) = λ +λ 2 +λ 5 = ++λ, (.5 val.) Concluímos que λ = 4, pelo que C tem valores próprios diferentes. Como C Mat (R) isso significa que as multiplicidades algébricas são todas iguais a e portanto também as multiplicidades geométricas são todas iguais a. (c) Encontre uma matriz não singular S tal que S CS é diagonal. Resolução Os espaços próprios são i. E = Nuc(A I) = Nuc(A). Usando o MEG: A = L L L 2 2 (2) Obtemos o sistema { 2x+2z = y =, com conjunto solução, {( z,,z), z R} = L({(,,)}) = E. Um vector próprio com valor próprio λ = é assim, v = (,,).

4 ii. E = Nuc(A I). nota: neste caso como sabemos que e 2 é vector próprio de C com valor próprio e como mg() =, podiamos escrever directamente a resposta, E = L({e 2 })). Alternativamente, usando o MEG: A I = L 2 L L L 2L 2 Temos que Nuc(A I) é o conjunto solução do sistema { x+2z = z =, com conjunto solução, {(,y,), y R} = L({(,,)}) = E. Um vector próprio com valor próprio λ = é assim, v 2 = (,,). iii. E 4 = Nuc(A 4 I). Usando o MEG: A 4I = L L +L 2 2 Temos que Nuc(A 4I) é o conjunto solução do sistema { x+z = y =, com conjunto solução, {(z,,z), z R} = L({(,,)}) = E 4. Um vector próprio com valor próprio λ = 4 é assim, v = (,,). Vectores próprios de uma matriz associados a valores próprios diferentes são linearmente independentes, pelo que uma base de R de vectores próprios de C é ((,,),(,,),(,,)). Uma matriz não singular S tal que S CS é diagonal é dada pela matriz tendo como colunas os vectores próprios de C,

5 5. Seja R : V V uma transformação linear. ( val.) (a) Mostre que qualquer conjunto de vectores próprios de R com valores próprios diferentes é linearmente independente. Resolução Basta mostrar que qualquer conjunto finito de vectores próprios de R com valores próprios diferentes é linearmente independente. Fazemos a demonstração por indução (no número de vectores). Um conjunto com um vector próprio, S = {v }, é linearmente independente, pela definição de vector próprio (não pode ser igual ao vector ). Suponhamos (hipótese da indução) agora que todos os conjuntos com m vectores próprios de R com valores próprios diferentes é linearmente independente e mostremos que isso implica que qualquer conjunto de m+ vectores próprios de R com valores próprios diferentes é linearmente independente. Seja S m+ = {v,...,v m+ } um tal conjunto arbitrário mas fixo. Então(pelahipótesedaindução)S m = {v,...,v m }élinearmenteindependente. Consideremos a igualdade a v + +a m v m +a m+ v m+ = () Aplicando R a ambos os membros de () obtemos R(a v + +a m v m +a m+ v m+ ) = λ a v + +λ m a m v m +λ m+ a m+ v m+ =. (4) Multiplicando agora ambos os membros de () por λ m+ obtemos λ m+ a v + +λ m+ a m v m +λ m+ a m+ v m+ = (5) Subtraindo (5) a (4) obtemos (λ λ m+ )a v + +(λ m λ m+ )a m v m =, o que, atendendo à independencia linear de S m, implica (λ λ m+ )a =,...,(λ m λ m+ )a m = a =,...,a m =. Substituindo em () obtemos a m+ v m+ = a m+ = (.5 val.) pelo que está demonstrada a independência linear de S m+. (b) Use R(f) = d 2 f/dx 2 e o resultado mostrado na alínea anterior para concluir que o conjunto {sen(nx),n N} em C (R) é linearmente independente.

6 Resolução Aplicando R às funções g n (x) = sen(nx) obtemos R(g n )(x) = (sen(nx)) = n 2 sen(nx). Vemos as funções g n são funções próprias de R com valores próprios λ n = n 2, todosdiferentes paran N, peloqueoconjunto {sen(nx),n N}élinearmente independente. ( val.) 6. (a) Encontre uma base de R de vectores próprios generalizados da matriz 2 B = 2 2 Resolução Temos det(b λi) = (2 λ) pelo que 2 é valor próprio com ma(2) =. Para encontrarmos a multiplicidade geométrica apliquemos o MEG à matriz B 2I B 2I = L 2 L L L 2 Concluímos que car(b 2I) = 2 pelo que dim(nuc(b 2I)) = mg(2) = 2 = e portanto só vai haver um bloco de Jordan na forma canónica de Jordan (FCJ). Da forma de B ou a partir da matriz em escada de linhas obtida acima concluímos que Nuc(B 2I) = L({e = (,,)}). Podemos encontrar a base de vectores próprios generalizados de duas formas alternativas: Forma. Começamos por encontrar um vector próprio generalizado (que sabemos existir por a FCJ de B ter só um bloco de Jordan ) que é solução do sistema { (B 2I) v = (B 2I) 2 v. (6) Como e (B 2I) 2 = (B 2I) = = 9 9 = concluímos que o sistema (6) para v = (x,y,z ) toma a forma = 9 v 9x x. (7)

7 (.5 val.) Portanto qualquer vector v com x é solução de (6). Escolhemos v = e = (,,). A partir deste vector obtemos mais um vector próprio generalizado: v 2 = (B 2I)v = = e ainda o vector próprio que termina a cadeia de vectores próprios generalizados iniciada em v, v = (B 2I)v 2 = = = 9e. 9 UmabasedeR devectoresprópriosgeneralizadosdeb éentão(v,v 2,v ) = ((,,9),(,,),(,,)). Forma 2. A outra forma de encontrar a cadeia de vectores próprios generalizados associada ao valor próprio 2, consiste em começar no vector próprio, v = (,,) e encontrar depois v 2 como uma solução do sistema não homogéneo (B 2I)v 2 = v x y z = Uma solução é (fazer as contas!) v 2 = (,,). O último vector da cadeia encontra-se como solução de (B 2I)v = v 2 x y z = Uma solução é (fazer as contas!) v = ( 9,,). Uma base de R de vectores própriosgeneralizadosdeb éentão(v,v 2,v ) = ((,,),(,,),(,, 9 )). (b) Qual a forma canónica de Jordan C da matriz B e qual a matriz não singular U tal que C = U BU? Resolução Atendendo aos resultados da alínea anterior sabemos que a FCJ de B é 2 C = 2 2 Uma matriz não singular U tal que C = U BU é uma matriz tendo como colunas uma base de vectores próprios generalizados obtidos como descrito na alínea anterior. Usando a forma da alínea anterior temos U = 9

8 Usando a forma 2 obtemos o resultado anterior multiplicado por /9 (ambos estão correctos!), 9 U = 7. seja A = (.5 val.) (a) Encontre uma base de Lin(A) R 4. Resolução Uma vez que a matriz A já está em forma de escadas de linhas uma base de Lin(A) é dada pelas linhas não nulas de A, (v,v 2,v ) = ((,,,),(,,,),(,,, )). ( val.) (b) Construa uma base ortonormada de Lin(A). Resolução Pelo método de Gram Schmidt obtemos uma base ortogonal u = v = (,,,) u 2 = v 2 < v 2,u > u 2 u. Uma vez que, < v 2,u >=, u 2 =< u,u >= 4, obtemos u 2 = (,,,) 4 (,,,) = 4 (,,,). [observemos que usando ũ 2 = 4u 2 = (,,,) levaria à mesma base ortonormada]. Para u temos u = v < v,u > u u 2 < v,u 2 > u u < v,u > = < (,,, ),(,,,)>=, < v,u 2 >= u = v = (,,, ). A base (u,u 2,u ) = ((,,,), 4 (,,,),(,,, )) é uma base ortogonal de Lin(A). Uma base ortonormada é então (û,û 2,û ) = ( u u, u 2 u 2, u u ) = ( ) = 2 (,,,), 2 (,,,), 2 (,,, ).

9 8. Considere a mini-rede (mini-web) com páginas e as ligações indicadas. 2 ( val.) (a) Sabendo que a matriz google G para esta rede é G = δa+( δ)f, onde A é a matriz das ligações, δ =.7 e F é F = calcule o (vector de) page rank desta rede [com entradas inteiras positivas]. Resolução A relação entre as importâncias das páginas, tendo em conta só os links, é dada pelo sistema { x = x 2 +x x = x Ax = x, onde A é a matriz dos links A = Como nãohá nóspendurados a matrizdegooglepara esta minirede éaseguinte matriz..8.8 G = δa+( δ)f =.7A+.F = O vector de PageRank, x = (x,x 2,x ), é um vector próprio de G com valor próprio(quesabemostermg() =,umavezquegtemtranspostaestocástica e é positiva), ou seja x Nuc(G I). Aplicando o MEG , O sistema para encontrar Nuc(G I) é então { { x 9x 2 +x = 7x 2 +7x = x = x 2 = 7 7 x = 8 7 pelo que o vector de PageRank é (escolhemos a incógnita livre x = 7) x = (8,7,7)..

10 (.5 val.) (b) SupondoqueP = {banana, maçã, laranja},p 2 = {banana},p = {maçã, laranja}, diga qual a sucessão de páginas que resulta da busca: banana. [Nota: se não tiver resolvido a alínea anterior (e só nesse caso) assuma que o vector de page rank é x = (4,5,).] Resolução Só aparecem as páginas que tenham banana, ordenadas de acordo com o vector de PageRank, pelo que a sucessão é P P 2.