Resolução das objetivas 3ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período

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1 Resolução das objetivas 3ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período 4. OBS: Todas as alternativas corretas são as letras A. ) Devemos utilizar o teorema que diz: (Im(A T )) Nuc A, ou Nuc A T (Im(A)) Como a imagem de A T é o plano 3x+y-3z, seu complemento ortogonal será o vetor (3,,-3), que deverá estar contido no Núcleo de A. Logo, podemos fazer a seguinte operação: a 3 3 Logo, temos: 6 + a + 3, logo a 9 )*Não obtemos a resposta que está contida no gabarito. Vamos primeiro achar a matriz TL. Portanto, encontramos a matriz T : T e x e x +.x. e x T xe x e x + 4xe x T

2 Para encontrar os autovalores, fazemos det A λi. λ λ λ Logo, encontramos dois autovalores iguais, em λ. E o autovetor associado satisfaz a equação: λ λ x y Temos então que y deve ser igual a zero, mas x pode assumir qualquer valor. Autovetores : v (x, ). Portanto, a TL tem dois autovalores iguais e apenas uma direção de autovetores. 3) Para que o conjunto todo esteja contido em S, cada vetor v pertencente ao conjunto deve ser ortogonal ao S<x²>, ou seja, <v,s> Vamos então testar cada afirmativa: Testando com x²+3x+, temos: < x² + 3x +, x² > Logo, como o produto interno é diferente de zero, vemos que o vetor x²+3x+ não está contido em S. 4) Novamente devemos utilizar Nuc A T (Im(A)). Como a imagem de A é o plano x+y+z seu complemento ortogonal é o vetor (,,), esse vetor deve estar contido no núcleo de A T. Para satisfazer o teorema, devemos ter A T.,, Testando as alternativas, temos: A 3 3 A T.,,, A T Portanto, vemos que esta matriz A satisfaz o teorema, e é a resposta correta. 5)

3 Para determinar a transformação, utilizemos a transformação na base canônica, com os eixos x e y (,) e (,).Após a reflexão os eixos x e y trocam de posição, como na figura abaixo. Logo, temos que: T,, T, (,) Logo, temos a transformação linear de reflexão na reta x y na base canônica a matriz: Para a projeção, temos o esquema abaixo: R Para determinar uma matriz S para a projeção, temos: S P D P

4 Onde W e a matriz formada pelos autovetores, e D é a matriz diagonalizada. T RS Agora, achando o polinômio característico, dado por: det T λi. Temos: 6) λ λ² λ + λ 4 λ² λ λ λ 4 Temos os vetores v (,,) e w (,,). Para determinar a projeção de v em w, temos a fórmula para projeções: P w v < v, w > w w < w, w > < w, w > Logo a projeção P w v (,,) e a soma de suas entradas será. 7) a)falso, pois temos a matriz e mais algumas outras como exceção. b)verdadeiro, pois det(a)λ. λ.. λ n, para que det(a) um dos autovalores tem que ser zero. c)verdadeiro, pois este caso,só é possível nas a matrizes identidade, nula ou algo do tipo. d)verdadeiro, pois se as colunas de A forem LI, det(a). Como det(a)λ. λ.. λ n, se det(a) não é possível haver autovalores nulos. 8) O espaço gerado pelas colunas de A será uma reta na direção do vetor (,-). Como temos uma matriz x3, a Transformação leva até o R², portanto o complemento ortogonal do espaço gerado pelas colunas será outro vetor v e : Sendo o vetor v (a, b), temos: < v,, > < v,, > a + b

5 b a Logo, v é do tipo (x,x). 9) a)como a imagem tem dimensão, a dimensão da combinação linear dos autoespaços de λ e λ também deve ser. Como λ, e vemos que seu autoespaço tem dimensão, o autoespaço associado ao autovalor também deve possuir uma dimensão. (Verdadeiro). b) Essa justificativa seria correta se tivéssemos autovalor λ -, pois det(a λi), o que não ocorre, os autovalores são e.(falso) c)a matriz não e diagonalizável, pois não existe uma base suficientemente grande de autovetores LI.(Falso). d)vemos pela forma do polinômio característico que λ possui autoespaço associado de uma dimensão. ) Para que uma matriz seja invertível, seu determinante deve ser diferente de zero. Logo, det(t) a a a a 4a² a² a² a a a Logo: a {,} ) Essa é uma questão de continhas chatas. Basicamente, devemos usar a fórmula det(a- λi) para encontrar os autovalores, depois usamos o de menor módulo na fórmula. Temos: 5 6 λ λ λ Ao encontrar o autovalor λ, utilizamos no sistema linear:

6 5 6 λ λ λ Logo, encontraremos um vetor, que será autovetor para λ, da forma (,-,). ) Sabemos que a projeção possui autovalores e.λ associado ao complemento ortogonal do plano e λ associado a vetores que formam o plano, mas podemos ver que após esse procedimento o módulo de cada um desses vetores deve ser dobrado. Como a projeção do complemento ortogonal tem módulo λ continua sendo nulo. Mas, como os vetores que formam o plano tem seu módulo dobrado, temos que o novo autovalor associado a esses vetores é λ. Portanto, os autovalores são e. 3) 4) I) Falsa. O espaço gerado por {u e u } é um plano, logo, a projeção deveria diminuir de módulo, ou se manter constante, mas nunca aumentar. II) Verdadeiro. Se V não pertence ao plano gerado por {u e u }, ele funciona como um complemento para que, somado ao plano, forme o espaço R³. I) Para encontrar a solução aproximada de Ax b, utilizamos A T Ax A T b, mas como Ax,temos b. Logo, temos que: A T Ax A T b A T. (Verdadeiro) II) Verdadeiro. Temos: x y z dim Nuc A + dim Im A n, dim Im A n dim Nuc A Também temos: Im(A) Nuc(A T ) dim Nuc A T n dim Im A dim Im A T + dim Nuc A T n dim Im A T n dim Nuc A T dim Im A T n dim (Im(A T )

7 Por fim: dim Im A T n (n dim (Im A ) Logo: dim Im A T dim (Im A ) 5) Usando as propriedades do determinante. Temos: Logo: det A. B deta. detb det A. B 4. 8 det A. B deta. detb deta detb 4 6) Temos : A PDP Para determinar D, temos que encontrar os autovalores da matriz e colocá-los na diagonal, e a matriz P é a matriz da base dos autovetores dos autovalores da matriz. Das alternativas, vemos de cara que os autovalores são,3 e -3. Calculando os autovetores correspondentes pelo sistema (A λi)w,encontramos: Autovetor correspondente ao autovalor (,,) Autovetor correspondente ao autovalor 3 (-3,,4) (I) Autovetor correspondente ao autovalor -3 (-3,,-4) Lembrando que se D λ λ a matriz P dos autovetores deve ser λ 3 v λ v λ v λ3 O autovetor associado ao autovalor na ª coluna de D, deve estar na primeira coluna de P.Logo, vemos que a única opção que satisfaz a condição dada em (I) é a letra A. Bons Estudos!!. Dúvidas?

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