Elasticidade linear unidimensional

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1 Elasticidade linear unidimensional Projeto - MAP3121 Entrega: 12/6 1 Deslocamentos longitudinais de uma barra Nesta seção apresentaremos a equação diferencial que modela deslocamentos de uma barra elástica sujeita a uma carga axial 1. Considere a resposta estática de uma barra de comprimento L com seção transversal de área A(x) variável. O objetivo é determinar a distribuição σ(x) da tensão (força por unidade de área) na barra, onde x denota a coordenada do eixo. A tensão resulta do deslocamento longitudinal u(x) dos pontos da barra, que por sua vez é responsável pela deformação ɛ(x) da barra definida como variação do deslocamento por unidade de comprimento: ɛ(x) = du. (1) Assumiremos que a tensão e a deformação relacionam-se pela Lei de Hooke, σ(x) = E(x)ɛ(x), (2) onde E é o módulo de elasticidade ou módulo de Young. Pense em uma versão contínua de um sistema de massas e e molas. O módulo de Young pode depender de x (por exemplo, para um material composto). A hipótese constitutiva (2) é uma boa aproximação quando os deslocamentos são pequenos. Figura 1: Barra de comprimento L A barra pode estar sujeita a uma força corporal b(x) devida, por exemplo, à gravidade (se a barra estiver posicionada verticalmente), a uma força magnética ou a uma força de expansão/compressão devido a variações de temperatura. Como estamos tratando de um caso unidimensional, vamos supor que b é uma densidade linear de força. 1 Veja por exemplo Fish e Belytschko, A First Course in Finite Elements 1

2 Impondo-se o equilíbrio entre a força interna σ(x)a(x) e a força externa b(x) atuando na direção longitudinal do corpo obtemos, em um trecho α x β da barra, a expressão que pode ser reescrita na forma β σ(β)a(β) σ(α)a(α) + b(x) =, α β α ( ) d [σ(x)a(x)] + b(x) =. Como α e β são arbitrários, a igualdade acima nos leva a expressar a equação de equilíbrio de forças como d [σ(x)a(x)] + b(x) =. Substituindo (2) e (1) na igualdade acima obtemos a equação diferencial d [ E(x)A(x) du ] = b(x), < x < L, (3) para o deslocamento u(x). Para a resolução desta equação diferencial, é necessário prescrever condições de contorno nos dois extremos da barra. Podemos especificar, por exemplo, deslocamentos nos extremos da barra, u() = ū, u(l) = ū L, (4) ou o deslocamento em um extremo e uma carga, denominada tração, no outro extremo, u() = ū, E(L)A(L) du (L) = t. (5) A tração t é medida em unidades de força por área. O problema (3) com condições de contorno (4) ou (5) será resolvido pelo Método de Elementos Finitos, descrito na última seção. Uma vez obtida a aproximação da solução, a tensão σ(x) pode ser também aproximada. 2 Orientações 2.1 Observações gerais O objetivo desse projeto é analítico e exploratório. Você deve usar o roteiro abaixo apenas como guia, mas recomendamos tentar explorar além do sugerido e discutir as análises no relatório. Tente buscar valores reais de parâmetros além dos aqui fornecidos, e discuta no relatório a influência de cada parâmetro no relatório com exemplos reais ou simulados. O projeto pode ser feito em duplas, mas sempre com alguém da mesma área de engenharia que a sua. Apenas um aluno deve entregar o projeto, definido por ordem alfabética, destacando no relatório e código o nome de ambos os alunos. A entrega deve constar de relatório (em pdf), contendo a análise do problema estudado e resultados, e do programa fonte do código usado para as simulações computacionais (em c ou python). O relatório e o programa podem ser entregues em um arquivo compactado único. 2.2 Validação No primeiro passo do projeto você deve implementar o método de elementos finitos (veja seção 3) para resolver a equação (3) com as condições dadas na parte de descrição de métodos numéricos do projeto. Analise o efeito de termos diferentes números de pontos de discretização, verifique a ordem de convergência e confira se o seu código está produzindo soluções coerentes (conforme a seção 3.4). Descreva essas análises no relatório. 2

3 2.3 Material composto e seção transversal constante Uma barra elástica de comprimento L = 4m e área da seção transversal constante A =.1m 2 é formada por dois materiais. O módulo de Young é constante por partes cujos valores são { 1 8 Nm 2, se x [, L/2), E(x) = 1 5 Nm 2, se x (L/2, L). A barra está fixa em x = m e sofre uma tração t = 5 Nm 2 em x = 4m. Calcule o deslocamento, a deformação e a tensão. Apresente gráficos. 2.4 Seção transversal variável sob ação da gravidade Uma barra elástica de comprimento L está suspensa verticalmente, sofrendo a ação da gravidade. Escolhendo a coordenada de modo que x = é o extremo superior da barra, que está fixo, e x = L é o extremo inferior da barra, que está livre, a área da seção transversal é dada por ( A(x) = A 1 x ) 2. 2L Supondo que o material é homogêneo, o módulo de Young E e a densidade ρ são constantes (você precisa do valor de ρ para calcular a força externa, que não é constante). Use os parâmetros L = 1 m, A =.1 m 2, E = Nm 2 e ρ =.75 Kgm 3 para calcular u(x), σ(x) e também a força interna p(x) = σ(x)a(x). Apresente gráficos. Os parâmetros relativos ao material foram escolhidos para a madeira do tipo carvalho. Experimente mudar o material e eventualmente os outros parâmetros. 3 Método de Elementos Finitos Apresentamos aqui uma breve introdução ao método de elementos finitos para solução da equação: L(u(x)) := ( k(x)u (x)) + q(x)u(x) = f(x) em (, 1), u() = u(1) = (6) onde k(x) >, q(x), k(x) C 1 [, 1], q(x), f(x) C[, 1]. Uma solução clássica desta equação é uma função u(x) V = {v C 2 [, 1] : v() = v(1) = } satisfazendo (6). Por outro lado se u(x) V é solução de (6) e v(x) V temos que: L(u(x))v(x) = f(x)v(x). Integrando por partes o primeiro termo de L(u(x)) e usando que u e v se anulam nos extremos do intervalo, obtemos: k(x)u (x)v (x) + q(x)u(x)v(x) = f(x)v(x), v V. (7) Por outro lado, se u(x) V satisfaz (7), então u(x) é solução de (6), ou seja as formulações (6) e (7) são equivalentes para u(x) V. Agora, ao passo que na equação (6) uma solução necessariamente tem que ser duas vezes continuamente diferenciável, a equação (7) pode ser formulada para funções mais gerais. Podemos escolher u(x) e v(x) no espaço U das funções contínuas, continuamente diferenciáveis por partes (com derivadas limitadas) e que se anulam nos extremos de [, 1]. O problema de determinar u U tal que k(x)u (x)v (x) + q(x)u(x)v(x) = f(x)v(x), v U (8) 3

4 é a chamada versão fraca da equação (6) (onde a função f também pode ser admitida como sendo contínua por partes e limitada). Vamos observar que u, v L = k(x)u (x)v (x) + q(x)u(x)v(x) define um produto interno no espaço U. As propriedades u, v L = v, u L, αu, v L = α u, v L, u 1 + u 2, v L = u 1, v L + u 2, v L e u, u L são de verificação imediata. Para concluir que u, u L = implica que u = no caso em que q(x) =, observe que necessariamente u (x) = em [, 1] e portanto u deve ser constante. Como vale nos extremos do intervalo, u é a função nula. Vamos agora introduzir o método de Ritz-Raleigh para a aproximação da solução do problema (8) (veja também a seção 11.5 do livro texto do Burden / Faires). A aproximação será determinada por um método de mínimos quadrados em um subespaço de dimensão finita U n de U, através da projeção ortogonal da solução u(x) de (8) em U n. O problema é que desconhecemos u(x) (que é quem gostaríamos de determinar...). Como projetá-la em U n? Isto se torna viável ao substituirmos o produto interno usual u, v = u(x)v(x) pelo produto interno u, v L oriundo do problema (8). Neste caso a projeção ortogonal ū n de u(x) (solução de (8)) em U n é tal que u ū n, v n L = v n U n, ou seja, ū n, v n L = u, v n L. Usando o fato de que u é solução de (8) e que U n U temos que para todo v n U n, u, v n L = f, v n. Assim, podemos obter a projeção ortogonal de u em U n obtendo a função ū n tal que: ū n, v n L = f, v n, v n U n. (9) A função ū n minimiza o valor de u v n L = u v n, u v n 1/2 L, para v n U n (ou seja, ū n é a melhor aproximação da solução u no espaço U n, que conseguiremos determinar, mesmo desconhecendo u!). Para obter a solução de (9), precisamos de uma base φ 1, φ 2,..., φ n de U n. Obtemos então as equações ū n, φ i L = f, φ i, i = 1,..., n. Escrevendo ū n = n i=1 α iφ i, chegamos ao sistema linear: φ 1, φ 1 L φ 2, φ 1 L... φ n, φ 1 L φ 1, φ n L φ 2, φ n L... φ n, φ n L. α 1.. α n = 3.1 Escolha do espaço U n e sua base: Elementos Finitos f, φ 1.. f, φ n (1) Iremos escolher U n como o espaço de Splines Lineares S 2,n[, 1] com nós uniformemente espaçados em [,1]. Tomando h = 1/(n + 1) e x i = ih, i =, 1,..., n + 1 teremos: S 2,n[, 1] = { s(x) C[, 1] : s() = s(1) = e s [xi,x i+1] P 1 }, ou seja, cada spline em S2,n[, 1] é uma função contínua em [,1], se anulando nos extremos e coincidindo com uma reta entre cada dois nós. Cada spline em S2,n[, 1] fica unicamente determinado através de seus valores nos nós x 1, x 2,..., x n. (Verifique que S2,n[, 1] é um espaço vetorial de dimensão n.) Uma base para este espaço de Splines é dada pelas funções chapéu φ i (x), i = 1,.., n que valem fora de [x i 1, x i+1 ], φ i (x) = (x x i 1 )/h em [x i 1, x i ] e φ i (x) = (x i+1 x)/h em [x i, x i+1 ]. O intervalo [x i 1, x i+1 ] é chamado o suporte da função φ i, fora dele a função se anula. No método de elementos finitos procura-se utilizar bases cujos elementos tenham suportes pequenos. Note que a intersecção entre os interiores dos suportes de φ i e φ j será não vazia apenas se i j 1. Decorre que, φ i, φ j L = se i j > 1. Isto faz com que a matriz do sistema linear (1) seja tridiagonal. Além disso temos que: f, φ i = f(x)φ i (x) = xi+1 x i 1 f(x)φ i (x). Observe ainda que φ i (x) é nula fora de [x i 1, x i+1 ], vale 1/h em (x i 1, x i ) e 1/h em (x i, x i+1 ). No caso em que k(x) = 1 e q(x) = (veja (6)) a matriz do sistema (1) é tridiagonal com valores 2/h na diagonal principal e 1/h nas diagonais vizinhas a esta. 3.2 Montagem da matriz e solução do sistema Para montar o sistema (1) e resolvê-lo você deverá utilizar as rotinas que desenvolveu nas tarefas computacionais 2 e 3 do curso. A montagem da matriz requer a avaliação dos produtos internos φ i, φ j L, para i j 1 e f, φ i. Para tanto você deve aproximar os valores das integrais correspondentes através do método de Romberg desenvolvido na tarefa 3 (use precisão ɛ = 1 6 ). Note que a integral deve ser calculada no intervalo de nós em que φ i é não nula. Uma vez montado o sistema tridiagonal, este deve ser resolvido pelo algoritmo LU desenvolvido na tarefa 2. 4

5 3.3 Solução do método de elementos finitos Uma vez resolvido o sistema (1) obtemos a função ū n (x) = n i=1 α iφ i (x) solução de (8), que melhor aproxima a solução u(x) de (7) (e portanto de (6) caso u(x) C 2 [, 1]). Refinando-se o problema (ou seja, aumentando o valor de n e consequentemente reduzindo h) melhora-se a aproximação. Se a solução u(x) for suficientemente diferenciável teremos que ū n (x) u(x) = O(h 2 ). 3.4 Teste da ordem de convergência Teste a ordem de convergência do método com o exemplo onde k(x) = 1, q(x) =, f(x) = 12x(1 x) 2. Neste caso a solução exata de (6) é a função u(x) = x 2 (x 1) 2. Calcule a solução para os valores de n = 15, 31, 63, 127 e 255 e avalie em cada caso ū n (x) u(x) = max i=1,n ū n (x i ) u(x i ) e constante a convergência de segunda ordem. 3.5 Condições de fronteira não homogêneas O que fazer se na equação (6) as condições de fronteira forem u() = a e u(1) = b? Pode-se reduzir este problema ao caso homogêneo resolvendo-se a equação L(v(x)) = f(x) + (b a)k (x) q(x)(a + (b a)x) = f(x), v() = v(1) =. Mostre que neste caso u(x) = v(x) + a + (b a)x é a solução da equação (6) com condições de fronteira u() = a e u(1) = b. 3.6 Condições de fronteira mistas Uma situação de interesse em aplicações é dada pelo problema ( k(x)u (x)) + q(x)u(x) = f(x) em (, 1), u() = k(1)u (1) =. A diferença em relação a (6) é a substituição do valor nulo de u pelo valor nulo do fluxo em x = 1. Se no lugar do espaço V usarmos o espaço V = {v C 2 [, 1] : v() = }, então, multiplicando-se a equação por v e integrando por partes, obtemos (use u (1) = v() = ) k(x)u (x)v (x) + q(x)u(x)v(x) = f(x)v(x), v V. Pode-se mostrar que se u V satisfaz a relação acima, então u é solução da equação diferencial e satisfaz automaticamente u (1) =. Não é necessário definir um espaço englobando esta condição. Sutil, não? Se definirmos U como o espaço das funções contínuas, continuamente diferenciáveis por partes que se anulam em x =, a versão fraca do problema consiste então em determinar u U tal que k(x)u (x)v (x) + q(x)u(x)v(x) = f(x)v(x), v U. Podemos definir o mesmo produto interno u, v L em U e proceder da mesma maneira descrita anteriormente. Algo mudou? A diferença estará na escolha dos subespaços. Continuaremos a usar splines lineares, mas somente com a restrição de se anularem em x = : U n+1 = { s(x) C[, 1] : s() = e s [xi,x i+1] P 1 }. A dimensão agora é n + 1. A base será formada pelas funções φ i (x), 1 i n definidas anteriormente, mais a função φ n+1 (x) = (x n+1 x)/h para x [x n, x n+1 ] que se anula em [, x n ]. Você pode usar o mesmo exemplo da Seção 3.4 para testar a ordem de convergência. E se as condições de fronteira não forem homogêneas?. Se tivermos u() = a e k(1)u (1) = b, é possível reduzir o problema ao caso homogêneo. Pense em como fazer isso. 5