Cálculo diferencial e integral via extensão de Zadeh e equações diferenciais fuzzy

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1 Cálculo diferencial e integral via extensão de Zadeh e equações diferenciais fuzzy Luciana T. Gomes, Laécio C. Barros, Depto de Matemática Aplicada, IMECC, UNICAMP, , Campinas, SP ra2448@ime.unicamp.br, laeciocb@ime.unicamp.br. Resumo: Definimos os conceitos de derivada e de integral de funções fuzzy utilizando o princípio de extensão de Zadeh sobre os operadores clássicos correspondentes. Apresentamos algumas de suas propriedades e enunciamos uma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para funções fuzzy e asseguramos a existência de solução de um problema de valor inicial fuzzy sob determinadas condições. Um método de resolução de problema de valor inicial fuzzy é apresentado e uma aplicação de um modelo de decaimento é resolvido e interpretado sob um contexto fuzzy. Palavras-chave: Cálculo Fuzzy, Equações Diferenciais Fuzzy, Extensão de Zadeh. 1 Introdução Desde que começou a ser consagrada por sua aplicabilidade, a teoria de conjuntos fuzzy sempre teve grande papel em áreas como teoria de informação, inteligência artificial, controle, processamento de imagem, ao representar em linguagem matemática a incerteza proveniente de falta de conhecimento de condições de contorno, de simplificações, falta de precisão na definição de conceitos linguísticos, etc. Observa-se também que sua influência em modelagem de fenômenos físicos, biológicos, químicos tem sido crescente, refletindo no interesse sobre o cálculo fuzzy e as equações diferenciais fuzzy (EDF). Diversas propostas de integração e derivação para a teoria de cálculo diferencial e integral de funções fuzzy podem ser encontradas na literatura. Puri e Ralescu [16] se basearam na integral de Aumann e na derivada de Hukuhara, criadas para o cálculo de multifunções, para desenvolver uma teoria para o cálculo diferencial e integral de funções com valores em conjuntos fuzzy. Posteriormente, Kaleva [12] aprofundou esse estudo e desenvolveu uma teoria para EDF. Vários outros trabalhos seguem essa linha de abordagem de cálculo fuzzy, em que a derivada e a interal são definidas explicitamente para funções fuzzy, de modo a obter igualdades a serem resolvidas no processo de resolução de EDFs [12], [18], [7], [3], [8], [13]. Em se tratando de EDFs, há outra abordagem que não se baseia em uma definição de fato de derivadas de funções fuzzy. É utilizada a teoria clássica de inclusões diferenciais para se obter um método de resolução das EDFs, de modo a não utilizar uma identidade explícita entre a derivada da variável de estado e o campo de direções considerado fuzzy, mas sim inclusões. Neste caso, cada -nível da solução de uma EDF é construído a partir de uma família de trajetórias clássicas (soluções das inclusões). Essa abordagem pode ser encontrada em trabalhos como [2], [9], [1], entre outros. Neste trabalho introduzimos um novo conceito de derivada e integral fuzzy, baseado no princípio de extensão de Zadeh aplicado sobre os operadores derivada e integral clássicos. Para tanto, lidamos com funções fuzzy cujos espaços base são formados por funções clássicas. Desse modo, na resolução de EDFs obtemos identidades explícitas. As soluções, por sua vez, assim como as obtidas por meio da teoria de inclusões, são construídas a partir de conjuntos atingíveis de uma família de trajetórias clássicas. 19

2 ISSN Ca lculo fuzzy e equac o es diferenciais fuzzy 2.1 Notac a o e alguns conceitos Seja E um espac o topolo gico. Um subconjunto fuzzy de E e definido atrave s de uma func a o ϕe : E [, 1], denominada func a o de pertine ncia, que associa cada elemento de E a um valor no intervalo [, 1]. Essa func a o generaliza o conceito de func a o caracterı stica de conjuntos cla ssicos, permitindo pertine ncias parciais. Denotamos por F(E) o espac o dos subconjuntos fuzzy de E e por FK (E) a famı lia de conjuntos fuzzy u de E cujos -nı veis x E : u(x) }, se > [u] = clx E : u(x) > }, se = sa o subconjuntos compactos na o vazios de E. Denotando por E([, T ]; Rn ) = x : [, T ] Rn } o espac o de func o es em que cada elemento x( ) tem algumas propriedades (p. ex., e contı nua), apresentamos a notac a o para espac os de func o es fuzzy utilizada neste trabalho: 1) F(E([, T ]; Rn )) e a classe de subconjuntos fuzzy de E([, T ]; Rn ), i.e., X( ) F(E([, T ]; Rn )) apenas se [X( )] E([, T ]; Rn ), [, 1] e 2) E([, T ]; F(Rn )) = X : [, T ] F(Rn )}. O conceito de derivada aqui introduzido e definido para as func o es fuzzy contidas no espac o definido em 1), enquanto que os elementos do espac o 2) sa o usados para definir soluc o es de equac o es diferenciais fuzzy. Observemos que, para cada func a o fuzzy W F(E([, T ]; Rn )), podemos definir os conjuntos atingı veis fuzzy no tempo t, W (t), cujos -nı veis sa o [W (t)] = [W ] (t) = w(t) : w [W ] }. Sob condic o es adequadas e possı vel mostrar que, se W FK (E([, T ]; Rn )), enta o [W (t)] satisfaz o Teorema de Representac a o 1 abaixo. Enta o, para cada W FK (E([, T ]; Rn )), temos uma func a o fuzzy do tipo W : [, T ] FK (Rn ) que, para cada t [, T ], associa o conjunto atingı vel fuzzy W (t). Teorema 1. Teorema da Representac a o [14] Seja A Rn : 1} uma famı lia de subconjuntos na o vazios satisfazendo A Aβ for all β 1; A = i=1 Ai para qualquer seque ncia na o-decrescente i (, 1].,1] A = A Enta o existe um conjunto fuzzy u de Rn, cuja func a o de pertine ncia e semicontı nua superiormente e tal que [u] = A. Ou seja, existe um conjunto fuzzy u FK (Rn ) tal que [u] = A. Definic a o 2. [11] Seja f : Rn F(Rn ) uma func a o. Para cada u F(Rn ) definimos a extensa o de Zadeh da func a o f como fb(u)(y) = sup f (x)(y) u(x)}. (1) x Rn Um caso particular ocorre quando f : Rn Rn : sups f 1 (y) u(s), se f 1 (y) 6= fb(u)(y) =., se f 1 (y) = (2) Para este u ltimo caso, o seguinte resultado e va lido: Teorema 3. [6, 15] Seja f : Rn Rn uma func a o contı nua. Enta o fb : FK (Rn ) FK (Rn ) esta bem definida e [fb(u)] = f ([u] ) para todo [, 1]. 11

3 Usaremos D para designar o operador derivação, isto é, Df( ) = f ( ); f = f(s)ds a integral indefinida de f e b a f = b a f(s)ds a sua integral definida no intervalo [a, b]. Particularmente, estamos interessados no espaço das funções absolutamente contínuas, AC([, T ]; R n ), i.e., no espaço fuzzy F(AC([, T ]; R n )). 2.2 Integral Definição 4. Integral de função fuzzy [5] Seja W F(AC([, T ]; R n )) uma função fuzzy. A integral de W é dada por W, em que é a extensão de Zadeh do operador integral, de acordo com a fórmula (2). Uma vez que o operador é contínuo, com base no Teorema 3 é possível afirmar que: Teorema 5. Se W F(AC([, T ]; R n )), [ (W ) ] = ([W ] ) = w( ) : w [W ] AC([, T ]; R n ) }, para todo [, 1]. 2.3 Derivada Usaremos D para representar o operador derivada, i.e., D : AC([, T ]; R n ) L ([, T ]; R n ) w Dw = w em que w é a derivada no sentido de distribuições (ver [1] e [17]). Então, existe Dw(t) q.t.p., em [, T ]. Definição 6. Derivada de função fuzzy [4] Seja W F(AC([, T ]; R n )). A derivada de W é dada por DW, em que D é a extensão de Zadeh do operador D, de acordo com a fórmula (2). Em [4] encontra-se a demonstração do Teorema a seguir. Teorema 7. [4] Seja W F K (AC([, T ]; R n )), então [ D(W )] = D([W ] ) = Dw( ) : w [W ] } = w AC([, T ]; R n ) : ϕ W (w) }, para todo [, 1]. 2.4 Teorema Fundamental do Cálculo Teorema 8. Teorema Fundamental do Cálculo Seja W F K (AC([, T ]; R n )). Nessas condições, ( ) D W = W, ou seja, [ ( )] D W = [W ], para todo [, 1]. 111

4 Prova. Uma vez que W F K (AC([, T ]; R n )), podemos utilizar os Teoremas 5 e 7: [ ( )] [( )] ( D W = D W = D [W ] ) = D w : w [W ] } = D ( w ) : w [W ] } = [W ]. Ou seja, D( W ) = W. Corolário 9. Seja X F K (AC([, T ]; R n )). Então para todo t [, T ] a integral Y (t) = t X(s)ds está bem definida, assim como DY (t). Além disso, DY (t) = X(t). Recordemos que Y (t) é o conjunto fuzzy atingível de Y no tempo t, assim como DY (t) é o conjunto fuzzy atingível de DY no tempo t. 2.5 Equação diferencial fuzzy Seja F : [, T ] F(R n ) F(R n ) contínua e X F K (R n ). Considere o problema de valor inicial fuzzy (PVIF) DX(t) = F (t, X(t)) X() = X (3) Uma solução para (3) é uma função fuzzy X( ) F K (AC([, T ]; R n )) que satisfaz (3) q.t.p. em [, T ]. Teorema 1. Seja F : [, T ] F(R n ) F(R n ) tal que toda f(, ) [F (, )] é contínua, para todo [, 1]. Então X F K (AC([, T ]; R n )) é solução do problema de valor inicial (3) se e somente se X satisfaz a equação integral para todo t [, T ]. Nota Interpretamos a soma X(t) = X + t F (s, X(s))ds (4) X(t) = X + t F (s, X(s))ds como o conjunto fuzzy de -níveis definidos pela união de elementos x + t f(s, x(s))ds : x = x() [X ] e f(, x( )) [F (, X( ))] }. em que x + t f(s, x(s))ds corresponde a uma solução do PVI clássico associado Dx(t) = f(t, x(t)) (5) x() = x Prova. Seja X F K (AC([, T ]; R n )) e satisfazendo (4). Então, para cada [, 1], [ DX(t)] = [ D(X + t F (s, X(s))ds] = D[X + t F (s, X(s))ds)] = D(x + } t f(s, x(s))ds) : x = x() [X ], f(, x( )) [F (, X( ))] = f(t, x(t)) : x = x() [X ], f(, x( )) [F (, X( ))] } = [F (t, X(t))]. 112 (6)

5 Partindo de (4), em t = temos [ [X()] = X + ] F (s, x(s))ds = x + } f(s, x(s))ds : x = x() [X ], f(, x( )) [F (, X( ))] = x + : x = x() [X ], f(, x( )) [F (, X( ))] } = [X ] Ou seja, X é solução de (3). Agora suponhamos que X F K (AC([, T ]; R n )) é solução de (3). Então t X + t em que [ X + ( ) ] t DX(t) = F (t, X(t)) ( ) = ( ) = t F (s, X(s))ds = X + t F (s, X(s))ds x + t Dx(s)ds : x = x() [X ], x( ) [X( )] } (7) (8) Portanto, [ X + ( ) ] t de onde obtemos = x() + t Dx(s)ds : x() [X ] e x( ) [X( )] } = x(t) : x() [X ] e x( ) [X( )] } = [X(t)], (9) X + t F (s, X(s))ds = X(t). (1) 2.6 Método de resolução de EDFs Pelo Teorema 7, em -níveis, (3) é equivalente à família de PVIs D[X] (t) = [F (t, X(t))] [X()] = [X ] (11) para todo [, 1]. Agora, D[X] (t) = [F (t, X(t))] Dx(t) : x [X] } = [F (t, X(t))]. Então, X F K (AC([, T ]; R n )) é uma solução de (3) se e somente se seus -níveis [X( )] são dados pela família de soluções das inclusões diferenciais Dx(t) [F (t, X(t))] x() [X ] (12) De acordo com a teoria desenvolvida em [4], se as inclusões Dx(t) [F (t, x(t))] x() [X ] (13) tem solução X( ) e se [F (t, x)] [F (t, X)], X( ) também é uma solução do PVIF (3) proposto utilizando a derivada via extensão do operador clássico. Ou seja, o problema aqui proposto está fortemente ligado ao problema de resolver um PVIF através do método de Hüllermeier [1]. 113

6 3 Aplicação Considere o PVIF DX(t) = λx(t) X() = x (14) com λ F K (R). Suponha também que [λ] = [λ 1, λ 2 ] e λ 1 >, para todo [, 1]. Uma interpretação física para o sistema (14) é de modelo de desintegração radioativa, em que X(t) representa a quantidade de uma substância radioativa no instante t e o número de desintegraçoes por unidade de tempo é proporcional à quantidade de substância presente em cada instante. λ representa o coeficiente de proporcionalidade, o qual não é conhecido com precisão, sendo portanto interpretado em um contexto fuzzy. Tal imprecisão pode ser proveniente da coleta dos dados para estimar tal parâmetro (o aparelho de medição pode apresentar certo grau de imprecisão); a estimativa pode ser uma média de valores divergentes presentes na literatura; outras variáveis presentes no ambiente podem influenciar no decaimento, de modo que todas estão resumidas neste único parâmetro a ser estimado. No caso, a condição inicial, por sua vez, é clássica, ou seja, sabe-se com exatidão o valor inicial a partir do qual se aplica o modelo. O problema satisfaz a hipótese do Corolário 5.2 de [4] e, de acordo com (13), (14) tem uma solução dada por Dx(t) [ λx(t)] = [ λ 2, λ 1 ]x(t). (15) x() = x R Agora, G (x) = [ λ 2, λ 1 ]x é uma típica multifunção parametrizada (ver [1]) e a solução de (15) tem conjuntos atingíveis dados por Dx(t) = minγx(t), γ [ λ 2, λ 1 ]}, x() = x Dx(t) = maxγx(t), γ [ λ 2, λ 1 ]}, x() = x. Então, os -níveis da solução de (14) são os intervalos [X(t)] = x [e λ 2 t, e λ 1 t ] para cada [, 1]. A partir desse resultado, constata-se que o decaimento leva a quantidade da substância radioativa a zero, com uma certeza cada vez maior, uma vez que o diâmetro de cada -nível da solução diminui com o passar do tempo, tendendo ao ponto o zero. O resultado se mostra coerente com o modelo proposto, tendo em vista que, se uma substância sofre decaimento, a única certeza que temos é que o valor da variável vai se aproximar da origem, independentemente da constante de proporcionalidade ser ou não incerta. Os -níveis tenderem todos ao ponto zero, diminuindo cada vez mais a incerteza da solução, verificam essa expectativa. 4 Conclusão Os conceitos de derivada e de integral fuzzy foram definidos a partir da extensão de Zadeh sobre os respectivos operadores clássicos. Sob determinadas hipóteses, propriedades que se verificam com os operadores clássicos também foram verificados para os operadores fuzzy, como o Teorema Fundamental do Cálculo. Um teorema a respeito de solução de PVIFs também foi apresentado, bem como um método de resolução. No caso das EDFs, o método aqui apresentado resulta em uma identidade explícita a ser resolvida (como em [12]), mas se mostra mais próxima da abordagem através de inclusões diferenciais, apresentada em [1] e [9]. Por fim, um PVIF representando um modelo de decaimento radioativo com constante de proporcionalidade incerta foi resolvido, constatando o resultado esperado de que a incerteza do parâmetro fuzzy não diminui a certeza da tendência da solução ao valor zero. Ressaltamos que neste mesmo problema poderíamos considerar a condição inicial X também incerta. Neste caso, a informação que qualitativa de que a radiação vai a zero também se verifica. 114

7 Agradecimentos Os autores agradecem o suporte do CNPq (processos no /29-9 e 14798/21-2). Referências [1] J. P. Aubin e A. Cellina, Differential inclusions - set-value maps and a viability theory, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, [2] V. A. Baidosov, Fuzzy differential inclusions, PMM USSR, 54 (199) [3] R. C. Bassanezi, L. C. Barros e P. A. Tonelli, Attractors and asymptotic stability for fuzzy dynamical systems, Fuzzy Sets and Systems, 113 (2) [4] L. C. Barros, L. T. Gomes e P. A. Tonelli, Fuzzy Differential Equations: an approach via fuzzification of the derivative operator, Fuzzy Sets and Systems, ainda não publicado. [5] L. C. Barros, P. A. Tonelli e A. P. Julião, Cálculo Diferencial e Integral para funções fuzzy via extensão dos operadores de derivação e integração, Relatório Técnico, 21. [6] L. C. Barros, R. C. Bassanezi e P. A. Tonelli, On the continuity of Zadeh s extension, em Proc. of the Seventh IFSA World Congress, pp. 3-8, vol. II, Praga, [7] B. Bede e S. G. Gal, Generalizations of the differentiability of fuzzy-number-valued functions with applications to fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and Systems, 151 (25) [8] Y. Chalco-Cano e H. Román-Flores, Comparation between some approaches to solve fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and Systems, 16 (29) [9] P. Diamond, Time-dependent differential inclusions, cocycle attractors an fuzzy differential equations, IEEE Trans. Fuzzy Systems, 7 (1999) [1] E. Hüllermeier, An approach to modeling and simulation of uncertain dynamical systems, Int. J. Uncertainty, Fuzziness Knowledge-Bases Syst., 5 (1997) [11] H. Huang e C. Wu, Approximation of fuzzy functions by regular fuzzy neural networks, Fuzzy Sets and Systems, 177 (211) [12] O. Kaleva, Fuzzy Differential Equations, Fuzzy Sets and Systems, 24 (1987) [13] V. Lakshmikantham e R. Mohapatra, Theory of Fuzzy Differential Equations and Inclusions, Taylor and Francis Publishers, London, 23. [14] C. V. Negoita e D. A. Ralescu, Applications of fuzzy sets to systems analysis, John Wiley & Sons, New York, [15] H. T. Nguyen, On conditional possibility distributions, Fuzzy Sets and Systems, 1 (1978) [16] M. L. Puri e D. Ralescu, Fuzzy random variables, J. Math. Anal. Appl., 98 (1986) [17] W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, Inc., [18] S. Seikkala, On the fuzzy initial value problem, Fuzzy Sets and Systems, 24 (1987)