Emparelhamentos generalizados associados às tesselações

Transcrição

1 Emparelhamentos generalizados associados às tesselações {1η 8,4} e {1µ 1,4} João de Deus Oliveira Jr Depto de Matemática, PUC-MG , Belo Horizonte, MG jdojr@hotmail.com Mercio Botelho Faria Depto de Matemática, CEE, UFV, , Viçosa, MG mercio@ufv.br de junho de Resumo O objetivo principal deste artigo é o estudo de emparelhamentos das arestas de polígonos hiperbólicos com 1η 8 e 1µ 1 arestas que estejam associados às tesselações {1η 8,4} e {1µ 1, 4} pois estas fornecem empacotamentos de esferas com densidade próximas à densidade máxima e portanto relacionados a códigos com probabilidade de erro próximas ao valor mínimo, ou seja, códigos ótimos. Estes também estão relacionados à busca de códigos para sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas, MIMO. Palavras-chave: Emparelhamento de arestas de polígonos hiperbólicos, Códigos geometricamente uniforme, Empacotamento de esferas, Geometria hiperbólica Introdução O principal objetivo do problema de Empacotamento de Esferas (vejam [] e [3]), é a busca pela maior densidade possível de empacotamento. Em [9, página 41], Toth apresentou o limitante máximo para esta densidade no plano hiperbólico. Segundo ele, a densidade de empacotamento é limitada superiormente por 3 π. Em [3, Cáp. 4 teorema 4.1.1] fizemos estudos assintóticos para reticulados do tipo {p, q}. Demonstramos que assintoticamente 1, a densidade de empacotamento não atinge o valor 3 π. Porém, temos que 3 π é atingido por empacotamentos de horobolas {,3}. Assim, quando consideramos um reticulado da forma {p, q}, temos um empacotamento de esferas associado. A busca por empacotamentos reticulados ótimos, no sentido da maior densidade possível, está ligada à busca de códigos ótimos, pois maior densidade de empacotamento implica em menor probabilidade de erro. A relevância de tais resultados para empacotamento de esferas, está no fato que reticulados hiperbólicos do tipo {1η 8,4} e {1µ 1,4} fornecem empacotamentos com densidades próximas ao empacotamento ótimo em relação a densidade de empacotamento no plano hiperbólico. Daí, nosso interesse em explorar os emparelhamentos de arestas de polígonos, em particular os polígonos com 1η 8 e 1µ 1 arestas (seções 4 e 5). Iniciamos definindo emparelhamento de arestas. 1 Assintoticidade no sentido de p e q tenderem a infinito, onde p e q determinam um ladrilhamento {p,q}. 170

2 3 Emparelhamento de arestas de um polígono Seja P um polígono e considere A o conjunto de arestas de P. Um emparelhamento de arestas de P é definido da seguinte forma (vejam [1] e [8]). Definição 3.1. Um emparelhamento de arestas de P é um conjunto Φ = {T τ τ A} de isometrias que, para toda aresta τ A : 1) existe aresta τ A com T τ (τ ) = τ; ) as isometrias T τ e T τ satisfazem a relação T τ = Tτ 1 ; 3) se τ for aresta de P então τ = P Tτ 1 (P). Além desta definição, ressaltamos um resultado que apresenta condições necessárias para a convexidade de um polígono. Teorema 1. Seja P um polígono hiperbólico com ângulos internos θ 1,...,θ n. Então P é convexo se, e somente se, 0 θ i π, para cada i = 1,...,n. A condição necessária para a existência de um polígono com ângulos internos θ 1,...,θ n é apresentada no próximo teorema: Teorema. Sejam θ 1,...,θ n ângulos ordenados por alguma n-upla e 0 θ i < π, para cada i = 1,...,n. Então existe um polígono hiperbólico P com ângulos internos θ 1,...,θ n formados nesta ordem ao redor de P se, e somente se, θ θ n < (n )π. O emparelhamento Φ de um polígono P gera um grupo Γ. Com este grupo podemos obter superfícies de Riemann R de um dado gênero g através do quociente de E por Γ, denotado por E Γ, onde E pode ser o plano euclidiano, ou o plano elíptico, ou o plano hiperbólico. Se Γ é um grupo finitamente gerado do primeiro tipo, podemos denotar a assinatura de Γ por (g : k;m 1,m,...,m k ), onde g denota o gênero, k o número de elementos elípticos e/ou parabólicos. Caso Γ não tenha elementos parabólicos nem elípticos, então denotamos por (g : 0). Seja Γ um grupo finitamente gerado do primeiro tipo Γ com assinatura (g : 0). Então o número N de arestas de arestas do polígono emparelhadas pelas funções geradoras de Γ está entre 4g e 1g 6, [1]. Os emparelhamentos para polígonos com 4g arestas foram bem explorados na literatura [3], [7] e [11]. Já os polígonos com 1g 6 arestas foram explorados, os oito possíveis emparelhamentos para este, nos trabalhos [4],[5] e [6]. Neste trabalho nós apresentamos os dois emparelhamentos generalizados que construimos. Estes estão relacionados às tesselações {1η 8,4} e {1µ 8,4} (seções 4 e 5). 4 Emparelhamentos Generalizados {1η 8, 4} Seja P 1η 8 um polígono hiperbólico regular e P 1η 8, com 1η 8 arestas e com ângulos internos medindo π/, onde η é ímpar e η 3. Este polígono é possível de ser construído, além disso ele é convexo, pois se somarmos todos os seus ângulos internos, temos (1η 8) π = (6η 4)π < (1η 10)π = [(1η 8) ]π. Assim, o Teorema nos garante que P 1η 8 existe. Ainda, como todos os ângulos internos de P 1η 8 são iguais π/ e 0 < π/ < π, então pelo Teorema 1, P 1η 8 é convexo. Para emparelharmos as arestas de P 1η 8 geramos a seguinte regra que denotaremos por R {1η 8,4} : Dizemos que um grupo Γ é do primeiro tipo se o conjunto dos pontos de acumulação das órbitas Γ(z) z D é igual à fronteira do disco de Poincaré D. 171

3 Sejam n = 1η 8 (número de arestas) e c = (1η 8)/4 (número de ciclos, com 4 vértices, a ser obtido). Então, para 1 i c 1 e j = 1,, definimos as seguintes identificações de arestas: γ an (a n ) = a n e γ ac (a c ) = a n 1 ; (1) γ ai (a i ) = a (n ) 3i ; () se i for ímpar, então γ a(n ) 3i j (a (n ) 3i j ) = a (n ) 3(i 1) j. (3) Logo a regra R {1η 8,4} nos dá um emparelhamento de arestas do polígono P 1η 8, que denotaremos por Φ 1η 8. E assim, enunciamos o seguinte resultado. Teorema 3. Sejam P 1η 8 um polígono hiperbólico regular com ângulos internos iguais a π/, como descrito o início desta seção, e Φ 1η 8 o emparelhamento de arestas do polígono P 1η 8, obtido pela regra R {1η 8,4}. Então, Φ 1η 8 gera um grupo Fuchsiano G 1η 8 tal que H /G 1η 8 é uma superfície compacta orientável de gênero igual a g = (3η 1)/. Demonstração: Veja que o emparelhamento Φ 1η 8 formado pelas identificações das arestas do polígono P 1η 8, dadas pela regra R {1η 8,4}, nos dá c = (1η 8)/4 ciclos de vértices. Por recorrência e observando o emparelhamento Φ 1η 8, temos que os ciclos são dados pela seguinte regra: Para 1 i c 1, temos: se i for ímpar, então C vi = {v i,v n 1 3i,v n 3(i+1),v n 3(i 1) }; (4) se i for par, então C vi = {v i,v n 1 3i,v n 3(i 1),v n 3(i 1) }; (5) e C vc = {v c,v c+1,v n 1,v n }. (6) Note que todos os ciclos são homogêneos com 4 vértices. Como cada vértice possui ângulo medindo π/, assim a soma de todos os ângulos de cada ciclo será igual a π. Do fato que estamos usando apenas isometrias hiperbólicas e que P 1η 8 possui finitas arestas, temos que o Teorema de Poincaré nos garante que Φ 1η 8 gera um grupo Fuchsiano G 1η 8 e P 1η 8 é um domínio fundamental de G 1η 8. Além disso, como não estamos usando isometrias parabólicas e P 1η 8 é um polígono com área finita (convexo e fechado) sem vértices ideais, então H /G 1η 8 é uma superfície compacta orientável. O gênero da superfície H /G 1η 8, é calculado a seguir 3 1η 8 4 1η = g, logo g = 3η 1. (7) Portanto, o emparelhamento Φ 1η 8 nos dá superfície compacta orientável H /G 1η 8 de gênero g = (3η 1)/. Agora, construiremos um exemplo de emparelhamentos para polígono de 5 arestas (quando η = 5). Exemplo 4 (η = 5). Considere P 5 um polígono hiperbólico em D de arestas, a 1,a,...,a 5, e vértices v 1,v,...,v 5. Sendo n = 5 e c = 13, temos os seguintes pares de arestas emparelhadas: {a 1,a 47 },{a,a 44 },{a 3,a 41 },{a 4,a 38 },{a 5,a 35 },{a 6,a 3 },{a 7,a 9 },{a 8,a 6 },{a 9,a 3 }, {a 10,a 0 },{a 11,a 17 },{a 1,a 14 },{a 15,a 18 },{a 16,a 19 },{a 1,a 4 },{a,a 5 },{a 7,a 30 },{a 8,a 31 }, {a 33,a 36 },{a 34,a 37 },{a 39,a 4 },{a 40,a 43 },{a 45,a 48 },{a 46,a 49 },{a 50,a 5 },{a 13,a 51 }. Ou seja, pela regra de emparelhamento R {1η 8,4}, temos a Figura 1. 3 Usamos a relação de Euler sabendo que V A + F = g onde V número de vértices, A número de arestas, F número de faces e g o gênero 17

4 Figura 1: Polígono hiperbólico de 5 arestas com o emparelhamento Φ 5. Assim obtemos o emparelhamento Φ 5 formados por todas as identificação das arestas do polígono P 5, dadas pela regra R {1η 8,4}. Este emparelhamento nos dá 13 ciclos com 4 vértices cada, a saber: C v1 = {v 1,v 48,v 46,v 50 }; C v = {v,v 47,v 49,v 45 }; C v3 = {v 3,v 44,v 40,v 4 }; C v4 = {v 4,v 41,v 43,v 39 }; C v5 = {v 5,v 36,v 34,v 38 }; C v6 = {v 6,v 35,v 37,v 33 }; C v7 = {v 7,v 3,v 8,v 30 }; C v8 = {v 8,v 9,v 31,v 7 }; C v9 = {v 9,v 4,v,v 6 }; C v10 = {v 10,v 1,v 5,v 3 }; C v11 = {v 11,v 18,v 16,v 0 }; C v1 = {v 1,v 15,v 19,v 17 }; C v13 = {v 13,v 5,v 51,v 14 }. Portanto, pelo Teorema 3, o emparelhamento Φ 5 gera uma superfície compacta orientável, além disso, como η = 5 então, pela expressão 7, temos é o gênero da superfície obtida. g = 3 5 1, assim g = 7. 5 Emparelhamentos Generalizados {1µ 1, 4} Seja P 1µ 1 um polígono hiperbólico regular com ângulos internos iguais π/ e 1µ 1 arestas, onde µ é par e µ. Este polígono é possível de ser construído, pois, somando todos os seus ângulos internos, temos (1µ 1) π = (6η 6)π < (1η 14)π = [(1η 1) ]π. Assim, o Teorema nos garante que P 1µ 1 existe. Além disso, como cada ângulo de P 1µ 1 é igual a π/ e 0 < π/ < π, então o Teorema 1 nos garante que P 1µ 1 é um polígono convexo. 173

5 Para emparelharmos as arestas de P 1µ 1 geramos a seguinte regra que denotamos por R {1µ 1,4} : Seja n = 1µ 1 e c = (1µ 1)/4 então, para 1 i c 1 e j = 1,, definimos a seguinte identificação de arestas: γ an (a n ) a n e γ ac (a c ) a n 1 ; (8) γ ai )(a i ) a (n ) 3i ; (9) se i for impar, então γ a(n ) 3i j (a (n ) 3i j ) a (n ) 3(i 1) j. (10) Assim, a regra R {1µ 1,4} nos dá um emparelhamento de arestas do polígono P 1µ 1, onde denotaremos por Φ 1µ 1. E assim, com o exposto acima enunciamos o seguinte resultado. Teorema 5. Sejam P 1µ 1 um polígono hiperbólico regular com ângulos internos iguais a π/, como descrito no início desta seção, e Φ 1µ 1 o emparelhamento de arestas do polígono P 1µ 1, obtido pela regra R {1µ 1,4}. Então Φ 1µ 1 gera um grupo Fuchsiano G 1µ 1 tal que H /G 1µ 1 é uma superfície compacta orientável de gênero igual a g = (3µ )/. Demonstração: Veja que o emparelhamento Φ 1µ 1 formado pelas identificações das arestas do polígono P 1µ 1, nos dá c = (1µ 1)/4 ciclos de vértices. Por recorrência e observando o emparelhamento Φ 1µ 1, temos que os ciclos são encontrados usando a seguinte regra: Para 1 i c 1, temos: se i for ímpar, então C vi = {v i,v n 1 3i,v n 3(i+1),v n 3(i 1) }; (11) se i for par, então C vi = {v i,v n 1 3i,v n 3(i 1),v n 3(i 1) }; (1) e C vc = {v c,v c+1,v n 1,v n }. (13) Logo, obtemos ciclos homogêneos, formados com 4 vértices. Como cada vértice possui ângulo interno igual a π/, então a soma de todos os ângulos de cada ciclo é igual a π. Além disso, como estamos usando apenas isometrias hiperbólicas e P 1µ 1 possui finitas arestas. Assim, o Teorema de Poincaré nos garante que Φ 1µ 1 gera um grupo Fuchsiano G 1µ 1 e P 1µ 1 é um domínio fundamental de G 1µ 1. Além disso, do fato que não estamos usando isometrias parabólicas e que P 1µ 1 é um polígono com área finita (convexo e fechado) sem vértices ideais, então H /G 1µ 1 é uma superfície compacta orientável. O gênero da superfície H /G 1µ 1, é calculado a seguir 1µ 1 4 1µ = g, logo g = 3µ. (14) Portanto, o emparelhamento Φ 1µ 1 nos dá superfície compacta orientável H /G 1µ 1 de gênero g = (3µ )/. Agora, construiremos um exemplo de emparelhamento para polígono com 36 arestas (quando µ = 4). Exemplo 6 (µ = 4). Agora, seja P 36 um polígono hiperbólico D com arestas, a 1,a,...,a 36, e vértices v 1,v,...,v 36. Como n = 36 e c = 9, obtemos os seguintes pares de arestas emparelhadas: {a 1,a 31 },{a,a 8 },{a 3,a 5 },{a 4,a },{a 5,a 19 },{a 6,a 16 },{a 7,a 13 },{a 8,a 10 },{a 9,a 35 }, {a 11,a 14 },{a 1,a 15 },{a 17,a 0 },{a 18,a 1 },{a 3,a 6 },{a 4,a 7 },{a 9,a 3 },{a 30,a 33 },{a 34,a 36 }. Ou seja, a regra de emparelhamento de arestas R {1µ 1,4} nos dá a seguinte Figura. 174

6 Figura : Polígono hiperbólico de 36 arestas com o emparelhamento Φ 36. E assim, obtemos o emparelhamento Φ 36 formados por todas as identificações das arestas do polígono P 36, obtidas pela regra R {1µ 1,4}. Este emparelhamento nos dá 9 ciclos com 4 vértices cada, a saber: C v1 = {v 1,v 3,v 30,v 34 }; C v = {v,v 31,v 33,v 9 }; C v3 = {v 3,v 8,v 4,v 6 }; C v4 = {v 4,v 5,v 7,v 3 }; C v5 = {v 5,v,v 18,v 0 }; C v6 = {v 6,v 19,v 1,v 17 }; C v7 = {v 7,v 16,v 1,v 14 }; C v8 = {v 8,v 13,v 15,v 11 }; C v9 = {v 9,v 10,v 35,v 36 }; Portanto, pelo Teorema 5, o emparelhamento Φ 36 gera uma superfície compacta orientável, além disso, como µ = 4 então, pela expressão 14, temos é o gênero da superfície obtida. g = 3 4, assim g = 5, 6 Empacotamento de Esferas Em [3], encontramos uma expressão analítica para a densidade de empacotamento. Utilizando a mesma nós calculamos as densidades de empacotamentos relacionadas às tesselações {1η 8,4} e {1µ 1,4}, respectivamente. 175

7 η Gênero Densidade {1η 8, 4} e µ Gênero Densidade {1µ 1, 4} O valor máximo da densidade de empacotamento é 3 π = Conclusão Os emparelhamentos generalizados que apresentamos neste trabalho estão associados a polígonos que são domínios fundamentais de tesselações do tipo {1η 8,4} e {1µ 1,4} que fornecem empacotamentos de esferas de densidades próximas à densidade máxima. Além disto, a busca por novos emparelhamentos relacionados a estas tesselações nos auxiliará também a encontrarmos seus grupos fuchsianos aritméticos que tem aplicação em MIMO (veja [10]). Referências [1] Beardon, Alan. The Geometry of Discrete Groups, - Springer Verlag, [] Conway, J. H., Sloane, N. J.A., Sphere Packing Lattice and Groups. Springer- Verlag, NY, [3] Faria, Mercio Botelho. Empacotamento de esferas em espaços hiperbólicos, Dissertação de mestrado, Imecc-Unicamp, 001. [4] Faria, M. B. e Palazzo, R. Dois casos de emparelhamentos generalizados associados a tesselação {1g 6, 3}. Anais do XXXII Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, UFMT, Cuibá-MT, setembro, 009. [5] Faria, M. B. e Palazzo, R. Emparelhamentos generalizados casos III e VI Associados a tesselação {1g 6, 3}, anais do XXVII Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT 009), Blumenau-SC, outubro, 009. [6] Faria, M. B. e Palazzo, R. Generalizaçção de emparelhamento de arestas de polígonos hiperbólicos relacionados à tesselação {1g 6, 3} no XXVII Colóquio Brasileiro de Matemática, realizado no IMPA, Rio de Janeiro, julho, 009. [7] Kinsey, L. Christine. Topology of surfaces, Springer-Verlag, New York, [8] Katok, Svetlana. Fuchsian Groups. The Univesity of Chicago Press, Chicago, 199. [9] Tóth, L. Fejes. Regular Figures. International series of monographs on Pure and Applied Mathematics, Pergamon press LTDA, Oxford, vol. 48, [10] Vieira, V. L., Palazzo, R. e Faria, M. B. Edge-Pairing Isometries and Arithmetic Fuchsian Groups Associated with the Tessellation {10λ, λ} for Space-Time Codes, IEEE Transactions on Information Theory, em submissão. [11] Weeks, Jeffrey R. The shape of space, Marcel Dekker, New York,