A matemática atrás da arte de M. C. Escher

Transcrição

1 A matemática atrás da arte de M. C. Escher Katrin Gelfert (IM-UFRJ) Oktobermat, PUC-Rio, 2015 (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 1 / 20

2 (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 2 / 20

3 Geometria euclidiana Os Elementos [Euclides, 300 a.c.]: Um ponto é o que não tem parte nem dimensão. Linha é o que tem comprimento e não tem largura. As extremidades da linha são pontos. Linha reta é aquela que está posta igualmente entre as suas extremidades. Superfície é o que tem comprimento e largura. As extremidades da superfície são linhas. Um ângulo plano é a inclinação entre si de duas linhas de um plano, se estas se cortam e não estão em uma mesma reta. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 3 / 20

4 Geometria euclidiana Os Postulados de Euclides: (P1) Dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une; (P2) Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta; (P3) Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se construir uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; (P4) Todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes); (P5) Se uma linha reta corta duas linhas retas de forma a que os dois ângulos internos de um mesmo lado sejam (em conjunto, ou soma) menores que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se forem prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto no mesmo lado em que os dois ângulos são menores que dois ângulos retos. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 4 / 20

5 Geometria euclidiana (P1) (P2) (P3) (P4) Dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une; Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta; Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se construir uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; Todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes). (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 5 / 20

6 Geometria euclidiana (P5) Se uma linha reta corta duas linhas retas de forma a que os dois ângulos internos de um mesmo lado sejam (em conjunto, ou soma) menores que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se forem prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto no mesmo lado em que os dois ângulos são menores que dois ângulos retos. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 6 / 20

7 Geometria euclidiana Supondo (P1) (P4), o postulado (P5) é equivalente à cada um dos seguintes fatos: A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a dois ângulos retos. (Postulado do triângulo) desde de Aristóteles 400 a.c. Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais que no plano que definem há exactamente uma reta incidente com P e paralela a r. (Postulado de paralelas) Ptolomeo ( 200), Próclo ( 400), Playfair (18Jh-19Jh) Se três dos ângulos de um quadrilátero são retos, então, o último também é reto. Há rectângulos. (Saccheri 17-18Jh) Existe um par de triângulos semelhantes e não congruentes. Teorema de Pitágoras (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 7 / 20

8 Geometria não-euclidiana Postulados (P1) (P4), Negação do Postulado (P5): Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais que no plano que definem existem pelo menos duas / não existem retas paralelas incidente com P e paralela a r. Existem de fato tais geometrias: [Janos Bolyai, Carl F. Gauss, Nikolai I. Lobachevsky] (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 8 / 20

9 Geometria hiperbólica (P1) (P2) (P3) (P4) Há único segmento de reta que une dois pontos. Segmento de reta pode ser prolongado. Podemos construir circumferências. Ângulos retos são congruentes. (P5 ) Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais que no plano que definem existem pelo menos duas retas paralelas incidente com P e paralela a r. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 9 / 20

10 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior O semi-plano hiperbólico H 2 tem geometria hiperbólica H 2 := {z C: Im(z) > 0}. ponto = ponto (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 10 / 20

11 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior O semi-plano hiperbólico H 2 tem geometria hiperbólica H 2 := {z C: Im(z) > 0}. ponto = ponto reta = reta ou semi circulo (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 10 / 20

12 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior O semi-plano hiperbólico H 2 tem geometria hiperbólica H 2 := {z C: Im(z) > 0}. ponto = ponto reta = reta ou semi circulo ângulo = ângulo entre tangentes (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 10 / 20

13 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior (P1) (P2) (P3) (P4) Há único segmento de reta que une dois pontos. Segmento de reta pode ser prolongado. Podemos construir circumferências. Ângulos retos são congruentes. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 11 / 20

21 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior (P1) (P2) (P3) (P4) Há único segmento de reta que une dois pontos. Segmento de reta pode ser prolongado. Podemos construir circumferências. (Construimos o centro hiperbólico) Ângulos retos são congruentes. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 12 / 20

25 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior Duas retas são paralelos se são disjuntos. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 13 / 20

26 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior Duas retas são paralelos se são disjuntos. (P5 ) Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais que no plano que definem existem pelo menos duas retas paralelas incidente com P e paralela a r. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 13 / 20

30 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior Duas retas são paralelos se são disjuntos. (P5 ) Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais que no plano que definem existem pelo menos duas retas paralelas incidente com P e paralela a r. Se existem pelo menos duas retas paralelas incidente com P e paralela a r, então existem infinitas. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 13 / 20

31 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior Uma reta divide o espaço em dois semi-espaços. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 14 / 20

32 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior Uma reta divide o espaço em dois semi-espaços. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 14 / 20

33 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior Uma reta divide o espaço em dois semi-espaços. Um triângulo é a intersecção de três semi-espaços com área finita. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 14 / 20

34 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior Uma reta divide o espaço em dois semi-espaços. Um triângulo é a intersecção de três semi-espaços com área finita. A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menor do que dois ângulos retos (<180 o ). (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 14 / 20

35 Geometria hiperbólica Modelo: semi-plano superior Uma reta divide o espaço em dois semi-espaços. Um triângulo é a intersecção de três semi-espaços com área finita. A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menor do que dois ângulos retos (<180 o ). A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é sempre menor do que quatro ângulos retos (<360 o ). (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 14 / 20

36 Geometria hiperbólica Modelo: disco de Poincaré A transformação Ψ: H 2 D: z z i iz 1 D := {z C: z < 1} é um difeomorfismo holomorfo. Em particular, ele é conforme e portanto preserve ângulos. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 15 / 20

37 Geometria hiperbólica na árte de M. C. Escher Consideramos em D o poligonio: interseção dos semi-planos (k = 0,..., 3) H k = {z D: z ri k r 2 1} (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 16 / 20

41 Tesselação Definition Uma tesselação do plano é um recobrimento, tendo, como unidades básicas, polígonos congruentes ou não, sem que existam espaços entre eles e de modo que o plano total seja igual ao espaço particionado. Uma tesselação é dito regular se são n-gons regulares e todos iguais e em cada vertex se encontram k deles. Chamamos {n, k} o simbolo de Schläfli da tesselação regular. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 17 / 20

42 Tesselação do plano euclideano Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem 2π n + δ = π (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 18 / 20

43 Tesselação do plano euclideano Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem 2π n + δ = π δ = π(1 2 n ) (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 18 / 20

44 Tesselação do plano euclideano Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem 2π n + δ = π δ = π(1 2 n ) Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos π(1 2 n ) = δ = 2π k (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 18 / 20

45 Tesselação do plano euclideano Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem 2π n + δ = π δ = π(1 2 n ) Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos π(1 2 n ) = δ = 2π 1 k 2 = 1 k + 1 n (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 18 / 20

46 Tesselação do plano euclideano Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem 2π n + δ = π δ = π(1 2 n ) Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos π(1 2 n ) = δ = 2π 1 k 2 = 1 k + 1 n Lemma Há somente três tipos de tesselações: Triângulos, Quadrados, Hexágonos. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 18 / 20

47 Tesselação do plano euclideano Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem 2π n + δ = π δ = π(1 2 n ) Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos π(1 2 n ) = δ = 2π 1 k 2 = 1 k + 1 n Lemma Há somente três tipos de tesselações: Triângulos, Quadrados, Hexágonos. k = 3, n = 6 (hexágonos), k = 4, n = 4 (quadrados), k = 6, n = 3 (triângulos) (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 18 / 20

48 Tesselação do plano hiperbólico Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem 2π n + δ < π (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 19 / 20

49 Tesselação do plano hiperbólico Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem 2π n + δ < π δ < π(1 2 n ) (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 19 / 20

50 Tesselação do plano hiperbólico Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem 2π n + δ < π δ < π(1 2 n ) Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos π(1 2 n ) > δ = 2π k 1 2 > 1 k + 1 n (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 19 / 20

51 Tesselação do plano hiperbólico Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem 2π n + δ < π δ < π(1 2 n ) Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos π(1 2 n ) > δ = 2π k 1 2 > 1 k + 1 n Lemma No plano hiperbólico há infinitas tipos de tesselações. (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 19 / 20

52 Tesselação do plano hiperbólico Para um n-gon regular os ángulos internos δ satisfazem 2π n + δ < π δ < π(1 2 n ) Com k poligons n-gons regulares em cada vertex temos π(1 2 n ) > δ = 2π k 1 2 > 1 k + 1 n Lemma No plano hiperbólico há infinitas tipos de tesselações. k = 8, n = 4 k = 4, n = 8 (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 19 / 20

53 (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 20 / 20