Generalizações do Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo é π
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- Afonso Gonçalves Mirandela
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1 Generalizações do Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo é π Ryuichi Fukuoka Universidade Estadual de Maringá Departamento de Matemática São José do Rio Preto 26 de fevereiro de 2007 Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 1 / 33
2 A soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 2 / 33
3 A soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples Como é de conhecimento de todos, sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 2 / 33
4 A soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples Como é de conhecimento de todos, sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é π. Antes de mais nada, mostraremos que o enunciado mais natural desse teorema diz que a soma dos ângulos externos de um triângulo é 2π. Mais que isso, mostraremos que a soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples é 2π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 2 / 33
5 Poĺıgonos simples Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 3 / 33
6 Poĺıgonos simples Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 3 / 33
7 Ângulos externos de um poĺıgono simples no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 4 / 33
8 Ângulos externos de um poĺıgono simples no plano Cem ec..e QyV( Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 4 / 33
9 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 5 / 33
10 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Uma curva diferenciável (classe C ) α : [a, b] R 2 é dita regular se α (t) 0 para todo t [a, b]. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 5 / 33
11 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Uma curva diferenciável (classe C ) α : [a, b] R 2 é dita regular se α (t) 0 para todo t [a, b]. Seja α : [0, 1] R 2 uma curva regular, simples e fechada no plano tal que α (n) (a) = α (n) (b) para todo n N. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 5 / 33
12 Exemplo de uma curva regular, simples e fechada Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 6 / 33
13 Exemplo de uma curva regular, simples e fechada Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 6 / 33
14 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 7 / 33
15 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Estamos interessados em calcular a variação angular do vetor tangente ao longo de α. Em outras palavras, queremos saber qual é a variação angular de α (t) a medida que t varia de 0 à 1. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 7 / 33
16 Variação angular do vetor tangente ao longo de uma curva regular, simples e fechada Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 8 / 33
17 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 9 / 33
18 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Pode se ver claramente que a variação angular do vetor tangente é um múltiplo de 2π ao percorrermos a curva no sentido anti-horário. Mostraremos que a variação angular é exatamente 2π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 9 / 33
19 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 10 / 33
20 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Teorema Seja α : [0, 1] R 2 uma curva regular simples e fechada. Seja γ : [0, 1] R 2 a parametrização da circunferência unitária dada por γ(t) = (cos 2πt, sen 2πt). Então podemos deformar α à curva γ através de curvas simples, fechadas e regulares. Mas precisamente, existe uma aplicação H : [0, 1] [0, 1] R 2 de classe C tal que α = H(, 0), γ = H(, 1) e H(, s) são curvas simples, regulares e fechadas. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 10 / 33
21 Demonstração do teorema: Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 11 / 33
22 Demonstração do teorema: Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 11 / 33
23 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 12 / 33
24 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Corolário Seja α : [0, 1] R 2 uma curva simples, fechada e regular. Então a variação angular de α ao longo do intervalo [0, 1] é 2π. Teorema A soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples é 2π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 12 / 33
25 Demonstração Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 13 / 33
26 Demonstração Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 13 / 33
27 A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 14 / 33
28 A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples Teorema A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples de n vértices é (n 2)π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 14 / 33
29 A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples Teorema A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples de n vértices é (n 2)π. Demonstração. Note que dado um vértice, a soma do ângulo externo e do ângulo interno relativo a esse vértice é π ( Figura ). Portanto temos que a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples é nπ. Levando em conta que a soma dos ângulos externos é 2π, segue-se o resultado. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 14 / 33
30 A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples Teorema A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples de n vértices é (n 2)π. Demonstração. Note que dado um vértice, a soma do ângulo externo e do ângulo interno relativo a esse vértice é π ( Figura ). Portanto temos que a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples é nπ. Levando em conta que a soma dos ângulos externos é 2π, segue-se o resultado. Observação Observe que o enunciado do teorema em termos de ângulos externos é bem mais natural do que o enunciado em termos de ângulos internos. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 14 / 33
31 Generalizações para curvas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 15 / 33
32 Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] R 2 : - Curva regular, simples e fechada; - α (n) (0) = α (n) (1) para todo n N. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 15 / 33
33 Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] R 2 : - Curva regular, simples e fechada; - α (n) (0) = α (n) (1) para todo n N. Queremos generalizar o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono fechado para o caso C. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 15 / 33
34 Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] R 2 : - Curva regular, simples e fechada; - α (n) (0) = α (n) (1) para todo n N. Queremos generalizar o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono fechado para o caso C. Considere α : [0, l] R 2 uma parametrização por comprimento de arco de α. Por simplicidade, a chamaremos de α também. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 15 / 33
35 Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] R 2 : - Curva regular, simples e fechada; - α (n) (0) = α (n) (1) para todo n N. Queremos generalizar o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono fechado para o caso C. Considere α : [0, l] R 2 uma parametrização por comprimento de arco de α. Por simplicidade, a chamaremos de α também. N : [0, l] R 2 : Campo normal interior de α. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 15 / 33
36 Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] R 2 : - Curva regular, simples e fechada; - α (n) (0) = α (n) (1) para todo n N. Queremos generalizar o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono fechado para o caso C. Considere α : [0, l] R 2 uma parametrização por comprimento de arco de α. Por simplicidade, a chamaremos de α também. N : [0, l] R 2 : Campo normal interior de α. Defina θ : [0, l] R como o ângulo que o vetor tangente faz com o vetor (1, 0). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 15 / 33
37 Generalizações para curvas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 16 / 33
38 Generalizações para curvas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 16 / 33
39 Generalizações para curvas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 17 / 33
40 Generalizações para curvas suaves Pode se mostrar que θ (t) = α (t) N(t). Note que a função k := θ é a função curvatura de α. Levando se em conta que θ(l) θ(0) = 2π e θ(l) θ(0) = l 0 k(t)dt, temos a seguinte generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples para curvas suaves. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 17 / 33
41 Generalizações para curvas suaves Pode se mostrar que θ (t) = α (t) N(t). Note que a função k := θ é a função curvatura de α. Levando se em conta que θ(l) θ(0) = 2π e θ(l) θ(0) = l 0 k(t)dt, temos a seguinte generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples para curvas suaves. Teorema Seja α : [0, l] R 2 uma curva fechada, regular e suave parametrizada por comprimento de arco. Suponha que α (l) = α (0). Então l 0 k(t)dt = 2π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 17 / 33
42 Generalizações para curvas suaves Pode se mostrar que θ (t) = α (t) N(t). Note que a função k := θ é a função curvatura de α. Levando se em conta que θ(l) θ(0) = 2π e θ(l) θ(0) = l 0 k(t)dt, temos a seguinte generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples para curvas suaves. Teorema Seja α : [0, l] R 2 uma curva fechada, regular e suave parametrizada por comprimento de arco. Suponha que α (l) = α (0). Então l 0 k(t)dt = 2π. Portanto a curvatura pode ser visto como o ângulo externo infinitesimal. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 17 / 33
43 Generalizações para o caso bidimensional: Poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 18 / 33
44 Generalizações para o caso bidimensional: Poliedros Poliedros são objetos compostos por faces, arestas e vértices. Consideraremos somente poliedros fechados, ou seja, aqueles tal que toda aresta pertence a exatamente duas faces. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 18 / 33
45 Generalizações para o caso bidimensional: Poliedros Poliedros são objetos compostos por faces, arestas e vértices. Consideraremos somente poliedros fechados, ou seja, aqueles tal que toda aresta pertence a exatamente duas faces. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 18 / 33
46 A característica de Euler de um poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 19 / 33
47 A característica de Euler de um poliedro Definição A característica de Euler χ(p) de um poliedro P com V vértices, A arestas e F faces, é definido por χ(p) = V A + F. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 19 / 33
48 A característica de Euler de um poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 20 / 33
49 A característica de Euler de um poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 20 / 33
50 Triangulações de poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 21 / 33
51 Triangulações de poliedros Dado um poliedro, podemos transformar suas faces em triângulos. Essa operação geométrica é denominada triangulação. Veja abaixo como se dá a triângulação de uma face qualquer. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 21 / 33
52 Triangulações de poliedros Dado um poliedro, podemos transformar suas faces em triângulos. Essa operação geométrica é denominada triangulação. Veja abaixo como se dá a triângulação de uma face qualquer. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 21 / 33
53 Triangulações de poliedros Dado um poliedro, podemos transformar suas faces em triângulos. Essa operação geométrica é denominada triangulação. Veja abaixo como se dá a triângulação de uma face qualquer. Observe que as triangulações não mudam a característica de Euler de P. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 21 / 33
54 A curvatura de um vértice de poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 22 / 33
55 A curvatura de um vértice de poliedro Definição Seja v um vértice de um poliedro P. Sejam F 1, F 2,..., F k as faces que contém v. Denote o ângulo interno de v em relação a face F i por θ i. A curvatura k(v) do vértice v é definido por k(v) = 2π k θ i. i=1 Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 22 / 33
56 A curvatura de um vértice de poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 23 / 33
57 A curvatura de um vértice de poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 23 / 33
58 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 24 / 33
59 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para poliedros Definição Seja P um poliedro e com vértices v 1,..., v m (m=v). A curvatura total K do poliedro é definido por K := m k(v i ). i=1 Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 24 / 33
60 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para poliedros Definição Seja P um poliedro e com vértices v 1,..., v m (m=v). A curvatura total K do poliedro é definido por K := m k(v i ). i=1 Teorema Seja P um poliedro com curvatura total K. Então K = 2πχ(M). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 24 / 33
61 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 25 / 33
62 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para poliedros Demonstração Antes de mais nada, tome uma triangulação P de P. Observe que χ(p) = χ( P). É claro também que a curvatura dos vértices de P coincidem com a curvatura dos vértices de P. Trabalhemos com P. Por definição χ( P) = V A + F. Note que cada aresta pertence a duas faces. Por outro lado, cada face tem três vértices. Então 3F é o número de arestas, contando se as multiplicidades e 3F = 2A. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 25 / 33
63 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 26 / 33
64 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para poliedros Além disso, sabemos que a soma dos ângulos internos de todos os triângulos resulta em πf. A curvatura total é dada por K = V 2π k(v i ) = 2πV πf. i=1 Somando 3F e subtraindo 2A da equação acima temos como queríamos demonstrar. K = 2πV πf + 3πF 2πA = 2πχ(P) Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 26 / 33
65 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 27 / 33
66 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Superfícies compactas suaves (C ). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 27 / 33
67 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Superfícies compactas suaves (C ). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 27 / 33
68 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 28 / 33
69 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Podemos triangular superfícies compactas e suaves, conforme indica a figura abaixo. Deste modo, podemos calcular a característica de Euler da superfície. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 28 / 33
70 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Podemos triangular superfícies compactas e suaves, conforme indica a figura abaixo. Deste modo, podemos calcular a característica de Euler da superfície. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 28 / 33
71 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 29 / 33
72 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Podemos mostrar que a característica de Euler não depende da triangulação escolhida. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 29 / 33
73 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Podemos mostrar que a característica de Euler não depende da triangulação escolhida. Existe uma versão infinitesimal da curvatura de um vértice de um poliedro para superfícies suaves. Ela é chamada de curvatura Gaussiana. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 29 / 33
74 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 30 / 33
75 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 30 / 33
76 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 31 / 33
77 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Teorema Teorema de Gauss-Bonnet Seja M R 3 uma superfície compacta e suave. Então K.dA = 2πχ(M). M Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 31 / 33
78 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Teorema Teorema de Gauss-Bonnet Seja M R 3 uma superfície compacta e suave. Então K.dA = 2πχ(M). Observação M Pode-se generalizar o Teorema de Gauss-Bonnet em diversos sentidos. Mas isso fica para uma outra ocasião. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 31 / 33
79 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 32 / 33
80 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Podemos usar curvas suaves para estudar curvas não suaves (Por exemplo, o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poliedro simples)... Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 32 / 33
81 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Podemos usar curvas suaves para estudar curvas não suaves (Por exemplo, o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poliedro simples)... e vice-e-versa (Por exemplo, a generalização deste teorema para o caso de curvas simples, fechadas e regulares). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 32 / 33
82 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 33 / 33
83 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Variedades riemannianas: Generalização de superfíces suaves no R 3. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 33 / 33
84 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Variedades riemannianas: Generalização de superfíces suaves no R 3. Variedades riemannianas não regulares: Generalização de superfícies suaves e poliedros. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 33 / 33
85 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Variedades riemannianas: Generalização de superfíces suaves no R 3. Variedades riemannianas não regulares: Generalização de superfícies suaves e poliedros. Estamos estudando propriedades de variedades riemannianas não regulares através de aproximações suaves. Ver R. Fukuoka, Mollifier smoothing of tensor fields on differentiable manifolds and applications to Riemannian geometry, Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 33 / 33
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