Programa da Disciplina

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1 INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E tecnologia PARAÍBA Ministério da Educação Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba - Campus Cajazeiras Diretoria de Ensino / Coord. do Curso Superior de Licenciatura em Matemática Rua: José Antônio da Silva, n o 300, Jardim Oásis - Cajazeiras,Cep: , Paraíba Fone: (83) ramal: Identificação da Disciplina Programa da Disciplina 1.1 Nome da Disciplina: 1.2 Pré-Requisito: 1.3 Carga Horária: 1.4 Período: 1.5 Núm. de Créditos 1.6 Curso: INTRODUÇÃO À GEOMETRIA DIFERENCIAL Cálculo Diferencial e Integral II e Álgebra Linear I 67 horas/ aula OPTATIVA 4 Aulas/ Semana LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 2. Ementa Teoria Local de Curvas Planas e Espaciais. Teoria Local das Superfícies. Teorema Egregium de Gauss. 3. Objetivos da Disciplina 1

2 3.1 Geral: Estudar as propriedades geométricas das curvas e superfícies no espaço e suas aplicações com o auxílio do cálculo diferencial integral e de álgebra linear. 3.2 Específicos: Compreender os principais definições e resultados associados às curvas parametrizadas no plano. Estudar localmente as curvas regulares. Determinar as curvas regulares no plano e no espaço parametrizadas pelo comprimento de arco a partir de sua curvatura por meio das equações de Frenet. Determinar as curvas regulares no plano a partir de sua curvatura por meio do Teorema Fundamental das Curvas no Plano. Conhecer as curvas parametrizadas diferenciáveis no espaço e suas propriedades. Estudar as curvas regulares parametrizadas pelo comprimento de arco. Definir o Triedo de Frenet no espaço tridimensional formada pelos vetores tangente, normal e binormal para curvas regulares parametrizadas ou não pelo comprimento de arco. Conhecer os planos: osculador, retificante e normal a uma curva regular parametrizada ou não pelo comprimento de arco. Compreender geometricamente o significado da torção associado ao vetor binormal de uma curva regular diferenciável parametrizada pelo comprimento de arco. Determinar a torção a uma curva regular com parametrização qualquer. Determinar de curvas regulares diferenciáveis parametrizadas pelo comprimento de arco a partir da curvatura e da torção com o Teorema Fundamental das Curvas no Espaço. Estudar as superfícies diferenciáveis regulares e suas propriedades. Estudar a rapidez com que uma superfície regular diferenciável está de afastando de seu plano tangente em um ponto fixado. Estudar a Aplicação Normal de Gauss de uma superfície regular diferenciável. Determinar as curvaturas principais (normal máxima e normal mínima) de uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco em um ponto fixado em 2

3 uma superfície regular. Classificar pontos em uma superfície regular diferenciável por meio de parametrizações específicas. Definir a curvatura Gaussiana e Média de uma superfície regular diferenciável por meio de suas curvaturas principais. Definir as Geodésicas em superfícies regulares diferenciáveis e compreender a importância delas do ponto de vista geométrico. Compreender as relações do Teorema Egregium de Gauss com a Primeira Forma Quadrática para a Curva Gaussiana. 4. Conteúdo Programático 4.1 Curvas Planas: Curva Parametrizada Diferenciável; Vetor Tangente; Curva regular; Mudança de Parâmetro; Comprimento de arco; Teoria Local das Curvas planas; Fórmula de Frenet; Teorema Fundamental das curvas planas; 4.2 Curvas no espaço: Curva parametrizada diferenciável; Vetor tangente; curva regular; mudança de parâmetro; Teoria Local das curvas; Fórmulas de Frenet; Aplicações; Representação Canônica das curvas; Isometrias do espaço tridimensional; Teorema Fundamental das Curvas; Teoria do Contato; Involutas e evolutas. 4.3 Teoria local de Superfícies: Superfície parametrizada regular; Mudança de parâmetros; 3

4 Plano tangente; vetor normal; Primeira forma quadrática; Segunda forma quadrática; curvatura normal; Curvaturas principais; curvatura de Gauss; Curvatura média; Classificação dos pontos de uma superfície; Linhas de curvatura; linhas assintóticas; Geodésicas; Teorema Egregium de Gauss; Equações de Compatibilidade; Teorema Fundamental das superfícies. 5. Metodologia de Ensino O conteúdo programático será desenvolvido por meio de aulas expositivas em sala de aula, com a resolução de exemplos de aplicabilidade da teoria apresentada previamente. Serão utilizados Softwares matemáticos para visualização dos conceitos matemáticos e softwares específicos para a escrita de textos matemáticos. 6. Avaliação do Processo de Ensino e Aprendizagem Além das Tarefas individuais extra-classe que, possivelmente, serão solicitadas no decorrer do semestre letivo como resolução de exercícios previamente selecionados, serão aplicados 05 exames de avaliação, onde duas avaliações serão individuais e sem consulta, uma individual e com consulta, um trabalho em grupo e uma apresentação de seminário em sala de aula, divididos de acordo com o conteúdo programático e um exame de reposição contemplando o conteúdo referente a cada exame de avaliação realizado para os alunos faltosos de apenas uma das avaliações individuais. A média parcial resultará da média aritmética das atividades descritas na tabela abaixo. O Exame de Avaliação Final corresponde à totalidade do conteúdo abordado durante o semestre letivo e será realizado pelo aluno que obtiver média parcial (MP) maior ou igual à 4,0 e menor do que 7,0. 4,0 MP < 7,0 Onde a MP é a média aritmética dos três exames de avaliação individuais realizados. 4

5 O aluno que obtiver MP 7,0 estará aprovado. O aluno que obtiver a média do exame final maior ou igual a 5,0 (MF = 5,0) estará aprovado no exame final. A média final e o exame final são calculados da seguinte forma: N EF = 25 3MP 2 e MF = 6MP +4N EF Recursos Didáticos Quadro branco, Pincéis Coloridos, Projetor multimídia, computador, softwares para edição de textos Matemáticos e livros contendo o conteúdo programático baseado na referência bibliográfica Básica e Complementar. 8. Bibliografia 8.1 Básica: TENENBLAT, Keti. IntroduçãoàGeometriaDiferencial. 2 a. ed. SãoPaulo: Blucher, DoCARMO, Manfredo P., Geometria Diferencial Curvas e Superfícies. 1 ed. Rio de Janeiro: SBM - Sociedade Brasileira de Matemática, RODRIGUES, Paulo R. Introdução às Curvas e superfícies. Niterói: ADUFF- Editora da Universidade Federal Fluminense, Complementar: GRAY, Alfred. Modern Differential Geometry of Curves & Surfaces, with mathematica.. Second Edition, IE - CRC Press, STRUIK, Dirk J. Lectures on Classical Differential Geometry. Second Edition, New York: Dover Publications. Inc

6 Plano de Ensino aprovado em Reunião do Colegiado do Curso, com participação do: Gastão Coelho de Aquino Filho Diretor de Ensino - IFPB \ Campus Cajazeiras Geraldo Herbetet de Lacerda Coordenador do Curso Superior de Licenciatura em Matemática - IFPB \ Campus Cajazeiras 6