Teoremas de Hartman-Grobman, Variedade Estável e Aplicações

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1 Teoremas de Hartman-Grobman, Variedade Estável e Aplicações Marcus Vinicius de Oliveira marcus.eletrica@hotmail.com Universidade Federal de Minas Gerais 8 de setembro de Teorema de Hartman-Grobman Sendo a classificação de Sistemas Dinâmicos um problema intratável, é de particular interesse compreender o comportamento de Sistemas Dinâmicos próximo à singularidades ou à órbitas específicas. Como o comportamento de Sistemas Dinâmicos Lineares é suficientemente bem compreendido, uma tentativa de estabelecer uma conjugação topológica entre um Sistema Dinâmico e sua parte linear (Derivada) é bastante natural. É neste contexto que se insere o Teorema de Hartman-Grobman, segundo o qual campos de vetores, assim como difeomorfismos, são conjugados à suas derivadas na vizinhança de uma singularidade hiperbólica. O objetivo desta seção é apresentar o enunciado e a demonstração do Teorema de Hartman. Há um interesse particular pela versão contínua do teorema, sendo conveniente a apresentação de sua versão para difeomorfismos (neste trabalho são sinônimos de Sistemas Dinâmicos em tempo discreto), que será utilizada na demonstração da versão contínua do teorema. 1.1 Conjugação entre Difeomorfismos Definição 1.1 (Isomorfismo Linear Hiperbólico). Seja E um espaço de Banach. Um Isomorfismo Linear A L(E) é dito hiperbólico se o espectro de A não intercepta S 1. Caso dim(e) < isso é equivalente ao fato de A não possuir autovalor com norma 1. Definição 1.2 (Ponto Fixo Hiperbólico). Seja f um difeomorfismo C k, f : U E E. p U é um ponto fixo hiperbólico se a aplicação linear Df(p) é um isomorfismo linear hiperbólico. Considere A um isomorfismo linear hiperbólico, A : E E, Existe uma decomposição de E como soma direta de dois subespaços invariantes por A, E = E s E u, segundo a qual existe α tal A E s α e (A E u) 1 α. Baseando-se nessa decomposição de E, considere a seguinte decomposição do espaço das aplicações contínuas e limitadas definidas em E que assumem valores em E, C b (E, E) = C b (E, E s ) C b (E, E u ) Esta decoomposição é absolutamente natural tendo em vista as aplicações projeção, π s : E E s e π u : E E u, definidas por π(x s + x u ) = x s e π u (x s + x u ) = x u. Se f C b (E, E), defina f s : E E s, f u : E E u, dadas por f s = π s f e f u = π u f. O Teorema de Hartman-Grobman será enunciado para uma variedade diferenciável qualquer M. T M p representa o espaço tangente à M no ponto p. Teorema 1.1 (Hartman-Grobman para Difeomorfismos). Sejam, f : U M M de classe C k e p U um ponto fixo hiperbólico de f. Seja A = Df(p) : T M p T M p. Então existem V (p) uma vizinhança de p em M, U() vizinhança de em T M p e h : U() V (p) um homeomorfismo tais que: h A = f h 1

2 O teorema será demonstrado utilizando uma sequência de lemas e proposições, seguindo basicamente a trajetória apresentada em [1], também disponível em [2]. Lema 1.1. Seja E um Espaço de Banach, f : U E E uma aplicação de classe C k, k 1 definida no aberto U contendo a origem com f() = e seja A = Df(). Dado ɛ >, existe uma vizinhança U da origem tal que f U é da forma A + ψ, onde ψ é uma aplicação contínua, limitada e Lipschitziana em E com constante de Lipschitz limitada por ɛ. Demonstração. Permita, por simplicidade denotar tanto normas em E quanto valor absoluto por., o contexto será responsável por diferenciar as duas aplicações. Defina, inicialmente, uma função β : R [, 1] do tipo bump, ou seja, uma função C tal que: β(t) =, se t 1 β(t) = 1, se t 1/2 β (t) K, t R K > 2 Existe uma aplicação φ tal que f = A + φ e φ() =, Dφ() =, pois Df() = A pela definição de A. Considere então uma bola de raio r centrada na origem, B r (), tal que Dφ(x) < ɛ/2k, x B r (). A bola que se pretende definir existe uma vez que φ é pelo menos C 1, uma vez que f e A o são e Dφ() =. Defina ψ(x) = β ( x r ).φ(x) Daí, ψ(x) = se x r, o que implica que ψ é limitada em E, uma vez que ψ φ, e devido a desigualdade do valor médio, a constante de Lipschitz de φ restrita à B r é menor que ɛ/(2k). Dessa forma tem-se que: ψ(x) φ(x) = φ(x) φ() ɛ. x ɛ 2K 2K.r, x B r Como ψ(x) = φ(x) se x r/2, segue que A + ψ é extensão de f Br/2. Além disso ψ é Lipschitziana. De fato, sejam x 1 e x 2 B r. ( ) ( ) ψ(x 1 ) ψ(x 2 ) = β x1 x2.φ(x 1 ) β.φ(x 2 ) r r = ( ( ) ( )) ( ) x2 x2 x2 β β φ (x 1 ) β (φ (x 2 ) φ (x 1 )) r r r ( ( ) ( )) ( ) x2 x2 β β φ (x 1 ) r r + x2 β (φ (x 2 ) φ (x 1 )) r K x 1 x 2 ε r 2K x 1 + ε 2K x 1 x 2 x 1 x 2. ε r 2.r + ε 2. x 1 x 2 = ε x 1 x 2 O argumento anterior é válido se x 1 B r e x 2 B r, caso x 1 B r e x 2 / B r o mesmo raciocínio será aplicado. ( ) ( ) ψ (x 1 ) ψ (x 2 ) = β x1 x2 φ (x 1 ) β φ (x 2 ) r r ( ( ) ( )) ( ) x1 x2 β β φ (x 1 ) r r + x2 β (φ (x 2 ) φ (x 1 )) r K x 1 x 2 ε r 2K x 1 x 1 x 2 ε r 2 r ε x 1 x 2 Para finalizar, é necessário abordar o caso em que x 1 / B r e x 2 / B r. Nesse caso, ψ (x 1 ) ψ (x 2 ) = ε x 1 x 2 2

3 Teorema 1.2. (da Perturbação da Identidade) Seja E um espaço vetorial normado completo, I : E E a identidade em E. Seja φ : E E uma contração em E. Então I + φ é um homeomorfismo sobre E Demonstração. Sejam x, y E e h = I + φ. Seja < λ < 1 a constante de Lipschitz de φ. Assim, segue que: h(x) h(y) = x + φ(x) y φ(y) x y + φ(x) φ(y) x y λ x y = (1 λ) x y o que demonstra que h é injetiva e também a continuidade da inversa (caso exista). Para mostrar a sobrejetividade de h seja z E. Defina a aplicação f z : E E, definida por f z (x) = z φ(x). f z (x) f z (y) z φ(x) z + φ(y) = φ(x) φ(y) λ x y com λ < 1. Dessa forma como f z é uma contração existe um único ponto fixo q para f z, tal que z φ(q) = q = (I + φ)(q) = z, provando a sobrejetividade de I + φ, como queríamos. A continuidade é imediata, a continuidade da inversa já foi demonstrada, sendo portanto φ um homeomorfismo. O Lema que será demonstrado a seguir é de cunho técnico, mas é extremamente útil e será utilizado para a obtenção de resultados importantes. Recomenda-se o entendimento completo de seu conteúdo Lema 1.2 (da Perturbação com Isomorfismos). Seja E um espaço de Banach, L L(E), satisfazendo L a < 1 e G L(E) isomorfismo com G 1 a < 1 então: (a) (I + L) é um isomorfismo com (I + L) 1 1/(1 a) (b) (I + G) é um isomorfismo com (I + G) 1 a/(1 a) Demonstração. Seja y E fixado. Defina u : E E por: Dessa forma tem-se que: u(x) = y L(x) u(x 1 ) u(x 2 ) = L(x 1 ) L(x 2 ) a x 1 x 2 provando que u é uma contração. Como E é um espaço de Banach vale o Teorema do Ponto fixo para contrações, de forma que u tem um único ponto fixo, ou seja,!z E tal que u(z) = z, isto é, y L(z) = z, de onde vem que y = (I +L)(z), provando que I +L é sobrejetivo. Além disso, se (I +L)(x 1 ) = (I +L)(x 2 ), x 1 + L(x 1 ) = x 2 + L(x 2 ) = x 1 x 2 = L(x 2 x 1 ), logo x 1 = x 2, pois caso contrário L 1, um absurdo. Dessa forma I + L é um isomorfismo. Seja y E com y = 1, e seja x E tal que x = (I + L) 1 (y). Como x + L(x) = y, tem-se que x = y L(x) e usando a desigualdade triangular e o fato de que L = a < 1 tem-se que: x 1 + a x de onde conclui-se que x (1 a) 1, ou seja, x 1/(1 a), o que completa a demonstração do ítem (a). Para demonstrar o ítem (b), basta ver que (I + G) = G(I + G 1 ). Como G 1 a < 1 segue do ítem (a) que I + G 1 é inversível. Como G é um isomorfismo por hipótese, segue imediatamente que I + G é um isomorfismo (por ser composta de isomorfismos). Daí (I + G) 1 = (I + G 1 ) 1 G 1, de onde vem que: Isso finaliza a demonstração do lema. (I + G) 1 (I + G 1 ) 1. G 1 a 1 a Corolário 1.1 (da perturbação de isomorfismo). Sejam E, F espaços de Banach e T : E F um isomorfismo linear. Seja φ : E F Lipschitz tal que Lip(φ) < ( T 1 ) 1. Então T + φ : E F é um homeomorfismo 3

4 Demonstração. A demonstração não será apresentada neste texto. Uma boa referência é [2]. Tente demonstrar como consequência do Teorema e do Lema apresentados. Lema 1.3. Seja A : E E um automorfismo hiperbólico do espaço de Banach E, então existe ɛ > tal que se φ 1 e φ 2 são ambas funções contínuas e limitadas, φ 1, φ 2 : E E com constante de Lipschitz menor ou igual a ɛ, então A + φ 1 e A + φ 2 são conjugadas. Demonstração. Um procedimento muito comum em Sistemas Dinâmicos quando se procura um homeomorfismo que conjuga dois difeomorfismos é escrevê-lo como perturbação da identidade e resolver uma equação (teoricamente), de modo a chegar à conclusão desejada. Vamos demonstrar portanto que existe um homeomorfismo h : E E da forma: h = I + w Em que w Cb equação e que portanto está a uma distância finita da identidade. Precisamos resolver a seguinte Como h = I + w (nossa tentativa) segue que h (A + φ 1 ) = (A + φ 2 ) h (I + w) (A + φ 1 ) = (A + φ 2 ) (I + w) A + φ 1 + w (A + φ 1 ) = A + φ 2 + (A + φ 2 ) w Fazendo o cancelamento de A e reagrupando os termos temos que: A w w (A + φ 1 ) = φ 1 φ 2 (I + w) Defina o operador L definido no espaço das aplicações contínuas e limitadas Cb (E, E) L (y) = A y y (A + φ 1 ) Mostraremos que L é inversível e exibiremos uma cota para a norma operatorial de L 1. Defina o operador A : C b (E, E) C b (E, E) por A (y) = A y. Dessa forma podemos escrever que L (y) = A ( y A 1 y (A + φ 1 ) ) Defina portanto outro operador L : Cb (E, E) C b (E, E) por L(y) = y A 1 y (A + φ 1 ) Ou seja L = A L. Se provarmos que L e A possuem inversa ficará automaticamente demonstrado que L é inversível, sendo sua inversa igual a L 1 A 1. É fácil ver que A é inversível pois se u Cb temos que A (A 1 (u)) = u, logo A é sobrejetiva. Além disso se u, v Cb com A (u) = A (v) segue que A(u) = A(v) e como A é inversível, u = v, logo A é bijeção. Falta então provar que L é invertível. Note que C b (E, Es ) e C u b (E, Eu ) são invariantes por L. De fato, como A é um isomorfismo que tem E s e E u como subespaços de E invariantes segue que tanto E s quanto E u são invariantes por A 1 e portanto por como L(y s ) = y s A 1 y s (A + φ 1 ) e y s C b (E, Es ) segue que a aplicação y s (A + φ 1 ) toma valores em E s, de onde conclui-se que L(y s ) C b (E, Es ). Assim, pelo que foi observado anteriormente segue que pode-se decompor L da seguinte forma: em que L s = L C b (E,E s ) e L u = L C b (E,E u ) L = L s + L u Se ɛ for suficientemente pequeno, o lema de perturbação de isomorfismo garante que (A + φ 1 ) é um homeomorfismo. Vamos definir agora o operador G : C b (E, Es ) C b (E, Es ) por: G(y s ) = A 1 y s (A + φ 1 ) 4

5 Como G é composta de aplicações inversível, G é inversível. A inversa de G, G 1 : C b (E, Es ) C b (E, Es ) é dada por: G 1 (y s ) = A s y s (A + φ) 1 G 1 é uma contração com norma limitada por a < 1. De fato, como G 1 A s. (A + φ 1 ) 1, escreva x = x s +x u. Se x u é fácil ver que é uma contração tomando ɛ suficientemente pequeno. Se x u = segue que Ax = A s.x e como φ tem constante de Lipschitz que pode ser reduzida o quanto for necessário, A + φ são próximo de A quanto for necessário. Como tanto A s quanto (A u ) 1 tem norma limitada por δ < 1, segue o resultado. Pelo lema 1.2 segue que L s é inversível e (L s ) 1 a/(1 a) e (L u ) 1 1/(1 a). Portanto, L é inversível com norma L 1 = L 1.A 1 A 1 1 a Dessa forma tem-se que a equação de deve ser resolvida é: w = L 1 (φ 1 φ 2 (I + w)) Ou seja, w será a solução da equação se e somente se for ponto fixo do operador T, T : Cb (E, E) C b (E, E), definido por: T (y) = L 1 (φ 1 φ 2 (I + y)) Não há nada a fazer senão tentar provar que T é uma contração para concluir via teorema do ponto fixo que existe um único ponto fixo. De fato, sejam y 1, y 2 Cb (E, E), tem-se que: T (y 1 ) T (y 2 ) = L 1 (φ 1 ) L 1 (φ s (I + y 1 )) L 1 (φ 1 ) + L 1 (φ 2 (I + y 2 )) = L 1 (φ 2 (I + y 2 )) L 1 (φ 2 (I + y 1 )) L 1. φ 2 (I + y 1 ) φ 2 (I + y 2 ) A 1 1 a ɛ y 1 y 2 Observe assim que para ɛ suficientemente pequeno T é uma contração e existe um único ponto fixo, w. Então a equação foi resolvida (de forma teórica, provando a existência de uma solução). Resta provar ainda que (I +w) é de fato um homeomorfismo. A contrução da inversa de (I +w) também, será teórica. Iniciemos observando que os papéis desempenhados por φ 1 e φ 2 podem ser trocados, bastanto um intercâmbio de índices. Assim, obtemos (da mesma forma com que obtivemos w) um único v Cb (E, E) tal que: (I + v) (A + φ 2 ) = (A + φ 1 ) (I + v) Vamos mostrar que (I + v) é a inversa de (I + w). De fato, (I + w) (I + v) (A + φ 2 ) = (I + w) (A + φ 1 ) (I + v) = (A + φ 2 ) (I + v). Temos portanto que (I + w) (I + v) semiconjuga(sobrejetiva) (A + φ 2 ) com ele próprio. Note que (I + w) (I + v) está a uma distância finita da identidade, pois (I + w) (I + v) = I + v + w (I + v) e v + w (I + v) C b (E, E). Mas a identidade também semiconjuga (A + φ 2) com ele mesmo e portanto pela unicidade da construção de v (usando o fato de que a equação tem apenas uma solução, pois o ponto fixo é único) segue que (I + w) (I + v) = I e o mesmo vale para (I + v) (I + w), bastanto para isso observar que (I + v) (I + w) semiconjuga (A + φ 1 ) com ele próprio. Dessa forma: Isso completa a demonstração. (I + w) (I + v) = (I + v) (I + w) = I Os resultados que foram demonstrados até o presente momento nos colocam em condições de provar o Teorema de Hartman-Grobman para difeomorfismos, que será posteriormente utilizado na demonstração de sua versão para fluxos, que é o objetivo deste trabalho. 5

6 Demonstração. (Teorema de Hartman-Grobmann) Por tratar-se de resultado local, podemos, sem perda de generalidade, (usando cartas locais) supor f um difeomorfismo definido de uma vizinhança W para outra N de zero em E = T p M, com f() = Seja ɛ > tal que A + φ é globalmente conjugado a A em E, para todo A limitado com constante de Lipschitz limitada por ɛ, conforme o lema 1.3. Para tal ɛ, podemos tomar uma vizinhança B r W N tal que (A + φ) Br/2 = f Br/2, (A + φ) (Br) C = A, φ é limitada e tem constante de Lipschitz menor ou igual a ɛ. Pelo lema 1.3, vale que (A + φ) é globalmente conjugado a A em E: existe um homeomorfismo h : E E a uma distância finita da identidade tal que da identidade tal que h A = (A + φ) h. Note que como A é isomorfismo hiperbólico, não possui outro ponto fixo exceto o zero (pois outro ponto fixo diferente de zero seria um autovetor do autovalor 1). Tal implica que (A + φ) possui um único ponto fixo, pois se p é ponto fixo de (A + φ) temos h A(h 1 (p)) = (A + φ) h(h 1 ) h A h 1 (p) = (A + φ)(p) = p = A h 1 (p) = h 1 (p) Isso prova que h 1 é o único ponto fixo de A, e portanto h() =. Dessa forma, podemos restringir h a uma vizinhança U := U() B r/2 tal que V := h(u()) W. temos então que para todo x U A 1 (U) vale que: o que finalmente conclui a demonstração. h A(x) = f h(x) 1.2 Conjugação entre Campos de Vetores Definição 1.3. (Singularidade Hiperbólica) Seja X : V R m R m um campo de vetores C k, k. Um ponto p V é uma singularidade hiperbólica de X se o espectro do operador DX p : R m R m não tem parte imaginária nula. Teorema 1.3 (Hartman-Grobman para Campos). Seja X : V R m R m um campo C k (k 1) e p uma singularidade hiperbólica de X. Seja L = DX p. Então X é localmente topologicamente conjugado a L, em vizinhanças de p e zero, respectivamente Lema 1.4. Seja X : V mathbbr m R m um campo de vetores de classe C k, (k 1) com X() =. Seja L = DX. Dado ɛ >, existe um campo Y : R m R m com as seguintes propriedades: (1) O campo Y tem constante de Lipschitz limitada por K e, portanto, o fluxo induzido por Y está definido em RxR m ; (2) Y = L fora de uma bola B r (); (3) Existe um aberto U V contendo zero tal que Y = X em U; (4) Escrevendo Y t = L t + φ t, existe M > tal que φ t M para todo t [ 2, 2] e φ 1 tem constante de Lipschitz menor ou igual a ɛ. Demonstração. Como L = DX, temos que X = L + ψ, onde ψ : V R m é C k tal que ψ() = e Dψ =. Seja β : R R uma função C 1 tal que β(r) [, 1], β(t) = 1 se t r/2 e β(t) = se t r. Seja ρ : R m R m definida por ρ(x) = β( x )ψ(x) se x V e ρ(x) = se x R m V. Dado δ >, podemos escolher r > de tal forma que ρ seja C k e seja δ-lipschitz. Daí, da definição de ρ, ρ = ψ em B(, r/2) e ρ = fora de B(, r). Seja Y : R m R m o campo de vetores definido por Y := L + ρ. Daí, Y = X em B(, r/2), Y = L fora de B(, l) e Y satisfaz (1). Seja φ t = Y t L t φ t (x) φ (y) = ρ (Y s (x)) ρ (Y s (y)) ds + φ t (x) φ (y) δ.e 2K. x y.2 + L (φ s (x) φ s (y)) ds L (φ s (x) φ s (y)) ds 6

7 δ.e 2K. x y.2 + usando a desigualdade de Gronwall, obtemos que: L. φ s (x) φ s (y) ds φ t (x) φ t (y) δ.e 2K. x y.2.e L ds δ.e 2K. x y.2.e L.2 Pelo lema 1.1 podemos tomar ρ de modo que a constante de Lipschitz δ seja menor que ɛ/(e 2K.2.e L.2 ). Isso implica, em particular que φ 1 tem constante de Lipschiz menor que ɛ. Finalmente, φ t, t [ 2, 2] é limitada: Se x B(, r): Se x / B(, r): φ t (x) = φ t (x) φ t () = φ t (x) = φ t (x) φ t () ε.r [ρ (Y s (x)) ρ (Y s ())] ds + L (φ s (x) φ s ()) ds (Note que ρ(y s (x)) =, se Y s (x) / B(, r)) ε.r.ds + L (φ s (x) φ s ()) ds 2.ε.r + L. φ s (x) φ s () ds o que implica novamente pela desigualdade de Gronwall que existe M > tal que φ ( x) M, x R m e t [ 2, 2]. Lema 1.5. Seja X : U R m um campo de vetores, e φ t o seu fluxo. Então p é singularidade hiperbólica de X se e somente se p é ponto fixo hiperbólico do difeomorfismo φ 1, no tempo 1 de X. Demonstração. ( ) Se p é ponto fixo do tempo 1 de X e é hiperbólico, em particular, pelo Teorema de Hartman para difeomorfismos, é isolado. Note que p não pode pertencer a uma órbita periódica de período 1, pois em tal situação, os outros pontos da órbita periódica seriam pontos fixos para φ 1, e p não seria ponto fixo isolado. Isso é bastante intuitivo, basta seguir a trajetória do de um ponto arbitrariamente próximo de p e o resultado é imediato. Logo, como φ(n, p) = p, n N e φ(., p) não é periódica regular, segue-se da classificação das trajetórias de um campo que φ(t, p) = p, t R = p é singularidade (isolada) de X. Mostremos que p é singularidade hiperbólica, ou seja, que os elementos de S p (DX(p)) tem parte real não nula. Da dependência diferenciável em relação as condições iniciais, temos que D x φ é solução de dz = DX(p)Z, Z = I. Portanto, D x φ(t, p) = e t.dx(p) o que nos dá: Df p = D x φ(1, p) = e DX(p) E portanto o espectro Sp(Df p ) = e Sp(DX(p)) implicando que λ 1, λ Sp(Df p ). ( ) Se p é singularidade hiperbólica de X, é imediato que p é ponto fixo de f = φ 1. Como vimos acima, da dependência diferenciável em relação as condições iniciais, temos que D x φ é solução de dz = DX(p)Z, Z = I. Portanto, D x φ(t, p) = e t.dx(p) o que nos dá Df p = D x φ(1, p) = e DX(p) E portanto o espectro Sp(Df p ) = e Sp(DX(p)) implicando que λ 1, λ Sp(Df p ), isto é, p é ponto fixo hiperbólico de f. Demonstração. (Do Teorema de Hartman-Grobman para Campos) Seja Y : R m R m um campo C k como no lema 1.4. Como Y = X em U, vizinhança de zero, temos que a aplicação identidade conjuga localmente Y e X em U. Como a conjugação é uma relação de equivalência, portanto transitiva, só nos resta mostrar que os fluxos Y t e L t são conjugados t R. Como DY = L, da dependência diferenciável em relação às condições iniciais, temos que a derivada (DY 1 ) do difeomorfismo induzido no tempo 1 é e L = L 1. De fato, escrevendo φ(t, x) = Y t (x), temos que DY t (x) = φ x (t, x) é solução de: 7

8 { dz = DY (φ (t, x)) Z Z () = Im Como x = é uma singularidade, φ(t, ) =, t, e a equação acima fica da forma: { dz = DY () Z = LZ Z () = Im Dessa forma (DY t )() = e t.l, e em t = 1, (DY 1 )() = e L = L 1. Dessa forma, o difeomorfismo Y 1 = L 1 + φ 1 tem a origem como ponto fixo hiperbólico e φ 1 como o resto de sua derivada L 1 na origem. Dessa forma pelo lema 1.3 existe um único homeomorfismo h : R m R m a uma distância finita da identidade que satisfaz f Y 1 = L 1 h. Mostratemos que este mesmo h também conjuga todos os outros tempos, isto é, que h Y t (x) = L t h(x), t R, x R m, implicando no fato de que Y é topologicamente conjugado a L, ou seja, Y é topologicamente conjugado à sua parte linear. Definimos H : R m R m por: H(x) = L t h Y t (x) H é contínua e está a uma distância finita da identidade pelo lema 1.4. Mostratemos que para cada s R vale H Y s = L z H. Vamos reduzir o problema de mostrar que a expressão vale para todo s a mostrar que vale para todo s [, 1]. É preciso mostrar, no entanto, que estas condições são equivalentes. De fato, seja q R +, podemos escrever q = n + s, com n mathbbn e s [, 1]. Daí: Se q < (e H é inversível), então: H Y q = H Y 1 Y 1... Y }{{} 1 Y s nvezes L 1 H Y 1 Y 1... Y }{{} 1 Y s = L n+s H = L q H n 1vezes H Y q = ( Y q H 1) 1 = ( H 1 L q ) 1 Lq H o que demonstra o afirmado. Dessa forma, seja s [, 1]. Tem-se que: Tomando u = t + s 1 temos: ( ) L s H Y s = L s (L t h Y t ) Y s (L s L t h Y t Y s ) = ( L (s+t) h Y t+s ) ( L (s+t) h Y t+s ) = s ( L (u+1) h Y u+1 ) du = 1+s ( ) s ( ) L (u+1) h Y u+1 du + L (u+1) h Y u+1 du 1+s Fazendo v = u + 1 na primeira parcela: L s H Y s = s (L v h Y v ) dv + s (L u h Y u ) du = H L u (L 1 h Y 1 ) Y u du = }{{} h Temos assim que H é contínua e semiconjuga Y 1 e L 1. H está a uma distância finita da identidade: dado t [, 1], 8

9 Defina: L t h Y t = L t (I + w) (L t + φ t ) = I + L t φ t + L t w L t + L t w φ t w t = L t φ t + L t w L t + L t w φ t com H(x) = M > ; w t (x) M, t R [, 1], x R m (L t h Y t ) = w t(x) M. Como queríamos. (I + w t ) = I + w t 2 Teorema da Variedade Estável Antes de enunciar o Teorema de Variedade Estável é necessário apresentar algumas definições importantes que serão utilizadas no enunciado. Teorema 2.1. (Variedade Estável para Singularidades Hiperbólicas.) Seja X : U R m um campo de classe C k exibindo uma singularidade hiperbólica p U. Designemos por φ fluxo de X. Então o conjunto estável de p W s (p) = {x U; φ (t, x) p, t } é uma variedade de classe C k de dimensão igual ao índice de p, e injetivamente imersa em R m. Demonstração. Não será apresentada neste texto, recomenda-se consultar [1] O Teorema da Variedade Estável é um dos resultados mais importantes na teoria qualitativa local de equações diferenciais ordinárias. O teorema nos mostra que próximo a um ponto de equilíbrio hiperbólico, o sistema não-linear x = f(x) possui variedades estáveis e instáveis, S e U respectivamente, que são tangentes, no ponto de equilíbrio hiperbólico x, aos subespaços estável e instáveis, E S e E U respectivamente, do sistema linearizado x = A(x) onde A = Df(x). Além disso, S e U tem as mesmas dimensões de E S e E U. Teorema 2.2. (Variedade Estável para órbitas periódicas hiperbólicas) Seja X : U R m um campo de classe C k e γ U uma órbita periódica hiperbólica. Então o conjunto estável de γ W s (γ) = {x U; d (φ (t, x), γ), t } é uma variedade de classe C k de dimensão igual ao índice de qualquer transformação de Poincaré π associada a γ mais 1, e injetivamente imersa em R m. Demonstração. Não será apresentada neste texto, recomenda-se consultar [1] 3 Análise do Atrator de Lorenz Nesta seção será analisado o comportamento de uma equação diferencial que para certos valores de parâmetros gera o conhecido Atrator de Lorenz. Para isso será utilizado fortemente o Teorema de Hartman-Grobman. 9

10 3.1 Equação de Lorenz A equação de Lorenz tem como parâmetros σ, ρ e β. Dependendo dos valores destes parâmetros o comportamento da equação varia qualitativamente. dx = σ(y x) dy = x(ρ z) y (1) dz = xy βz Para obter as singularidades do campo Calculando a matriz jacobiana (Matriz que representa a aplicação derivada na base canônica) tem-se que: J = σ σ ρ 1 x y x β (2) Sabemos que o fluxo da EDO é topologicamente conjugado ao de sua derivada em uma vizinhança de uma singularidade. É de particular interesse conhecer o comportamento da EDO numa vizinhança de um ponto estacionário. Para tanto, fazemos [ dx Dessa forma, tem-se que as singularidades são dadas por: dy dz x = y y = x (ρ z) z = xy β ] = [ ] Como x = y, tem-se que x = x(ρ z). Mas x = = y = e z = (A origem é uma singularidade). Se x então 1 = 1(ρ z) = z = ρ 1 Mas z = xy x2 β, logo z = β = x = y = ± β (ρ 1). Assim, se ρ 1 existem três singularidades (uma na origem e duas simétricas em relação ao eixo z). Por outro lado se ρ < 1 a única singularidade é a origem. Consideremos o caso ρ > 1. Neste caso, as singularidades são: P 1 = (,, ) P 2 = ( β (ρ 1), β (ρ 1), ρ 1) P 3 = ( β (ρ 1), β (ρ 1), ρ 1) (3) Figura 1: Atrator de Lorenz 1

11 A figura 1 apresenta o retrato de fase da EDO para ρ = 28, σ = 1 e β = Bifurcação e o Atrator de Lorenz Bifurcação é uma mudança qualitativa no comportamento das órbitas de um Sistema Dinâmico. A representação do comportamento de órbitas em função dos parâmetros é chamado diagrama de bifurcação. Para o Sistema de Lorenz por exemplo, existe apenas uma singularidade para ρ 1, já para rho > 1 existem duas singularidades, que podem ser estáveis ou instáveis dependendo do valor do parâmetro. Isso pode ser facilmente analisado utilizando o teorema de Hartman-Grobman, uma vez que nas vizinhanças de um ponto estacionário hiperbólico o fluxo do sistema não linear é topologicamente conjugado ao fluxo de sua derivada no ponto, segue que o ponto estacionário do sistema não linear será estável se sua derivada naquele ponto tiver todos os seus autovalores no semiplano direito do plano complexo. Para determinados valores de parâmetros uma órbita pode perder estabilidade e em contrapartida, uma órbita de período dois pode ganhar estabilidade, fenômeno denominado duplicação de período, uma das principais rotas para o caos (o que pode ser claramente visto no atrator de Chua na figura 5). Figura 2: Bifurcação do Sistema de Lorenz O diagrama de bifurcação apresentado na figura 2 pertence ao sistema de Lorenz, quando é analisado o comportamento do sistema com relação à variação do parâmetro ρ, mantendo-se fixo todos os demais. Observa-se que o atrator simulado e apresentado na figura 1 foi obtido com ρ = 28, ponto para o qual existem órbitas dos mais diversos períodos configurando Caos (no sentido de Devaney). 3.3 Aplicações As aplicações do Atrator de Lorenz se extendem à diversas ciências aplicadas. Em Engenharia Elétrica, a área de Sincronismo de Sistemas Caóticos utiliza com frequência as séries temporais deste sistema dinâmico para aplicações em modulação digital caótica. Uma grande quantidade de Sistemas Dinâmicos é constantemente utilizada em sistemas dinâmicos, basicamente como protótipos de sistemas complexos. As EDOs que descrevem estes sistemas são altamente não-lineares. 11

12 Figura 3: Atrator de Rösseler Uma delas é a que dá origem ao atrator de Rosseler, cujo retrato de fase é apresentado na figura 3. Um circuito elétrico muito simples pode dar origem a um atrator caótico, é o chamado circuito de Chua. Utilizando um elemento não linear (indutor não linear de Chua) é possível construir um atrator. O circuito de chua está apresentado na figura 4 e o atrator gerado com uma combinação adequada de valores dos componentes na figura 5. Figura 4: Circuito de Chua O circuito de chua, figura 4 tem sido constantemente utilizado como sistema caótico fonte de séries temporais caóticas, com objetivo de obter espalhamento espectral e redução de ruídos em sistemas de comunicação criptografados caoticamente, principalmente por ser bastante simples e de fácil implementação em termos de circuito analógico. Figura 5: Atrator de Chua A EDO que dá origem ao comportamento apresentado na figura 5 é função dos componentes (naturalmente) descrita na equação a seguir. 12

13 dv C 1 1 dv C 2 2 L di L = 1 R (v 2 v 1 ) I(v 1 ) = 1 R (v 1 v 2 ) + i L (4) = v 2 4 Conclusões Alguns resultados fundamentais em Sistemas Dinâmicos e Equações Diferenciais Ordinárias tem conduzido à resultados atuais, mesmo que já obtidos à bastante tempo. Os teoremas de Hartman-Grobman e Variedade Estável, juntamento com o λ-lema e o Shadowing-Lema são exemplos deste fato. O objetivo central deste trabalho foi demonstrar o Teorema de Hartman-Grobman, citar o Teorema da Variedade Estável e apresentar idéias de áreas em que esta teoria é constantemente aplicada (sem aprofundamentos). Referências [1] PALIS, J. e MELO, W.Introdução aos Sistemas Dinâmicos, IMPA, Rio de Janeiro, 199 [2] JÚNIOR, A. A.Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Apostila, IMPA, Rio de Janeiro, 29 [3] ARNOLD, V. I.Ordinary Differential Equations, MIT Press, Massachusetts, 1973 [4] MONTEIRO, L. H. Sistemas Dinâmicos, Ed. Livraria da Física, São Paulo, 26. [5] AGUIRRE, L. A.Identificação de Sistemas e Estimação de Parâmetros. Técnicas Lineares e Não Lineares Aplicadas a Sistemas Reais, 2 a ed.. Editora da UFMG. Belo Horizonte, 21 13