Variedades Instáveis e Centrais

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1 Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática Curso de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado Variedades Instáveis e Centrais Kleyber Mota da Cunha Orientador: Prof. Dr. Vilton Pinheiro Salvador-Bahia Dezembro 2006

2 Variedades Instáveis e Centrais Kleyber Mota da Cunha Dissertação apresentada ao colegiado do curso de Pós- Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Matemática. Banca examinadora: Prof. Dr. Vilton Pinheiro (Orientador) Prof. Dr. José Ferreira Alves Prof. Dr. Alberto Pinto

3 Kleyber Mota da Cunha Variedades Centrais /Salvador-Ba, Orientador: Dr. Vilton Pinheiro (UFBA). Dissertação de Mestrado apresentada ao curso de Pós-graduacão em Matemática da UFBA,?? páginas. Palavras-Chave: variedade instável e variedades centrais.

4 Resumo Neste trabalho, mostraremos que dada uma aplicação Lipschitz f : D E E, onde E é espaço de Banach, bem próxima, na topologia C r, de uma automorfismo linear hiperbólico, T : E E, a variedade instável de f é bem próxima da variedade instável de T. É mostrado também que a variedade instável de f possui algumas propriedades em comum com a variedade instável de T, como ser f-invariante, e ser constituída dos pontos cujo os iterados para trás tende ao ponto fixo de f, neste conjunto. Em particular, mostraremos também que a variedade instável de f é lipschitz e tão diferenciável quanto f. central. Em seguida estenderemos este resultado para um caso mais geral, que é a variedade iv

5 Abstract In this work, we will show that given an Lipschitz map f : D E E, where E is a Banach space, well close, in the C r topology, of a hyperbolic automorphism linear map, T : E E, the unstable manifold of f it is very close of the unstable manifold of T. It is also shown that the unstable manifold of f has some properties in common with the unstable manifold of T, how to be f-invariante, and to be constituted of the points whose backwards iterates tends to the fixed point of f, in this set. In particular we will also show that the unstable variety of f is lipschitz and so differentiable as f. Soon after we will extend this result for a more general case, that it is the central manifold. v

6 Sumário Resumo Abstract iv v Introdução 1 1 Preliminares 3 2 Variedade Instável 8 3 O caso f diferenciável 22 4 Variedades Centrais A não unicidade da Variedade Central Referências 53 vi

7 Introdução Dada uma aplicação f : E E, onde E espaço de Banach, nós definimos o conjunto instável de um ponto p E, em relação a f, sendo o conjunto dos pontos q E que são assintóticos a p no passado. Sob certas condições, nós mostraremos que esse conjunto possui certas propriedades interessantes. Esta dissertação está estruturada em quatro capítulos. No primeiro capítulo, apresentamos algumas definições e alguns resultados de Análise, que serão utilizados no decorrer da dissertação. Omitiremos algumas demonstrações por se tratarem de resultados conhecidos. No segundo e terceiro capítulo, nós provamos, respectivamente, o Teorema da Variedade Instável na versão lipschitz, bem como sua versão diferenciável. Este teorema é mais geral que o teorema de Grobman-Hartman, pois este nos diz que se uma aplicação f : R n R n é bem próxima de uma aplicação linear hiperbólica A : R n R n, então f é localmente topologicamente conjugada a aplicação A. Este teorema mostra ainda que a variedade instável(estável) de f é um disco topológico tangente a variedade instável(estável) de A na origem. Mas, o mesmo, não mostra que a variedade instável(estável) é diferenciável. O Teorema da Variedade Instável(Estável) prova que a variedade instável(estável) é uma variedade mergulhada C k que pode ser representada por um gráfico. Para provar este teorema, existem basicamente dois tipos de provas: o método da transformação do gráfico de Hadamard(1901) e o método da variação de parâmetros de Perron(1929). Nós seguiremos, na prova do teorema, a idéia de Hadamard. Em seguida, no quarto capítulo, nós provamos o Teorema da Variedade Central, que 1

8 Introdução 2 é uma modificação do Teorema da Variedade Instável, visto que, neste teorema a aplicação linear possui autovalores sobre o círculo unitário. A versão diferenciável também é provada. Ainda neste capítulo, mostraremos através de um exemplo simples, que ao contrário da variedade instável(estável), a variedade central não é única. No apêndice mostramos o Teorema da seção C r, no qual diz que existe uma única seção invariante diferenciável para uma determinada aplicação que tem contração nas fibras. Este teorema é utilizado para provar a versão diferenciável do Teorema da Variedade Central.

9 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo, apresentaremos algumas definições, proposições, bem como alguns teoremas que serão de grande utilidade para o desenvolvimento deste trabalho. 1.1 Definição. Seja E e F espaços de Banach. Dizemos que uma aplicação f : E F é Lipschitziana se existe k > 0 tal que, para quaisquer x, y E, tem-se f(x) f(y) k x y. O menor valor de k para que a desigualdade anterior seja válida é chamada constante de Lipschitz, e denotada por Lip(f). Quando Lip(f) < 1, f é dita uma contração. 1.2 Observação. A continuidade de uma aplicação pode ser definida da seguinte maneira: Uma aplicação f : U E F é contínua em p U se dado ε > 0, existe δ > 0 tal que f(b δ (p)) B ε (f(p)). 1.3 Observação. Note que toda aplicação Lipschitziana é contínua, pois dado ε > 0, basta tomar δ = ε ε. Então x y < δ f(x) f(y) k x y < k k k = ε. 1.4 Teorema. Seja f : E F uma aplicação, onde E e F são espaços vetorias sobre um corpo F. Se o graf(f) for um subespaço vetorial de E F então f é linear. Prova: Seja (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) graf(f) e λ F, ou seja, y 1 = f(x 1 ) e y 2 = f(x 2 ). Como graf(f) é subespaço linear, temos que (x 1, y 1 ) + λ(x 2, y 2 ) graf(f), ou seja, (x 3, y 3 ) graf(f), tal que y 3 = f(x 3 ) e (x 1, y 1 ) + λ(x 2, y 2 ) = (x 3, y 3 ). Assim x 3 = x 1 + λx 2 e y 3 = y 1 + λy 2. Logo y 3 = f(x 3 ) = f(x 1 + λx 2 ) = y 1 + λy 2 = f(x 1 ) + λf(x 2 ). 3

10 Preliminares Observação. A recíproca deste Teorema não é verdadeira. Basta considerarmos o seguinte contra-exemplo: f : R 2 R 2 v v 2 v. Vemos que f leva subespaços lineares do R 2 em subespaços lineares do R 2, mas f não é linear. 1.6 Definição (Ponto Fixo). Seja M um conjunto. Um ponto fixo de uma aplicação f : M M é um elemento x M satisfazendo f(x) = x. 1.7 Teorema (Ponto Fixo de Banach). Seja F um subconjunto fechado do espaço métrico completo (X, d). Se a aplicação f : F F é uma contração então f possui um, e somente um, ponto fixo. Prova: Ver em [6]. 1.8 Teorema (Pertubação da Identidade). Seja ϕ : U F F contração, U F aberto, F espaço de Banach. A aplicação f : U F dada por f(x) = x + ϕ(x) é um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto f(u) F. Além disso, se U = F, têm se f(u) = F Prova: Ver em [5]. 1.9 Lema. Sejam F um espaço de Banach, X um espaço métrico e f, g duas funções contínuas de X em F. Suponha que f seja injetiva e f 1 seja Lipschitz. Se g satisfaz a condição Lip(f g) < [Lip(f 1 )] 1, então g também é injetiva e Lip(g 1 ) {[Lip(f 1 )] 1 Lip(f g)} 1 = Lip(f 1 ) 1 Lip(g f)lip(f 1 ) Prova: Como f é injetiva e f 1 é Lipschitz, obtemos para x = f 1 (z) e y = f 1 (w): f 1 (z) f 1 (w) Lip(f 1 )d(z, w) = f 1 (z) f 1 (w) 1 Lip(f 1 ) 1 d(z, w) 1 = d(x, y) 1 Lip(f 1 ) 1 f(x) f(y) 1 = f(x) f(y) Lip(f 1 ) 1 d(x, y) (1.1)

11 Preliminares 5 g(x) g(y) = g(x) g(y) + f(x) f(x) + f(y) f(y) f(x) f(y) (g f)(x) (g f)(y) e por (1.1) [Lip(f 1 )] 1 d(x, y) Lip(f g)d(x, y) = {[Lip(f 1 )] 1 Lip(f g)}d(x, y) A última desigualdade nos dá que g é injetiva, pois se g(x) = g(y) g(x) g(y) = 0 e usando o fato de que [Lip(f 1 )] 1 Lip(f g) > 0, por hipótese, temos d(x, y) = 0 x = y. Agora, sendo x = g 1 (z) e g = f 1 (w), obtemos novamente da última desigualdade d(z, w) {[Lip(f 1 )] 1 Lip(f g)} g 1 (z) g 1 (w) d(z, w) 1 {[Lip(f 1 )] 1 Lip(f g)} 1 g 1 (z) g 1 (w) 1 g 1 (z) g 1 (w) {[Lip(f 1 )] 1 Lip(f g)} 1 d(z, w). (1.2) Assim de (1.2), obtemos o resultado Teorema. Seja f um homeomorfismo de um subconjunto aberto U de um espaço de Banach E sobre um aberto V de um espaço de Banach F, cuja a inversa é Lipschitz. Seja h uma aplicação contínua, Lipschitz de U em F satisfazendo Lip(h)Lip(f 1 ) < 1. Seja g = f + h. Então g é um homeomorfismo de U sobre um subconjunto aberto de F, com inversa Lipschitz. Prova: Seja ϕ = g f 1 = (f + h) f 1 = id + hf 1. Como h e f 1 são Lipschitz temos que hf 1 é Lipschitz e λ = Lip(hf 1 ) Lip(h)Lip(f 1 ) < 1 Assim hf 1 é uma contração. Logo pelo Teorema 1.8 (note que ϕ : f(u) F F ) temos que ϕ é um homeomorfismo de f(u) sobre o conjunto aberto ϕ(f(u)). Obtemos assim que g é um homeomorfismo de U sobre g(u), pois composta de homeomorfismos é um homeomorfismo, e ϕ(f(u)) = g f 1 (f(u)) = g(u) g(u) é aberto.

12 Preliminares 6 Resta agora mostrarmos que g 1 é Lipschitz. Para isto basta observamos que ϕ(x) ϕ(y) = x + hf 1 (x) y hf 1 (y) x y hf 1 (x) hf 1 (y) x y λ x y = (1 λ) x y temos: Da última desigualdade temos que ϕ é injetiva. Logo fazendo ϕ(x) = w e ϕ(y) = z 1 w z ϕ 1 (w) ϕ 1 (z) 1 1 λ 1 ϕ 1 (w) ϕ 1 (z) = 1 1 λ w z = ϕ 1 é Lipschitz. Mas ϕ 1 = f g 1 g 1 = f 1 ϕ 1. Como ϕ 1 e f 1 são Lipschitz, temos que g 1 é Lipschitz Proposição. Seja U um subconjunto aberto de um espaço de Banach E e g um homeomorfismo de U sobre um subconjunto aberto de um espaço de Banach F. Se g 1 é Lipschitz com Lip(g 1 ) < λ, então B r λ (g(x)) g(b r(x)). Prova: Como g 1 é Lipschitz, temos que g 1 é contínua bastando tomar δ = ε Lip(g 1 ), pela Observação 1.3. Usando agora o fato de que g 1 é contínua em g(x), pela Observação 1.2 temos que: Passando agora o fecho, obtemos: g 1 (B r λ (g(x))) B r(x) B r λ (g(x)) g(b r(x)) B r λ (g(x)) g(b r(x)). Agora resta-nos mostrar que g(b r (x)) g(b r (x)). De fato, seja y g(b r (x)) y n g(b r (x)), tal que y n y. Agora y n g(b r (x)) x n B r (x), tal que g(x n ) = y n

13 Preliminares 7 Usando agora o fato de que g 1 é contínua, temos: y n y x n = g 1 (y n ) g 1 (y) g 1 (y) B r (x) y g(b r (x)) g(b r (x)) g(b r (x))

14 Capítulo 2 Variedade Instável Neste capítulo iremos provar o Teorema da Variedade Instável Local para um ponto. 2.1 Definição. Seja T : E E um endomorfismo linear, E um espaço de Banach. Dizemos que T é hiperbólico se e somente se existe uma decomposição em soma direta E = E 1 E 2, onde E 1 e E 2 são invariantes por T e constantes c > 0 e λ < 1 tal que: (1) A restrição T 1 de T a E 1 é uma expansão, ou seja: n 0, T n 1 cλ n. (2) A restrição T 2 de T a E 2 é uma contração, ou seja: n 0, T2 n cλ n. 2.2 Proposição (Norma adaptada). Seja T como acima. Então existe uma métrica C em E e uma constante η, 0 < η < 1 tal que T E2 < η e T 1 E1 < η. Prova: Ver em [8]. De agora em diante, denota-se por E i (r), i = 1, 2 a bola fechada de raio r e centro na origem em E i. 8

15 Variedade Instável Teorema (Teorema da Variedade Instável Local para um Ponto). Seja T : E E um automorfismo hiperbólico de um espaço de Banach E com decomposição E = E 1 E 2 = E 1 E 2 e suponha que a norma é adaptada, isto é, nós podemos encontrar 0 < λ < 1, tal que T E2 < λ e T 1 E1 < λ. Então existe um ε > 0, que depende somente de λ, e constante δ = δ(λ, ε, r) tal que para toda aplicação Lipschitz f : E 1 (r) E 2 (r) E, com f(0) < δ e Lip(f T ) < ε, existe uma aplicação g : E 1 (r) E 2 (r) cujo o gráfico nos dá uma variedade instável para f. Além disso g e seu gráfico tem as seguintes propriedades: (1) g é Lipschitz, com Lip(g) 1. Além disto, a restrição de f 1 ao gráfico de g é contração e deste modo tem um ponto fixo p sobre o gráfico de g. (2) O gráfico de g é igual a n=0 f n (E 1 (r), E 2 (r)). (Esta intersecção é o conjunto estável local de p, W u loc (p).) (3) Se f é C k então g é C k. (4) Se f é C 1 com f(0) = 0, Df(0) = T, então o gráfico de g é tangente a E 1 em 0. (5) Se f(0) = 0 e f é invertível, o gráfico de g consiste dos pontos em E 1 (r) E 2 (r) cujo os iterados para trás tende a 0. (6) Se f(0) = 0, um ponto x pertence ao gráfico de g se e somente se existe uma seqüencia x n, n 0, em E 1 (r) E 2 (r), tendendo a 0 tal que f n (x n ) = x. Nós obtemos a variedade estável local trocando T por T 1, E 1 por E 2. Antes de começarmos a demonstrar o Teorema, iremos fixar algumas notações: T i = T Ei, p i = projeção de E sobre E i, f i = p i f, i = 1, 2. Nós usaremos, por conveniência, a norma box box = sup( E1, E2 ), isto é, x = sup( p 1 (x), p 2 (x) ).

16 Variedade Instável Observação. Usando o fato de que E = E 1 E 2 = E 1 E 2 e essa decomposição é invariante por T, para x E 1 e y E 2, temos que: T (x, y) = T (x y) = T (x) T (y) = T 1 (x) T 2 (y) = (T 1 (x), T 2 (y)). Iremos a partir de agora, estabelecer alguns resultados que utilizaremos para a demonstração do Teorema Definição (Transformação de Gráfico). Suponhamos que nós temos uma σ : E 1 (r) E 2 (r) para o qual f 1 (id, σ) é injetiva e E 1 (r) f 1 (id, σ)(e 1 (r)). Definimos a função Γ f (σ) por: Γ f (σ) = f 2 (id, σ) [f 1 (id, σ)] 1 E1 (r). Isto é ilustrado na Figura 2.1. E 2 (x,g(x)) graf(g) f(x,g(x)) f(graf(g)) -r x p f(x,g(x)) r 1 E 1 Figura 2.1: Transformação de Gráfico Podemos notar que o gráfico de Γ f (σ) é a intersecção de f(graf de σ) com E 1 (r) E 2 (r), por isso Γ f é chamada Transformação de Gráfico. Note que a variedade instável de T é E 1 que é o único gráfico invariante sobre Γ T, assim existe uma esperança de encontrarmos uma variedade instável de f, pois f é bem próxima de T no sentido Lip(f T ) < ε, bem como um ponto fixo de Γ f. Seja Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)) o conjunto das funções Lipschitz cuja constante é menor ou igual a 1. Primeiro mostraremos que Γ f está bem definido em Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)), depois

17 Variedade Instável 11 mostraremos que Γ f é uma contração de Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)) na métrica C 0 e usaremos o Teorema da Contração para garantir que Γ f tem um único ponto fixo g. 2.6 Lema. Se σ Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)) temos a seguinte estimativa: Lip(f 1 (id, σ) T 1 ) Lip(f T ). Prova: Note que f 1 (id, σ) T 1 = p 1 (f T ) (id, σ). De fato, p 1 (f T ) (id, σ)(x) = p 1 (f T ) (x, σ(x)) = p 1 (f(x, σ(x)) T (x, σ(x))) = f 1 (x, σ(x)) T 1 (x) = [f 1 (id, σ) T 1 ](x) Assim, Lip[f 1 (id, σ) T 1 ] = Lip[p 1 (f T ) (id, σ)] Lip(p 1 )Lip(f T )Lip(id, σ) Lip(f T ) 2.7 Lema. Se ε > 0 é menor que 1 λ e Lip(f T ) < ε, então para todo σ Lip 1(E 1 (r), E 2 (r)), a aplicação f 1 (id, σ) é um homeomorfismo. Além disso, a inversa é uma função Lipschitz cuja constante Lipschitz satisfaz T Lip([f 1 (id, σ)] 1 ) 1 1 λ ε. Prova: Pelo Lema 2.6 temos que Lip(f 1 (id, σ) T 1 ) Lip(f T ) ε < 1 λ < Fazendo g = f 1 (id, σ) e f = T 1, podemos aplicar o Teorema 1.10 onde h = g f, sendo assim concluímos que g = f 1 (id, σ) é um homeomorfismo. Agora pelo Lema 1.9, pois Lip(f g) < [Lip(T 1 1 )] 1 = 1 λ, obtemos: Lip[f 1 (id, σ)] 1 ) 1 1 Lip(f g) Lip(f 1 ) 1 T1 1 1 Lip(f 1 (id, σ) T 1 ) 1. 1 λ ε

18 Variedade Instável Lema. Seja 0 < 2ε < 1 λ 1. Suponha que Lip(f T ) < ε e f(0) < r( 1 λ 1 2ε), então para todo σ Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)), E 1 (r) f 1 (id, σ)(e 1 (r)) E 1 (r) obtemos: Prova: Pelo Lema 2.7 temos que Lip([f 1 (id, σ)] 1 ) 1 1 λ ε. Fazendo agora g = f 1 (id, σ) na Proposição 1.11 e usando o fato de que B r (0) = B r( 1 λ ε)(f 1 (id, σ)(0)) f 1 (id, σ)(e 1 (r)) B r( 1 λ ε)(f 1(0, σ(0))) f 1 (id, σ)(e 1 (r)). Mostraremos agora que B r( 1 λ ε) f 1(0,σ(0)) (0) B r( 1 λ ε)(f 1(0, σ(0))). Seja x B r( 1 λ ε) f (0), logo 1(0,σ(0)) x < r( 1 λ ε) f 1(0, σ(0)) x + f 1 (0, σ(0)) < r( 1 λ ε), mas x f 1 (0, σ(0)) x + f 1 (0, σ(0)) < r( 1 λ ε) x B r( 1 λ ε)(f 1(0, σ(0))). Seja ρ = r( 1 λ ε) f 1(0, σ(0)). Resta-nos mostrar que ρ r, pois assim E 1 (r) = B r (0) B ρ (0) B r( 1 λ ε)(f 1(0, σ(0))) f 1 (id, σ)(e 1 (r)). f 1 (0, σ(0)) f 1 (0, 0) + f 1 (0, σ(0)) f 1 (0, 0) f 1 (0, 0) + f 1 (0, σ(0)) p 1 T (0, σ(0)) + p 1 T (0, σ(0)) f 1 (0, 0) + p 1 T (0, 0) p 1 T (0, 0) f 1 (0, 0) + (f 1 p 1 T )(0, σ(0)) + p 1 T (0, σ(0)) (f 1 p 1 T )(0, 0) p 1 T (0, 0) f 1 (0, 0) + (f 1 p 1 T )(0, σ(0)) (f 1 p 1 T )(0, 0). Como (f 1 p 1 T )(0, σ(0)) (f 1 p 1 T )(0, 0) (f T )(0, σ(0)) (f T )(0, 0)

19 Variedade Instável 13 e f 1 (0, 0) < f(0, 0), pois estamos utilizando a norma do sup, temos: f 1 (0, σ(0)) f(0, 0) + (f T )(0, σ(0)) (f T )(0, 0) f(0, 0) +Lip(f T ) (0, σ(0)) (0, 0) f(0, 0) +εr r( 1 λ 1 2ε) + εr = r( 1 λ 1 ε) 0 r( 1 λ ε) f 1(0, σ(0)) r r ρ. }{{} ρ 2.9 Lema. Seja 0 < 2ε < 1 λ e δ < r min{ 1 1 2ε, 1 ε λ}. Se f satisfaz Lip(f T ) < ε λ e f(0) < δ, então para todo σ Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)) a aplicação Γ f (σ) está bem definida sobre E 1 (r) e Γ f (σ) Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)). Prova: Primeiro mostraremos que Lip([f 1 (id, σ)] 1 ) 1 1 < 1. Para isto note ε λ que 1 1 > 1 λ, pois 1 > 1 e 0 < λ < 1. Agora, por hipótese λ λ 2ε < 1 λ ε < 1 λ 2 < 1 λ 1 1 λ ε > 1, como queríamos. Agora como Γ f (σ) = f 2 (id, σ) [f 1 (id, σ)] 1 E1 (r), temos: Lip(Γ f (σ)) Lip(f 2 (id, σ)) Lip([f 1 (id, σ)] 1 ) Lip(f 2 (id, σ)) Lip(f 2 ) Lip(id, σ) Lip(f 2 ) = Lip(T 2 + p 2 (f T )) Lip(T 2 ) + Lip(p 2 (f T )) Lip(T 2 ) + Lip((f T )) λ + ε 1, pois como 2ε < 1 λ ε < 1 λ ε + λ < 1. E 2 (r). Para mostrar que Γ f (σ) Lip(E 1 (r), E 2 (r)), resta mostrar que Γ f (σ)(e 1 (r))

20 Variedade Instável 14 Já sabemos pelo Lema 2.8 que E 1 (r) f 1 (id, σ)(e 1 (r)) [f 1 (id, σ)] 1 (E 1 (r)) E 1 (r), então basta mostrar que f 2 (id, σ)(e 1 (r)) E 2 (r). Para isto seja x E 1 (r), então: f 2 (x, σ(x)) f 2 (x, σ(x)) p 2 T (x, σ(x)) + p 2 T (x, σ(x)) f 2 (x, σ(x)) p 2 T (x, σ(x)) + p 2 T (x, σ(x)) f 2 (x, σ(x)) p 2 T (x, σ(x)) + T 2 σ(x) (f T )(x, σ(x)) +λr (f T )(x, σ(x)) (f T )(0, 0) + (f T )(0, 0) λr Lip(f T ) (x, σ(x)) + f(0) +λr εr + δ + λr εr + r(1 ε λ) + λr r. Assim como f 2 (x, σ(x)) E 2 e f 2 (x, σ(x)) < r f 2 (x, σ(x)) E 2 (r) Lema. Seja (x, y) um ponto de E 1 (r) E 2 (r) tal que f 1 (x, y) esteja em E 1 (r). Para todo σ Lip(E 1 (r), E 2 (r)) a seguinte desigualdade vale: f 2 (x, y) Γ f σ(f 1 (x, y)) (λ + 2ε) y σ(x). Este lema está ilustrado na Figura 2.2. Prova: f 2 (x, y) Γ f σ(f 1 (x, y)) = f 2 (x, y) f 2 (x, σ(x)) + f 2 (x, σ(x)) Γ f σ(f 1 (x, y)) f 2 (x, σ(x)) Γ f σ(f 1 (x, y)) + f 2 (x, y) f 2 (x, σ(x)) = Γ f σ(f 1 (x, σ(x))) Γ f σ(f 1 (x, y)) + f 2 (x, y) f 2 (x, σ(x)), pois Γ f (σ) = f 2 (id, σ) [f 1 (id, σ)] 1 Γ f (σ) [f 1 (id, σ)] = f 2 (id, σ) Γ f (σ)(f 1 (x, σ(x))) = f 2 (x, σ(x)). Como p 2 e f são Lipschitz, temos que f 2 = p 2 f também é Lipschitz. Logo f 2 (x, y) Γ f σ(f 1 (x, y)) Lip(f 2 ) (x, y) (x, σ(x)) +Lip(Γ f σ) f 1 (x, σ(x)) f 1 (x, y)

21 Variedade Instável 15 Pelo Lema 2.9 temos que Lip(Γ f σ) 1. Observe também que Lip(f 2 ) = Lip(f 2 p 2 T + p 2 T ) = Lip(T 2 ) + Lip(p 2 (f T )) Lip(T 2 ) + Lip(f T ) λ + ε. Então f 2 (x, y) Γ f σ(f 1 (x, y)) (λ + ε) y σ(x) + f 1 (x, σ(x)) f 1 (x, y) (λ + ε) y σ(x) + f 1 (x, σ(x)) p 1 T (x, σ(x)) +p 1 T (x, σ(x)) + p 1 T (x, y) p 1 T (x, y) f 1 (x, y) (λ + ε) y σ(x) + (f 1 p 1 T )(x, σ(x)) (f 1 p 1 T )(x, y) + p 1 T (x, σ(x)) p 1 T (x, y) (λ + ε) y σ(x) +Lip(f 1 p 1 T ) (x, σ(x)) (x, y) + T 1 (x) T 1 (x) {(λ + ε) + Lip(f T )} y σ(x) (λ + ε + ε) y σ(x) (λ + 2ε) y σ(x). (x,y) ä(x) f (x,y) 2 f(x,y) f(x, ä(x) ) (f 1(x,y), f äf 1(x,y)) x f 1(x,y) f 1(x, ä(x) ) Figura 2.2: Lema Lema. Na situação anterior Γ f contrai na distância C 0 por um fator no máximo λ+2ε. Prova: Seja σ 1, σ 2 Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)), z E 1 (r) e (x, y) = ([f 1 (id, σ 1 )] 1 (z), σ 1 ([f 1 (id, σ 1 )] 1 (z))), ou seja (x, y) graf(σ 1 ).

22 Variedade Instável 16 Aplicando o Lema 2.10 para σ = σ 2 em (x, y) temos: f 2 (x, y) Γ f σ 2 (f 1 (x, y)) (λ + 2ε) y σ 2 (x). Mas note que e que Γ f σ 1 (z) = f 2 (id, σ 1 ) [f 1 (id, σ 1 )] 1 (z) }{{} x = f 2 (id, σ 1 )(x) = f 2 (x, σ 1 (x)) = f 2 (x, y) x = [f 1 (id, σ 1 )] 1 (z) [f 1 (id, σ 1 )](x) = z z = f 1 (x, σ 1 (x)) = f 1 (x, y). Então Γ f σ 1 Γ f σ 2 = sup Γ f σ 1 (z) Γ f σ 2 (z) z E 1 (r) (λ + 2ε) sup σ 1 ([f 1 (id, σ 1 )] 1 (z)) σ 2 ([f 1 (id, σ 1 )] 1 (z)) z E 1 (r) (λ + 2ε) sup σ 1 (z) σ 2 (z) z E 1 (r) = (λ + 2ε) σ 1 σ 2, onde na penúltima desigualdade utilizamos o fato de que [f 1 (id, σ 1 )] 1 (E 1 (r)) E 1 (r) sup σ 1 ([f 1 (id, σ 1 )] 1 (z)) sup σ 1 (z). z E 1 (r) z E 1 (r) 2.12 Proposição. Se Lip(f T ) < ε < 1 λ e 2 { } 1 f(0) δ < r min λ 1 2ε, 1 ε λ então a transformação de gráfico Γ f tem um único ponto fixo g Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)). Prova: Pelo Lema 2.11 temos que Lip(Γ f ) λ + 2ε < λ λ 2 = 1 Γ f é uma contração. Afirmação: Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)) C 0 (E 1 (r), E 2 (r)) é fechado.

23 Variedade Instável 17 De fato, utilizando a norma da convergência uniforme, seja f n Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)), tal que f n u f. Assim f(x) f(y) f(x) f n (x) + f n (x) f n (y) + f n (y) f(y) < ε+ x y + ε 2 2 < ε+ x y. Fazendo ε tender a zero, obtemos que f(x) f(y) x y f Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)). Assim pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach (Teorema 1.7) existe um único ponto fixo de Γ f em Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)). Chamemos de g este ponto fixo. Agora provaremos o resultado principal, que é o Teorema 2.3. Prova: Por construção sabemos que Lip(g) 1. Para ver que f 1 graf(g) é uma contração, note que quando (x, g(x)) = f(y, g(y)) x = f 1 (x, g(y)) = f 1 (id, g)(y) = p 1 f(y, g(y)) temos o seguinte: (p 1 graf(g) ) 1 (x) = (p 1 graf(g) ) 1 (x) p 1 f(y, g(y)) = (p 1 graf(g) ) 1 (x) = f(y, g(y)) = (x, g(x)) = f graf(g) (p 1 graf(g) ) 1 (x) = f(x, g(x)) = p 1 f graf(g) (p 1 graf(g) ) 1 (x) = p 1 f(x, g(x)) Pelo Lema 2.7 temos que f 1 (id, g) é homeomorfismo, logo invertível, então (p 1 graf(g) ) 1 p 1 f graf(g) (p 1 graf(g) ) 1 (x) = (p 1 graf(g) ) 1 f 1 (x, g(x)) = f graf(g) (p 1 graf(g) ) 1 (x) = (p 1 graf(g) ) 1 f 1 (x, g(x)) Assim f graf(g) é conjugado a p 1 f(x, g(x)) via (p 1 graf(g) ) 1. Como p 1 f(x, g(x)) é invertível então f graf(g) é invertível. Usando o fato de que p 1 graf(g) é uma isometria com respeito a norma do sup (veja Proposição 2.14) e isometria preserva a constante de Lipschitz, concluímos que Lip(f 1 graf(g) ) < 1, pois Lip[f 1 (id, g)] 1 < 1.

24 Variedade Instável 18 Assim f 1 graf(g) : graf(g) graf(g) é uma contração. Afirmamos que o graf(g) E é fechado. De fato, considere a aplicação ϕ(x, y) = y g(x), que é contínua, pois g é contínua (g Lip 1 ()E 1 (r), E 2 (r)). Observe agora que graf(g) = ϕ 1 (0). Como ϕ é contínua e 0 é fechado concluímos que graf(g) é fechado, já que a pré-imagem de fechado por uma aplicação contínua é fechado. Então temos que existe um único ponto fixo, que denotamos por p, de f 1 graf(g). Logo (1) está provado. Para provar (2) considere (x, y ) E 1 (r) E 2 (r) tal que f(x, y ) E 1 (r) E 2 (r), para que possamos considerar os iterado de f. Pelo Lema 2.10, temos f 2 (x, y ) Γ f (g)(f 1 (x, y )) (λ + 2ε) y g(x ). Como g é ponto fixo de Γ f, temos que Γ f (g) = g, logo f 2 (x, y ) g(f 1 (x, y )) (λ + 2ε) y g(x ). (2.1) Repetindo-se o processo para os primeiros n iterados de f, (x, y ), f(x, y ),..., f n (x, y ) = (x, y), temos: y g(x) = p 2 f n (x, y ) g p 1 f n (x, y ) = p 2 f(f n 1 (x, y )) g p 1 f(f n 1 (x, y )) = f 2 (f n 1 (x, y )) g f 1 (f n 1 (x, y )) (λ + 2ε) p 2 f n 1 (x, y ) g p 1 f n 1 (x, y ) por (2.1) (λ + 2ε) p 2 f(f n 2 (x, y )) g p 1 f(f n 2 (x, y )) (λ + 2ε) f 2 (f n 2 (x, y )) g f 1 (f n 2 (x, y )) (λ + 2ε) 2 p 2 f n 2 (x, y ) g p 1 f n 2 (x, y ) por (2.1) (λ + 2ε) n y g(x ) (λ + 2ε) n ( y + g(x ) ) (λ + 2ε) n 2r Mas ε < 1 λ, pelo Lema 2.9, assim 2 (λ + 2ε) < 1 (λ + 2ε) n n 0 y = g(x) (x, y) = f n (x, y ) graf(g)

25 Variedade Instável 19 f n (E 1 (r) E 2 (r)) graf(g). n=0 Resta-nos mostrar que graf(g) f n (E 1 (r) E 2 (r)). Sabemos que graf(γ f (g)) = f(graf(g)) n=0 (E 1 (r) E 2 (r)). Mas como g é o ponto fixo de Γ f, temos que graf(g) = f(graf(g)) (E 1 (r) E 2 (r)) E 1 (r) E 2 (r) (2.2) Da equação (2.2), obtemos que graf(g) f(graf(g)) E 1 (r) E 2 (r). (2.3) Aplicando f na equação (2.3) temos que graf(g) f 2 (E 1 (r) E 2 (r)). Repetindo-se o mesmo processo n vezes, temos que graf(g) f n (E 1 (r) E 2 (r)) n. Logo graf(g) n=0 f n (E 1 (r) E 2 (r)). E assim fica demonstrado o ítem (2). Para demonstrar o ítem (5), note que como f 1 graf(g) é uma contração e f 1 (0) = 0, então 0 é o único ponto fixo de f 1 graf(g). Seja (x, y) graf(g), então: f n (x, y) f n (0) }{{} = f 1 (f n+1 (x, y)) f 1 (f n+1 (0)) 0 α f n+1 (x, y) f n+1 (0) (2.4) α n x α n r, onde α = Lip(f 1 graf(g) ) < 1. Logo f n (x, y) α n r n 0 f n (x, y) n Observação. Note que como g é o ponto fixo de Γ f, temos que graf(g) = f(graf(g)) (E 1 (r) E 2 (r)). Como f é invertível por hipótese, temos que f 1 (graf(g)) graf(g). Assim como (x, y) graf(g) f n (x, y) graf(g) n. E assim a equação (2.4) tem sentido.

26 Variedade Instável 20 Agora seja (x, y) E 1 (r) E 2 (r) com f n (x, y) 0. Seja (x n, y n ) = f n (x, y), ou seja f n (x n, y n ) = (x, y). Assim x = p 1 f n (x n, y n ) e y = p 2 f n (x n, y n ). Logo, por (2.1) y g(x) = p 2 f n (x n, y n ) g(p 1 f n (x n, y n )) (λ + 2ε) n y n g(x n ) Como (x n, y n ) 0, temos que x n 0 e y n 0. Usando o fato de g ser contínua temos que g(x n ) g(0) = 0. Assim y g(x) n 0 (x, y) graf(g), e (5) está provado. Agora para demonstrar (6), tomemos (x, y) graf(g), logo por (5), f n (x, y) 0. Fazendo (x n, y n ) = f n (x, y), temos que, f n (x n, y n ) = (x, y), e (x n, y n ) 0. Por outro lado, quando (x n, y n ) E 1 (r) E 2 (r), tal que (x n, y n ) 0 e f n (x n, y n ) = (x, y), o resultado segue diretamente por (5) Proposição. p 1 Graf(g) : Graf(g) E 1 é uma isometria com a norma do sup. Prova: p 1 (x, g(x)) p 1 (y, g(y)) sup = x y sup = sup( p 1 (x y) E1, p 2 (x y) E2 ) =. sup( x y E1, 0) = x y E1 Resta mostrar que (x, g(x)) (y, g(y)) sup = x y E1. Mas (x, g(x)) (y, g(y)) sup = (x y, g(x) g(y)) sup = sup( p 1 (x y) E1, p 2 (g(x) g(y)) E2 ) = sup( x y E1, g(x) g(y) E2 ) = x y E1, pois g Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)), ou seja, g(x) g(y) x y.

27 Variedade Instável 21 Os ítens (3) e (4) são conhecidos como a versão diferenciável do Teorema da Variedade Instável, pois o leitor pode notar que nestes ítens estamos supondo que f é diferenciável. É necessário então ver alguns resultados sob esta hipótese para demonstrá-los. E isto é tarefa para o próximo capítulo.

28 Capítulo 3 O caso f diferenciável Neste capítulo mostraremos a versão diferenciável do Teorema da Variedade Instável. Ou seja, mostraremos que: (3) Se f é C k então g é C k. (4) Se f é C 1 com f(0) = 0, Df(0) = T, então o gráfico de g é tangente a E 1 em 0. A idéia da prova é a seguinte: Se existe uma função g C 1 cujo gráfico é f invariante, então a derivada de f aplica o espaço tangente do gráfico no espaço tangente do gráfico, isto é: f(x, g(x)) = (y, g(y)) Df (x,g(x)) (T (x,g(x)) graf(g)) = T (y,g(y)) graf(g) = T f(x,g(x)) graf(g) ou Df (x,g(x)) (id, Dg x ) = (id, Dg y ) = (id, Dg f1 (x,g(x))) Df (x,g(x)) (graf(dg x )) = graf(dg f1 (x,g(x))), pois (id, Dg x ) v = (v, Dg x (v)) = graf(dg x ). Ver Figura 3.1. Depois consideraremos uma nova transformação de gráfico (global e linear), em seguida usaremos o Teorema do Ponto Fixo de Banach (Teorema (1.7)) para encontrar uma 22

29 O caso f diferenciável 23 graf g g(x) f 2 (x,g(x)) graf Dg f1(x,g (x)) graf Dg x x f 1 (x,g(x)) Figura 3.1: Derivada de f. função σ : E 1 (r) L 1 (E 1, E 2 ), onde L 1 (E 1, E 2 ) é o espaço das aplicações lineares contínuas de E 1 para E 2 cuja norma é menor ou igual a 1, que tem a seguinte propriedade: Γ Df σ(x) = σ(f 1 (x, g(x))). E finalmente mostraremos que σ é a derivada de g. Aqui e no que se segue, para simplificar a notação nós escreveremos Df para Df (x,g(x)). 3.1 Lema. Existe um ε > 0, tal que quando S T < ε, a transformação de gráfico Γ S : L 1 (E 1, E 2 ) L 1 (E 1, E 2 ) é bem definida. Além disso, Γ S é Lipschitz em L 1 (E 1, E 2 ) com constante de Lipschitz menor ou igual a λ + 2ε. Prova: Primeiro note que toda aplicação linear é Lipschitz, com constante de Lipschitz igual a sua norma, ou seja, L 1 (E 1, E 2 ) Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)) r. Assim escolhendo ε igual ao do Lema 2.9, nós temos que Γ S está bem definida em Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)) para todo r, logo em L 1 (E 1, E 2 ). Sabemos que graf(γ S σ) = S(graf(σ)). Como σ é uma aplicação linear então graf(σ) é um subespaço linear. Sendo S linear, S leva subespaço linear em subespaço linear, logo S(graf(σ)) é um subespaço linear. Concluímos então que graf(γ S σ) é subespaço linear. Assim pelo Teorema 1.4 temos que Γ S é linear. Finalmente, a constante de Lipschitz de Γ S é estimada pelo Lema 2.11.

30 O caso f diferenciável Lema. Seja U ε uma vizinhança de T em L 1 (E 1, E 2 ). A aplicação Γ : U ε L 1 (E 1, E 2 ) L 1 (E 1, E 2 ) dada por Γ(S, K) = Γ S (K) é contínua. Prova: Seja S i = p i S. Sabemos que Γ S (K) = S 2 (id, K) [S 1 (id, K)] 1. Como inversão e composição de aplicações contínuas são contínuas sobre o espaço das aplicações lineares, Γ é contínua. Suponha agora que f é C 1 bem próxima de T, na topologia C 1 em E 1 (r) E 2 (r), ou seja, Lip(f T ) < ε e Df T < ε para todo z E 1 (r) E 2 (r). Seja g a aplicação de E 1 (r) para E 2 (r) cujo o gráfico é a variedade instável de f. Nós examinaremos o gráfico da derivada de g, supondo que esta é diferenciável. Seja h = f 1 (id, g) : E 1 (r) E 1. O dois lemas precedentes nos permite definir uma aplicação contínua F : E 1 (r) L 1 (E 1, E 2 ) E 1 L 1 (E 1, E 2 ) F : (x, L) (h(x), Γ Df L). Além disso, F faz o seguinte diagrama de aplicações contínuas comutar: E 1 (r) L 1 (E 1, E 2 ) F E 1 L 1 (E 1, E 2 ) E 1 (r) h E 1, onde as aplicações verticais são projeções, sobre o primeiro fator. 3.3 Lema. F (x, L) F (x, K) (λ + 2ε) L K, uniformemente sobre E 1 (r) e, além disso, E 1 (r) h(e 1 (r)), Lip(h 1 ) < 1. Prova: F (x, L) F (x, K) = (h(x), Γ Df L) (h(x), Γ Df K) = Γ Df L Γ Df K L K, pelo Lema 3.1. E pelos Lemas 2.7 e 2.8, concluímos a demonstração.

31 O caso f diferenciável 25 Seja Γ 0 (E 1 (r), E 1 (r) L 1 (E 1, E 2 )) o espaço das seções contínuas do fibrado trivial E 1 (r) L 1 (E 1, E 2 ) E 1 (r), ou seja, Γ 0 (E 1 (r), E 1 (r) L 1 (E 1, E 2 )) = {σ : E 1 (r) E 1 (r) L 1 (E 1, E 2 ) \ σ(x) = (x, Π 2 σ(x))}, com a métrica uniforme, ou seja para seções σ 1 e σ 2 : d(σ 1, σ 2 ) = sup Π 2 σ 1 (x) Π 2 σ 2 (x), x E 1 (r) onde Π 2 é a projeção sobre o segundo fator de E 1 (r) L 1 (E 1, E 2 ). Note que o espaço das seções contínuas é isométrico, via composição com Π 2, com o espaço completo das aplicações contínuas de E 1 (r) para L 1 (E 1, E 2 ) e as imagens da seções correspondem aos gráficos. Assim nós definimos uma nova transformação de gráfico Γ F sendo um automorfismo Γ F : τ F τ h 1 de Γ 0 (E 1 (r), E 1 (r) L 1 (E 1, E 2 )); isto é, Γ F τ é uma seção cuja a imagem é a intersecção de F (imagem τ) com E 1 (r) L 1 (E 1, E 2 ). 3.4 Lema. Γ F tem um único ponto fixo σ que satisfaz Γ Df (Π 2 σ(x)) = Π 2 σh(x) = Π 2 σf 1 (x, g(x)). Prova: Sejam τ 1, τ 2 seções. Logo Γ F τ 1 Γ F τ 2 = sup Γ F τ 1 (z) Γ F τ 2 (z) z E 1 (r) = sup F τ 1 h 1 (z) F τ 2 h 1 (z) z E 1 (r) = sup F (h 1 (z), Π 2 τ 1 (h 1 (z))) F (h 1 (z), Π 2 τ 2 (h 1 (z))) z E 1 (r) (λ + 2ε) sup Π 2 τ 1 (h 1 (z) Π 2 τ 2 (h 1 (z) z E 1 (r) (λ + 2ε)d(τ 1, τ 2 ). Como λ + 2ε < 1 Γ F é contração. Seja σ a seção que é o único ponto fixo de Γ F. Então Γ F σ = σ F σh 1 = σ F σ = σh. Assim F σ(x) = F (x, Π 2 σ(x)) = σ(h(x)) = (h(x), Π 2 σh(x)). Mas F (x, Π 2 σ(x)) = (h(x), Γ Df Π 2 σ(x)), pela definição da F. Logo Γ Df Π 2 σ(x) = Π 2 σh(x) = Π 2 σ(f 1 (x, g(x))).

32 O caso f diferenciável 26 Como um dos nossos objetivo é provar que o gráfico de g é tangente a E 1 em zero, iremos agora definir quando duas funções são tangentes em um ponto. 3.5 Definição. Seja Y e Z dois espaços métricos. Suponha que h 1 e h 2 são duas funções de uma vizinhança de x em Y para Z, com h 1 (x) = h 2 (x). Nós dizemos que h 1 e h 2 são tangentes em x se, e somente se, Lip x (h 1, h 2 ) = lim sup y x d(h 1 (y), h 2 (y)) d(x, y) = 0. Isto é, a distância Lipschitz h 1 para h 2 em x é 0. 1 Exemplo. Se E 1 e E 2 são espaços vetoriais normados e L 1 e L 2 são duas aplicações lineares contínuas de E 1 para E 2, então independente de x, De fato, Lip x (L 1, L 2 ) = lim sup y x = lim sup y x = lim sup y x = lim sup y x = L 1 L 2. Lip x (L 1, L 2 ) = L 1 L 2. L 1 (y) L 2 (y) x y L 1 (y) L 1 (x) + L 2 (x) L 2 (y), pois L 1 (x) = L 2 (x) x y L 1 (y x) L 2 (y x) y x (L 1 L 2 )(y x) y x 2 Exemplo. Se f : U E 1 E 2, onde U E 1 é aberto, E 1 e E 2 são espaços de Banach e L : E 1 E 2 uma aplicação linear contínua. L é a derivada de f em x se, e somente se f(x + y) e f(x) + L(y) são tangentes em y = 0, isto é f(x) f(x + y) L(y) lim y 0 y = 0. Iremos provar agora uma proposição, na qual temos como conseqüência o ítem (3) do Teorema da Variedade Instável (Teorema 2.3). 3.6 Proposição. Quando f é C 1, o ponto fixo g de Γ f é C 1 com derivada Π 2 σ, onde σ é o ponto fixo de Γ F.

33 O caso f diferenciável 27 Prova: Observemos que (Γ f g)(h(x) + y) g(h(x)) Γ Df [Π 2 σ(x)](y) = (Γ f g)(h(x)+y) g(h(x)) Γ Df [g (id+x) g(x)](y)+γ Df [g (id+x) g(x)](y) Γ Df [Π 2 σ(x)](y). Assim lim sup y 0 lim sup y 0 Lip 0 [(Γ f g)(h(x) + y), g(h(x)) Γ Df [Π 2 σ(x)](y)] = (3.1) (Γ f g)(h(x) + y) g(h(x)) Γ Df [Π 2 σ(x)](y) y 0 (Γ f g)(h(x) + y) g(h(x)) Γ Df [g (id + x) g(x)](y) + y Γ Df [g (id + x) g(x)](y) Γ Df [Π 2 σ(x)](y) lim sup = y 0 y Lip 0 [(Γ f g)(h(x) + y) g(h(x)), Γ Df [g (id + x) g(x)](y)] + Lip 0 [Γ Df [g (id + x) g(x)](y), Γ Df [Π 2 σ(x)](y)] = (I) + (II). Primeiro iremos trabalhar com a equação (II). Seja k = p 1 Df(id, g (id+x) g(x)). Utilizando o Lema 2.7, substituindo f por Df e σ por g (id + x) g(x), temos que k 1 é uma contração e k é sobrejetiva. Isto é possível, pois Df T < ε e g (id + x) g(x) Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)), visto que g(y + x) g(x) (g(w + x) g(x)) = g(y + x) g(w + x) y + x w x = y w. Agora, note que k(0) = p 1 Df(0, g(x) g(x)) = p 1 Df(0, 0) = 0. Considere w tal que k(w ) = y, isto é possível pela sobrejetividade de k. Então y = k(w ) k(0) [Lip(k 1 )] 1 w 0 > w, pois Lip(k 1 ) < 1 [Lip(k 1 )] 1 > 1.

34 O caso f diferenciável 28 Aplicando o Lema 2.11, trocando f, σ 1, σ 2 por Df, g (id + x) g(x), Π 2 σ(x), respectivamente, observando que k = p 1 Df(id, g (id + x) g(x)) = Df 1 (id, σ) e (x, y ) = (k 1 (y), σ 1 (k 1 )(y)) = (w, σ 1 (w )), temos Γ Df [g(id + x) g(x)](y) Γ Df [Π 2 σ(x)](y) (λ + 2ε) σ 1 (k 1 (y)) σ 2 (k 1 (y)) = (λ + 2ε) σ 1 (w ) σ 2 (w ) = (λ + 2ε) g(w + x) g(x) Π 2 σ(x)(w ). Usando o fato de que w < y, temos Γ Df [g(id + x) g(x)](y) Γ Df [Π 2 σ(x)](y) y (λ+2ε) g(w + x) g(x) Π 2 σ(x)(w ). w Assim, isto é (II) = Lip 0 [Γ Df [g (id + x) g(x)](y), Γ Df [Π 2 σ(x)](y)] = Γ Df [g(id + x) g(x)](y) Γ Df [Π 2 σ(x)](y) lim sup y 0 y g(w + x) g(x) Π 2 σ(x)(w ) (λ + 2ε) lim sup w 0 w = (λ + 2ε)Lip 0 [g(w + x) g(x), Π 2 σ(x)w ] = (λ + 2ε)Lip 0 [g(w + x), g(x) + Π 2 σ(x)w ], (II) Lip 0 [Π 2 σ(x), g(x + id) g(x)]. (3.2) Agora iremos mostrar que (I) = 0. Para isto, seja w, tal que h(x + w) = h(x) + y, isto é possível, pois h é homeomorfismo. Observe que y = h(x + w) h(x) [Lip(h 1 )] 1 (x + w) x w, e que (Γ f g)(h(x) + y) = (Γ f g)(h(x + w)) = (Γ f g)(f 1 (x + w, g(x + w))) = f 2 (x + w, g(x + w)), Pela escolha de w, temos Γ Df [g(x + id) g(x)](y) = p 2 Df(id, g(x + id) g(x)) [p 1 Df(id, g(x + id) g(x))] 1 (y) = p 2 Df(id, g(x + id) g(x)) k 1 (y) = p 2 Df(id, g(x + id) g(x))(w ) = p 2 Df(w, g(x + w ) g(x)).

35 O caso f diferenciável 29 Deste modo, nós podemos expressar (III) = (Γ f g)(h(x) + y) g(h(x)) Γ Df [g(id + x) g(x)](y) = p 2 f(x + w, g(x + w)) p 2 f(x, g(x)) p 2 Df(w, g(x + w ) g(x)) = p 2 Df(w, g(x + w) g(x)) + p 2 R[w, g(x + w) g(x)] p 2 Df(w, g(x + w ) g(x)) = p 2 Df(w w, g(x + w) g(x + w )) + p 2 R[w, g(x + w) g(x)], onde, na penúltima igualdade, usamos o fato de que f(a + v) f(a) = Df(a)v + R(v), onde a = (x, g(x)) e v = (w, g(x + w) g(x)). Como v = (w, g(x + w) g(x)) = w, pois como Lip(g) 1, g(x + w) g(x) x + w x = w, pelo Teorema de Taylor Assim Agora observe que R(v) lim v 0 v = lim R[w, g(x + w) g(x)] w 0 w (IV ) = (III) y p 2Df w w + y (I) = lim sup y 0 = lim sup(iv ). y 0 = 0. R[w, g(x + w) g(x)]. y [(Γ f g)(h(x) + y) g(h(x)) Γ Df [g (id + x) g(x)](y)] y R[w, g(x + w) g(x)] Note que lim y 0 y w y e assim y 0 w 0. R[w, g(x + w) g(x)] lim w 0 w = 0, pois w) h(x) e Iremos agora mostrar que w w lim y 0 y h(x + w ) h(x) = p 1 f(x + w, g(x + w )) p 1 f(x, g(x)) = 0. Para isto, observe que y = h(x + = p 1 Df(w, g(x + w ) g(x)) + p 1 R(w, g(x + w ) g(x)), assim mas p 1 R(w, g(x + w ) g(x)) = h(x + w ) h(x) y = h(x + w ) h(x) h(x + w) + h(x) = h(x + w ) h(x + w), h(x + w ) h(x + w) [Lip(h 1 )] 1 x + w x w = w w,

36 O caso f diferenciável 30 logo w w p 1 R(w, g(x + w ) g(x)). Então w w lim y 0 y o que nos dá (I) = 0. p 1 R(w, g(x + w ) g(x)) lim y 0 y w w = 0 lim y 0 y = 0, Assim, por (3.1) e (3.2), temos Lip 0 [(Γ f g)(h(x) + y), g(h(x)) Γ Df [Π 2 σ(x)](y)] (λ + 2ε)Lip 0 [g(x + y), g(x) + Π 2 σ(x)(y)]. (3.3) temos Agora, usando o fato de que Γ f g g e que Γ Df [Π 2 σ(x)] = Π 2 σh(x) (Lema 3.4), Lip 0 [g(h(x) + y), gh(x) + Π 2 σh(x)(y)] (λ + 2ε)Lip 0 [g(x + y), g(x) + Π 2 σ(x)(y)]. (3.4) temos Como h 1 (E 1 (r)) E 1 (r) e x E 1 (r), vemos que h n (x) E 1 (r) e então por (3.4), Lip 0 [g(h n (x) + y), gh n (x) + Π 2 σh n (x)(y)] 1 λ + 2ε Lip 0[g(h n+1 (x) + y), gh n+1 (x) + Π 2 σh n+1 (x)(y)] 1 λ + 2ε 1 λ + 2ε Lip 0[g(h n+2 (x) + y), gh n+2 (x) + Π 2 σh n+2 (x)(y)]. Repetindo-se esse processo n vezes, obtemos a seguinte estimativa: Lip 0 [g(h n (x) + y), gh n (x) + Π 2 σh n (x)(y)] ( ) n 1 Lip λ + 2ε 0 [g(x + y), g(x) + Π 2 σ(x)(y)]. (3.5) Queremos mostrar que Lip 0 [g(x + y), g(x) + Π 2 σ(x)(y)] = 0. Suponhamos que não, então existe x E 1 (r) tal que Lip 0 [g(x + y), g(x) + Π 2 σ(x)(y)] = δ > 0, ou seja lim sup y 0 g(x + y) g(x) Π 2 σ(x)(y) y = δ > 0.

37 O caso f diferenciável 31 Logo existe seqüência x n E 1 (r), tal que Lip 0 [g(x n + y), g(x n ) + Π 2 σ(x n )(y)], ou seja lim sup y 0 g(x n + y) g(x n ) Π 2 σ(x n )(y) y =, pois pela equação (3.5) temos que seu segundo membro é infinito, visto que estamos supondo Lip 0 [g(x + y), g(x) + Π 2 σ(x)(y)] = δ > 0 e ( ) 1 n λ+2ε, pois 1 > 1. λ+2ε Mas Lip(g) 1 e σ L 1 (E 1, E 2 ), ou seja, σ 1, logo temos que Π 2 σ(x n ) 1. Assim Lip 0 [g(x n + y), g(x n ) + Π 2 σ(x n )(y)] = lim sup y 0 g(x n + y) g(x n ) Π 2 σ(x n )(y) y lim sup y 0 lim sup y = 2, g(x n + y) g(x n ) y x n + y x n y + lim sup y 0 + lim sup y 0 Π 2 σ(x n )(y) y Π 2 σ(x n ) o que contradiz o fato de que Lip 0 [g(x n + y), g(x n ) + Π 2 σ(x n )(y)], logo não existe x E 1 (r), tal que Lip 0 [g(x + y), g(x) + Π 2 σ(x)(y)] = δ > 0, então Lip 0 [g(x + y), g(x) + Π 2 σ(x)(y)] = 0 x E 1 (r). Assim, como Π 2 σ(x) é linear, temos que Dg(x) = Π 2 σ(x). Para provar o ítem (4) do Teorema 2.3, temos que f(0) = 0 e Df(0) = T. Pelo Lema 3.4, temos que Γ Df [Π 2 σ(x)] = Π 2 σf 1 (x, g(x)). Fazendo x = 0 temos que Γ T [Π 2 σ(0)] = Π 2 σf 1 (0, g(0)) = Π 2 σ(0), ou seja, o gráfico de Π 2 σ(0) é invariante por T. Mas sabemos que o gráfico de E 1 é o único invariante por Γ T. Assim graf(π 2 σ(0)) = graf(dg(0)) = (E 1, 0). Portanto o gráfico de g é tangente a E 1 em zero. Agora provaremos que se f é C k então g é C k.

38 O caso f diferenciável 32 De agora em diante, E(r) denota E 1 (r) E 2 (r) e T E(r) = T E 1 (r) T E 2 (r), o fibrado tangente de E(r), ou seja, o conjunto {(x, v)/x E(r) e v T x E(r)}. Definamos agora a função T f : T E(r) T E dada por, T f (x, v) = (f(x), Df(x)v). Note que: (i) T f (0) = (f(0), Df(0)0) = f(0) < δ. (ii) T f é Lipschitz. Logo, pelo Teorema da Variedade Instável, aplicado a T f, existe uma aplicação g : T E 1 (r) T E 2 (r) cujo o gráfico é a variedade instável para T f, ou seja, g é o ponto fixo para a aplicação Γ Tf : Lip 1 (T E 1 (r), T E 2 (r)) Lip 1 (T E 1 (r), T E 2 (r)) que é uma contração, pelo Lema Queremos encontrar quem é esse ponto fixo. E isto é feito pela seguinte proposição: 3.7 Proposição. A função g : T E 1 (r) T E 2 (r) dada por g(x, v) = (g(x), Dg(x)v) é o ponto fixo de Γ Tf. Prova: Suponhamos que isto seja válido, logo Γ Tf (g)(x, v) = T f2 (id, g) [T f1 (id, g)] 1 (x, v). Seja [T f1 (id, g)] 1 (x, v) = (y, w). Assim (g(x), Dg(x)v) = T f2 (id, g)(y, w) = T f2 (y, w, g(y), Dg(y)w) = T f2 ((y, g(y)), (w, Dg(y)w)) = p 2 T f ((y, g(y)), (w, Dg(y)w)) = p 2 (f(y, g(y)), Df(y, g(y)) (w, Dg(y)w)) = Df(y, g(y)) (w, Dg(y)w). (3.6)

39 O caso f diferenciável 33 Mas (x, v) = T f1 (id, g)(y, w) = T f1 (y, w, g(y), Dg(y)w) = p 1 T f ((y, g(y)), (w, Dg(y)w)) = p 1 (f(y, g(y)), Df(y, g(y)) (w, Dg(y)w)) = f(y, g(y)), obtendo-se que x = f 1 (y, g(y)) e v = f 2 (y, g(y)). Substituindo estes valores na equação (3.6) temos (g(f 1 (y, g(y))), Dg(f 1 (y, g(y))) f 2 (y, g(y))) = Df(y, g(y)) (w, Dg(y)w) (f 2 (y, g(y)), Dg(f 1 (y, g(y))) f 2 (y, g(y))) = Df(y, g(y)) (w, Dg(y)w), (3.7) pois no nosso caso f(y, g(y)) = (x, g(x)), visto que x = f 1 (y, g(y)). Assim temos Df(y, g(y)) (grafdg(y)) = graf(dg(f 1 (y, g(y)))), como vimos no inicio do capítulo. Assim a equação (3.7) é satisfeita e nosso ponto fixo, é de fato, g(x, v) = (g(x), Dg(x)v). Note que graf(g) = (x, v, g(x), Dg(x)v) = (graf(g), graf(dg(x))) = (W u 0, T W u 0 ). Já sabemos que se f é C 1 então g é C 1. Suponhamos que o resultado seja válido para k 1. Logo aplicando a hipótese de indução para T f, temos que se T f é C k 1 então g é C k 1. Sendo assim f é C k T f é C k 1 g é C k 1 Dg é C k 1 g é C k. Isto prova o ítem (4) e, por sua vez, o Teorema 2.3 está provado. 3.8 Observação. O ítem (4) do Teorema 2.3 também pode ser provado usando o Teorema 4.10, que se encontra no apêndice.

40 Capítulo 4 Variedades Centrais Neste capítulo nós provaremos o Teorema da Variedade central que é uma generalização do Teorema da Variedade Instável. 4.1 Definição. Seja T : E E uma aplicação linear contínua de um espaço de Banach E. T é ρ-pseudohiperbólico se existe uma decomposição em soma direta E = E 1 E 2 T -invariante e constantes 0 < λ 1 < ρ < µ 1, e C 1, C 2 > 0 tal que: (1) a restrição T 1 de T a E 1 é um isomorfismo e n 0 e v E 1 T n 1 (v) C 1 µ n 1 v ; (2) n 0 e v E 2 e T 2 a restrição de T a E 2 T n 2 (v) C 2 λ n 1 v. Vemos claramente que uma aplicação linear pseudohiperbólica é hiperbólica quando ρ = 1. Se assumimos que a norma em E é adaptada para T, então para 0 < λ < ρ < µ temos: (1) T 1 (v) > µ v para todo v 0 em E 1, (2) T 2 (v) < λ v para todo v 0 em E 2. 34

41 Variedades Centrais Teorema. Seja T : E E uma aplicação linear contínua ρ-pseudohiperbólica de um espaço de Banach E, com decomposição E = E 1 E 2, métrica adaptada e constantes 0 < λ < ρ < µ tais que T 1 (v) > µ v para todo v 0 em E 1, T 2 (v) < λ v para todo v 0 em E 2. Seja ε > 0 um número real tal que f : E E é uma aplicação lipschitz com f(0) = 0 e Lip(f T ) < ε, então (1) O conjunto W 1 = n 0 f n S 1, onde S 1 = {(x, y) E 1 E 2 ; x y } é o gráfico de uma função Lipschitz g : E 1 E 2 com Lip(g) 1 e f(graf(g)) = graf(g). (2) z W 1 se, e somente se, existe a imagem inversa f n z tal que f n z /ρ n 0 quando n ou quando f n z /ρ n 0 está limitado quando n. (3) Se f é C r e µ j λ < 1 para 1 j r então g é C r. Se f é diferenciável em 0 e se Df(0) = T então o gráfico de g é tangente a E 1 em 0. Para µ < 1, o gráfico de g é chamado de variendade instável central e denotado por W cu ou Wf cu (0). Se λ > 1 o gráfico de g é chamado variendade instável forte e denotado por W uu ou W uu f (0). Se f é invertível então considerando f 1 existe uma variedade invariante tangente a E 2 em 0, que é a interseção n 0 f n S 2, onde S 2 = {(x, y) E 1 E 2 ; x y }. Essa variedade é chamada de variedade centro estável se λ > 1 e variedade estável forte se µ < 1, e são denotadas por W cs e W ss respectivamente. Considere funções g : E 1 E 2 tais que g(0) = 0 e Lip(g) 1. Considere Df = A B, com E = E 1 E 2, α = sup A 1, k = sup K, b = sup B, C K c = sup C. Quando k > 1, a transformação de gráfico, Γ f, não é necessariamente uma contração na norma do sup, pois Γ f (Lip 1 (E 1, E 2 )) Lip 1 (E 1, E 2 ), como mostra o exemplo abaixo. 3 Exemplo. Considere as seguintes funções: f : R R R R dada por f(x, y) = (4x, 10y), que é Lipschitz, e g : R R dada por g(x) = 1 x, que é lipschitz com constante de lipschitz 2

42 Variedades Centrais 36 menor do que um. Note que h(x) = f 1 (id, g)(x) = 4x h 1 (x) = 1 4 x. Logo Γ f (g)(x) = f 2 (id, g)( 1 4 x) = p 2 f( 1 4 x, 1 8 x) = 5 4 x Lip 1(R, R). Então definimos a seguinte métrica g 1 g 2 = sup x 0 g 1 (x) g 2 (x), x E 1. x h = f 1 (id, g). De acordo com o Lema 2.7 temos que h 1 é Lipschitz com Lip(h 1 ) 1 µ ε, onde 4.3 Lema. Com a norma o espaço G = {g : E 1 E 2 g(0) = 0 e g < } é um espaço de Banach e G(1) = {g G Lip(g) 1} é um subconjunto fechado. Prova: Seja g n uma sequência de Cauchy em G. Então g n converge uniformemente sobre os conjuntos limitados, logo pontualmente para uma função g. Assim para cada n, escolha m = m(x, n) n tal que g m(x) g(x) x g n (x) g(x) sup x 0 x < 1 n. Então g n (x) g m (x) sup + g m(x) g(x) x 0 x x ε n + 1 n, onde ε n = sup m n g m g n. Assim g n g 0, quando n e então G é completo. Mostraremos agora que G(1) é fechado. Para isto basta mostrarmos que quando g n g, na nova métrica definida acima, e Lip(g n ) 1 então Lip(g) 1. g n (x) g(x) sup x 0 x = g n g < ε = g n (x) g(x) < ε x. Logo g(x) = g(x) g(0) g n (x) g(x) + g n (x) ε x + x = (ε + 1) x. Fazendo ε 0 temos o resultado.

43 Variedades Centrais Lema. Γ f está bem definida e Γ f : G(1) G(1). Prova: Para toda g G(1), Γ f (g) está definida e para ε bastante pequeno. Lip(Γ f (g)) Lip(f 2 )Lip(id, g)lip(h 1 ) 1 [Lip(T 2 ) + Lip(p 2 (f T ))] µ ε λ + ε µ ε < 1, 4.5 Lema. Se x y e g G(1) então f 2 (x, y) Γ f (g)(f 1 (x, y)) f 1 (x, y) < λ + 2ε µ ε y g(x). x Ver Figura 4.1. E 2 (x,y) f (g)f 1(x,y) g(x) x f 1(x,y) E 1 Figura 4.1: Lema 4.5. Prova: Primeiro, note que f 1 (x, g(x)) f 1 (x, y) f 1 (x, g(x)) T 1 (x, g(x)) + T 1 (x, g(x)) e que T 1 (x, y) + T 1 (x, y) f 1 (x, y) (f 1 T 1 )(x, g(x)) (f 1 T 1 )(x, y) + T 1 (x, g(x)) T 1 (x, y) }{{} =0 ε y g(x),

44 Variedades Centrais 38 f 1 (x, y) = T 1 (x, y) + f 1 (x, y) T 1 (x, y) T 1 (x, y) (f 1 T 1 )(x, y) µ x ε (x, y) = (µ ε) x, (4.1) pois x > y. Logo f 2 (x, y) Γ f (g)(f 1 (x, y)) f 2 (x, y) f 2 (x, g(x)) + f 2 (x, g(x)) Γ f (g)(f 1 (x, y)) f 2 (x, y) f 2 (x, g(x)) + f 2 (x, g(x)) Γ f (g)(f 1 (x, y)) Lip(f 2 ) y g(x) + Γ f (g)(f 1 (x, g(x))) Γ f (g)(f 1 (x, y)) (λ + ε) y g(x) +Lip(Γ f (g)) f 1 (x, g(x)) f 1 (x, y) (λ + ε) y g(x) +ε y g(x) (λ + 2ε) y g(x). (4.2) Das equações (4.1) e (4.2) temos f 2 (x, y) Γ f (g)(f 1 (x, y)) f 1 (x, y) < λ + 2ε µ ε y g(x). x 4.6 Lema. Para g, g G(1) Γ f (g) Γ f (g ) λ + 2ε µ ε g g. que Prova: Seja (x, y) = (h 1 (z), g (h 1 (z))), z E 1, ou seja, (x, y) graf(g ). Note Γ f g (z) = f 2 (id, g ) [f 1 (id, g )] 1 (z) = f 2 (h 1 (z), g (h 1 (z))) = f 2 (x, y),

45 Variedades Centrais 39 e que x = h 1 (z) z = h(x) = f 1 (id, g )(x) = f 1 (x, g (x)) = f 1 (x, y). Logo Γ f g Γ f g (z) Γ f g(z) Γ f g = sup z 0 z = sup x 0 f 2 (x, y) Γ f g(f 1 (x, y)) f 1 (x, y) λ + 2ε µ ε sup y g(x) x 0 x λ + 2ε µ ε sup x 0 λ + 2ε µ ε g g. g (h 1 (z)) g(h 1 (z)) h 1 (z) De acordo com os Lemas 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, temos que Γ f está bem definida, é uma contração em G(1), logo possui um único ponto fixo, que a partir de agora, denotamos de g. Iremos agora iniciar a demonstração do Teorema 4.2. Prova: (1) Como g é o ponto fixo de Γ f, claramente f(graf(g)) = graf(g). Agora, seja (x, y) S 1. Pelo Lema 4.5 temos que f 2 (x, y ) Γ f (g)(f 1 (x, y )) f 1 (x, y ) < λ + 2ε µ ε y g(x ). x Repetindo-se esse processo para os primeiros n interados de f, (x, y ), f(x, y ),..., f n (x, y ) = (x, y), temos Mas note que y g(x) x = p 2 f n (x, y ) g(p 1 f n (x, y )) p 1 f n (x, y ) = f 2(f n 1 (x, y )) g(f 1 (f n 1 (x, y ))) f 1 (f n 1 (x, y )) p 2 f n 1 (x, y ) g(p 1 f n 1 (x, y )) < λ + 2ε ( µ ε λ + 2ε < µ ε ) p 1 f n 1 (x, y ) n y g(x ). x y g(x ) x < y + g(x ) x < y x + g(x ) x < 1 + Lip(g) < 2.

46 Variedades Centrais 40 Logo y g(x) x quando n. < implica que n 0 f n S 1 graf(g). ( ) n λ + 2ε y g(x ) µ ε x < ( ) n λ + 2ε 2 0, µ ε Assim concluímos que y = g(x), ou seja, (x, y) graf(g), e isto Agora seja (x, y) graf(g), ou seja y = g(x). Como (x, g(x)) S 1, pois g(x) g(0) Lip(g) x 0 g(x) x, temos que graf(g) S 1. Aplicando f, obtemos Repetindo-se esse processo n vezes f(graf(g)) fs 1 graf(g) fs 1. graf(g) f n S 1. Logo graf(g) n 0 f n S 1, e assim graf(g) = n 0 f n S 1. (2) Se (x, y) graf(g) então (x, y) = f n (h n (x), gh n (x)). (4.3) Provaremos isto por indução. Seja x = h 1 (x) h(x) = x x = f 1 (x, g(x)). Assim f(h 1 (x), gh 1 (x)) = f(x, g(x)) = (f 1 (x, g(x)), g(f 1 (x, g(x)))) = (x, g(x)) = (x, y). Suponhamos agora, que a equação (4.3) seja válida para n, ou seja, (x, y) = f n (h n (x), gh n (x)). Logo Agora note que E então temos f n+1 (h n 1 (x), gh n 1 (x)) = f f n (h n (h 1 (x)), gh n (h 1 (x))) = f(h 1 (x), gh 1 (x)) = (x, y). f n (x, y) = (h n (x), gh n (x)) = h n (x) quando n, pois ρ µ ε f n (x, y) ρ n ( ) n ρ x 0, µ ε < 1 para ε bastante pequeno. ( ) n 1 x. µ ε

47 Variedades Centrais 41 (3) Primeiro, provaremos que g é C 1 quando f á C 1. Defina o fibrado E 1 L 1 (E 1, E 2 ) E 1 como na prova do Teorema 2.3. O fato de que Lip(f T ) < ε nos dá que Df(x, y) T < ε para todo (x, y). Definindo F : E 1 L 1 (E 1, E 2 ) E 1 L 1 (E 1, E 2 ) por F (x, L) = (h(x), Γ Df L) temos que F é uma contração nas fibras, cujo o fator de contração e λ+2ε µ ɛ. Seguindo exatamente como na Proposição 3.6, chegamos a seguinte estimativa: Lip 0 [(Γ f g)(h(x) + y), gh(x) + Γ Df (σ 2 (x))(y)] ( ) λ + 2ε Lip µ ɛ 0 [g(x + y), g(x) + σ 2 (x)(y)]. E novamente, seguindo as linhas da Proposição 3.6 a partir da equação acima, concluímos que σ 2 é a derivada de g. Logo g é C 1. Assim se f é C k, segue diretamente do Teorema 4.10 (apêndice) que g é C k. 4.1 A não unicidade da Variedade Central Ao contrário da variedade instável (estável), a variedade central não é única. Um exemplo bem simples da não unicidade da variedade central é dado a seguir. 4 Exemplo. Considere a seguinte equação diferencial: x = x 2 y = y A linearização do sistema acima, na origem é DX(0)(x, y) Os autovalores de DX(0) são 0 e 1. O autoespaço associado ao autovalor 1 é o eixo y, que é o espaço estável e o autoespaço associado ao autovalor 0 é o eixo x, que é os espaço central.

48 Variedades Centrais 42 Note que a curva y 0 exp( 1 y = )/ exp( 1 x x 0 ), se x < 0 0, se x 0 é uma solução do sistema inicial, que passa pelo ponto (x 0, y 0 ), quando x 0 < 0 e que é invariante pelo fluxo. Temos também que a curva acima é tangente ao eixo x em 0, pois exp( 1 x ) 0 quando x 0 e dm y d m x central para o nosso sistema inicial. = 0 em x = 0 para todo m N. Logo é uma variedade Sendo assim, o nosso sistema inicial, possui uma infinidade de variedades centrais, como mostra a figura seguinte. y... x