TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, O TEOREMA DE GAUSS, O TEOREMA DE GREEN E O TEOREMA DE STOKES. d f (x) dx = f (b) f (a).

Transcrição

1 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, O TEOREMA DE GAUSS, O TEOREMA DE GREEN E O TEOREMA DE STOKES O teorema fundamental de cálculo em R diz que para uma função f de classe C 1 definida num aberto U [a, b] R tem-se b a d f (x) dx f (b) f (a) dx Este teorema estabelece uma relação entre o integral sobre do aberto ]a, b[ da derivada de uma função f e os valores de f na fronteira ]a, b[ {a, b} Neste folheto apresenta-se uma generalização para integrais sobre abertos limitados R n cuja fronteira é uma subvariedade de dimensão n 1 e possui um vetor normal exterior, veja se faz favor a definição em 11 segundo o livro [1] 1 Domínios regulares Seja R n aberto e limitado Recorde-se que 11 Definição Um aberto R n diz-se um domínio regular se a) é limitado; b) é uma subvariedade de R n de dimensão n 1; c) para cada p existe uma função g: U R de classe C 1 onde U é uma vizinhança aberta de p tal que i) g(x) 0 R n para cada x U, ii) U {x U : g(x) < 0}, e iii) U {x U : g(x) 0} A ideia da definição anterior é que um domínio regular é uma região aberta de R n limitada por uma subvariedade compacta de dimensão n 1 1

2 2 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES 12 Exemplos 1 D { (x, y) R n : 0 < x 2 + y 2 < 1 } O aberto D é limitado, mas D {(0, 0)} { } (x, y) R 2 : x 2 + y 2 1 não é uma subvariedade de dimensão 1 Portanto D não um domínio regular 2 D { (x, y) R n : x 2 + y 2 < 4 } { (x, y) R n : x 2 + y 2 1 } não é domínio regular Tem-se que D { } { } (x, y) R n : x 2 + y 2 4 (x, y) R n : x 2 + y 2 1 é uma subvariedade de dimensão 1, mas não existe uma função g(x, y) de classe C 1 definida numa vizinhança aberta U do ponto (1, 0) tal que D U {(x, y) U : g(x, y) 0} D U {(x, y) U : g(x, y) < 0} g(x, y) (0, 0) para cada (x, y) D U Seja R n um domínio regular Recorde-se um ponto p R n diz-se exterior a se existe r > 0 tal que {x : x p < r} Se p e g é uma função de classe C 1 definida num vizinhança aberta U de p que satisfaz as condições da definição em 11, então o campo vetorial g definida em U aponta na direcção do exterior de, isto é o ponto p + t g(p) pertence ao exterior de para algum t > 0 O campo vetorial ν(x) g(x) g(x) chama-se normal exterior unitária Com a definição de um domínio regular, obtém-se uma propriedade do espaço normal T p R n 13 Teorema Se R n é um domínio regular, então existe um campo vetorial contínua ν: R n tal que ν(x) T p e ν(x) é o normal exterior unitária

3 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES 3 2 Parametrizações de Seja R n um domínio regular, e seja p (p 1,, p n ) Por definição existe uma função g: U R de classe C 1, onde U é uma vizinhança aberta de p que satifaz condições i) iii) da definição em 11 Um vetor v / T p diz-se aponta para o exterior de se g(p) v > 0 21 Lema Seja R n um domínio regular e seja p Se U R n é uma vizinhança aberta de p, φ: D U é uma parametrização e v / T p é um vetor que aponta para o exterior de, então existe δ > 0 e um aberto I D tais que a aplicação Ψ: ] δ, 0[ I U dada por Ψ(t, y) tv + φ é injectiva, a imagem de Ψ é aberto e Ψ 1 é de classe C 1 Demonstração Sejam 0 (0,, 0) D R n 1 aberto, U R n uma vizinhança aberta de p e φ: D U uma parametrização tal que φ(0) p Para coordenadas y (y 1,, y n 1 ) de D os vetores φ 1 φ 1 y n 1,, φ n φ n y n 1 geram o espaço tangente T φ Se v (v 1,, v n ) / T p é um vetor que aponta para o exterior de, então a matriz n n φ v 1 1 (0) φ 2 v 2 (0) (211) φ n v n (0) φ 1 (0) y n 1 φ 2 (0) y n 1 φ n (0) y n 1

4 4 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES é não singular Como DΨ(0, 0) é a matriz em (211), o teorema de função inversa garante a invertibilidade de Ψ em torno do ponto (0, 0) R D Portanto existe δ > 0 e um aberto I D tais que Ψ: ] δ, δ[ I R n é injectiva, a imagem de Ψ é aberto e Ψ 1 é de classe C 1 Seja U Ψ(] δ, δ[ I) Tem-se que U Ψ({0} I) Como o vetor v / T p aponta para o exterior de segue que Ψ: ] δ, 0[ I U é uma bijeção de classe C 1 3 Partições da unidade Aqui introduzimos uma ferramenta técnica Seja f : U R uma contínua definida num aberto U R n Define-se suporte de f por o fecho do conjunto {x U : f (x) 0} e designa-se por suporte f Seja R n um domínio regular, e seja C {U i : 1 i K} uma família finita de subconjuntos abertos de R n tal que para cada x existe i {1,, K} com x U i Chama-se uma partição da unidade em de classe C k subordinada à C a uma família finite χ j : R n R, j 1,, M de funções de classe C k tal que i) para cada x R n e j 1,, M, tem-se 0 χ j (x) 1, ii) para cada j existe U C com suporte χ j U, e iii) para cada x tem-se j1 M χ j(x) 1 Para a < a < b < b define-se 0 x a x a a a a x a f a,a b,b (x) 1 a x b x b b b b x b 0 b x

5 Para intervalos compactos TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES 5 I {(x 1,, x n ) R n : a i x i b i } I { (x 1,, x n ) R n : a i x i b i } com a i < a i < b i < b i com i 1,, n tem-se I I Define-se f I,I: R n R por f I,I(x 1,, x n ) n f a i,a i,b i,b (x i) i i1 A função f I,I é contínua, 0 f I,I(x) 1 e o suporte de f I,I é I 31 Teorema Para cada domínio regular R n e cada cobertura finita C {U 1, U K } de por subconjuntos abertos, existe uma partição da unidade em de classe C 0 subordinada de C Demonstração Para cada x existe U x C tal que x x U Como U x é aberto existem intervalos compactos I x I x U e x J x interior de I x I x U Como é compacto, existe um conjunto finito de pontos x 1,, x M de tal que J x1 J xm Seja φ i f I xi,i xi para i 1,, M As funções φ i : R n R são contínuas, 0 φ i (x) 1, o suporte de φ i U x Sejam χ 1 φ 1 χ 2 (1 φ 1 )φ 2 χ 3 (1 φ 1 )(1 φ 2 )φ 3 χ M (1 φ 1 )(1 φ 2 ) (1 φ M 1 )φ M

6 6 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES Tem-se χ 1 + χ 2 φ 1 + (1 φ 1 )φ 2 1 (1 φ 1 )(1 φ 2 ) χ 1 + χ 2 + χ 3 φ 1 + (1 φ 1 )φ 2 + (1 φ 2 )(1 φ 2 )φ 3 M i1 1 (1 φ 1 )(1 φ 2 ) + (1 φ 2 )(1 φ 2 )φ 3 1 (1 φ 1 )(1 φ 2 )(1 φ 3 ) χ i 1 M i1 (1 φ i ) Se x existe i com x J i e φ i (x) 1 Logo {χ i } é uma partição da unidade de classe C 0 subordinada C Para obter uma partição da unidade em de classe C pode usar as seguintes funções de classe C : 0 x 0 g(x) e 1/x x > 0 Para a < b, seja g a,b (x) g(x a)g(b x), satisfaz h a,b (x) x a g a,b(t) dt b a g a,b(t) dt h a,b (x) 0 h a,b (x) 1 x a b x 0 < h a,b (x) < 1 a < x < b Para a < a < b < b, seja h a,a,b,b (x) h a,a(x) h b, b( x)

7 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES 7 A função h a,a,b,b (x) é de classe C e satisfaz h a,a,b,b (x) 0 x a 0 < h a,a,b,b (x) < 1 a < x < a h a,a,b,b (x) 1 a x b 0 < h a,a,b,b (x) < 1 b < x < b h a,a,b,b (x) 0 b x 4 Integral de uma derivada 41 Teorema Seja R n um domínio regular Se f é uma função de classe C 1 definida num aberto que contém, então [ f f ] f x n f [ ν 1 ν 2 ν n ], onde ν(x) (ν 1 (x),, ν n (x)) é o vetor normal exterior unitária de [ ] f f f 42 Nota A matriz é a derivada D f, e portanto o formula no teorema é x n equivalente a f f ν que é equivalente também que para cada vetor w tem-se Além disso, o formula é equivalente D f (x)w dx f (x)(ν(x) w) dx f dx f ν x i (x) dx i para cada i 1,, n ou por uma base de vetores de R n Demonstração Podemos supor que n > 1 Começamos com os seguintes dois casos simples Caso I Seja p e seja p I um intervalo de forma {(x 1,, x n ) : a i < x i < b i, i 1,, n}, e seja f uma função com suporte em I Tem-se f (x 1,, x i,, x n ) 0 a i < x i < b i

8 8 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES f x i I b1 0 f x i a 1 b1 a 1 bi a i bn f x i dx i dx 1 a n ( f (x 1,,, b i,, x n ) f (x 1,, a i,, x n )) dx n dx 1 Como f (x) 0 se x, obtém-se 0 f (x)ν i (x) dx e logo o formula do teorema verifica-se neste caso Caso II Seja p Sejam h 1,, h n 1 T p vetores linearmente independentes e seja h 0 um vetor não nulo tal que h 0 / T p e h 0 aponto para o exterior de Os vetores v 1 h 0 + h 1,, v n 1 h 0 + h n 1, v n h 0 são linearmente independente e ν(x) v i ν(p) h 0 > 0, onde ν(p) Tp é o vetor exterior unitária Portanto cada um dos vetores v 1,, v n apontam para o exterior de e {v 1,, v n } é uma base de R n Pelo lema em 21 para cada i 1,, n existem um δ > 0, um intervalo aberto 0 I R n 1, uma vizinhança aberta U R n de p e uma bijeção Ψ: ] δ, 0[ I U de forma Ψ(t, y) tv j + φ, onde φ: I U é uma parametrização, φ(0) p e ν(φ) v i > 0 para cada y I Aqui ν é o campo vetorial norma exterior unitário Aplicando o formula de mudança de variáveis obtém-se para uma função f cuja suporte é um subconjunto de U D f (x)v i U 0 I δ D f (x)v i D f (Ψ(t, y))v i det DΨ(t, y) dt dy

9 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES 9 Seja v i (v i 1,, v i n ) Pela a derivada de função composta e a matriz em (211) tem-se D f (Ψ(t, y))v i D f (Ψ(t, y)) Ψ (t, y) t ( f (Ψ(t, y))) t Como det DΨ(t, y) det v i 1 φ 1 v i 2 φ 2 v i n φ n φ 1 y n 1 φ 2 y n 1 φ n y n 1 não depende da variável t, obtém-se det DΨ(t, y) det DΨ(0, y) e I 0 δ D f (Ψ(t, y))v i det DΨ(t, y) dt dy Como v i / T p, ν(φ(0)) v i ν(p) v i 0 I I I 0 det DΨ(0, y) ( f (Ψ(t, y))) dt dy δ t det DΨ(0, y) [ f (Ψ(0, y)) f (Ψ( δ, y))] dy f (Ψ(0, y)) det DΨ(0, y) dy v i (ν(φ) v i ) ν(p) + w, com w T φ Para ν(p) (ν 1 (p),, ν n (p)) obtém-se ν 1 (p) ν 2 (p) det DΨ(0, y) (ν(p) v i ) det ν n (p) φ 1 φ 2 φ n φ 1 y n 1 φ 2 y n 1 φ n y n 1

10 10 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES Como ν(φ) T φ e o espaço tangente é gerado pelos vetores φ 1 φ 1 y n 1 D 1 φ,, D n 1 φ φ n φ n y n 1 segue que ν 1 (φ) ν 2 (φ) ν n (φ) e portanto φ 1 φ 2 φ n t φ 1 φ y ν 1 (φ) 1 φ 1 n 1 y n 1 φ 2 φ y ν 2 (φ) 2 φ 2 n 1 y n 1 φ n φ n φ n ν n (φ) y n 1 y n D 1 φ D 1 φ D 1 φ D n 1 φ 0 D 1 φ D n 11 φ D n 1 φ D n 1 φ det DΨ(0, y) (ν(φ) v i ) det Dφ t Dφ Obtém-se I f (Ψ(0, y)) det DΨ(0, y) dy I f (φ) (ν(φ) v i ) det Dφ t Dφ dy x U x Logo o formula do teorema verifica-se neste caso f (x) (ν(x) v i ) dx f (x) (ν(x) v i ) dx Em geral, o conjunto é compacto Portanto existem uma família finita de intervalos abertos U 1, U M tais que U 1 U M cada aberto U i ou existe uma

11 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES 11 parametrização φ: I U i com I R n 1 aberto Pela discussão em 3 existe uma partição da unidade {χ j } K j1 em de classe C subordanada à família {U 1,, U M } Como f f K j1 χ j K j1 f χ j e K ( K ) ( D( f χ j ) D f χ j D f j1 j1 K j1 χ j ) D( f ) obtém-se o formula do teorema 5 O Teorema de divergência de Gauss 51 Definição Seja F(x) ( f 1 (x),, f n (x)) um campo vetorial de classe C 1 definida num aberto U R n Define-se a divergência de F por div F traço DF n f i x i1 i Usa-se também a notação F, onde é o operador n i1 x i e i x n Para um domínio regular e F um campo de classe C 1 definida num aberto U e ν (ν 1,, ν n ) o campo normal exterior unitária de o produto f 1 (x) F(x) ν t (x) f n (x) e o traço de F(x) ν t (x) é ( ) ν 1 (x) ν n (x) tr ( F(x)ν t (x) ) f 1 (x)ν 1 (x) f 1 (x)ν n (x) f n (x)ν 1 (x) f n (x)ν n (x) n f i (x)ν i (x) F(x) ν(x) i1

12 12 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES Pelo teorema em 41 tem-se DF(x) dx x Usando o traço obtém-se o seguinte teorema y ( F ν t ) dy 52 Teorema (Teorema de divergência de Gauss) Para um campo vetorial de classe C 1 definida num aberto U R n e um domínio regular com U e campo normal exterior unitária ν tem-se div F(x) dx x y F ν dy 53 Exemplo Considere o ralo da banheira F(x, y) ( ) y x 2 + y 2, x x 2 + y 2 Tem-se div F é nulo e portanto para qualquer domínio regular em R 2 {(0, 0)} o fluxo de F através de é nulo 54 Exemplo Seja {x R n : x < a} B a (0), com a > 0 A divergência do campo vetorial F(x) x é div F n e o vetor normal exterior unitária ν(x) x/ x Portanto n vol n (B a (0)) B a (0) div f (x) dx y B a (0) y y y dy a área n 1 B a (0) Para n 2 tem-se 2 πa 2 a 2πa e para n 3 tem-se 3 43 πa3 a 4πa 2 55 Exemplo Sejam {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 < 1, 1 < z < 1} e F(x, y, z) (xy 2, x 2 y, y) Tem-se (x,y,z) F(x, y, z) ν(x, y, z) {(x,y,1):x 2 +y 2 1} + {(x,y, 1):x 2 +y 2 1} {(x,y,z):x 2 +y 2 1, 1 z 1} y + 2x 2 y 2 {(x,y,z):x 2 +y 2 1, 1 z 1} y 2x 2 y 2

13 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES 13 Usando a prarmetrização g(φ, z) (cos φ, sen φ, z) obtém-se {(x,y,z):x 2 +y 2 1, 1 z 1} 2x 2 y 2 π 1 π π π π π π π π 1 2 cos 2 φ sen 2 φ dzdφ 4 cos 2 φ sen 2 φ dφ sen 2 2φ dφ 1 cos 4φ 2 dφ e div F (x,y,z) (x,y,z) 1 1 π 1 0 π 2π π x 2 + y 2 r 2 r dφdrdz 6 O Teorema de Green Seja R um domínio regular O vetor normal exterior unitária ν definido em fornece um orientação em, nomeadamente o campo vetorial Jν, onde J Para um campo vetorial F(x, y) (P(x, y), Q(x, y)) definido num aberto U tem-se J t F 0 1 P Q 1 0 Q P

14 14 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES Seja g: I R 2 uma parametrização de tal que g (t) Jν(g(t)) > 0 O teorema de divergência de Gauss (veja se faz favor 52) diz o seguinte (x,y) Obtém-se o teorema seguinte (P, Q) dg (x,y) (x,y) (x,y) (x,y) (P, Q) Jν [ P [ Q ] Q J ν 1 ] P ν 1 ( P y Q ) x ν 1 ν 1 61 Teorema (Teorem de Green) Para um campo vetorial F (P, Q) de classe C 1 definido num aberto U R 2 e um domínio regular com U tem-se Pdx + Qdy em que é percorrida na direcção do vetor Jν ( P y Q ) x 7 O Teorema de Stokes Seja R 2 um domínio regular e seja φ: R 3 uma função de classe C 2 tal que φ é injectiva e Dφ tem característica dois em cada ponto (x 1, x 2 ) Seja (701) φ(x 1, x 2 ) (y 1, y 2, y 2 ) e designa-se por Σ φ() a imagem de φ Tem-se que Σ é uma subvariedade de R 3 dimensão dois e φ é uma parametrização Além disso, tem-se para cada φ(x) y Σ os vetores tangentes são linearmente independentes φ (x), φ (x) T y Σ

15 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES 15 Recorde-se que o produto externo de dois vetores v (v 1, v 2, v 3 ) e w (w 1, w 2, w 3 ) é o vetor v w (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w 3 ) Tem-se v v w w v w w v v w u 1 u 2 u 3 u (v w) det v 1 v 2 v 3, w 1 w 2 w 3 onde u (u 1, u 2, u 3 ) Portanto (702) φ (x) φ (x) T y Σ 71 Definição Seja Σ R 3 uma subvariedade de dimensão dois com um campo vetorial ν: Σ R 3 tal que para cada y Σ, tem-se (i) ν 1 e (ii) ν T y Σ O fluxo de um campo vetorial F de classe C 0 através de Σ, segundo a normal ν, é o integral Para a parametrização em (701) se ν(φ(x)) Σ F ν ( φ (x) φ ) (x) > 0,

16 16 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES então ν(φ(x)) φ (x) φ (x) φ (x) φ (x) φ x (x) 1 φ (x) det Dφ t Dφ e (711) Σ F ν F(φ(x)) ν(φ(x)) det Dφ t Dφ F(φ(x)) ( φ (x) φ ) (x) 72 Rotacional de um campo Para F: U R 3 um campo vetorial de classes C 1 definido num aberto U R 3, a derivada DF é uma matriz 3 3 e tem-se DF 1 2 (DF + DFt ) (DF DFt ) A parte SF DF + DF t é uma matriz simétrica e a parte AF DF DF t é anti-simétrica Considere-se o lema seguinte de álgebra linear 73 Lema Para uma matriz A 3 3 anti-simétrica, existe um vetor único a (a 1, a 2, a 3 ) tal que para qualquer (v 1, v 2, v 3 ) v R 3 tem-se Av a v Além disso, Av w a (v w) Demonstração O vetor é a (a 32, a 13, a 21 ), onde 0 a 21 a 13 A a 21 0 a 32 a 13 a 32 0

17 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES Definição Seja F: U R 3 um campo vetorial de classe C 1 com U R 3 aberto O rotacional de F é o campo vetorial rot F: U R 3 determinado por AFv (rot F) v Se F ( f 1, f 2, f 3 ), então rot F Considere o formula em (711) Σ rot F ν ( f3 f 2, f 1 f 1, f 2 f ) 1 x 3 x 3 x 3 rot F(φ(x)) Aplicando o segundo formula do lema em 73 obtém-se rot F(φ(x)) ( φ (x) φ ) (x) ( φ (x) φ ) ( (x) AF(φ(x)) φ ) φ (AF(φ(x))Dφ(x)e 1 ) Dφ(x)e 2 Dφ(x) t AF(φ(x))Dφ(x)e 1 e 2 Sendo g(x) o campo vetorial obtém-se φ F(φ(x)) g(x) Dφ(x) t F(φ(x)) φ F(φ(x)) Dg S(x) + Dφ(x) t (DF(φ(x)) Dφ(x)), onde ( ) 2 φ S(x) F(φ(x)) x i x j

18 18 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES é uma matriz simétrica A anti-simétric matriz Ag Dg Dg t Dφ(x) t (DF(φ(x)) Dφ(x)) Dφ(x) t (DF(φ(x)) t Dφ(x)) Dφ(x) t [Dφ(x) Dφ(x) t] Dφ(x)) Dφ(x) t Aφ(x)Dφ(x) Obtém-se Sendo obtém-se e portanto rot F(φ(x)) ( φ (x) φ ) (x) Ag(x)e 1 e 2 P(x) φ F(φ(x)) e Q(x) φ F(φ(x)) Ag(x) 0 P Q P + Q 0 Ag(x)e 1 e 2 Q P 75 Teorema (Teorema de Stokes) Seja R 2 um domínio regular e seja φ: U R 3 uma função de classe C 2 tal que i) U, ii) φ é injectiva, e iii) Dφ tem característica 2 Tem-se que a imagem Σ φ() é uma subvariedade de dimensão 2 e imagem Σ φ( ) é uma subvariedade de dimensão 1 Se F é um campo vetorial de classe C 1 definido numa vizinhança aberta de Σ, ν: Σ R 3 é o campo normal unitária ν(φ(x)) φ x (x) 1 φ (x) φ (x) φ (x)

19 TFC PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS, GAUSS, GREEN E STOKES 19 e τ: Σ R 3 é o campo tangente unitária τ φ γ(t) Dφ(γ(t)) γ (t) Dφ(γ(t)) γ (t), onde γ: I é uma parametrization compatível com a orientação canónica de R 2, então Σ rot F ν Σ F τ Demonstração Seja γ: I uma parametrização tal que o vetor normal exterior e γ fornecem a orientação canónica de R 2 Sendo τ : R 3 o campo vetorial τ (γ(t)) γ (t) γ (t) obtém-se Σ rot F ν Σ rot F(φ(x)) ( φ F(φ(x)) ( φ (x) φ Dφ(x) t F(φ(x)) τ F(φ(x)) Dφ(x)τ F τ ) ) (x) ( φ F(φ(x)) ) Referências 1 J J Duistermaat and J A C Kolk, Multidimensional real analysis II Integration, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol 87, Cambridge University Press, Cambridge, 2004, Translated from the Dutch by J P van Braam Houckgeest MR