Geometria Diferencial II 2 0 Lista de Exerccios (2 0 semestre 2017)

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1 Prof. Marcos Alexandrino Monitor: Pablo Diaz Geometria Diferencial II 2 0 Lista de Exerccios (2 0 semestre 2017) 1. Geodesicas, parte I Ao longo desta sec~ao (M; g) denotara variedade Riemanniana com metrica g. Problema 1.1. Seja M uma superfcie mergulhada de revoluc~ao em R 3, onde g e metrica induzida. Demonstre que sua curva geratriz e geodesica de M. Conclua que os grandes crculos s~ao geodesicas de S 2. Problema 1.2. Dado q 2 M demonstre que existe > 0 tal que exp q : B (0)! M e difeomorsmo sobre um aberto de M: Problema 1.3. Seja e ( ) : T e SO(n)! SO(n) a aplicac~ao exponencial de matrizes, i.e., e A = P 1 A i. i=0 i! (a) Verique que t! e ta e linha integral do campo invariante a esquerda ~ A(g) = ga. (b) Dado uma metrica bi-invariante g de SO(n) mostre que t! e ta e a geodesica com (0) = e e 0 (0) = A. Conclua que exp e A = e A ou seja a exponencial Riemanniana em e (com respeito a g ) coincide com a exponencial matricial. Problema 1.4. Suponha que M e variedade Riemanniana compacta. Mostre que toda geodesica esta denida para todos valores de R: Dica: Considere o campo geodesico ~ G 2 X(T M) restrito ao brado tangente unitario T 1 (M) := fv x 2 T x M; kv x k = 1g x2m e aplique o resultado que arma que todo campo suave denido em variedade compacta gera um grupo a 1 parametro de difeomorsmos. Problema 1.5 (Lema de Gauss). Sejam exp q : B (0)! M bem denida, S n 1 (0) esfera contida em ~ B (0) com ~ < e v : ( ; )! S n 1 (0) curva suave. Dena f(s; t) := exp ~ q (tv(s)). Demonstre @t ) = 0: Problema 1.6. Seja B (q) uma bola normal. Dena : [0; 1]! B (q) como (t) := exp q (tv) com kvk < : Seja : [0; 1]! M curva suave por partes tal que (0) = (0) e (1) = (1): Demonstre que L() L(). Se a igualdade vale mostre que [0; 1] = [0; 1]. Problema 1.7 (*). Dado q 2 M demonstre que existe vizinhanca W de q tal que, se x; y pertencem a W ent~ao existe uma unica geodesica minimizante ligando x a y: 1

2 2 Problema 1.8. Seja : [0; 1]! M uma curva suave por partes tal que d((0); (1)) = L(): Mostre que e imagem de uma geodesica. Problema 1.9. (a) Demonstre que a curva C := fx = c; y > 0g e imagem de uma geodesica do espaco hiperbolico H 2 (modelo do semi-plano). (b) Utlizando o fato que aplicac~oes z! T (z) = az+b com ad bc = 1 (a; b; c; d reais) levam C ou cz+d em semi-circulos (com centro 2 ) ou em semi retas x = x 0, y > 0 conclua que tais curvas s~ao imagens de geodesicas de H 2. Problema 1.10 (referencial geodesico em p 0 ). Seja p 0 um ponto xo de M. Demonstre que: (a) existe uma vizinhanca U de p 0 e um referencial ortonormal f~e i g (para i = 1 n) suave em U tal que r ( ) ~e i (p 0 ) = 0 (b) grad f(p 0 ) = P i ~e i f(p 0 ) ~e i (p 0 ) (c) div ~v(p 0 ) = P i ~e i v i (p 0 ), onde ~v = P i v i~e i (d) 4f(p 0 ) = P i ~e i (~e i f) (p 0 ) (e) 4 fg (x) = f(x) 4 g(x) + g(x) 4 f(x) + 2hgrad f; grad gi(x), para qualquer x 2 M, onde f; g 2 C 1 (M) (f) d i ~w vol = div ~w vol onde vol e forma volume de M (supondo M orientavel) e ~w 2 X(M) Problema Sejam M variedade compacta orientavel, sem bordo e f 2 C 1 (M). Demonstre que se 4f 0 ent~ao f e constante. Problema 1.12 (*). Sejam ~ F campo n~ao nulo em p e S uma hipersuperfcie transversal a ~ F (p), i.e., p 2 S e T p M = T p S fr ~ F p g: Reduzindo S se necessario seja ^ : ( ; ) S! M a reticac~ao do uxo de ~ F com respeito a S. Dena A = ( ^) vol: Mostre que div ~ F (p) = d d t [ln A (t ; p )] j t=0 :

3 3 2. Geodesica Parte II Ao longo desta sec~ao (M; g) denotara variedade Riemanniana com metrica g. Problema 2.1. Suponha que M e variedade Riemanniana compacta. Demonstre que: (a) para todo q 2 M a aplicac~ao exponencial exp q : T q M! M esta bem denida; (b) dados q e p em M, existe um segmento de geodesica : [0; R]! M (parametrizado por comprimento de arco) ligando q a p (i.e., (0) = q e (R) = p) que realiza dist^ancia, i.e, L() = R = d(q; p). que realiza dist^ancia (i.e, Dica: (a) Considere o campo geodesico ~ G 2 X(T M) restrito ao brado tangente unitario T 1 (M) := fv x 2 T x M; kv x k = 1g x2m e aplique o resultado que arma que todo campo suave denido em variedade compacta gera um grupo a 1 parametro de difeomorsmos. (b) Utilize os seguintes ingredientes: uma sequencia de cuvas n (cada n concatenac~ao de segmentos de geodesicas) com L( n )! R; exitencia das vizinhancas completamente normais (vide Problema 1.7); o fato de M ser compacto, i.e., sequencias de pontos fx i ng n (e.,g x i n 2 n ) admite subsequencia convergente. Problema 2.2 (*). Seja M variedade Riemanniana compacta n~ao simplesmente conexa. Demonstre que por cada q existe um loop geodesico (i.,e uma geodesica : [0; 1]! M tal que (0) = (1), porem 0 (0) n~ao precisa ser igual a 0 (1)). Problema 2.3. Seja f : ( ; ) [a; b]! M uma aplicac~ao suave tal que f(s 0 ; ) e geodesica para todo s 0 2 ( ; ). Demonstre que J(t) (0; t) e campo de Jacobi ao longo da geodesica (t) := f(0; Problema 2.4. Seja tal que exp p : B (p)! M esta bem denida. Dena a curva (t) := exp p (tv 0 ) com kv 0 k = 1 e jtj <. Para w 2 T p M considere o campo tw ao longo do segmento t! tv 0. Demonstre que J(t) := d(exp p ) tv 0 tw e campo de Jacobi com J(0) = 0 e r J(0) = w: dt Problema 2.5 (*). Suponha que M e geodesicamente completa, i.e, exp p : T p M! M esta bem denida para todo p 2 M: Seja : ( ; )! M geodesica e J campo de Jacobi ao longo de. Demonstre que (0; t) para f(s; t) = exp (s) (tv(s)) onde : ( ; )! M e uma curva tal que 0 (0) = J(0) e v : ( ; )! M e um campo ao longo de com v(0) = 0 (0) e r ds v(0) = r dt J(0): Problema 2.6. Sejam M variedade Riemanniana com curvaturas seccionais constantes K e : [0; a]! M geodesica com vetor velocidade 1. Demonstre que o campo de Jacobi J ao longo de com condic~oes iniciais J(0) = 0 e r dt J(0) = w para w perpendicular a 0 (0) e J(t) = c K (t)w(t) onde w( ) e o transporte paralelo de w ao longo de e c K e a func~ao denida como c K (t) := sin(tp K) p K K = 0 e c K (t) := sinh(tp K) p K se K < 0: se K > 0, c K (t) := t se

4 4 Problema 2.7. Sejam (M n ; g) variedade Riemanniana com curvaturas seccionais constantes K e : (0; ) S n 1! B (p) parametrizac~ao geodesica polar, i.e., (r; v) := exp p (rav) onde A : (R n ; g 0 )! (T p M; g) e isometria linear. Demonstre que a metrica g em coordenadas geodesicas polares e dr 2 + (c k (r)) 2 ds 2 onde ds 2 e a metrica can^onica da esfera S n 1 e a func~ao c K foi denida na Proposic~ao 2.6. Em particular conclua que duas variedades Riemannianas com mesma dimens~ao e mesmas curvaturas seccionais constantes iguais a K s~ao localmente isometricas. Problema 2.8. Sejam tal que exp p : B (p)! M esta bem denida. Dena (t) = exp p (tv) com jtj < e kvk = 1. Ent~ao (t 0 ) e ponto conjugado a (0) ao longo de (i.e, existe campo de Jacobi J com J(0) = 0 e J(t 0 ) = 0) se e somente se dim(ker d(exp p ) t 0v) > 0. Problema 2.9. Sejam U : M! R func~ao suave (pot^encial) e (s; t)! f(s; t) uma variac~ao suave propria (i.e, f(s; 0) = f(0; 0) e f(s; 1) = f(0; 1)) onde t! (t) R = f(0; t) atende m r0 = ru((t)) (equac~ao dt de Newton). Verique que d ds A(0) = 0 onde A(s) := 1 (s; t) dt e L(V x ) := m g(v 2 x; V x ) U(x); Problema 2.10 (*). Seja curva atendendo a equac~ao de Newton r0 = ru((t)). Demonstre que dt (a) E( 0 (t)) = c onde E(V x ) = 1 g(v 2 x; V x ) + U(x). (b) existe uma func~ao h e um intervalo I tal que = hj I e geodesica para a metrica ~g = (c U)g Dica: compare e r com r e lembre que er dt 0 (t) = 0 (h(t))h 00 (t) + e r dt 0 (h(t))(h 0 (t)) 2

5 5 3. Imers~oes isometricas, equac~ao de Gauss e teorema de Gauss-Bonnet Problema 3.1. Uma subvariedade Riemanniana M de uma variedade Riemanniana ( ~ M; h ; i) e chamada totalmente geodesica, se a segunda forma se anula ao longo de M: Mostre que M e totalmente geodesica se e somente se toda geodesica de M e geodesica de ~ M: Problema 3.2. Seja V um subespaco de R n e dena M := V \ S n 1. Mostre que M e subvariedade totalmente geodesica de S n 1. Problema 3.3. Seja G um grupo de Lie com metrica bi-invariante e H G subgrupo fechado. Mostre que H e subvariedade totalmente geodesica. Problema 3.4 (*). Sejam M 1 e M 2 variedades Riemannianas e M = M 1 M 2 variedade com a metrica produto. Mostre que: (a) M 1 fp 2 g e totalmente geodesica em M (b) K(X; Y ) = 0 se X, Y s~ao vetores ortonormais tais que X e tangente a M 1 fp 2 g e Y e tangente a fp 1 g M 2 Problema 3.5. Seja M subvariedade Riemanniana de uma variedade Riemanniana ( ~ M; h ; i) e denote R, ~ R os tensores curvaturas de M e ~ M e B o (1; 2) tensor segunda forma de M. Demonstre que: hr(x; Y )X; Y i h ~ R(X; Y )X; Y i = hb(x; X); B(Y; Y )i hb(x; Y ); B(X; Y )i Problema 3.6. Seja M hipersuperfcie de ( ~ M; ~g). Conclua que K(e 1 ; e 2 ) ~ K(e1 ; e 2 ) = 1 2 onde e 1 ; e 2 s~ao direc~oes principais de T p M associadas as curvaturas principais 1 e 2. Problema 3.7. Mostre que as curvaturas seccionais de S n s~ao 1. Problema 3.8. Seja M o graco em R 3 de uma func~ao f : R 2! R suave tal que (0; 0) 2, f(0; 0) = 0 e rf(0; 0) = (0; 0) Verique: (a) T (0;0;0) M = R 2 f0g, (b) se (0; 0; 0) = (0; 0; 1) ent~ao S (v; 0) = (Hessf(0; 0)v; 0), onde S e o operador forma. (c) curvaturas principais s~ao auto-valores 1 e 2 do Hessf(0; 0) e assim que M pode ser aproximado por um paraboloide (respectivamente hiperboloide) se 1 2 > 0 (respectivamente se 1 2 < 0).

6 6 Problema 3.9. Seja M uma superfcie mergulhada em R 3 e vetor normal unitario a M. Dena r : M! R 3 como r (x) = x + r (a) Sejam e 1 e e 2 direc~oes principais em T p M com curvaturas principais 1 e 2. Verique que d r e i = (1 r i )e i (b) Conclua que se r 6= 1 i em vizinhanca U ~ de p, ent~ao existe vizinhanca U U ~ de p tal que r (U) e superfcie mergulhada. Problema Enuncie o teorema de Gauss-Bonnet. Problema Considere um triangulo geodesico contido em um disco convexo de uma superfcie M. Seja P 3 i=1 ' i a soma dos angulos internos. Verique: (a) Se K > 0 ent~ao P 3 i=1 ' i > (b) Se K = 0 ent~ao P 3 i=1 ' i = (c) Se K < 0 ent~ao P 3 i=1 ' i < Problema 3.12 (*). Seja M superfcie compacta conecta, orientavel e g(m) seu genus. Demonstre que: (a) M admite metrica com K = 1 se e somente se g(m) = 0. (b) M admite metrica com K = 0 se e somente se g(m) = 1. (c) M admite metrica com K = 1 se e somente se g(m) > 1. Obs: A direc~ao da esquerda para direita segue facilmente do Teorema de Gauss-Bonnet e pode cair em prova ou teste. Problema 3.13 (**). Demonstre o teorema de Gauss-Bonnet.