1 Variedades e metricas Riemannianas

Transcrição

1 1 0 Lista de Exerccio de MAT5771 (1 0 semestre 2013) Esta lista cont^em problemas cuja soluc~ao podera ser cobrada em prova. Ela tambem cont^em proposic~oes e teoremas, alguns enunciados e outros demonstrados em sala de aula (abreviados aqui por d.s.a). A demonstrac~ao destes resultados tambem podera ser cobrada em prova. Bibliograa Principal: 1. M. do Carmo, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides. 2. S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Universitext, Springer. 3. J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Universitext, Springer. 4. R.S. Palais, C-L Terng, Critical Point Theory and Submanifold Geometry, Lectures Notes in Mathematics 1353, Springer Verlag. (see Terng). Bibliograa de Apoio: 1. R. Bisphop, R. Crittenden, Geometry of Manifolds, AMS, Chelsea. 2. C. Gorodski, Notes on Riemannian Geometry, Notas de Aula, IME-USP, W. Kuhnel, Dierential Geometry, Curves-surfaces-manifolds. American Mathematical Society, Second Edition P. Petersen, Riemannian Geometry, Graduate texts in mathematics, Springer. 5. M. Spivak, A comprehensive Introduction to Dierential Geometry, V. 1 Publish or Perish,Inc Variedades e metricas Riemannianas Proposic~ao 1.1. Sejam V e W campos em uma variedade M. Ent~ao (a) Existe um unico campo, denotado por [V; W ] tal que para toda func~ao suave f : M! R temos [V; W ] f = V (W f) W (V f): (b) Suponha que em coordenadas temos V = P i i Ent~ao [V; W ] = P P i j (v i j w i i. e W = P i i. Problema 1.2. Sejam (E; ; B) e ( ~ E; ~; B) brados vetorias de posto n. Dizemos que eles s~ao isomorfos se existe uma aplicac~ao F : E! ~ E tal que = ~ F e F : E p! ~ Ep e um isomorsmo. Em particular um brado (E; ; B) de posto n e chamado brado trivial se ele e isomorfo a B R n. (1) Mostre que todo grupo de Lie G tem brado tangente trivial. (2) Mostre que o brado tangente da esfera S 2 n~ao e trivial. Teorema 1.3 (d.s.a). Toda variedade M admite metrica Riemanniana. 1

2 Problema 1.4 (Espaco hiperbolico). Neste problema iremos ver as diferentes representac~oes do espaco hiperbolico. (a) O espaco de Minkowski e denido como R n+1 com a forma quadratica hx; xi = x x x 2 n. Considere H n+1 a subvariedade de R n+1 denida como: H n := fx 2 R n+1 jhx; xi = 1; x 0 > 0g: Verique que a forma quadratica dx dx dx 2 n restrita a H n e uma metrica Riemanniana g. (b) Seja f a pseudo-invers~ao com polo s = ( 1; 0; ; 0) denida por f(x) = 2(x s) s hx s;x ; onde h ; i e a forma quadratica denida no Item (a). Para si X = (0; X 1 ; : : : ; X n ) no plano x 0 = 0 denote jxj 2 := hx; Xi = P n X 2 i=1 i : Mostre que f e difeomorsmo de H n no disco unitario fx 2 R n ; jxj < 1g e que g 1 := (f 1 ) g = 4 P n i=1 dx 2 i (1 jxj 2 ) 2. (c) Seja h a invers~ao no R n 2(x s) denida como h(x) := s + jx, com polo sj 2 s = ( 1; 0; : : : ; 0): Mostre que h e um difeomorsmo do disco unitario no semi-espaco x 1 > 0 e que h g 1 = P n i=1 dx 2 i x 1. Obtemos assim duas variedades Riemannianas que s~ao isometricas a (H n ; g), a primeira e chamada disco de Poincare (Item (b)) e a segunda semi-espaco de Poincare (Item (c)). Problema 1.5. Sejam g 1 e dr 2 metricas can^onicas de S n 1 e I = (0; 1). Dena em S n 1 I a metrica g (m;r) := r 2 g 1 + dr 2. (a) A metrica g e metrica produto? (b) Mostre (S n 1 I; g) e isometrico a (R n 0; can) e que (S n 1 I; g 1 dr 2 ) e isometrico ao cilindro fx 2 R n+1 jx : : : + x 2 n = 1; e x 0 > 0g. Problema 1.6. Sejam (M m ; g) variedade Riemanniana orientada e! a m- forma volume (i.e, a unica m-forma tal que!(e 1 ; : : : ; e m ) p = 1 para qualquer referencial ortonormal fe i g de T p M coerente com a orientac~ao de T p M). Mostre que em coordenadas! = p det(g i j ) dx 1 ^ : : : ^ dx n. Problema 1.7. Mostre que GL(n; R); GL(n; C), SL(n; R), SL(n; C), O(n) e U(n) s~ao grupos de Lie. Problema 1.8. Seja G e um subgrupo de Lie de GL(n; R). Mostre que a aplicac~ao exponencial de G coincide com a exponencial de matrizes. Problema 1.9. Sejam G subgrupo de Lie de GL(n; R) e X; Y 2 g. Verique: 1. dl g X = gx e dr g X = Xg: 2. Ad (g)y := d dt (g exp(ty )g 1 )j t=0 = gy g 1 : 3. Usando o fato (n~ao precisa demonstrar) que d dt Ad (exp(tx))y j t=0 = [X; Y ] mostre que [X; Y ] = XY Y X (comutador de matrizes). Proposic~ao 1.10 (d.s.a). Seja G grupo de Lie compacto. metrica bi-invariante. Ent~ao G admite 2

3 Problema Seja su(n) := fa 2 M(n; C)j A = A ; tr A = 0g 1. Prove que su(n) e a algebra de Lie de SU(n). 2. Verique que o produto em T e SU(n) denido como hx; Y i := <tr (XY ) pode ser estendido para uma metrica bi-invariante. Problema Seja so(3) = fa 2 M(3; R)j A = A T g 1. Verique que so(3) e algebra de Lie de SO(3) Seja A = : Mostre que A v = v: Verique que A = [A ; A ] = A A A A. Conclua que a aplicac~ao (R 3 ; )! so(3)! A e um isomorsmo de algebras de Lie. 4. Verique que exp(a ) e uma rotac~ao em torno do eixo com velocidade angular kk. Problema Seja H subgrupo fechado de um grupo de Lie G. Mostre que a ac~ao G H! G denida como g h := gh e uma ac~ao a direita, livre, propria. Problema Verique os difeomorsmos abaixo: (a) S n = SO(n + 1)=SO(n). (b) P n (R) = SO(n + 1)=S(O(n) O(1)). (c) P n (C) = SU(n + 1)=S(U(1) U(n)). Problema Seja G um grupo discreto (i.e., com topologia discreta). Suponha que G age em uma variedade M: Mostre que a ac~ao e propriamente descontinua se e somente se a ac~ao e livre e propria. Problema Seja G um subgrupo discreto de isometrias de uma variedade Riemanniana M. Mostre que M=G e variedade Riemanniana e : M! M=G e recobrimento Riemanniano. Comentario: O Problema 1.16 deve ser resolvido diretamente, i.e., sem utilizar o Teorema Problema Seja fa i g uma base de R n. Um lattice associado a esta base e o conjunto de todos os vetores P k j a j para k j 2 Z: Identicando com o subgrupo de translac~oes podemos fornecer ao quociente R n = estrutura de variedade (vide Problema 1.16). (a) Mostre que existe um difeomorsmo ^p : R n =! T n. (b) Seja g metrica denida em T n tal que ^p : R n =! T n e isometria, onde a metrica em R n = foi denida no Problema Mostre que g e g ~ denidas em T n s~ao isometricas se e somente se existe uma isometria em R n que envia o lattice no lattice ~. 3

4 Teorema 1.18 (d.s.a). Sejam M variedade Riemanniana com metrica g M e G subgrupo fechado de isometrias de M. Suponha que a ac~ao G M! M e livre. Ent~ao existe uma metrica g M=G em M=G tal que : (M; g M )! (M=G; g M=G ) e submers~ao Riemanniana. Comentario: Visto que P n (C) = S 2n+1 =S 1, segue do teorema acima que a submers~ao : S 2n+1! S 2n+1 =S 1 induz uma metrica Riemanniana em P n (C). Tal metrica e chamada de metrica de Fubini-Study. 1.1 Sugest~oes Proposic~ao 1.1: Consulte e.g Carmo (Captulo 0, Proposic~ao 5.3) Problema 1.2: Para vericar que o brado tangente da esfera n~ao e trivial, utilize o fato de topologia que S n (n par) n~ao admite um campo X que nunca se anula. Problema 1.4: Consulte e.g. Gallot, Hulin, Lafontaine (Sec~ao 2.A, pagina 56,57) e Carmo (Capitulo 8, pagina 196,197). Problema 1.5: Consulte Gallot, Hulin, Lafontaine (Sec~ao 2.A, pagina 58,59). Problema 1.6: Considere e i = P j b j. Note que (b ij ) T (g ij )(b ij ) = Id. 1 Assim det(b ij ) = pdet(g. Por outro lado se! = cdx 1 ^ : : : ^ dx n temos ij ) 1 =!(e 1 ; : : : ; e n ) = c det(b ij ). Podemos ent~ao concluir que c = p det(g ij ). Problema 1.7: Mostre diretamente que GL(n; R) e GL(n; C) s~ao grupos de Lie. Depois mostre que SL(nR), O(n), SL(n; C), e U(n) s~ao subgrupos fechados de GL(n; R) e GL(n; C) e use o resultado enunciado em sala de aula que subgrupos fechados de grupos de Lie s~ao subgrupos mergulhados de Lie. Problema 1.8: Dena '(t) := exp(tx). Usando o fato que ' e um homomorsmo de Lie a 1- parametro, conclua que ' e soluc~ao da E.D.O, ' 0 (t) = ' 0 (0)'(t) com '(0) = Id: O resultado segue ent~ao de E.D.O (Calculo IV). Problema 1.14: Utilize o fato enunciado em sala de aula que se G M! M e uma ac~ao propria (e.g. G e compacto) ent~ao G(x) e mergulho de G=G x. Para mostrar por exemplo que P n (R) = SO(n + 1)=S(O(n) O(1)), note que a ac~ao de SO(n + 1) na esfera S n induz uma ac~ao em P n (R) (visto que ac~ao de matriz comuta com a ac~ao por multiplicac~ao por escalar). Problema 1.16: Consulte e.g. Gallot, Hulin, Lafontaine (Captulo 2, Sec~ao 2.A, pagina 59). Problema 1.17: Consulte Gallot, Hulin, Lafontaine (Captulo 2, Sec~ao 2.A, pagina 4

5 2 Conex~ao e Curvatura Problema 2.1. Sejam (E; M; ) um brado vetorial com conex~ao r e f i g um referencial local denido em uma vizinhanca coordenada U em M. Para V = P k v k k denote D X V := P X v k k. Mostre que r X V = D X V + A(X)V determinando a matriz de 1-formas A em func~ao dos simbolos de i j = P k k i j k) e em termos das 1-formas de conex~ao ( r i = P j! i j j ). Proposic~ao 2.2 (d.s.a). Sejam (E; M; ) um brado vetorial com conex~ao r e : [0; 1]! M uma curva suave. Considere V 0 2 E (0). Ent~ao existe uma unica sec~ao V ao longo de tal que dt r V = 0 (sec~ao paralela) e V (0) = V: Teorema 2.3 (d.s.a). Seja (M; g) variedade Riemanniana. Ent~ao ela admite uma unica conex~ao Riemanniana,i.e, compatvel com a metrica e livre de torc~ao. Problema 2.4. Sejam (M; g) e ( ~ M; ~g) variedades Riemannianas com conex~oes Riemannianas r e ~ r. Seja F : M! ~ M isometria. Mostre que: (1) df p r W V = ( ~ rdf W df V ) F (p) (2) F preserva transporte paralelo. Proposic~ao 2.5 (d.s.a). Seja (M; g) variedade Riemanniana e r sua conex~ao Riemanniana. Ent~ao as armac~oes abaixo s~ao equivalentes: (1) Para todo p 2 M existe uma vizinhanca U de p em M e um referencial local f i g denido em U tal que r i = 0. (2) O tensor curvatura e nulo. (3) Para todo p 2 M existe uma vizinhanca U de p em M tal que o transporte paralelo em U independe do caminho. Proposic~ao 2.6 (d.s.a). Seja (E; M; ) brado vetorial com conex~ao r: Sejam f i g um refencial local denido em uma vizinhanca U de M e! i j as 1-formas de conex~ao em relac~ao ao referencial f i g, i.e., r i = P j! i j j. Considere um outro referencial local f ~ i g na vizinhanca U de M. Sejam b i;j as func~oes tais ~ i = P j b i j j. Ent~ao ~! = dbb 1 + b!b 1 onde ~! denota a matriz de formas de conex~ao em relac~ao ao referencial f ~ i g: Proposic~ao 2.7 (d.s.a). Seja (E; M; ) brado vetorial com conex~ao r: Sejam f i g um refencial local denido em uma vizinhanca U de M,! i j as 1-formas de conex~ao em relac~ao ao referencial f i g e i j as 2-formas de curvatura em relac~ao ao referencial f i g, i.e, R( ; ) i = P j i j j. Ent~ao = d!! ^! Proposic~ao 2.8 (d.s.a). Sejam (M; g) variedade Riemanniana e r sua conex~ao Riemanniana. Sejam fe i g um referencial ortonormal denido em uma vizinhanca U,! i as suas 1-formas duais, i.e,! i (e j ) = ij, e! ij as 1-formas de conex~ao em relac~ao ao referencial fe i g. Ent~ao: (a)! ij +! ji = 0 (b) d! i = P j! ij ^! j : 5

6 Problema 2.9. Sejam G grupo de Lie com metrica biinvariante h ; i e X; Y; Z campos invariantes a esquerda. Mostre que: (a) h[x; Y ]; Zi = hy; [X; Z]i (b) r X Y = 1 2 [X; Y ] (c) R(X; Y )Z = 1 [[X; Y ]; Z] 4 (d) hr(x; Y )X; Y i = 1 h[x; Y ]; [X; Y ]i: Em particular conclua que a curvatura 4 sectional e sempre maior ou igual a 0: Problema Faca os exercicios 1,2,3 e 8 do livro Carmo, Cap 2. Problema Faca os exerccios 6,7,8 do livro Carmo, Cap Sugest~oes Problema 2.1: 1. a k j = P i k i j dx i 2. a i j =! j i. Problema 2.5: Use o lema enuciado em sala de aula (que sera demonstrado na P2) que Se as curvaturas seccionais s~ao nulas, ent~ao M e localmente isometrico a R m. Problema 2.9: Para provar o Item (a) lembre-se primeiro da denic~ao da Adjunta dada no Problema 1.9, i.e, Ad (g)y := d dt (g exp(ty )g 1 )j t=0 e usando a denic~ao de metrica bi-invariante conclua que Ad (g) e isometria. Depois utilize a formula d dt Ad (exp(tx))y j t=0 = [X; Y ] dada no Problema 1.9. O item (b) seguira do Item (a) e da formula que dene a conex~ao Riemanniana, dada na demonstrac~ao do Teorema

7 3 Geodesicas Ao longo desta sec~ao (M; g) denotara variedade Riemanniana com metrica g. Proposic~ao 3.1 (d.s.a). Dado q 2 M existe > 0 tal que exp q : B (0)! M e difeomorsmo sobre um aberto de M: Proposic~ao 3.2 (d.s.a). Sejam exp q : B (0)! M bem denida, S~ n 1 (0) esfera contida em B (0) com ~ < e v : ( ; )! S~ n 1 (0) curva suave. Dena f(s; t) := exp q (tv(s)). @t ) = 0: Proposic~ao 3.3 (d.s.a). Seja B (q) uma bola normal. Dena : [0; 1]! B (q) como (t) := exp q (tv) com kvk < : Seja : [0; 1]! M curva suave por partes tal que (0) = (0) e (1) = (1): Ent~ao L() L(). Se a igualdade vale ent~ao [0; 1] = [0; 1]. Proposic~ao 3.4 (d.s.a). Dado q 2 M existe vizinhanca W de q tal que, se x; y pertencem a W ent~ao existe uma unica geodesica minimizante ligando x a y: Proposic~ao 3.5 (d.s.a). Seja : [0; 1]! M uma curva suave por partes tal que d((0); (1)) = L(): Ent~ao e imagem de uma geodesica. Problema 3.6. Faca os exercicios 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, 13 Captulo 3 do livro do Carmo. Problema 3.7. Suponha que M e variedade Riemanniana compacta. Mostre que toda geodesica esta denida para todos valores de R: 3.1 Sugest~oes Problema 3.7: Considere o campo geodesico restrito ao brado tangente unitario T 1 (M) := fv x 2 T x M; kv x k = 1g x2m e aplique o resultado que arma que todo campo suave denido em variedade compacta gera um grupo a 1 parametro de difeomorsmos. 7

8 4 Campos de Jacobi Proposic~ao 4.1 (d.s.a). Seja f : ( ; ) [a; b]! M uma aplicac~ao suave tal que f(s 0 ; ) e geodesica para todo s 0 2 ( ; ). Ent~ao (0; t) e campo de Jacobi ao longo da geodesica (t) := f(0; t): Proposic~ao 4.2 (d.s.a). Seja tal que exp p : B (p)! M esta bem denida. Dena a curva (t) := exp p (tv 0 ) com kv 0 k = 1 e jtj <. Para w 2 T p M considere o campo tw ao longo do segmento t! tv 0. Ent~ao J(t) := d(exp p ) tv0 tw e campo de Jacobi com J(0) = 0 e dt r J(0) = w: Proposic~ao 4.3. Suponha que M e geodesicamente completa, i.e, exp p : T p M! M esta bem denida para todo p 2 M: Seja : ( ; )! M geodesica e J campo de Jacobi ao longo de. Ent~ao (0; t) para f(s; t) = exp (s)(tv(s)) onde : ( ; )! M e uma curva tal que 0 (0) = J(0) e v : ( ; )! M e um campo ao longo de com v(0) = 0 (0) e ds r v(0) = dt r J(0): Proposic~ao 4.4 (d.s.a). Sejam M variedade Riemanniana com curvaturas seccionais constantes K e : [0; a]! M geodesica com vetor velocidade 1. Ent~ao o campo de Jacobi J ao longo de com condic~oes iniciais J(0) = 0 e r dt J(0) = w para w perpendicular a 0 (0) e J(t) = c K (t)w(t) onde w( ) e o transporte paralelo de w ao longo de e c K e a func~ao denida como c K (t) := sin(tp K) p K K > 0, c K (t) := t se K = 0 e c K (t) := sinh(tp K) p K se K < 0: Proposic~ao 4.5 (d.s.a). Sejam (M n ; g) variedade Riemanniana com curvaturas seccionais constantes K e : (0; ) S n 1! B (p) parametrizac~ao geodesica polar, i.e., (r; v) := exp p (rav) onde A : (R n ; g 0 )! (T p M; g) e isometria linear. Ent~ao a metrica g em coordenadas geodesicas polares e dr 2 + (c k (r)) 2 ds 2 onde ds 2 e a metrica can^onica da esfera S n 1 e a func~ao c K foi denida na Proposic~ao 4.4. Em particular, duas variedades Riemannianas com mesma dimens~ao e mesmas curvaturas seccionais constantes iguais a K s~ao localmente isometricas. Proposic~ao 4.6 (d.s.a). Sejam tal que exp p : B (p)! M esta bem denida. Dena (t) = exp p (tv) com jtj < e kvk = 1. Ent~ao (t 0 ) e ponto conjugado a (0) ao longo de com multiplicidade k se e somente se dim(ker d(exp p ) t0v) = k. Proposic~ao 4.7 (d.s.a). Seja : [0; a]! M geodesica. Suponha que (a) n~ao e ponto conjugado a (0) ao longo de : Ent~ao dado v 2 T (0) M e w 2 T (a) M existe um unico campo de Jacobi J ao longo de tal que J(0) = v e J(a) = w: Problema 4.8. Exerccio 5 do Captulo V do livro do Carmo. se 4.1 Sugest~oes Proposic~ao 4.5 Seja fe i g T v (S n 1 ) referencial ortonormal. Note que J i (r) := d(exp p ) rav rae i = d (r;v) (0; e i ); 8

9 e campo de Jacobi ao longo da geodesica r! exp p (rav): Utilizando Proposic~ao 4.4 verique que Por m dena g(j i ; J j ) = i;j c 2 K: (4.1) J 0 (r) := d(exp p ) rav Av e utilizando o Lema de Gauss conclua que = d (r;v) (1; 0) g(j 0 ; J i ) = 0: (4.2) O resultado ent~ao seguira das Equac~oes (4.1) e (4.2). 9