MAT0354/MAT Geometria diferencial Lista de exercícios

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1 MAT0354/MAT Geometria diferencial Lista de exercícios I. Curvas parametrizadas 1. Dado a > 0, considere a circunferência x 2 +(y a 2 )2 = ( a 2 )2. Parametrize a curva C do R 2 formada pelos vértices que correspondem aos ângulos retos dos triângulos retângulos obtidos pela interseção de uma reta r com a circunferência e a reta y = a (ver figura abaixo). y B r A O x 2. Dado um real a > 0. Encontre uma parametrização da curva obtida pela intersecção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 e do cilindro (x a 2 )2 + y 2 = ( a 2 )2. 3. Obtenha uma reparamerização pelo comprimento de arco das seguintes curvas i) α(t) = (e t cos(t), e t sen(t), e t ), com t R ii) β(t) = (2 cosh(2t), 2senh(2t), 4t), com t R z z x y x y 1

2 4. Suponha que β 1 e β 2 são reparametrizações pelo comprimento de arco de uma mesma curva α. Mostre que existe uma constante c 0 tal que β 2 (s) = β 1 (±s+c 0 ) para todo s no domínio de β Considere a curva parametrizada β :] 1, 1[ R 3 dada pela seguinte expressão ( 1 β(s) = 3 (1+s)3/2, 1 ) s 3 (1 s)3/2, 2 Mostre que β está parametrizada pelo comprimento de arco, determine então o seu referencial de Frenet, sua curvatura e sua torção. 6. Considere a seguinte curva parametrizada β : R R 3 dada por ( ) 4 β(s) = 5 cos(s), 1 sen(s), 3 5 cos(s) Mostre que β está parametrizada pelo comprimento de arco e verifique ainda que a imagem de β é uma circunferência. 7. Dada uma curva parametrizada α : I R R 3, considere o segmento [a, b] I e a restrição β = α [a,b]. Faça então p = β(a), q = β(b) e defina o vetor unitário u = (q p)/ q p. i) Se σ : [0, 1] R 3 é o segmento de reta σ(t) = (1 t)p+tq, mostre que L(σ) = q p ii) Use o fato de que β (t) β (t) u ( t [a, b]) e mostre que L(β) L(σ) iii) Mostre que se L(β) = L(σ), então β é uma reparametrização de σ. 8. Seja γ : I R R 3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com κ(s) > 0 e τ(s) = 0 para todo s no intervalo aberto I. Mostre que: i) Se a imagem de γ está contida em uma esfera de centro c e raio r, então γ c = ρn ρ σb onde N e B são o normal e o binormal de γ e, por definição, ρ = 1/κ e σ = 1/τ. ii) Recíprocamente, mostre que se ρ 2 + (ρ σ) 2 possui um valor constante r 2 e ρ = 0 em I, então a imagem de γ está contida em uma esfera de raio r. 9. Seja β : I R R 3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Se toda reta tangente a β passa por um ponto fixo p R 3, mostre que a imagem de β é uma reta. 2

3 10. Uma parametrização pelo comprimento de arco de uma circunferência de centro c e raio r > 0 pode ser dada pela seguinte expressão ( s ( s γ(s) = c+r cos e 1 + r sen e 2, (onde e i e j = δ ij ) r) r) Mostre que se β é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco e com κ(0) > 0, então existe uma, e só uma, circunferência γ com a seguinte propriedade γ(0) = β(0), γ (0) = β (0) e γ (0) = β (0) Mostre que γ está no plano osculador de β, determine o seu centro c e o seu raio r. 11. Suponha que β : I R R 3 é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Definimos a imagem esférica de β como sendo a curva σ : I R R 3 dada por σ(s) = T s, onde T s é a tangente de β. Mostre que a curvatura e a torção de σ são dadas pelas seguintes expressões κ σ = 1+( τ κ )2, τ σ = ( κ onde κ e τ representam a curvatura e a torção de β. d ds ( τ κ ) 1+ ( ) ) τ 2 κ 12. Mostre que toda curva regular do R 3, cujas funções coordenadas são dadas por polinômios de grau menor ou igual a 2, é uma curva plana. 13. Mostre que é plana a seguinte curva α :]0,+ [ R 3 dada por ( α(t) = t, 1+t ), 1 t2 t t 14. Calcule a curvatura e a torção das seguintes curvas definidas em R i) α(t) = (t, t 2, t 3 ) ii) β(t) = (cos(t), sen(t), e t ) iii) γ(t) = (t, cosh(t), senh(t)) z z z x x y x y y 3

4 15. Sejam f, g : I R R 3 funções diferenciáveis com f(t) > 0 para todo t I. Fixe a I e considere então a seguinte curva α : I R R 3 dada por ( t t t ) α(t) = f(u)sen(u)du, f(u) cos(u)du, f(u)g(u)du a a a Mostre que a curvatura κ α e a torção τ α de α são dadas por κ α = 1 f 1+ g 2 +(g ) 2 g+ g (1+ g 2 ) 3, τ α = f (1+ g 2 +(g ) 2 ) 16. Considere a cúbica geral α : R R 3 dada por α(t) = (at, bt 2, ct 3 ), onde a, b, c R são tais que abc = 0. i) Mostre que o quociente τ/κ é dado por τ κ = 3ac ( 9c 2 t 4 + 4b 2 t 2 + a 2 2b 2 9c 2 t 4 + 9(a 2 c 2 /b 2 )t 2 + a 2 ) 3/2 Deduza então que α é uma hélice cilíndrica se, e só se, 3ac = ±2b 2. ii) No caso em que 3ac = 2b 2, encontre o vetor u e o ângulo ϑ da hélice. 17. Seja β :] ǫ, ǫ[ R 3 uma hélice cilíndrica parametrizada pelo comprimento de arco. Seja u o correspondente vetor do R 3 tal que T s u = cos(ϑ) para s ] ǫ, ǫ[. A curva β é dita uma hélice circular se a sua imagem está contida em um cilindro circular reto. i) Defina h(s) = (β(s) β(0)) u, com s ] ǫ, ǫ[. Mostre que h(s) = s cos(ϑ). ii) Seja γ :] ǫ, ǫ[ R 3 dada por γ(s) = β(s) h(s) u. Mostre que onde κ β > 0 é a curvatura de β. κ γ = κ β sen 2 (ϑ) iii) Deduza que β é uma hélice circular se, e só se, κ β é constante e τ β é constante. 18. Seja α : I R R 3 uma curva regular com κ(t) > 0 para todo t I. Mostre que i) Um ponto p R 3 está no plano osculador de α em α(t 0 ) se, e só se, onde B t é o binormal de α. (p α(t 0 )) B t0 = 0 ii) Se todos os planos osculadores de α possuem um ponto em comum, então α é uma curva plana. 4

5 19. Sejam f e g funções reais diferenciáveis definidas em um intervalo aberto I que contém 0. Suponha que f 2 + g 2 = 1 em I e que θ 0 é um número com f(0) = cos(θ 0 ) e g(0) = sen(θ 0 ). Definimos então a função t θ(t) = θ 0 + ( f(u)g (u) g(u) f (u))du, t I 0 Mostre que f(t) = cos(θ(t)) e g(t) = sen(θ(t)) para todo t I. Sugestão: mostre que a seguinte função é identicamente nula F(t) = [ f(t) cos(θ(t))] 2 +[g(t) sen(θ(t))] Seja α : I R R 2 dada por α(s) = (x(s), y(s)) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. O referencial de Frenet de α é então definido por T s = (x (s), y (s)) N s = ( y (s), x (s)) Mostre que T s = κ(s)n s onde κ(s) = T s N s. Mostre ainda que N s = κ(s)t s. A função κ(s) é chamada de curvatura de α. Mostre também que κ(s) = θ (s), onde θ(s) é o ângulo que a tangente T s faz com o eixo das abscissas. Suponha agora que β : I R R 2, dada por β(t) = (x(t), y(t)), é uma curva regular. Denotamos o referencial de Frenet de β por {T t, N t } e o definimos por T t = T s(t) N t = N s(t) onde { T s, N s } é o referencial de Frenet da reparametrização de β pelo comprimento de arco feita através da função s(t). A curvatura de β é definida por κ(t) = κ(s(t)). Mostre que T t = κ(t)s (t)n t e que N t = κ(t)s (t)t t. Determine as expressões de T t e de N t (em função de x(t) e y(t)) e mostre ainda que κ(t) = x (t)y (t)+x (t)y (t) (x (t) 2 + y (t) 2 ) 3/2 21. Mostre que o comprimento de uma curva dada em coordenadas polares r = r(θ) é L = θ1 θ 0 r 2 +(r ) 2 dθ Mostre ainda que a curvatura dessa curva é dada por κ = 2(r ) 2 rr + r 2 (r 2 +(r ) 2 ) 3/2 5

6 22. Suponha que β : I R R 2 é uma curva regular com κ(t) = 0 para todo t I. A evoluta de β é a curva (cujas tangentes são ortogonais à curva β) dada por c(t) = β(t)+ 1 κ(t) N t Determine as evolutas de: β 1 (t) = (2 cos(t), sen(t)) e de β 2 (t) = (t, t 2 ). y y x x 23. Dada uma função diferenciável κ : I R, definida no intervalo aberto I R, mostre que existe uma curva parametrizada pelo comprimento de arco α : I R 2 tal que κ α = κ. Esboce uma curva com κ(s) = 2s (espiral de Euler 1 ). Sugestão: s i) Defina θ(s) = κ(t)dt, onde supomos 0 I. 0 ( s s ) ii) Defina α(s) = cos(θ(t))dt, sen(θ(t))dt Mostre que são congruentes as curvas α, β : R R 3 abaixo α(t) = (2 cos(t), 2 sen(t), 2t) β(t) = (t+ 3 sen(t), 2 cos(t), 3t sen(t)) 1 Tem comprimento infinito: está parametrizada pelo comprimento de arco e está definida em toda a reta. 6

7 II. Superfícies parametrizadas 1. Mostre que as seguintes aplicações são superfícies parametrizadas regulares i) (Cilindro) ϕ : R 2 R 3 dada por ϕ(u, v) = (cos(u), 2 sen(u), v) ii) (Catenóide) ϕ : R 2 R 3 dada por ϕ(u, v) = (cosh(v) cos(u), cosh(v)sen(u), v) iii) (Helicóide) ϕ : R 2 R 3 dada por ϕ(u, v) = (u cos(v), u sen(v), v) 2. Verifique que as seguintes aplicações são superfícies parametrizadas e determine os pontos singulares daquelas que não são regulares i) ϕ : R 2 {(0, 0)} R 3 dada por ϕ(u, v) = (u 3, v 3,(u 6 + v 6 ) 1/3 ) ii) ϕ : R 2 R 3 dada por ϕ(u, v) = (u 2 v 2, 2uv, u 5 ) iii) ϕ : R 2 R 3 dada por ϕ(u, v) = (u, v 3, v 2 ) iv) ϕ : R 2 R 3 dada por ϕ(u, v) = (u, v, v 3 ) v) ϕ : R 2 R 3 dada por ϕ(u, v) = (u, v, u 3 v 3 ) 7

8 3. Em cada caso, mostre que o conjunto f 1 (0) define uma subvariedade mergulhada: i) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1, com (x, y, z) R 3 ii) f(x, y, z) = x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 1, com (x, y, z) R 3, a > 0, b > 0 e c > 0 iii) f(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2 1, com (x, y, z) R 3 iv) f(x, y, z) = x 2 y 2 + z 2 1, com (x, y, z) R 3 4. Mostre que a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e o elipsóide x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1 são difeomorfos utilizando a aplicação F : R 3 R 3 dada por F(x, y, z) = (ax, by, cz) 5. Mostre que se ϕ : U R 2 R 3 é uma superfície parametrizada regular e se (u 0, v 0 ) U, então existe uma vizinhança V de (u 0, v 0 ) em U tal que ϕ(v) R 3 é uma subvariedade mergulhada. Sugestão: escreva ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) e defina a aplicação F : U R R 3 por e use o teorema da função inversa. F(u, v, t) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)+t) 6. Para cada uma das seguintes subvariedades mergulhadas do R 3, descreva então a imagem da respectiva aplicação normal de Gauss i) x 2 + y 2 = a 2 (cilindro) iv) z = x 2 + y 2 (parabolóide) ii) z = x 2 + y 2 (cone sem o vértice) iii) x+y+z = 0 (plano) v) x 2 + y 2 z 2 = 1 (hiperbolóide) vi) x 2 + y 2 = (cosh(z)) 2 (catenóide) 7. Sejam α, β : I R R 3 curvas parametrizadas e suponha que β(t) = 0 para todo t I. Defina ϕ : I R R 3 por ϕ(t, v) = α(t)+vβ(t) Mostre que ϕ é uma superfície parametrizada (que é chamada de superfície regrada). Mostre também que o hiperbolóide x 2 + y 2 z 2 = 1, a sela z = xy, o helicóide e um cilindro construído sobre uma curva plana, são todos exemplos de superfícies regradas. Mostre ainda que a curvatura gaussiana dessa superfície (nos pontos não singulares) é dada por (α K(t, v) = (t) β(t) β (t)) 2 α (t) β(t)+vβ (t) β(t) 4 No caso particular em que α é uma curva regular, com κ(t) = 0 para todo t I e a curva β é dada por β = α, então a superfície regrada correspondente é regular e é chamada de superfície tangente. Mostre que, nesse caso, K = 0. 8

9 8. Considere uma circunferência com centro (R, 0, 0) R 3, de raio r > 0 (com r < R) e situada num plano ortogonal ao plano xy. A rotação dessa circunferência ao redor do eixo z forma uma superfície parametrizada conhecida como Toro. z v u y x Verifique que a aplicação diferenciável ϕ : R 2 R 3 dada por ϕ(u, v) = ((R+rcos(u)) cos(v),(r+rcos(u)) sen(v), r sen(u)) parametriza o Toro. Mostre que o Toro é uma superfície parametrizada regular. Mostre então que os coeficientes da primeira forma fundamental do Toro são E = r 2, F = 0 e G = (R+r cos(u)) 2 Mostre ainda que os coeficientes da segunda forma fundamental do Toro são e = r, f = 0 e g = (R+r cos(u)) cos(u) e que suas curvaturas principais são dadas por κ 1 = 1/r e κ 2 = cos(u) R+rcos(u) Conclua que a curvatura gaussiana do Toro é dada por K = cos(u) r(r+rcos(u)) 9

10 9. Seja α(u) = (h(u), 0, l(u)) uma curva parametrizada do R 3, definida num intervalo aberto I R e cuja imagem está contida no plano xz. A rotação dessa curva ao redor do eixo dos z forma uma superfície S chamada de superfície de revolução. Mostre que a aplicação ϕ : I R R 3 dada por (assuma h > 0) ϕ(u, v) = (h(u) cos(v), h(u) sin(v), l(u)) parametriza a superfície de revolução S. Mostre ainda que se α é uma curva regular, então S é uma superfície parametrizada regular. Mostre também que os coeficientes da primeira e da segunda forma de S são E = (h ) 2 +(l ) 2, F = f = 0, G = h 2, e = l h + h l (h ) 2 +(l ) 2, g = l h (h ) 2 +(l ) 2 Conclua que a curvatura gaussiana de S é dada por K = l (l h l h ) h((h ) 2 +(l ) 2 ) Considere a superfície de revolução dada pelas seguintes relações x = r cos(θ) y = r sen(θ) z = f(r) onde r = x 2 + y 2 > 0 e f(r) é uma função diferenciável. Mostre que as curvas dessa superfície que formam um ângulo constante α com cada paralelo admitem uma parametrização dada por onde θ é dada pela seguinte expressão β(r) = (r cos(θ(r)), r sen(θ(r)), f(r)) θ = 1 r cot(α) 1+( f (r)) 2 dr 10

11 11. Prove que se uma subvariedade mergulhada S R 3 é tangente a um plano ao longo de uma curva, então os pontos dessa curva são parabólicos ou planares. 12. Seja S R 3 uma superfície de revolução. Mostre que os meridianos e os paralelos são linhas de curvatura de S. 13. Mostre que não existem pontos umbílicos sobre uma dada superfície parametrizada regular que possui K < 0. Mostre ainda que se K 0, então os pontos umbílicos são pontos planares. 14. Dada uma superfície parametrizada regular ϕ : U R 2 R 3 e também um vetor tangente v = v 1 ϕ u + v 2 ϕ v. Mostre que v é um vetor principal se, e sómente se, a seguinte matriz tem determinante zero v 2 2 v 1 v 2 v 2 1 E F G e f g Mostre ainda que um ponto ϕ(u, v) é umbílico se, e só se, e = κe, f = κf e g = κg no ponto (u, v). Mostre também que, nesse último caso, κ = κ 1 = κ 2 são as curvaturas principais. Finalmente, mostre que o vetor v é assintótico (ou seja, v anula a segunda forma fundamental) se, e só se, ev f v 1v 2 + gv 2 2 = Mostre que uma subvariedade mergulhada e compacta do R 3 tem, pelo menos, um ponto elíptico. 16. Prove que não existem subvariedades mergulhadas do R 3 que, além de mínimas (i.e. com H = 0 em todos os pontos), são também compactas. 17. Seja f : U R 2 R diferenciável e defina a seguinte subvariedade mergulhada S = { (u, v, f(u, v)) R 3 ; (u, v) U } Mostre que valem as seguintes igualdades E = 1+ fu, 2 F = f u f v, G = 1+ fv 2 f uu e =, f = 1+ f 2 u + fv 2 f uv, g = 1+ f 2 u + fv 2 f vv 1+ f 2 u + f 2 v Mostre também que temos as seguintes equivalências K = 0 f uu f vv f 2 uv = 0 H = 0 (1+ f 2 u) f vv +(1+ f 2 v)f uu 2 f u f v f uv = 0 11

12 18. (Superfície de Scherk) Com as notações e definições do exercício anterior, faça ( ) cos(y) f(x, y) = ln cos(x) com domínio igual a U =] π/2, π/2[ ] π/2, π/2[. Determine as curvaturas gaussiana e média da respectiva subvariedade mergulhada. 19. (Superfície de Enneper) Seja a superfície parametrizada ϕ : R 2 R 3 dada por ) ϕ(u, v) = (u u3 3 + uv2, v v3 3 + vu2, u 2 v 2 Verifique que ϕ é uma superfície parametrizada regular e mostre que: i) E = G = (1+u 2 + v 2 ) 2 e F = 0 ii) e = 2, f = 0 e g = 2 iii) As curvaturas principais são κ 1 = 2(1+u 2 + v 2 ) 2 e κ 2 = 2(1+u 2 + v 2 ) 2 iv) As linhas de curvatura são as curvas coordenadas v) As linhas assintóticas são dadas por u+v = cte. e u v = cte. 20. Seja S R 3 uma subvariedade mergulhada e α :] ǫ, ǫ[ S uma curva regular. Se α(0) = p e K p > 0, mostre que a curvatura κ(0) de α em p satisfaz κ(0) min{ κ 1 (p), κ 2 (p) } onde κ 1 (p) e κ 2 (p) são as curvaturas principais de S em p. 12

13 21. Mostre que sobre uma superfície parametrizada regular sempre temos i) H 2 K 0 ii) H p = 1 π π 0 κ n (θ)dθ, onde κ n (θ) é a curvatura normal numa direção θ de T p S. 22. (Pseudoesfera) Considere a superfície de rotação ϕ :], 0[ R R 3 dada por ( u ) ϕ(u, v) = e u cos(v), e u sen(v), 1 e 2s ds 0 i) Mostre que ϕ possui curvatura gaussiana constante K = 1 ii) Determine as linhas de curvatura de ϕ iii) Determine as linhas assintóticas de ϕ 23. Mostre que se uma superfície de revolução é mínima, então ela está contida em um plano ou em um catenóide. 24. Mostre as seguintes afirmações relativas a uma subvariedade mergulhada S R 3 : i) Se uma curva regular de S é uma linha de curvatura e uma geodésica, então essa curva é plana. ii) Se uma geodésica (não retilínea) é uma curva plana de S, então ela é uma linha de curvatura. iii) Uma curva regular de S é uma curva assintótica e uma geodésica se, e só se, ela é uma reta. 25. Mostre que se todas as geodésicas de uma subvariedade mergulhada conexa S do R 3 são curvas planas, então S está contida em um plano ou em uma esfera. 13

14 III. Formas diferenciais 1. Considere as seguintes 1-formas definidas no R 3 i) ω = y 2 dx ii) η = zdy ydz iii) σ = (z 2 1)dx dy+x 2 dz Calcule ω p ( v), η p ( v) e σ p ( v) onde v = (1, 2, 3) T p R 3 com p = (0, 2, 1). 2. Dadas funções f, g : R 3 R e campos de vetores V, W X(R 3 ), mostre que i) ω( f V + gw) = f ω(v)+ gω(w) ii) ( f ω+gη)(v) = f ω(v)+ gη(v) para todas 1-formas ω, η definidas no R Dadas funções diferenciáveis f, g : R 3 R, verifique que i) d( f + g) = d f + dg ii) d( f g) = gd f + f dg utilizando a definição d f = f x dx+ f y dy+ f z dz. 4. Sejam ω, σ 1-formas definidas no R 3 e dadas pelas seguintes expressões: ω = xdx ydy, σ = ydx xyzdy+x 2 dz Calcule ω σ. 5. Considere a 1-forma ω definida em R 2 {(0, 0)} e dada pela seguinte expressão ω = y x 2 + y 2 dx+ x x 2 + y 2 dy Seja agora f : U := { (r, θ) R 2 : r > 0 e 0 < θ < 2π } R 2 dada por Calcule f (ω). f(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)) Solução: Dado p U e v = (v 1, v 2 ) T p R 2, temos f (ω) p ( v) = ω f(p) (d f p ( v)) Assim f (ω) = dθ r sin(θ) = r 2 (v 1 cos(θ) rsin(θ)v 2 )+ r cos(θ) r 2 (v 1 sin(θ)+rcos(θ)v 2 ) = v 1 sin(θ) cos(θ) + sin 2 (θ)v 2 + v 1 sin(θ) cos(θ) + cos 2 (θ)v 2 r r = v 2 = dθ( v) 14

15 6. Sejam p = (2, 1, 0) R 3, v = ( 1, 0, 2) T p R 3 e ainda o campo de vetores X = x 2 e 1 + yze 3 X(R 3 ). Calcule v X. 7. Sejam X, Y X(R 3 ) campos de vetores dados pelas seguintes expressões: Calcule X Y. X = (y x)e 1 +(xy)e 3 Y = (x 2 )e 1 +(yz)e 3 8. Seja {E 1, E 2, E 3 } o referencial ortonormal cilíndrico definido em R 3 {eixo z} E 1 (r, θ, z) = (cos(θ), sin(θ), 0) E 2 (r, θ, z) = ( sin(θ), cos(θ), 0) E 3 (r, θ, z) = (0, 0, 1) onde x = r cos(θ), y = r sin(θ) e z = z. Mostre que as 1-formas de conexão são ω 12 = dθ, ω 21 = dθ e ω ij = 0 (nos outros casos) Mostre também que as 1-formas duais são dadas pelas expressões ω 1 = dr ω 2 = rdθ ω 3 = dz Mostre que E 1 [r] = 1, E 2 [θ] = 1/r, E 3 [z] = 1 e que todas as outras alternativas dão zero. Verifique a validade das equações de estrutura. 9. Seja {E 1, E 2, E 3 } o referencial ortonormal esférico definido em R 3 {eixo z} E 1 (r, θ, ϕ) = (cos(ϕ) cos(θ), cos(ϕ) sin(θ), sin(ϕ)) E 2 (r, θ, ϕ) = ( sin(θ), cos(θ), 0) E 3 (r, θ, ϕ) = ( sin(ϕ) cos(θ), sin(ϕ) sin(θ), cos(ϕ)) onde x = r cos(ϕ) cos(θ), y = r cos(ϕ) sin(θ) e z = r sin(ϕ). Mostre que ω 12 = cos(ϕ)dθ, ω 13 = dϕ, ω 23 = sin(ϕ)dθ Mostre também que as 1-formas duais são dadas pelas seguintes expressões ω 1 = dr ω 2 = r cos(ϕ)dθ ω 3 = rdϕ Verifique ainda a validade das equações de estrutura. 15

16 10. Seja S uma subvariedade mergulhada no R 3 e ainda {E 1, E 2, E 3 } um referencial ortonormal adaptado sobre S. Denote por (ω ij ) as 1-formas de conexão e (ω i ) as 1-formas duais associadas. Mostre que valem as seguintes igualdades ω 13 ω 23 = Kω 1 ω 2 dω 12 = Kω 1 ω 2 2Hω 1 ω 2 = ω 13 ω 2 + ω 1 ω 23 K = E 2 [ω 12 (E 1 )] E 1 [ω 12 (E 2 )] ω 12 (E 1 ) 2 ω 12 (E 2 ) 2 onde K e H representam, respectivamente, as curvaturas Gaussiana e Média de S. 11. Com as mesmas notações do exercício anterior, suponha ainda que o referencial {E 1, E 2, E 3 } é principal, ou seja, E 1 e E 2 são direções principais em cada ponto de S. Mostre que valem as seguintes igualdades E 2 [κ 1 ] = (κ 1 κ 2 )ω 12 (E 1 ) E 1 [κ 2 ] = (κ 1 κ 2 )ω 12 (E 2 ) onde κ 1 e κ 2 são as curvaturas principais de S. 12. Seja S R 3 uma subvariedade mergulhada umbílica. Mostre que S tem curvatura Gaussiana constante não negativa. Mostre ainda que se K = 0, então S está contida em um plano e se K > 0, então S está contida em uma esfera de raio 1/ K. 13. Mostre que se F : S S é uma isometria entre duas subvariedades mergulhadas, d S (p, q) = d S (F(p), F(q)) 14. Seja F : S S uma isometria entre duas subvariedades mergulhadas. Tome agora um referencial ortonormal {E 1, E 2 } de S e o referencial correspondente de S { E1, E 2 }, Ei = df(e i ), i = 1, 2 Mostre que se ω 1, ω 2 e ω 12 indicam os duais e a 1-forma de conexão de S, então ω 1 = F (ω 1 ), ω 2 = F (ω 2 ), ω 12 = F (ω 12 ) 15. Seja F : S S uma isometria entre duas subvariedades mergulhadas. Mostre: K(p) = K(F(p)) para todo p S, onde K e K representam as curvaturas gaussianas de S e S, respectivamente. 16

17 16. Seja S uma subvariedade mergulhada do R 3. Sejam X e Y campos de vetores tangentes a S. Denotando por a derivada usual do R 3 e por a derivada covariante de S, mostre que vale a relação X Y = X Y+(A(X) Y)N onde A é o operador de Weingarten segundo uma normal unitária N de S. 17. Seja S uma subvariedade mergulhada do R 3 e ϕ : U R 2 S uma carta de S. Suponha que ϕ é ortogonal, isto é, F = ϕ u ϕ v = 0. Mostre que i) Os campos abaixo formam um referencial ortonormal em ϕ(u) E 1 = ϕ u E E 2 = ϕ v G ii) As 1-formas duais correspondentes são dadas por ω 1 = Edu ω 2 = Gdv iii) A 1-forma de conexão correspondente é dada pela expressão ω 12 = ( E) v du+ ( G) u dv G E 18. Seja S uma subvariedade mergulhada do R 3. Mostre que se p S e v T p S, existe uma (única) geodésica maximal γ : I R S tal que { γ(0) = p γ (0) = v Denote ainda por γ v essa geodésica maximal definida em ] ǫ, ǫ[. Mostre que γ a v (t) = γ v (at), t ] ǫ/a, ǫ/a[ onde a > 0 é uma constante. 19. Sejam S uma subvariedade mergulhada do R 3 e p S. Seja (e 1, e 2 ) uma base ortonormal de T p S e denote por γ v a (única) geodésica de S com γ v (0) = p e γ v (0) = v T ps. Seja ainda S ǫ =]0, ǫ[ ] π, π[. Defina a aplicação ϕ : S ǫ S ϕ(u, v) = γ cos(v)e1 +sin(v)e 2 (u) Mostre que, para um certo ǫ > 0, ϕ é uma carta de S com E = 1, F = 0, G > 0 e: i) γ(u) = ϕ(u, v 0 ) minimiza o comprimento de arco entre p e q = ϕ(u 0, v 0 ). ii) Se α é uma curva em S unindo p e q e ainda L(γ) = L(α), então α(u) = ϕ(a 1 (u), v 0 ) = γ(a 1 (u)) 17

18 20. Seja S uma subvariedade mergulhada do R 3 e d a distância intrínseca de S. Mostre que (S, d) é um espaço métrico. 21. Seja S R 3 uma subvariedade mergulhada conexa. Tome p S e {e 1, e 2 } um referencial ortonormal de T p S. Considere ainda duas isometrias F, G : S S tais que F(p) = G(p) e df p (e i ) = dg p (e i ) para todo i = 1, 2. Mostre que F = G. 22. Se S é uma subvariedade mergulhada do R 3 compacta, conexa, orientável e com K > 0, mostre que S é homeomorfa à esfera. 23. Se S é uma subvariedade mergulhada do R 3 compacta, conexa, orientável e de gênero g = 1, mostre que existe p S tal que K p = 0. Se, por outro lado, o gênero de S satisfaz g 2, mostre que existe p S tal que K p < Seja S uma subvariedade mergulhada do R 3 compacta, conexa, orientável. Mostre que são equivalentes: i) Existe X X(S) unitário; ii) χ(s) = 0; iii) S é difeomorfa ao toro. 25. Se uma subvariedade mergulhada S é compacta, conexa e orientável com K = 0, mostre que S é difeomorfa ao toro. g = 2 χ(s) 2 gomes@ime.usp.br IME-USP 18