Viagens pelos Mundos Planos
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- Victorio Caminha Mangueira
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1 Viagens pelos Mundos Planos Marcelo Viana IMPA - Rio de Janeiro Viagens pelos Mundos Planos p.1/47
2 Algumas superfícies (não planas) Esfera ( ) Toro ( ) lacements Bitoro ( ) g replacements Viagens pelos Mundos Planos p.2/47
3 Uma "esfera" plana: o cubo Superfície plana: Os ângulos internos de qualquer triângulo na superfície somam 180 graus. Qualquer triângulo?... Viagens pelos Mundos Planos p.3/47
4 E nas arestas? Toda a aresta pode ser "desdobrada" sem deformar a superfície: As geodésicas ("caminhos mais curtos") correspondem a segmentos de reta na versão desdobrada. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus. Viagens pelos Mundos Planos p.4/47
5 E nos vértices? Definimos adjacentes a = soma dos ângulos das faces. No caso do cubo. PSfrag replacements Sempre que, o vértice não pode ser desdobrado" sem deformar ou rasgar a superfície. Viagens pelos Mundos Planos p.5/47
6 Triângulos num vértice PSfrag replacements topo lado frente Viagens pelos Mundos Planos p.6/47
7 Triângulos num vértice PSfrag replacements topo lado frente Viagens pelos Mundos Planos p.7/47
8 Triângulos num vértice PSfrag replacements topo lado frente Viagens pelos Mundos Planos p.8/47
9 Soma dos ângulos internos PSfrag replacements topo lado frente A soma dos ângulos internos deste hexágono plano é logo a soma dos ângulos internos do triângulo no cubo é. Qual é a regra geral? Viagens pelos Mundos Planos p.9/47
10 Teorema de Gauss-Bonnet Numa superfície diferenciável, a integral da curvatura gaussiana é igual a, onde é a característica de Euler da superfície. Versão para superfícies planas: A soma é igual a são os vértices da superfície., onde Superfície plana: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 graus, exceto num número finito de pontos, os vértices, onde se concentra toda a curvatura da superfície. Viagens pelos Mundos Planos p.10/47
11 Passeios geodésicos Consideremos linhas "retas" (geodésicas) com uma direção fixada, a partir pontos da superfície. Viagens pelos Mundos Planos p.11/47
12 Passeios geodésicos Consideremos linhas "retas" (geodésicas) com uma direção fixada, a partir pontos da superfície. Viagens pelos Mundos Planos p.12/47
13 Passeios geodésicos Queremos entender o comportamento das geodésicas, o modo como se enroscam" na superfície. Por exemplo: Quando é que as geodésicas são fechadas? Quando é que são densas na superfície? Viagens pelos Mundos Planos p.13/47
14 Motivação O fluxo geodésico em superfícies planas se relaciona com: Transformações de intercâmbio de intervalo Dinâmica de folheações mensuráveis Expoentes de Lyapunov de cociclos lineares Espaços e fluxos de Teichmüller Espaços de módulos de estruturas complexas Diferenciais quadráticas Expansões em frações contínuas Bilhares em mesas poligonais Operadores de renormalização... Viagens pelos Mundos Planos p.14/47
15 Passeios geodésicos À primeira vista, o comportamento não depende muito do ponto de partida: as geodésicas permanecem paralelas. Viagens pelos Mundos Planos p.15/47
16 Passeios geodésicos À primeira vista, o comportamento não depende muito do ponto de partida: as geodésicas permanecem paralelas. Mas a presença de vértices pode tornar a situação muito mais complicada! Viagens pelos Mundos Planos p.16/47
17 O toro plano Um único vértice, com ents O toro plano não mergulha em.. Viagens pelos Mundos Planos p.17/47
18 Passeios geodésicos no toro V H Geodésicas numa dada direção permanecem paralelas. Viagens pelos Mundos Planos p.18/47
19 Passeios geodésicos no toro PSfrag replacements O seu comportamento pode ser descrito usando o vetor onde, comprimento números de voltas" de um segmento de em torno do toro, na horizontal e na vertical. Viagens pelos Mundos Planos p.19/47
20 Passeios geodésicos no toro PSfrag replacements Teorema. 1. Se é racional então toda a geodésica é fechada. 2. Se é irracional então toda a geodésica é densa e, mesmo, uniformemente distribuída (o fluxo é unicamente ergódico). Viagens pelos Mundos Planos p.20/47
21 Uma construção mais geral Consideremos qualquer polígono no plano limitado por um certo número de pares de segmentos (não-adjacentes) paralelos e com o mesmo comprimento. Identificando os segmentos em cada par obtemos uma superfície plana. Viagens pelos Mundos Planos p.21/47
22 Um exemplo Consideremos o octógono regular: Sfrag replacements Viagens pelos Mundos Planos p.22/47
23 Um exemplo Consideremos o octógono regular: Sfrag replacements Viagens pelos Mundos Planos p.23/47
24 Um exemplo Consideremos o octógono regular: Sfrag replacements Viagens pelos Mundos Planos p.24/47
25 Um exemplo Consideremos o octógono regular: Sfrag replacements Viagens pelos Mundos Planos p.25/47
26 Um exemplo Consideremos o octógono regular: Sfrag replacements Viagens pelos Mundos Planos p.26/47
27 Um exemplo Consideremos o octógono regular: Sfrag replacements A superfície plana tem um só vértice Logo (por Gauss-Bonnet) tem gênero Como pode o ângulo ser maior que, com. : bitoro plano.?? Viagens pelos Mundos Planos p.27/47
28 Superfícies de translação As superfícies planas obtidas a partir de polígonos têm estrutura adicional: "rosa dos ventos" definida globalmente. S E O N? N N N N N a N Viagens pelos Mundos Planos p.28/47
29 Superfícies de translação As superfícies planas obtidas a partir de polígonos têm estrutura adicional: "rosa dos ventos" definida globalmente. S E O N? S S S entsesse não é o caso do cubo: S S S Viagens pelos Mundos Planos p.29/47
30 Fluxos de translação Tal como no caso do toro, consideremos geodésicas com uma dada direção, a partir de pontos da superfície. Viagens pelos Mundos Planos p.30/47
31 placements Fluxos de translação A cada segmento geodésico de comprimento associar um vetor de entradas inteiras podemos onde número de voltas" do segmento na direção do ésimo lado do polígono. Viagens pelos Mundos Planos p.31/47
32 Ciclos assintóticos S. Schwartzmann (1957): O ciclo assintótico de um par (superfície, direção) é o limite Este vetor descreve o número médio de voltas" das geodésicas em torno dos diferentes lados do polígono, por unidade de comprimento. Teorema (Kerckhoff, Masur, Smillie 1986). Para qualquer superfície de translação e quase toda a direção, o fluxo geodésico é unicamente ergódico. Em particular, o ciclo assintótico existe e toda a geodésica é densa. Viagens pelos Mundos Planos p.32/47
33 Desvios do limite Experimentos numéricos sugerem que as diferenças se distribuem ao longo de uma direção Sfrag replacements e a sua ordem de magnitude é para algum. Viagens pelos Mundos Planos p.33/47
34 Desvios do limite Refinando os experimentos, se verifica que as diferenças de segunda ordem se distribuem ao longo de uma direção e a sua ordem de magnitude é para algum. O mesmo se observa com as diferenças de ordem superior: Conjectura (Zorich-Kontsevich e números 1996). Existem tais que,,..., em onde é uma função limitada. Viagens pelos Mundos Planos p.34/47
35 Conjectura de Zorich Kontsevich Teorema (Zorich 1997). Para quase todo o par (superfície, direção) existem subespaços tais que e números reais para todo ag replacements Viagens pelos Mundos Planos p.35/47
36 Conjectura de Zorich Kontsevich Conjectura (Zorich, Kontsevich 1996). (isso implica para ). Viagens pelos Mundos Planos p.36/47
37 Conjectura de Zorich Kontsevich Conjectura (Zorich, Kontsevich 1996). (isso implica para ). Teorema (Veech 1984).. Teorema (Forni 2002).. Viagens pelos Mundos Planos p.37/47
38 Conjectura de Zorich Kontsevich Conjectura (Zorich, Kontsevich 1996). (isso implica para ). Teorema (Veech 1984).. Teorema (Forni 2002).. Teorema (Avila, Viana 2004). A conjectura de ZK é verdadeira. Viagens pelos Mundos Planos p.38/47
39 The End That s not all, folks! Viagens pelos Mundos Planos p.39/47
40 Seja o número de lados do polígono. Aparentemente, para para para para tem-se tem-se tem-se tem-se (todos racionais...) Viagens pelos Mundos Planos p.40/47
41 Seja o número de lados do polígono. Aparentemente, para para para para para tem-se tem-se tem-se tem-se (todos racionais...) tem-se ou (provavelmente são irracionais...) Conjectura (Kontsevich-Zorich). é racional. Viagens pelos Mundos Planos p.41/47
42 Bilhares Modelam movimento de partículas numa região do plano, com velocidade constante e choques elásticos no bordo: Vamos focalizar mesas poligonais, cujos bilhares se relacionam diretamente com fluxos geodésicos em superfícies planas. Viagens pelos Mundos Planos p.42/47
43 Esferas planas Colando 2 triângulos idênticos ao longo do bordo obtemos uma esfera plana com 3 vértices: Viagens pelos Mundos Planos p.43/47
44 Bilhares em mesas triangulares Bilhar numa mesa triangular fluxo geodésico numa esfera plana com três vértices. Viagens pelos Mundos Planos p.44/47
45 Mesas triangulares Bilhar numa mesa triangular fluxo geodésico numa esfera plana com três vértices. Viagens pelos Mundos Planos p.45/47
46 Um problema em aberto Bilhar numa mesa triangular fluxo geodésico numa esfera plana com três vértices. Não é sabido se numa esfera plana com três vértices sempre existe alguma geodésica fechada. Isto é: todo bilhar em mesa triangular tem trajetória fechada? Quando os ângulos são agudos, a resposta é sim. Viagens pelos Mundos Planos p.46/47
47 Esferas diferenciáveis Para esferas diferenciáveis com curvatura positiva sempre existem pelo menos três geodésicas fechadas: Viagens pelos Mundos Planos p.47/47
Viagens pelos Mundos Planos
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