Mauricio A. Vilches Departamento de Análise IME-UERJ

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1 INTRODUÇÃO À TOPOLOGIA ALGÉBRICA Mauricio A. Vilches Departamento de Análise IME-UERJ

2 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total

3 3 PREFÁCIO Um dos problemas básicos da Topologia é saber se dois espaçõs são homeomorfos ou não. Na verdade não existem métodos gerais para resolver esta questão. Verificar se dois espaçõs são homeomorfos consiste em encontrar uma função contínua, bijetiva com inversa contínua, entre ambos os espaços. Agora provar que dois espaçõs não são homeomorfos é muito mais complicado pois é necessário provar que não existe nenhuma função contínua, bijetiva com inversa contínua, entre ambos os espaços. A Topologia Algébrica naceu nas últimas décadas do século XIX, quando no ano de 1894 o eminente matemático francês Henri Poincaré apresentou uma série de trabalhos onde fundamentou a Topologia Algébrica, com o nome de Analisys Situs. Dentre as descobertas de Poincaré, destacam-se os conceitos de homotopia e de grupo fundamental, além de alguns teoremas, muitos dos quais somente foram provados muitos anos depois 1931, essencialmente por de de Rham. Poincaré, entendeu que existia uma profunda relação entre a estrutura topológica de um espaço e seu grupo fundamental. Ele, entre outras coisas, tentava estabelecer quando duas superfícies são homeomorfas ou não. A idéia fundamental da Topologia Algébrica é associar, de forma unívoca a espaços e propriedades topológicas, estruturas e propriedades algébricas. A vantagem deste tratamento é a riqueza que possui a Álgebra, obtida através de milênios, o que não acontece com a Topologia. Por exemplo, nos espaços topológicos, os seus elementos não podem ser somados, já a soma de grupos é um grupo. Nestas notas, que são introdutórias, associaremos a espaços topológicos, funções contínuas e homeomorfismos, grupos, homomorfismos de grupos e isomorfismos de grupos de tal forma que estudando as propriedades algébricas possamos extrair consequências sobre a geometria e a topologia do espaço em questão. Por exemplo, é posível provar que o toro e a garrafa de Klein não são homeomorfas, pois seus grupos fundamentais não são isomorfos. Já provar que S 2 e S 3 não são homemorfas

4 4 é muito mais difícil e com os conceitos estudados nestas notas não será possível provar este fato. Nestas notas, exigiremos conhecimentos sólidos de Topologia Geral e o mínimo em relação aos conhecimentos de Teoria dos Grupos. Desejo agradecer ao meu aluno André T. Machado pela motivação de fazer estas notas e de forma muito especial a minha colega professora Maria Luiza Corrêa pela leitura rigorosa dos mauscritos, além dos inúmeros comentários e observações, os quais permitiram dar clareza aos tópicos estudados. Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabilidade dos autores. Mauricio A. Vilches Rio de Janeiro - Brasil

5 Conteúdo 1 HOMOTOPIA Introdução Propriedades das Homotopias Homotopia e Campos de Vetores na Esfera Homotopia Relativa Tipo de Homotopia Exemplos Espaços Contráteis Retratos Homotopia e Extensão de Funções Homotopia de Caminhos Exercícios GRUPO FUNDAMENTAL Introdução Mudança do Ponto Base Grupos de Homotopias Abelianos Homomorfismo Induzido Espaços Simplesmente Conexos Exercícios GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO Introdução Levantamento de Caminhos O Grupo Fundamental do Círculo Algumas Consequências do Isomorfismo Grupo Fundamental do Espaço Projetivo Real Introdução O Grupo Fundamental de RP n Geradores do grupo RP n, p Aplicações do Teorema de Borsuk-Ulam Grupo Fundamental de Grupos Ortogonais O grupo SO

6 6 CONTEÚDO O Grupo Fundamental de SO Exercícios ESPAÇOS DE RECOBRIMENTOS Introdução Recobrimentos A Faixa de Möbius Recobrimentos de G-espaços Espaços Lenticulares Levantamentos Exercícios RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL Critério Geral de Levantamento Grupo Fundamental e G-espaços Transformações de Recobrimentos Aplicações Recobrimentos de S n, n > Recobrimentos dos Espaços Lenticulares Recobrimentos do Espaço Projetivo Real Recobrimentos do Círculo Recobrimentos do Toro O n-toro Recobrimentos da Faixa de Möebius Recobrimentos da Garrafa de Klein Ação do Grupo fundamental sobre as Fibras Exercícios TEORIA DE GRUPOS Grupos Livres Produto Livre de Grupos Produto Amalgamado de Grupos Propriedade Universal do Produto Amalgamado TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN Introdução Teorema de Seifert-Van Kampen Representações Primeiras Aplicações Interpretação Geométrica do Resultado Geradores Segunda Aplicação Soma Conexa de Superfícies Grupo Fundamental de uma Superfície Compacta

7 CONTEÚDO Superfícies Compactas Orientáveis Superfícies Compactas Não Orientáveis Aplicação Bibliografia 185

8 8 CONTEÚDO

9 Capítulo 1 HOMOTOPIA 1.1 Introdução Nos capítulos seguintes, X e Y são espaços topológicos; I = [0, 1] R com a topologia induzida pela topologia usual de R e todas as funções consideradas são contínuas. Definição 1.1. Sejam f, g : X Y funções, então: 1. f e g são ditas homotópicas se existe uma função contínua: H : X I Y tal que Hx, 0 = fx, Hx, 1 = gx para todo x X. 2. A função H é dita homotopia entre f e g. Observação A notação que se usa para indicar que f é homotópica a g é: H : f g. 9

10 10 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA 2. A homotopia entre f e g é uma família a um parâmetro de funções contínuas entre X e Y, isto é, para cada t I: f t : X Y é contínua, onde f t x = Hx, t. 3. Intuitivamente, a homotopia deforma continuamente f em g. Exemplo 1.1. [1] Sejam X = {a}, Y = {a, b} com a topologia discreta e f, g : X Y definidas por fa = a e ga = b; então f não é homotópica a g. [2] Sejam f, g : R R 2 definidas por fx = x, x 2 e gx = x, x; logo f g. De fato, definamos a seguinte homotopia: H : R I R 2 Hx, t = x, x 2 t x 2 + t x. Claramente, H é contínua, Hx, 0 = fx e Hx, 1 = gx para todo x R. Logo: f g. Figura 1.1: Homotopia entre f e g

11 1.2. PROPRIEDADES DAS HOMOTOPIAS Propriedades das Homotopias Sejam f, g : X Y funções constantes; então, não necessariamente, temos que f g. Proposição 1.1. Sejam f, g : X Y tais que fx = y 0 e gx = y 1 para todo x X; então f g se, e somente se y 0 e y 1 pertencem à mesma componente conexa por caminhos. Prova: Denotemos H : f g; então α : I Y definida por αt = Hx, t é um caminho tal que α0 = y 0 e α1 = y 1. Seja α : I Y um caminho ligando y 0 a y 1 ; definamos a seguinte homotopia: H :X I Y x, t αt. Então Hx, 0 = α0 = y 0 e Hx, 1 = α1 = y 1 ; logo : H : f g. Proposição 1.2. Sejaα : I X um caminho; então α c 0, onde c 0 é o caminho constante, definido por c 0 t = α0 para todo t I. Prova: De fato, consideremos: H :I I X t, s α 1 s t. Logo, H é contínua e Ht, 0 = αt e Ht, 1 = α0 = c 0 t. Proposição 1.3. Se f : R n X é contínua, então f c 0, onde c 0 x = f0 para todo x R n. Prova: De fato, consideremos: H :R n I X x, t f 1 t x. Logo, H é contínua; Hx, 0 = fx e Hx, 1 = f0 = c 0 x.

12 12 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA Proposição 1.4. Sejam f, g : X R n contínuas; então f g. Prova: Consideremos: H :X I R n x, t 1 t fx + t gx. Logo, H é contínua, Hx, 0 = fx e Hx, 1 = gx. Observação 1.1. Em geral, se E é um espaço vetorial normado e f, g : X E são contínuas, então f g. De fato, podemos definir a homotopia: H :X I E x, t 1 t fx + t gx. Esta homotopia é dita linear. A propriedade f g ainda é válida se substituirmos E por um subconjunto convexo C de E. Proposição 1.5. Poincaré -Bohl Sejam E um espaço vetorial normado e f, g : X E {0} contínuas tais que fx gx < fx, para todo x X; então f g. Prova: Notemos que a origem não pertence ao segmento de reta fxgx; caso contrário, poderíamos ter: logo, consideramos a homotopia linear: para todo x, t X I. fx gx = fx + gx > fx ; Hx, t = 1 t fx + t gx,

13 1.3. HOMOTOPIA E CAMPOS DE VETORES NA ESFERA 13 Proposição 1.6. Denotemos por C X, Y o conjunto de todas as funções f : X Y contínuas. Ser homotópica é uma relação de equivalência em C X, Y. Prova: A única propriedade que não é imediata é a transitiva. Sejam H : f g e K : g h as respectivas homotopias; devemos provar que existe: Q : f h. Definamos Q : X I Y por: { Hx, 2 t se 0 t 1/2 Qx, t = Kx, 2 t 1 se 1/2 t 1. Q é contínua, Qx, 0 = Hx, 0 = fx e Qx, 1 = Kx, 1 = hx, para todo x X. Proposição 1.7. Sejam f 0, f 1 C X, Y e g 0, g 1 C Y, Z tais que f 0 f 1 e g 0 g 1. Então g 0 f 0 g 1 f 1, isto é, a composição de funções preserva as homotopias. Prova: Sejam H : f 0 f 1 e K : g 0 g 1 as respectivas homotopias; então definamos Q : X I Z por: Qx, t = KHx, t, t. Q é contínua e para todo x X, temos que: Qx, 0 = KHx, 0, 0 = Kf 0 x, 0 = g 0 f 0 x, Qx, 1 = KHx, 1, 1 = Kf 1 x, 1 = g 1 f 1 x. 1.3 Homotopia e Campos de Vetores na Esfera Seja: S n = {x R n+1 / x = 1} R n+1 a esfera unitária com a topologia induzida pela topologia usual de R n+1.

14 14 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA Proposição 1.8. Sejam f, g : S n S n contínuas tais que fx gx, para todo x S n ; então: Prova: Consideremos a homotopia: Hx, t = f g. 1 t fx + t gx 1 t fx + t gx. H é bem definida e contínua pois fx gx, para todo x S n, o que equivale ao segmento de reta fxgx não conter a origem. Por outro lado, Hx, 0 = fx e Hx, 1 = gx, para todo x S n. fx Hx,t O S n gx fx Figura 1.2: Homotopia entre f e g Definição 1.2. Denotemos e definimos a função antípoda, por: a :S n S n x x. Corolário 1.1. Seja f : S n S n contínua: 1. Se f não possui pontos fixos, então f a. 2. Se fx x, para todo x S n, então f id S n. 3. Se n é ímpar, então a id S n.

15 1.3. HOMOTOPIA E CAMPOS DE VETORES NA ESFERA 15 Prova: 1. De fato, se f não possui pontos fixos, então fx x, para todo x S n ; logo fx ax. Pela proposição anterior, temos que f a 2. fx x, para todo x S n ; logo fx id S nx. Pela proposição anterior, temos que f id S n 3. Se n = 2 k 1,então S n R 2k = C k ; denotemos por z i = x i, y i C; logo: z = z 1, z 2,..., z k S n z z z k 2 = 1. Por outro lado, sabemos que o grupo S 1 atua sobre S n se n é ímpar; isto é, para todo u S 1 e todo z S n temos que u z = u z 1, u z 2,..., u z k S n. Definamos: Hz, t = expπ i t z; logo, H é contínua; Hz, 0 = z e Hz, 1 = z = az. Corolário 1.2. Se f : X S n é contínua e não sobrejetiva, então f c, onde c é uma função constante. Prova: Como f não é sobrejetiva, então existe y S n tal que fx y, para todo x X. Seja c : X S n tal que cx = y, para todo x X; logo fx cx, isto é, f c. Definição Um campo de vetores contínuos tangentes a S n é uma função contínua: ν : S n R n+1 tal que < νx, x >= 0, para todo x S n, onde <, > é o produto interno euclidiano em R n+1.

16 16 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA 2. Se νx 0 = 0, então x 0 é dita singularidade do campo ν. x ν x n S Figura 1.3: Campo tangente a S n Observação Se n é ímpar, então existe um campo de vetores contínuo, sem singularidades, tangente a S n. De fato: como antes consideremos S n R 2k e definamos: νx 1, x 2,..., x k, y 1, y 2,..., y k = y 1, y 2,..., y k, x 1, x 2,..., x k. ν é um campo contínuo, sem singulariades e tangente a S n. 2. Se existe um campo de vetores contínuo, sem singularidades e tangente a S n, então a id S n. De fato. Seja ν o campo e definamos f : S n S n por: fx = x + νx x + νx. f é contínua e fx x; logo fx ax e f a. Por outro lado, seja Hx, t = x + t νx x + t νx, H é bem definida; Hx, 0 = x, Hx, 1 = fx e f id S n. Logo, por transitividade, a id S n.

17 1.4. HOMOTOPIA RELATIVA 17 Resumindo: Corolário 1.3. Em S n, temos: 1. Se n é ímpar, então a id S n. 2. Se existe um campo de vetores contínuo sem singularidades em S n, então: a id S n. Observação 1.2. É possível provar, utilizando conceitos mais avançados, que a id S n, implica em n ímpar. 1.4 Homotopia Relativa Sejam A X, f, g : X Y contínuas tais que fa = ga, para todo a A. Definição 1.4. f é homotópica a g relativamente a A se existe homotopia: H :X I Y tal que Hx, 0 = fx, Hx, 1 = gx, Ha, t = fa = ga para todo a A e x X. Observação A notação de f ser homotópica a g relativamente a A é: f A g. 2. Durante a deformação, o conjunto A permanece invariante.

18 18 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA 3. Se A = ; então a homotopia relativamente a A é a homotopia definida anteriormente. Exemplo 1.2. [1] Sejam f, g : [0, 1] S 2 definidas por: ft = senπ t, 0, cosπ t gt = 0, senπ t, cosπ t. 1. Se A = {1/2} I, então f não pode ser homotópica a g, relativamente a A. De fato, se f A g, necessariamente deveríamos ter f1/2 = g1/2, o que é falso. 2. Se A = {0, 1} I, então f A g. De fato, definamos H : I I S 2 por: Ht, s = coss π/2 senπ t, sens π/2 senπ t, cosπ t. Note que Ht, s = 1, para todo t, s I I e: Ht, 0 = ft Ht, 1 = gt H0, s = f0 = H1, s = g1. Figura 1.4: A homotopia H f e g em vermelho

19 1.5. TIPO DE HOMOTOPIA 19 [2] Denotemos por R n = R n {0} e seja: Então r S n id R n. De fato, definamos H : R n I R n por: r :R n R n x x/ x. Hx, t = 1 t x + t rx. Logo, Hx, 0 = x, Hx, 1 = rx. Em particular, para todo x 0 S n, temos: Hx 0, t = 1 t x 0 + t rx 0 = 1 t x 0 + t x 0 = x Tipo de Homotopia Neste parágrafo introduziremos um conceito mais fraco que o de homeomorfismo, o qual nos permitirá diferenciar espaços. Definição 1.5. Os espaços X e Y tem o mesmo tipo de homotopia ou são homotópicamente equivalentes, se existem contínuas, tais que: Observação 1.4. f : X Y e g : Y X, g f id X e f g id Y. 1. As funções f e g são ditas inversas homotópicas. 2. Denotaremos os espaços com o mesmo tipo de homotopia por: X Y. 3. Se X e Y são homeomorfos, então X Y. 4. A recíproca é, claramente, falsa. 5. Ser homotopicamente equivalente é uma relação de equivalência.

20 20 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA 1.6 Exemplos [1] R n {0}. De fato, considere as funções f : R n {0} tal que fx = 0 para todo x R n e g : {0} R n a inclusão. Por outro lado, seja H : R n I R n definida por: Hx, t = t x; H é contínua; Hx, 0 = 0 = g f x e Hx, 1 = x = id X x; então H : g f id X. Como f g 0 = f0 = 0 = id {0} 0, f g = id {0}. [2] S 1 R S 1 {0} = S 1. Considere f : S 1 R S 1 {0} definida por fx, t = x, 0 e g : S 1 {0} S 1 R a inclusão, isto é gx, 0 = x, 0. Por outro lado, seja H : S 1 R I S 1 R definida por: logo, H é contínua e: Hx, t, s = x, t s; Hx, t, 0 = x, 0 = g f x, t Hx, t, 1 = x, t = id S 1 Rx, t. Então H : g f id S 1 R. Note que f g x, 0 = x, 0 = id S 1 Rx, 0; logo: f g = id S 1 R. S1 x IR S 1 x {0} Figura 1.5: Equivalência entre o cilindro S 1 R e o círculo S 1

21 1.6. EXEMPLOS 21 [3] S n R n+1 {0}. De fato, considere as seguintes funções f : R n+1 {0} S n e g : S n R n+1 {0} tais que fx = x/ x e g é a inclusão natural. Por outro lado, seja H : S n I S n definida por: Hx, t = 1 t x + t fx; logo, H é contínua e: Hx, 0 = x = id S nx Hx, 1 = g f x. Então, H : g f id S n. Note que f g x = fx = x = id S nx; então: f g = id S n. [4] Sabemos que se p n = 0, 0,..., 1 S n, então S n {p n } é homeomorfo a R n, via projeção estereográfica. Logo, se p s = 0, 0,..., 1 S n, pelo ítem anterior: S n {p n, p s } = R n {0} S n 1. Logo: S n {p n, p s } S n 1. [5] Seja M a faixa de Möebius. Lembremos que M = Q /, onde Q = I I, I = [0, 1] e é a relação de equivalência 0, y 1, 1 y. Denotemos por: Σ = {[x, 1/2] / x [0, 1]}. Σ M é dito círculo central da faixa. Note que Σ = S 1, isto é Σ é homeomorfo a S 1.

22 22 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA Figura 1.6: Círculo central da faixa Definamos: f : M Σ f[x, y] = [x, 1/2]. f é bem definida, pois: f[1, 1 y] = [1, 1/2] = [1, 1 1/2] = [0, 1/2] = f[0, y]. Seja g : Σ M a inclusão; temos que: f g[x, 1/2] = [x, 1/2] = idσ [x, 1/2]. Definamos: H : M I M H[x, y], t = [1 t x, y + t x, 1/2].

23 1.6. EXEMPLOS /2 0 Figura 1.7: Equivalência entre a faixa e o círculo central H é contínua e bem definida. De fato: H[0, y], t = [1 t 0, y + t 0, 1/2] = [0, y t y + t/2] = [1, 1 y + t y t/2] = [1 t 1, 1 y + t 1, 1/2] = H[1, 1 y], t. Por outro lado: H[x, y], 0 = [x, y] = id M [x, y] H[x, y], 1 = [x, 1/2] = g f [x, y] = g f id M. Proposição 1.9. Seja [ X, Y ] o conjunto das classes de homotopias de funções contínuas de X em Y. Se X X e Y Y, então # [ X, Y ] = # [ X, Y ], onde # indica a cardinalidade do conjunto. Prova: Sejam Ψ : X X e Φ : Y Y equivalências homotópicas. Definamos: G : [ X, Y ] [ X, Y ] [ f ] [ Φ f Ψ ]. Claramente G é uma bijeção.

24 24 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA 1.7 Espaços Contráteis Definição 1.6. X é contrátil se X tem o mesmo tipo de homotopia que um ponto. Exemplo 1.3. [1] R n e B[x, r] são espaços contráteis. [2] Em geral, se E é um espaço vetorial normado, os conjuntos convexos de E são contráteis. Em particular, E é contrátil. [3] Seja X um espaço topológico e consideremos CX o cone de X. CX é contrátil. Para detalhes, veja [MV]. Definamos: H : CX I CX [x, t], s [x, 1 s t + s]. Logo, H[x, t], 0 = [x, t] = id CX [x, t] e H[x, t], 1 = [x, 1], onde [x, 1] é o vértice do cone. Proposição X é contrátil se, e somente se id X c, onde c : X X é a função constante cx = p, para todo x X. Prova: Se X {p}, existem f : X {p} e g : {p} X inversas homotópicas; então g f id X e g f = c. Se id X c, então id X e c são inversas homotópicas; logo X {p}. Proposição Se X é contrátil, então X é conexo por caminhos. Prova: Fixemos p X e seja H : id X c. Para cada x X definamos: α x :I X t Hx, t. Logo, α x é um caminho contínuo que liga x a p.

25 1.7. ESPAÇOS CONTRÁTEIS 25 Proposição Se X ou Y é contrátil, então, para toda f : X Y contínua: f c. Prova: Suponha X contrátil e H : id X c. Definamos: K : X I Y Kx, t = f Hx, t. Logo, Kx, 0 = f id X x = fx e Kx, 1 = fp = cx; então f c. Por outro lado, se Y é contrátil e H : id Y c 1, definamos: K : X I Y Kx, t = Hfx, t. Logo, Kx, 0 = fx e Kx, 1 = c 1 fx; então: f c 1. Corolário Se X é contrátil e Y é conexo por caminhos, então, para todas f, g : X Y contínuas, temos que f g. 2. Se Y é contrátil, então, qualquer que seja X e para todas f, g : X Y contínuas, temos que, f g. Prova: 1. Seja H : id X c, definamos: Kx, t = f Hx, t K : f c 1 Lx, t = g Hx, t L : g c 2, onde c 1 x = fp e c 2 x = gp, para todo x X. Como Y é conexo por caminhos, existe α caminho contínuo ligando fp e gp; definamos: Logo, c 1 c 2 e f g. G : Y I Y y, t αt.

26 26 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA 2. A prova é imediata. Proposição Se X é contrátil, então X Y Y, para todo Y. Em particular se Y também é contrátil, então X Y é contrátil. Prova: Seja H : id X c; denotemos por: pr 2 : X Y Y e i p : Y X Y, tal que pr 2 x, y = y e i p y = p, y. Então, temos que: ip pr 2 x, y = ip y e pr2 i p y = y = idy y. Definamos: G : X Y I X Y Gx, y, t = Hx, t, y. Logo, Gx, y, 0 = x, y = id X Y x, y e Gx, y, 1 = p, y = i p pr 2 x, y; então id X Y i p pr 2. Exemplo 1.4. [1] S 1 R n S 1 {0} = S 1, pois R n {0}. [2] Seja D 2 S 1, onde D 2 é um disco fechado no plano; então D 2 S 1 S 1. O espaço D 2 S 1 é dito toro sólido. 1.8 Retratos Definição 1.7. Seja A X. A é um retrato de X se existe r : X A contínua tal que com a inclusão i : A X, o seguinte diagrama comuta: X r A Isto é, r i = id A. A função r é dita retração entre X e A. i A id A

27 1.8. RETRATOS 27 Exemplo 1.5. [1] A esfera S n R n+1 é um retrato de R n+1 {0}. De fato, podemos definir a seguinte retração: r : R n+1 {0} S n x x x. [2] Seja M a faixa de Möebius; então Σ, o círculo central é um retrato de M. De fato, definamos: r : M Σ [x, y] [x, 1/2]. [3] S 1 {0} é um retrato de S 1 R. De fato, definamos: r : S 1 R S 1 {0} x, y, z x, y, 0. [4] Se A é um retrato de X, então A = {x X / rx = x}, onde r é a retração. Se X é de Hausdorff, temos que A é fechado em X. Definição 1.8. Seja A X. A é um retrato por deformação de X, se existe retração r : X A tal que: i r id X. Observação 1.3. Se A é um retrato por deformação de X, então existe homotopia: H :X I X Hx, 0 = x Hx, 1 A, para todo x X. Se A é um retrato por deformação de X, então A é um retrato de X.

28 28 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA Definição 1.9. Seja A X. A é um retrato por deformação forte de X, se existe retração r : X A tal que: i r A id X. Observação 1.4. Se A é um retrato por deformação forte de X, então existe homotopia: H :X I X Hx, 0 = x Hx, 1 A Ha, t = a, para todo a A e x X. Exemplo 1.6. [1] S n é um retrato por deformação forte de R n+1 {0}. Basta utilizar a retração definida anteriormente e utilizar uma homotopia linear. [2] Consideremos T o toro, como espaço quociente. Para detalhes, veja [MV]. Por comodidade, suponhamos que: onde: T = [ 1, 1] [ 1, 1] /, 1, y 1, y e x, 1 x, 1. Denotemos por X = T {[0, 0]}, x, y = max{ x, y }, para todo x, y R 2. Seja A = {[x, y] X / x, y = 1}. Afirmamos que A é um retrato por deformação forte de X. T A Figura 1.8: Os conjuntos T e A

29 1.8. RETRATOS 29 Fica como exercício provar que A é homeomorfo ao conjunto S: S A A Figura 1.9: Homeomorfismo entre A e S Consideremos a retração r : X A, definida por: x, y r[x, y] = [ x, y ]. Definamos a homotopia H : X I X por: H[x, y], t = [1 t x, y + t x, y x, y ]. Figura 1.10: A homotopia H H é bem definida. De fato:

30 30 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA t 1, y H[1, y], t = [1 t 1, y + 1, y ] = [1 t 1, y + t 1, y] = [1, y] = [ 1, y] = [1 t 1, y + = H[ 1, y], t. Analogamente, H[x, 1], t = H[x, 1], t. Por outro lado: t 1, y 1, y ] H[x, y], 0 = [x, y] x, y H[x, y], 1 = [ x, y ]. Se [x, y] A, então H[x, y], t = [x, y] para todo t I. Corolário 1.5. Se A é um retrato por deformação de X ou um retrato por deformação forte de X, então A X. Prova: De fato, existe H : i r id X e r i = id A. 1.9 Homotopia e Extensão de Funções A extensão de funções é um tema central na Topologia. O problema geral pode ser enunciado da seguinte forma: Sejam A X um subconjunto fechado e f : A Y contínua. É possível achar: contínua tal que: f : X Y f A = f? Em outras palavras, se i : A X é a inclusão, podemos obter o diagrama: A f Y i X f

31 1.9. HOMOTOPIA E EXTENSÃO DE FUNÇÕES 31 tal que f i = f? A seguir, estudaremos alguns casos particulares de extensão de funções. Note que um retrato é uma extensão contínua da identidade de A: A i X id A r A Proposição A seguintes afirmações são equivalentes: 1. A é um retrato de X. 2. Para todo espaço topológico Z, a função contínua f : A Z se estende continuamente a X. Prova: 1 2 Dada a retração r : X A, para f : A Z arbitrária, considere a extensão f = f r : X Z 2 1 Considere o diagrama comutativo: A f Z i X f Basta considerar Z = A e f = id A. Proposição Denotemos por B = B[0, 1] R n+1 ; lembremos que B = S n. As seguintes afirmações são equivalentes: 1. f c, onde c é uma função constante. 2. f : S n X contínua se estende continuamente a B. Prova: 1 2 Seja F : f c tal que cx = y 0, para todo x S n. Definamos: { y 0 se 0 x 1/2 fx = F x/ x, 2 2 x se 1/2 x 1.

32 32 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA f é contínua veja [MV]. Se x 0, então x/ x S n ; se 1/2 x 1, então 2 2 x I; se x = 1/2, então F x/ x, 1 = cx/ x = y 0 e se x = 1, então fx = F x, 0 = fx. 2 1 Considere o seguinte diagrama comutativo: S n f X i B f Como B é contrátil, existe homotopia H : f c 1. Definamos a homotopia K, considerando o seguinte diagrama comutativo: S n I i B I K H X Logo, K : f c. De fato, Kx, t = H i x, t e: Kx, 0 = H i x, 0 = Hx, 0 = f i x = fx Kx, 1 = H i x, 1 = Hx, 1 = c 1 i x = cx Homotopia de Caminhos Neste parágrafo estudaremos um caso especial de homotopia relativa. Este tipo de homotopia é fundamental nos próximos capítulos. Sejam α, β : I X caminhos contínuos tais que α1 = β0: α α1=β0 α0 β β1 Figura 1.11:

33 1.10. HOMOTOPIA DE CAMINHOS 33 Definição O produto dos caminhos α e β é denotado por α β e definido por: { α2 t se 0 t 1/2 α β t = β2 t 1 se 1/2 t 1. Observação Note que α β : I X é um caminho contínuo tal que α β0 = α0 e α β1 = β1. 2. Intuitivamente, para definir α β no intervalo I dobramos a velocidade de cada caminho, isto é, reparametrizamos os caminhos pelos homeomorfismos lineares: h 1 : [0, 1/2] [0, 1] t 2 t e h 2 : [1/2, 1] [0, 1] t 2 t 1. α β α1=β0 α0 β1 0 1/2 Figura 1.12: O caminho α β 1 3. Dados α, β, γ : I X caminhos, então: α β γ α β γ.

34 34 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA Definição Os caminhos α e β tais que α0 = β0 e α1 = β1 são ditos equivalentes se α β relativamente a {0, 1}. Denotaremos os caminhos equivalentes por α β. Então, se α β existe homotopia: H :I I X tal que Ht, 0 = αt, Ht, 1 = βt, H0, s = α0 = β0, H1, s = α1 = β1, s, t I. 1 α1=β1 s H 0 1 t α0=β0 Figura 1.13: Caminhos equivalentes Note que durante a homotopia, os extremos dos caminhos permanecem fixos. Em particular se α e β são caminhos fechados equivalentes, então existe homotopia H : I I X tal que: Ht, 0 = αt, Ht, 1 = βt, H0, s = H1, s = α0 = β0 = α1 = β1, s, t I. α x 0 β Figura 1.14: Caminhos fechados equivalentes

35 1.10. HOMOTOPIA DE CAMINHOS 35 Lema 1.1. Sejam α 0, α 1, β 0, β 1 : I X caminhos tais que α 0 α 1, β 0 β 1 e α 0 1 = β 0 1; então: α 0 β 0 α 1 β 1. β1 α 1 β0 α 0 Figura 1.15: Prova: Sejam F : α 0 α 1 e G : β 0 β 1 as homotopias respectivas; definamos H : I I X por: Ht, s = { F 2 t, s se 0 t 1/2 G2 t 1, s se 1/2 t 1. Claramente H é contínua. Por outro lado: Ht, 0 = = { F 2 t, 0 se 0 t 1/2 G2 t 1, 0 se 1/2 t 1 { α 0 2 t se 0 t 1/2 β 0 2 t 1 se 1/2 t 1 = α 0 β 0 t, e:

36 36 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA Ht, 1 = = { F 2 t, 1 se 0 t 1/2 G2 t 1, 1 se 1/2 t 1 { α 1 2 t se 0 t 1/2 β 1 2 t 1 se 1/2 t 1. = α 1 β 1 t. Por outro lado, H0, s = H1, s = x 0 Definição Seja α : I X um caminho ligando x 0 e x 1. O caminho inverso de α é denotado por α 1 e definido por: α 1 : I X t α1 t. x1 α x 0 α 1 Figura 1.16: α e α 1 Note que α 1 tem o mesmo percurso que α, mas se inicia em x 1 e termina em x 0.

37 1.11. EXERCÍCIOS Exercícios 1. Complete todos os detalhes das provas dos teoremas, proposições e lemas do capítulo. 2. Verifique que se X é contrátil, X Y é homeomofo a Y, para todo Y. 3. Seja X espaço topológico Hausdorff e A é um retrato de X, verifique que A é fechado em X. 4. Sob que condições a homotopia relativa é uma relação de equivalência? 5. Sejam X espaço topológico, A X, Y R n e f, g : X Y contínuas. Se para todo x X, fxgx Y e f A = g A, verifique que f A g. 6. Seja E um espaço vetorial normado. A E é dito estrela de vértice p se para todo X A o segmento de reta px A. Verifique que se A é uma estrela de vértice p, então A {p}. 7. Seja X espaço topológico Hausdorff e A é um retrato de X, verifique que A é fechado em X. 8. Verifique que, se r : X A é um retrato, então r é uma aplicação quociente. 9. Verifique que o círculo central Σ é um retrato por deformação forte da faixa de Möebius M. 10. Sejam f, g : X Y tais que f g. Verifique que para todo A X, temos f A g A. 11. Denotemos por: [ f ] = {g : X Y, g f} [ X, Y ] = { [ f ] / f : X Y } a classe de homotopia de f e o conjunto das classes de homotopias de funções contínuas de X em Y, respectivamente. Verifique que se C E conjunto convexo contido num espaço vetorial normado, então [ X, C ] = [c], onde c : X C é uma função constante.

38 38 CAPÍTULO 1. HOMOTOPIA 12. Sejam x 0, x 1 X. Denotemos por: ΩX, x 0, x 1 = {α : I X / α0 = x 0, α1 = x 1 }. Verifique que é uma relação de equivalência em ΩX, x 0, x Sejam f : X Y contínua e α, β : I X caminhos tais que α β esteja definido. Verifique que f α β f α f β.

39 Capítulo 2 GRUPO FUNDAMENTAL Muitas questões da Topologia são surpreendentemente fáceis de formular, porém muito difíceis de serem respondidas. Por exemplo, a esfera S 3 é homeomorfa a S 1 S 1 S 1 ou S 2 é homeomorfa ao toro T? A segunda questão pode ser respondida utilizando métodos da Topologia Geral, não a primeira. Neste parágrafo começaremos a relacionar a Topologia com a Álgebra. Construiremos para cada espaço topológico um grupo, o qual nos permitirá responder muitas questões deste tipo. 2.1 Introdução Com as notações do capítulo anterior. Denotaremos por: [α] = {β : I X / α0 = β0, α1 = β1, β α}. Definição 2.1. Fixemos x 0 X e denotemos por: X, x0 = {[α] / α : I X, α0 = α1 = x0 }, isto é, o conjunto das classes de homotopias de caminhos fechados em x 0. O ponto x 0 é dito base de X, x0. Dados [α], [β] X, x0 temos que α β 0 = α β 1 = x0. Logo α β é um caminho em X, fechado em x 0 ; então: [α β] X, x0. 39

40 40 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL Definição 2.2. Em X, x0 denotemos e definamos o seguinte produto por: : X,x0 π1 X, x0 π1 X, x0 [α], [β] [α] [β] = [α β]. Lema 2.1. Este produto em X, x0 está bem definido. Prova: Dados [α 0 ], [α 1 ], [β 0 ] e [β 1 ] X, x0 tais que [α0 ] = [α 1 ] e [β 0 ] = [β 1 ], provaremos que : [α 0 ] [β 0 ] = [α 1 ] [β 1 ]; equivalentemente, [α 0 β 0 ] = [α 1 β 1 ]; em outras palavras: Primeiramente escrevemos: e: α 0 β 0 t = α 1 β 1 t = α 0 β 0 α 1 β 1. { α 0 2 t se 0 t 1/2 β 0 2 t 1 se 1/2 t 1, { α 1 2 t se 0 t 1/2 β 1 2 t 1 se 1/2 t 1. Denotemos por F : α 0 α 1 e G : β 0 β 1 as respectivas homotopias; definamos: H : I I X por: Ht, s = { F 2 t, s se 0 t 1/2 G2 t 1, s se 1/2 t 1. H é contínua. Por outro lado: Ht, 0 = { { F 2 t, 0 se 0 t 1/2 G2 t 1, 0 se 1/2 t 1 = α 0 2 t se 0 t 1/2 β 0 2 t 1 se 1/2 t 1 = α 0 β 0 t,

41 2.1. INTRODUÇÃO 41 Ht, 1 = { { F 2 t, 1 se 0 t 1/2 G2 t 1, 1 se 1/2 t 1 = α 1 2 t se 0 t 1/2 β 1 2 t 1 se 1/2 t 1 = α 1 β 1 t. e H0, s = H1, s = x 0. Teorema 2.1. X, x0, com o produto definido por 2.2 é um grupo, isto é, satisfaz às seguintes propiedades: 1. Associatividade : Para todo [α], [β], [γ] X, x0 temos que: [α] [β] [γ] = [α] [β] [γ]. 2. Elemento neutro : Existe [e] X, x0 tal que: [e] [α] = [α] [e] = [α], para todo [α] X, x0. 3. Elemento inverso : Dado [α] X, x0, existe [α] 1 X, x0 tal que: [α] [α] 1 = [α] 1 [α] = [e]. Prova: Associatividade: Provaremos a associatividade do produto com o máximo de detalhes. Provaremos que [α] [β] [γ] = [α] [β] [γ], isto é: α β γ α β γ. Primeiramente escrevamos α β γt : α β γt = {α β2 t se 0 t 1/2 γ2 t 1 se 1/2 t 1 = α4 t se 0 t 1/4 β4 t 1 se 1/4 t 1/2 γ2 t 1 se 1/2 t 1.

42 42 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL 0 α 1/4 β 1/2 γ 1 Figura 2.1: α β γ esquematicamente Analogamente, escrevamos α β γ t: α β γ t = { α2 t se 0 t 1/2 β γ2 t 1 se 1/2 t 1 = α2 t se 0 t 1/2 β4 t 2 se 1/2 t 3/4 γ4 t 3 se 3/4 t 1. 0 α 1/2 β 3/4 γ 1 Figura 2.2: α β γ esquematicamente Para determinar a homotopia entre α β γ e α β γ, juntaremos os esquemas anteriores: 1 α 1/2 β 3/4 γ s t 0 α 1/4 β 1/2 γ 1 Figura 2.3: Homotopia entre α β γ e α β γ Notemos que: 1. Para s = 0, temos αt com t [0, 1/4], βt com t [1/4, 1/2] e γt com t [1/2, 1]. 2. Para s = 1, temos αt com t [0, 1/2], βt com t [1/2, 3/4] e γt com t [3/4, 1].

43 2.1. INTRODUÇÃO 43 Determinemos os segmentos de reta que ligam os pontos 1/4, 0 a 1/2, 1 e 1/2, 0 a 3/4, 1: 1. t = s + 1/4 é o segmento de reta que liga 1/4, 0 a 1/2, t = s + 2/4 é o segmento de reta que liga 1/2, 0 a 3/4, 1. Então, para s arbitrário, devemos ter: αt com t [0, s + 1/4] βt com t [s + 1/4, s + 2/4] γt com t [s + 2/4, 1]. Consideremos os seguintes homeomorfismos: h 1 : [0, s + 1/4] [0, 1], h 2 : [s + 1/4, s + 2/4] [0, 1], h 3 : [s + 2/4, 1] [0, 1] definidos por h 1 t = 4 t/s + 1, h 2 t = 4 t s 1 e h 3 t = s 4 t + 2/s 2, respectivamente. Finalmente, definamos a homotopia H : I I X por: αh 1 t se 0 t s + 1/4 Ht, s = βh 2 t se s + 1/4 t s + 2/4 γh 3 t se s + 2/4 t 1. H é contínua, e: α4 t se 0 t 1/4 Ht, 0 = β4 t 1 se 1/4 t 1/2 γ2 t 1 se 1/2 t 1 = α β γt, α2 t se 0 t 1/2 Ht, 1 = β4 t 2 se 1/2 t 3/4 γ4 t 3 se 3/4 t 1 = α β γ t,

44 44 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL H0, s = H1, s = x 0 ; logo α β γ α β γ, isto é: [α] [β] [γ] = [α] [β] [γ]. Elemento neutro : Seja e x0 : I X tal que e x0 x = x 0. Afirmamos que: para todo [α] X, x0. [e x0 ] [α] = [α] [e x0 ] = [α], Provaremos que [α] [e x0 ] = [α], isto é α e x0 α. De forma análoga à associatividade: { α2 t se 0 t 1/2 α e x0 t = x 0 se 1/2 t 1 Consideramos o seguinte diagrama: 1 α s 0 α 1/2 ex 1 0 t Figura 2.4: Homotopia entre e x0 α e α Como antes: 1. O segmento de reta que liga os pontos 1/2, 0 a 1, 1 é t = s + 1/2. 2. Consideramos o homeomorfismo: h : [0, s + 1/2] [0, 1] t 2t s + 1. Definamos a homotopia H : I I X por:

45 2.1. INTRODUÇÃO 45 H é contínua, e: Ht, s = { αht se 0 t s + 1/2 x 0 se s + 1/2 t 1. Ht, 0 = { α2 t se 0 t 1/2 x 0 se 1/2 t 1 = α e x0 t, Ht, 1 = { αt se 0 t 1 x 0 se t = 1 = αt, H0, s = H1, s = x 0 ; logo α e x0 α e: [α] [e x0 ] = [α]. 3. A prova de que [e x0 ] [α] = [α] é análoga. Elemento inverso : Dado [α] X, x0, consideramos o caminho inverso de α definido por α 1 t = α1 t; então [α 1 ] X, x0. Provaremos que isto é, α 1 α e x0. Logo, [α] 1 = [α 1 ]. Novamente: Consideramos: α 1 αt = [α 1 ] [α] = [e x0 ], { α 1 2 t se 0 t 1/2 α2 t 1 se 1/2 t 1

46 46 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL 1 ex 0 s 0 α 1 1/2 α 1 t Figura 2.5: Homotopia entre α 1 α e e x0 Como antes: 1. O segmento de reta que liga os pontos 1/2, 0 a 0, 1 é t = 1 s/2 e o segmento de reta que liga os pontos 1, 0 a 0, 1 é t = 1 s. 2. Consideramos os homeomorfismos: h 1 : [0, 1 s/2] [0, 1] t 2t 1 s, h2 : [1 s/2, 1 s] [0, 1] t 2t 1 + s. 1 s h 1 t = 2t 1 s e h 2 t = 2t 1 + s. 1 s Definamos a homotopia H : I I X por: α 1 h 1 t se 0 t 1 s/2 Ht, s = αh 2 t se 1 s/2 t 1 s x 0 se 1 s t 1. H é contínua, e:

47 2.1. INTRODUÇÃO 47 Ht, 0 = { α 1 2 t se 0 t 1/2 α2 t 1 se 1/2 t 1. Ht, 1 = x 0, H0, s = H1, s = x 0, logo: [α 1 ] [α] = [e x0 ]. 3. A prova de que [α] [α 1 ] = [e], é análoga. Definição 2.3. X, x0 é dito grupo fundamental de X, ou grupo de Poincaré de X, ou primeiro grupo de homotopia de X. Exemplo 2.1. [1] Sabemos que em R n, todos os caminhos são homotópicos; basta considerar homotopias lineares. Em particular, todos os caminhos fechados são homotópicos ao caminho constante cx = x 0, para todo x R n ; logo: R n, x 0 = {[ex0 ]} = {0}. Em geral, se C R n é convexo, então para todo p 0 C temos que: C, p0 = {0}. [2] Seja Q com a topologia induzida pela usual de R. Os únicos caminhos fechados em x 0 Q são os caminhos constantes; logo: Q, x0 = {[ex0 ]} = {0}. Em geral, o cálculo do grupo fundamental de espaços topológicos é bastante difícil. Os parágrafos seguintes tem o objetivo de apresentar propriedades dos grupos fundamentais a fim de obter exemplos não triviais.

48 48 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL 2.2 Mudança do Ponto Base Uma questão natural que surge da definição de grupo fundamental é a seguinte: Dados x 0, x 1 X que relação existe entre X, x0 e π1 X, x1? A resposta a esta questão é dada pelo teorema 2.2: Teorema 2.2. Se existe um caminho entre x 0 e x 1, então: X, x0 π1 X, x1, isto é, os grupos X, x0 e π1 X, x1 são isomorfos. Prova: Seja ξ : I X um caminho tal que ξ0 = x 0 e ξ1 = x 1. Definamos: Φ ξ : X, x1 π1 X, x0 [γ] [ξ γ ξ 1 ]. Φ ξ é um isomorfismo não canônico de grupos, isto é, depende da classe de homotopia de ξ. γ ξ x 0 x 1 Figura 2.6: Definição de Φ ξ Para todo [γ], [η] X, x1, temos: Φ ξ [γ] [η] = Φξ [γ η] = [ξ γ η ξ 1 ] = [ξ γ ξ 1 ξ η ξ 1 ] = [ξ γ ξ 1 ] [ξ η ξ 1 ] = Φ ξ [γ] Φξ [η].

49 2.2. MUDANÇA DO PONTO BASE 49 Não é difícil ver que Φ 1 ξ = Φ ξ 1. De fato, para todo [α] X, x0 : Por outro lado, para todo [α] X, x0 : Φ 1 ξ [α] = [ξ 1 α ξ]. Analogamente, Φ 1 ξ Φ ξ = id π1 X,x 1. Φξ Φ 1 ξ [α] = Φξ [ξ 1 α ξ] = [ξ ξ 1 α ξ ξ 1 ] = [e x0 α e x0 ] = [α]. Exemplo 2.1. Seja X = R S 1 união disjunta. Se x 0 [a, b], então X, x0 = {0}. Por outro lado, se x 1 S 1, mostraremos no próximo capítulo que X, x1 é um grupo não trivial. Portanto, X, x0 e π1 X, x1 não podem ser isomorfos. Corolário 2.1. Se X é conexo por caminhos, então: X, x0 π1 X, x1, quaisquer que sejam os pontos básicos x 0, x 1 X. Definição 2.4. Seja G, um grupo. O centro de G e é denotado por ZG e definido por: ZG = {a G / a b = b a, para todo b G}, isto é, o conjunto dos elementos de G que comutam. Não é difícil verificar que o centro de um grupo é um subgrupo. Proposição 2.1. Sejam ξ e ψ caminhos ligando x 0 e x 1. Então Φ ξ = Φ ψ se, e somente se [ψ ξ 1 ] Z X, x0.

50 50 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL γ ξ x 1 x 0 ψ Figura 2.7: Prova: Para todo [γ] X, x1, temos: pois [ξ γ ψ 1 ] X, x0. Φ ξ [γ] = [ξ γ ξ 1 ] = [ξ γ ψ 1 ψ ξ 1 ] = [ξ γ ψ 1 ] [ψ ξ 1 ] = [ψ ξ 1 ] [ξ γ ψ 1 ] = [ψ ξ 1 ξ γ ψ 1 ] = [ψ γ ψ 1 ] = Φ ψ [γ], Sejam ξ e ψ caminos ligando x 0 e x 1 ; então Φ ξ = Φ ψ se, e somente se Φ 1 ξ = Φ 1 ψ se, e somente se Φ ξ 1 = Φ ψ 1. Logo, para todo [α] π 1 X, x0 : equivalentemente: Φ ξ 1 [α] = Φψ 1 [α] [ξ 1 α ξ] = [ψ 1 α ψ]; ξ 1 α ξ ψ 1 α ψ ξ 1 α ξ ξ 1 ψ 1 α ψ ξ 1 ξ 1 α ψ 1 α ψ ξ 1 ψ ξ 1 α ψ ψ 1 α ψ ξ 1 ψ ξ 1 α α ψ ξ 1 [ψ ξ 1 α] = [α ψ ξ 1 ] Logo, [ψ ξ 1 ] [α] = [α] [ψ ξ 1 ]; então [ψ ξ 1 ] Z X, x0. Corolário 2.2. X, x0 é abeliano se, e somente se Φξ não depende de ξ. Prova: Sejam ξ e η caminhos ligando x 0 e x 1 ; então:

51 2.3. GRUPOS DE HOMOTOPIAS ABELIANOS 51 Logo Φ ξ = Φ η, isto é Φ ξ não depende de ξ. [η ξ 1 ] Z X, x0 = π1 X, x0. Sejam [α] X, x0 e ξ um caminho ligando x0 e x 1 ; então α ξ é um caminho ligando x 0 e x 1 ; pela proposição anterior: [ α ξ ξ 1 ] Z X, x0 Como [α] = [ α ξ ξ 1 ] Z X, x0 temos que π1 X, x0 Z π1 X, x0, isto é: X, x0 = Z π1 X, x0. Em geral, os grupos de homotopias não são abelianos. O grupo fundamental de um espaço depende apenas da componente conexa por caminhos do ponto x 0. Logo, é natural estudar o grupo fundamental só para espaços conexos por caminhos. 2.3 Grupos de Homotopias Abelianos A seguir, apresentamos uma classe especial de espaços topológicos que possuem grupo fundamental abeliano. Em particular, os grupos fundamentais são todos isomorfos. Definição 2.5. O grupo G é dito topológico se também é um espaço topológico tal que a operação do grupo e a aplicação: são contínuas. ν :G G a a 1 Exemplo 2.2. [1] R n com a topologia e a multiplicação usual é um grupo topológico. [2] Seja S 1 C com a topologia induzida pela topologia usual de C. Então S 1 com a multiplicação de números complexos é um grupo topológico. [3] Analogamente, o toro S 1 S 1 é um grupo topológico. [4] Os grupos de matrizes com o produto de matrizes são grupos topológicos.

52 52 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL Como veremos a seguir, a estrutura algébrica no espaço topológico G se reflete fortemente em seu grupo fundamental. Utilizando a operação contínua do grupo topológico, isto é: : G G G a, b a b, definimos um novo produto em G, e, onde e é a identidade de G. Dados α, β : I G caminhos tais que α0 = α1 = β0 = β1 = e, denotamos e definimos este novo produto por: α βt = αt βt, 2.1 para todo t I. Note que α β0 = α0 β0 = e e = e = α β1. Podemos definir através de 2.1 um novo produto em G, e : G, e π1 G, e π1 G, e [α], [β] [α β]. Utilizamos a seguinte notação: [α] [β] = [α β]. Como antes, denotemos o caminho constante por c e t = e, para todo t I. Lema 2.2. Sejam α 1, α 2, β 1, β 2 : I G: 1. Se α 1 α 2 e β 1 β 2, então: α 1 β 1 α 2 β Em particular, se α 1, α 2, β 1, β 2 são caminhos fechados, com ponto base e, então α1 β 1 α2 β 2 = α1 α 2 β1 β 2. Prova: 1. Sejam F : α 1 α 2 e G : β 1 β 2 as respectivas homotopias. Definamos Ht, s = F t, s Gt, s; então H : α 1 β 1 α 2 β 2.

53 2.3. GRUPOS DE HOMOTOPIAS ABELIANOS Utilizamos as definições de cada produto: α1 β 1 α2 β 2 t = α1 β 1 t α 2 β 2 t { α 1 2 t α 2 2 t se 0 t 1/2 = β 1 2 t 1 β 2 2 t 1 se 1/2 t 1 = α 1 α 2 β1 β 2 t. Observação Fazendo α 2 = β 1 = c e, na segunda parte do lema, temos: Logo, α 1 β 2 α 1 c e c e β 2 = α 1 c e c e β 2 α 1 β 2. isto é, ambos os produtos em G, e coincidem. [α 1 β 2 ] = [α 1 β 2 ], Fazendo α 1 = β 2 = c e, na segunda parte do lema, temos: Logo, β 1 α 2 c e β 1 α 2 c e = c e α 2 β 1 c e α 2 β 1. [β 1 α 2 ] = [α 2 β 1 ]. 2.3 Teorema 2.3. Se G é um grupo topológico, então G, e é um grupo abeliano. Além disso, os produtos definidos em G, e coincidem. Prova: Segue de 5.3 e 2.3. De fato, de 5.3, para todo [α], [β] G, e, temos que [α] [β] = [α] [β]. De 2.3, temos: [α] [β] = [α] [β] = [α β] = [β α] = [β] [α].

54 54 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL Exemplo 2.3. [1] Considere S 1 como grupo topológico e e = 1, 0; então S 1, e é um grupo abeliano. [2] Considere S 1 S 1 como grupo topológico; então S 1 S 1, e é um grupo abeliano. [3] On, I é um grupo abeliano. Observação 2.1. Observe que não utilizamos todas as propriedades do grupo topológico. Isto nos indica que é possível enfraquecer a hipótese da estrutura de grupo. Essencialmente utilizamos a identidade, sendo a operação do grupo contínua. 2.4 Homomorfismo Induzido Seja f : X Y contínua. Nos capítulos anteriores provamos os seguintes fatos: 1. Se α e β são caminhos em X, então f α e f β são caminhos em Y. 2. Se α β, então f α f β. 3. f α β f α f β. 4. Se [α] X, x0, então [f α] π1 Y, fx0. Lema 2.3. Se f : X Y é contínua, então é um homomorfismo de grupos. Prova: Sejam [α] e [β] X, x0, então f : X, x0 π1 Y, fx0 [α] [f α], f [α] [β] = f [α β] = [f α β ] = [f α f β ] = [f α] [f β ] = f [α] f [β].

55 2.4. HOMOMORFISMO INDUZIDO 55 Definição 2.6. O homomorfismo f é dito induzido por f. Proposição 2.2. Se f : X Y e g : Y Z são contínuas, então: g f = g f. Em particular, id X induz id π1 X,x 0. Prova: A prova é imediata. Corolário 2.3. Se f : X Y é um homeomorfismo, então f : X, x0 π1 Y, fx0 é um isomorfismo. Prova: A prova é imediata. Exemplo 2.4. [1] Utilizando a projeção estereográfica; S n {p} = R n, temos: S n {p}, p 0 = π1 R n, x 0 = q{0}. [2] R 2 = S 1 R. Então: R 2, x 0, y 0 = π1 S 1 R, z 0, t 0. [3] Sabemos que RP 1 = S 1 e CP 1 = S 2 ; então: : RP 1, [p] = π1 S 1, z 0 CP 1, [q] = π1 S 2, w 0. Corolário 2.4. Seja r : X A uma retração e i : A X a inclusão; então:

56 56 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL 1. r é um homomorfismo sobrejetivo. Em particular, pelo teorema do isomorfismo: X, x0 /Kerr A, x0, onde Kerr é o núcleo do homomorfismo r. 2. i é um homomorfismo injetivo. Em particular, se X, x0 é finitamente gerado, então A, x0 é finitamente gerado. Prova: Ambas seguem diretamente do fato que: é tal que r i = id A e é tal que i r = id X. A X i X r A, r A i X, Lema 2.4. Sejam X e Y conexos por caminhos f, g : X Y funções contínuas, tais que f g e os homomorfismos induzidos: f : X, x0 π1 Y, y0 e g : X, x0 π1 Y, y1, onde y 0 = fx 0 e y 1 = gx 0. Então, existe ξ um caminho ligando y 0 a y 1 tal que: Φ 1 ξ f = g. Isto é, temos o seguinte diagrama comutativo: f X, x0 Y, y0 g Φ 1 ξ Y, y1 Prova: Observe que não é evidente que as homotopias preservem os pontos bases dos grupos. Por hipótese existe homotopia F : f g; logo, necessariamente, durante a homotopia, deve existir um caminho que liga y 0 a y 1, isto é, existe ξt = F x 0, t. Devemos provar que para todo [α] X, x0 :

57 2.4. HOMOMORFISMO INDUZIDO 57 Φ 1 ξ f [α] = g [α] [ξ 1 f α ξ] = [g α]. Logo, devemos provar que ξ 1 f α ξ g α relativamente a {0, 1}. Como antes: ξ 1 f α ξ 1 4 t se 0 t 1/4 ξt = f α4 t 1 se 1/4 t 1/2 ξ2 t 1 se 1/2 t 1 ξ1 4 t = F x 0, 1 4 t se 0 t 1/4 = F α4 t 1, 0 se 1/4 t 1/2 F x 0, 2 t 1 se 1/2 t 1 Note que g αt = F αt, 1; por outro lado, g α e y1 g α e y1 e F x 0, 1 se 0 t 1/4 e y1 g α e y1 t = F α4 t 1, 1 se 1/4 t 1/2 F x 0, 1 se 1/2 t 1 Definamos a homotopia H : ξ 1 f α ξ g α, por: F x 0, 1 4 t + 4 t s se 0 t 1/4 Ht, s = F α4 t 1, s se 1/4 t 1/2 F x 0, 2 t + s t s 1 se 1/2 t 1 Logo: Ht, 0 = ξ 1 f α ξt, Ht, 1 = g αt e H0, s = H1, s = y 1. Teorema 2.4. Sejam X e Y espaços conexos por caminhos. Se f : X Y é uma equivalência homotópica, então: é um isomorfismo de grupos. f : X, x0 π1 Y, fx0 Prova: Sejam f : X Y e g : Y X inversas homotópicas; então g f id X ; pelo lema 2.4, existe ξ tal que: Φ 1 ξ g f = id X,x 0.

58 58 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL Logo, g f é, necessariamente, isomorfismo; então g é sobrejetiva e f é injetiva. Por um argumento análogo, de f g id Y, obtemos que g é injetiva e f é sobrejetiva. Corolário 2.5. Se X é contrátil, então X, x0 {0}. Corolário 2.6. Se A X é um retrato por deformação ou um retrato por deformação forte, então a retração induz um isomorfismo: r : X, x0 = π1 A, x0. Em geral, como veremos mais adiante, as propriedades de f não são herdadas por f. Por exemplo, se f é injetiva, não necessariamente f é injetiva. Se X, x0 π1 Y, fx0, isto não implica que exista um homeomorfismo entre X e Y. Exemplo 2.5. [1] S 1 {0} é um retrato por deformação de S 1 R. Então: S 1 R, z 0, 0 S 1 {0}, z 0, 0 S 1, z 0 [2] O círculo central Σ é um retrato por deformação da faixa de Möebius M. Então: M, x0 π1 Σ, x0 π1 S 1, z 0. Isto mostra que embora M, x0 e π1 S 1, z 0 sejam isomorfos, M e S 1 não são homeomorfos por que?. Proposição 2.3. Sejam x 0 X, y 0 Y e X Y com a topologia produto. Então: X Y, x0, y 0 X, x0 π1 Y, y0, onde X, x0 π1 Y, y0 é o produto direto de grupos. Prova: Denotemos por p : X Y X e q : X Y Y as projeções naturais. Definamos:

59 2.4. HOMOMORFISMO INDUZIDO 59 Ψ : X Y, x0, y 0 X, x0 π1 Y, y0 [α] p [α], q [α]. 1. Ψ está bem definida, isto é, se [α] = [β] devemos provar que Ψ [α] = Ψ [β]. Se [α] = [β], existe F : α β homotopia correspondente. Consideremos H 1 t, s = p F t, s e H 2 t, s = q F t, s; então: H 1 t, 0 = p αt, H 1 t, 1 = p βt H 2 t, 0 = q αt, H 2 t, 1 = q βt. Logo, Ψ [α] = Ψ [β]. 2. Ψ é um homomorfismo, pois p e q são homomorfismos. 3. Ψ é sobrejetiva. De fato, para todo [δ 1 ], [δ 2 ] X, x0 π1 Y, y0, consideremos αt = δ 1 t, δ 2 t; então [α] X Y, x0, y 0 é tal que: Ψ [α] = p [α], q [α] = [δ 1 ], [δ 2 ]. 4. Ψ é injetiva. Seja [α] X Y, x0, y 0 ; então αt = α 1 t, α 2 t é tal que α 1 0 = α 1 1 = x 0 e α 2 0 = α 2 1 = y 0 Ψ [α] = [c x0 ], [c y0 ] [p α] = [c x0 ] e [q α] = [c y0 ], isto é, existem F : p α c x0 e G : q α c y0. Definamos: Ht, s = F t, s, Gt, s, logo : Ht, 0 = F t, 0, Gt, 0 = p αt, q αt = α 1 t, α 2 t Ht, 1 = F t, 1, Gt, 1 = x 0, y 0 Então, [α] = [c x0,y 0 ]; logo KerΨ = [c x0,y 0 ] e Ψ é injetiva.

60 60 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL Exemplo 2.6. [1] Sabemos que R 2, x 0, y 0 S 1 R, z 0, t 0 ; logo: R 2, x 0, y 0 = π1 S 1 R, z 0, t 0 = π1 S 1, z 0 π1 R, t0 = π1 S 1, z 0. Em geral, R n {p} = S n 1 R; logo: R n {p}, p 0 = π1 S n 1 R, w 0, p 0 = π1 S n 1, w 0. [2] Considere o toro T = S 1 S 1 ; então: T, z0, z 0 = π1 S 1, z 0 π1 S 1, z 0. [3] Considere o toro sólido S 1 B; então: S 1 B, z 0, p 0 = π1 S 1, z 0 π1 B, p0 = π1 S 1, z Espaços Simplesmente Conexos Definição 2.7. X é simplesmente conexo se é conexo por caminhos e X, x0 = {0}, x0 X. Proposição 2.4. X é simplesmente conexo se, e somente se para todos α, β : I X tais que α0 = β0 e α1 = β1, tem-se α β. Prova: Sejam α e β caminhos ligando x 0 a x 1 X; então [α β 1 ] X, x0. Se X é simplesmente conexo, então α β 1 e x0 ; logo α β 1 β e x0 β; logo α β. A recíproca é imediata. Exemplo 2.7. [1] Se X é contrátil, então é simplesmente conexo. Veremos mais adiante que a recíproca é falsa. [2] Se X e Y são simplesmente conexos, então X Y é simplesmente conexo.

61 2.5. ESPAÇOS SIMPLESMENTE CONEXOS 61 Lema 2.5. Seja X um espaço topológico tal que X = U V, onde U e V são subespaços abertos simplesmentes conexos e U V é conexo por caminhos. Então X é simplesmentes conexo. Prova: Seja [α] X, x0 tal que x0 U V. Como α é contínua, temos que o conjunto {α 1 U, α 1 V } é uma cobertura do compacto I. Logo, existe por que? uma partição de I: 0 = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = 1 tal que α [t i 1, t i ] U ou α [t i 1, t i ] V. Se dois intervalos consecutivos [t i 1, t i ] e [t i, t i+1 ] são tais que α [t i 1, t i e α [ti, t i+1 ] pertencem ambos a U ou V, eliminamos o ponto comum t i ; logo, podemos considerar αt i U V. Por outro lado, como U V é conexo por caminhos, podemos ligar x 0 a αt i por um caminho η i : Para cada i, definamos: α i s = αt i t i 1 s + t i 1, 0 s 1. Logo, α i 0 = αt i 1 e α i 1 = αt i ; como α α 1 α 2 α n, então: α α 1 η 1 1 η 1 α 2 η 1 2 η 2 α 3 η η n α n. Veja o seguinte desenho: α 1 αt 1 α2 αt 2 η 1 x 0 η 2 αti 1 αi η i αti α Figura 2.8: Note que cada η i α i+1 η 1 i+1 U ou a V ; como U e V são simplesmente conexos, temos que para cada i η i α i+1 η 1 i+1 c i; então α c x0.

62 62 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL Logo X, x0 = {0}. Observação 2.2. É possível enfraquecer as hipóteses do lema. Por exemplo, se X = A B tal que A B seja conexo por caminhos, sem necessariamente A ou B serem abertos em X. Basta considerar U e V abertos tais que A U, B V, U V conexo por caminhos e as inclusões: A U e B V que são equivalências homotópicas. Corolário 2.7. S n, p = {0} para todo n 2. Prova: Não é difícil ver que: S n = S n S n +, onde S n + = S n {p N } = R n e S n = S n {p S } = R n ; ambos os conjuntos são abertos e contráteis; logo, são abertos e simplesmente conexos. Por outro lado, sabemos que S n S n + S n 1, logo é conexo por caminhos. Pelo lema, temos que S n é simplesmente conexo, para todo n 2. Veja [MV]. Provaremos nos próximos parágrafos que S 1 não é simplesmente conexo. Por outro lado, segue do teorema de Stokes que S n não é contrátil. Exemplo 2.8. [1] R n = R n {0} é simplesmente conexo se n > 2. De fato, R n S n 1. [2] Sejam S m e S n R n+1 esferas tais que S n S m = {p}, com n m 2. Consideremos X = S n S m ; então X, x0 = {0}. a b S n m S Figura 2.9: X = S n S m

63 2.5. ESPAÇOS SIMPLESMENTE CONEXOS 63 Sejam a S n, b S m tais que a, b p; U = X {a} e V = X {b}, claramente S m U, S n V e U V é conexo por caminhos; então X é simplesmente conexo. [3] Para m 2 n, temos os seguintes homeomorfismos: R m R n = R m n {0} R n = S m n 1 R n ; por outro lado, sabemos que S m n 1 R n S m n 1. Logo: R m R n, z 0, w 0 = π1 S m n 1 R n, x 0, y 0 = π1 S m n 1, x 0 = {0}, se m 2 > n. Observação 2.3. Notamos que existem exemplos em que a reunião de espaços simplesmente conexos não é necessariamente simplesmente conexo, mesmo que tenham um ponto comum. Verifique!.

64 64 CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL 2.6 Exercícios 1. Complete todos os detalhes das provas dos teoremas, proposições e lemas do capítulo. 2. Prove que h : [a, b] [0, 1] definido por ht = t a é um homeomorfismo. b a 3. Se consideramos [ X, x 0, x 1 ] o conjunto das classes de caminhos que ligam x0 a x 1, x 0 x 1, com a mesma operação definida anteriormente para X, x0, o conjunto [ X, x 0, x 1 ] é um grupo? Justifique sua resposta. 4. Seja Verifique que: ΩX, x 0 = {α : I X / α0 = α1 = x 0 }. onde é a homotopia de caminhos. X, x0 = ΩX, x0 /, 5. Se X é um espaço indiscreto, determine X, x0 6. Um espaço topológico X é dito espaço de Hopf ou H-espaço se existem função contínua multiplicação: m : X X X, e x 0 X tais que mx 0, x 0 = x 0, q 1 i {x0 } id X e m q 2 {x0 } id X, onde q 1, q 2 : X X X são definidas por q 1 x = x, x 0 e q 2 x = x 0, x. Com as notações anteriores, seja X um H-espaço. Verifique que: a mq 1 α q 2 β α β, onde α e β são caminhos fechados em x 0. b X, x0 é abeliano.

65 Capítulo 3 GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO Este capítulo é crucial para obter novos exemplos de grupo fundamental e estudar, em particular, as técnicas gerais que apressentaremos nos próximos capítulos. Para calcular S 1, x 0 estudaremos uma série de conceitos novos que serão naturalmente estendidos a espaços topológicos em geral. 3.1 Introdução Seja x 0 = 1, 0 S 1 C, fixado. Todo caminho em S 1 fechado em x 0, arbitrário tem que dar um múltiplo inteiro de voltas ao redor de S 1. Provaremos que essencialmente, existe somente uma única classe de caminhos fechados não homotópicos a uma constante em S 1. A idéia básica deste capítulo é comparar caminhos de S 1 com caminhos de R via o homeomorfismo local exp. De fato, sabemos que: exp : R S 1 t expt = e 2πit. 1. A aplicação exp é um homeomofismo local sobrejetivo. 2. Como x 0 = 1, 0 S 1, então: exp 1 x 0 = Z, 65

66 66 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO Para outros detalhes, veja [MV]. Para visualizar geometricamente a aplicação exp, consideramos H uma hélice em R 3 parametrizada por: γ : R R 3 tal queγt = cos2 π t, sen2 π t, t. Figura 3.1: Logo, temos que H é homeomorfo a R. O homeomorfismo local exp pode ser pensado como a restrição da projeção de: p : R 3 R 2, onde px, y, z = x, y para todo x, y, z H. Por outro lado, temos que exp 1 {x 0 } = Z e que se n for positivo o caminho sobe ao longo da hélice. Analogamente se n é negativo o caminho desce ao longo da hélice.

67 3.2. LEVANTAMENTO DE CAMINHOS 67 Figura 3.2: Provaremos que para todo α : I S 1 caminho fechado em x 0, existe um único caminho α : I R que liga a origem com n, logo αt = n t, tal que α = exp α. Em outras palavras, existe um único α que torna o seguinte diagrama comutativo: α R I α S 1 exp Observação 3.1. O caminho α é dito levantamento do caminho α com ponto inicial em α Levantamento de Caminhos Fixando uma orientação em S 1, se o caminho fechado em x 0 percorre n vezes S 1 no sentido positivo em relação à base canônica de R 2, diremos que o número de voltas do caminho é n; caso contrário que é n. Definição 3.1. Este número inteiro n, é dito o grau do caminho α. Definamos:

68 68 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO onde α = exp α. gr : S 1, x 0 Z [α] α1 = n, Provaremos que gr é um isomorfismo de grupos. A prova segue dos seguintes teoremas: Lema 3.1. Sejam U S 1 {x 0 } aberto e V = [0, 1] exp 1 U R. Então: 1. exp 1 U = n Z {v + n; v V }, onde a união dos abertos V + n := {v + n; v V } é disjunta. 2. Para cada n Z, V + n é homeomorfo a U via a função exp. Prova: 1. Sem perda de generalidade podemos supor que o aberto de S 1 é da forma: U = {exp2πit; t a, b [0, 1]}. Logo, V = [0, 1] exp 1 U = a, b; então V + n = a + n, b + n para todo n Z. Claramente, exp 1 U é a união disjunta dos abertos V + n. 2. Denotando por e n = exp V +n temos que e n é contínua e bijetiva. Verificaremos a continuidade de: e n 1 : U S 1 V + n R. Seja W V + n fechado. Como V+n é limitado então W é compacto; por outro lado S 1 é de Hausdorff; logo e n : W e n W U é um homeomorfismo; então e n W é compacto e, em particular, fechado.

69 3.2. LEVANTAMENTO DE CAMINHOS 69 Corolário 3.1. Se X é um espaço topológico, então toda função f : X S 1 não sobrejetiva é homotopicamente nula. Prova: Suponha que x / Imf. Então S 1 {x} é homeomorfo a 0, 1. Por outro lado o intervalo 0, 1 é contrátil; logo,f é homotopicamente nula. Observação 3.2. A seguir apresentamos o primeiro resultado crucial deste capítulo: o chamado Teorema de Levantamento dos Caminhos. Este teorema é bastante geral. Neste parágrafo apresentamos apenas a prova para: exp : R S 1. Teorema 3.1. Levantamento dos Caminhos Toda função contínua f : I S 1 possui um levantamento F. Fixado t 0 R com expt 0 = f0, o levantamento F tal que F 0 = t 0 é único. I F f R S 1 exp Prova: Para cada x S 1, seja U x uma vizinhança de x. Pelo lema anterior exp 1 U x é uma reunião disjunta de abertos homeomorfos à U x via a exp. Como f é contínua, então: {f 1 U x ; x S 1 } = {x j, y j [0, 1]; j J} é uma cobertura aberta para I. Pela compacidade de I, existe uma subcobertura finita: [0, t 1 + e 1, t 2 e 2, t 2 + e 2,, t n e n, 1] com t i + e i t i+1 e i+1 para i = 0,..., n 1. Escolhemos a i t i+1 e i+1, t i+1 + e i+1 para i = 1,, n 1 tais que o conjunto {0 = a 0, a 1,, a n = 1} é uma partição de I. Seja S i S 1 conjunto aberto tal que: f[a i, a i+1 ] S i, i = 0,, n. Definiremos indutivamente levantamentos F k sobre [0, a k ] da seguinte forma:

70 70 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO ~ α a k W IR F exp a I a k k+1 f f[ a a ] k, k+1 S k S 1 Figura 3.3: 1. Para k = 0, seja F 0 = t Suponha que F k : [0, a k ] R é definida e única com F k 0 = t Aplicando o lema anterior, temos que exp 1 W k é uma união disjunta de abertos tal que exp Wj é um homeomorfismo para cada j J W k é um aberto tal que f[a k, a k+1 ] W k. F k a k W para algum W {W j ; j J}. Note que W é único. 4. Qualquer extensão F k+1 leva [a k, a k+1 ] em W [a k, a k+1 ] é conexo por caminhos e F k+1 é contínua. 5. Como exp W : W S k é homeomorfismo, existe uma única função: ρ : [a k, a k+1 ] W tal que exp W ρ = f [ak,a k+1 ], onde ρ = exp W Definimos: F k+1 s = { F k s se 0 s a k ρs se a k s a k+1. F k+1 é contínua F k a k = ρa k e única por construção.

71 3.3. O GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO Indutivamente obtemos F. 3.3 O Grupo Fundamental do Círculo Usando o teorema anterior, podemos definir a função grau de um caminho fechado α em S 1. Seja α um caminho fechado tal que x 0 S 1 é fixado e α : I R seu único levantamento tal que α0 = 0. Como exp 1 α1 = exp 1 1 = Z denotamos por 1 = 0, 1 S 1, vemos que α1 é um inteiro; logo, definimos: grα = α1. Mostraremos que caminhos homotopicamente equivalentes possuem o mesmo grau. Inicialmente mostraremos que seus respectivos levantamentos são homotopicamente equivalentes. Para isto, trocaremos [0, 1] por [0, 1] [0, 1] no teorema anterior. Lema 3.2. Levantamento das Homotopias Toda função contínua: possui um levantamento: H : [0, 1] [0, 1] S 1 H : [0, 1] [0, 1] R. Dado x 0 R com expx 0 = H0, 0, existe um único levantamento de H tal que H0, 0 = x 0. H I I H R S 1 exp A prova é análoga à do lema anterior. Sabendo que I 2 é compacto, definimos indutivamente levantamentos F i,j sobre retângulos. Como corolário do lema anterior, temos o seguinte teorema de monodromia para a aplicação: exp : R S 1, dizendo que caminhos homotópicos tem o mesmo grau.

72 72 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO Corolário 3.2. Se α 0 e α 1 são caminhos homotópicos em S 1 fixados em x 0, e α 0 e α 1 são seus levantamentos respectivos com α 0 0 = α 1 0, então α 0 1 = α 1 1. Logo: grα 0 = grα 1. Prova: Considere uma homotopia F : α 0 α 1. Então, existe um único levantamento G : I 2 R com G0, 0 = α 0 0 = α 1 0. Analogamente, existem levantamentos α 0 para α 0 e α 1 para α 1. Como F t, 0 = α 0 t, temos Gt, 0 = α 0 t e Gt, 1 = α 1 t. F 1, t = α 0 1 = α 1 1; então G1, t é um caminho entre α 0 1 e α 1 1. Mas, G1, t exp 1 α 0 1 = Z. Portanto G1, t é constante e α 0 1 = α 1 1. Estamos agora em condições de calcular o grupo fundamental do círculo. Teorema 3.2. Seja x 0 = 1, 0; então, temos um isomorfismo de grupos: π1 S 1, x 0, = Z, +. Em outras palavras, S 1, x 0 é um grupo cíclico infinito gerado por [α], onde o caminho α : I S 1 é tal que αt = expt. Prova: Definimos a aplicação: onde α é o único levantamento de α. gr : S 1,x 0 Z [α] α1 1. Pelo corolário anterior, gr é bem definida. 2. A função gr é um homomorfismo de grupos. Devemos provar que, para todo [α], [β] S 1, x 0, temos que: gr[α] [β] = gr[α] + gr[β]. Por outro lado, [α] [β] = [α β]. Consideremos γ : [0, 1] R definida por: γt = { α2 t se 0 t 1/2 β2 t 1 + α1 se 1/2 t 1.

73 3.4. ALGUMAS CONSEQUÊNCIAS DO ISOMORFISMO 73 O caminho γ é bem definido em t = 1/2. Como α1 é um inteiro, temos que : exp γ = α β e, portanto, pela unicidade do levantamento γ = α β. Então: gr[α] [β] = gr[α β] = γ1 = α1 + β1 = gr[α] + gr[β]. 3. A função gr é injetiva. Isto é, se gr[α] = gr[β], então α1 = β1, como α0 = β0 = 0. Consideremos a homotopia: Ht, s = exp1 s αt + s βt. Ht, 0 = αt e Ht, 1 = βt. Logo, [α] = [β]. 4. A função gr é sobrejetiva. Dado n Z, seja µ : [0, 1] R definida por µt = n t; então, exp µ : [0, 1] S 1 e exp µ0 = exp µ1 = x 0. Logo, µ é um levantamento de exp µ tal que µ0 = 0; então: gr[exp µ] = µ1 = n. Isto completa a prova do resultado principal. 3.4 Algumas Consequências do Isomorfismo [1] A esfera S n, n > 1 não é homeomorfa a S 1. De fato, se fossem homeomorfas: o que é absurdo. {0} = S n, p 0 = π1 S 1, x 0 = Z, [2] Seja o cilindro C = S 1 R; então: C, x0, z 0 = π1 S 1, x 0 π1 R, z0 = Z.

74 74 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO Dos capítulos anteriores sabemos que S 1 {0} é um retrato por deformação de S 1 R. Um gerador do grupo C, x0, z 0 é a classe de homotopia do círculo central: αt = expt, 0. Um caminho fechado em C é homotópico a n vezes o gerador α, quando n é o número de vezes que o caminho fechado intersecta transversalmente a geratriz 1, 0 R. S 1 x IR α S 1 Figura 3.4: Gerador de C, x0, z 0 Em geral, S 1 R n, p 0 = Z. [3] Considere o toro T 2 = S 1 S 1 ; então: T 2, z 0, z 0 = π1 S 1, z 0 π1 S 1, z 0 = Z Z. O gerador do grupo T 2, z 0, z 0 pode ser entendido da seguinte forma: considere o paralelo α e o meridiano β:

75 3.4. ALGUMAS CONSEQUÊNCIAS DO ISOMORFISMO 75 Figura 3.5: Geradores de T 2, z 0, z 0 Todo caminho fechado γ é homotópico a p α + q β, onde p é o número de vezes que o caminho fechado intersecta transversalmente o paralelo α e q é o número de vezes que o caminho fechado intersecta tranversalmente o meridiano β com o seguinte cuidado: fixando uma direção, contamos positivamente as passagens para um lado e negativamente para o outro. T 2, z 0, z 0 Z Z [γ] p, q Figura 3.6: γ é homotópico a p α + q β [4] Considere o toro sólido S 1 B; então: S 1 B, z 0, p 0 = π1 S 1, z 0 = Z. [5] O círculo central Σ é um retrato por deformação da faixa de Möebius M. Então:

76 76 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO M, x0 π1 Σ, x0 π1 S 1, z 0 Z. [6] A esfera S n, n > 1 não é homeomorfa a T n = S 1 S 1... S 1, n-vezes. De fato, se fossem homeomorfas, teríamos que: S n, z 0 = π1 T n, y 0 = π1 S 1, x 0 π1 S 1, x 0. Isto é: o que é absurdo. {0} = Z... Z = Z n, [7] Pelo mesmo argumento anterior, S n não é homeomorfa a S n 1 S 1. Corolário 3.3. Teorema Fundamental da Álgebra Todo polinômio não constante com coeficientes em C possui uma raiz em C. Prova: Sem perda de generalidade podemos supor que o polinômio tem a forma: pz = z n + a 1 z n a n. Se pz não possui raízes, para cada número real r 0, definimos: f r t = pr expt pr pr expt pr. onde 0 t 1, f r t define um caminho fechado em S 1 com ponto base x 0. Seja { f s/1 s t se 0 t 1, 0 s < 1 Ht, s = expnt se 0 t 1, s = 1. Note que: lim Hs, t = lim f s/1 st = lim f rt = expt n. s 1 s 1 r + Logo, H é contínua. Por outro lado Ht, 0 = f 0 t = x 0 que é o caminho constante em x 0 e Ht, 1 = expnt, isto é H : f 0 f 1, então: o que é uma contradição. 0 = gr[f 0 ] = gr[f 1 ] = n

77 3.4. ALGUMAS CONSEQUÊNCIAS DO ISOMORFISMO 77 Corolário 3.4. Ponto fixo de Brouwer para n=2 Seja D C tal que D = S 1. Toda função contínua h : D D possui um ponto fixo, isto é, existe x D tal que hx = x. Prova: Suponhamos que hx x para todo x D. Definamos r : D S 1 do seguinte modo: rx S 1 é obtido da interseção de S 1 com a semi-reta de origem em x e que passa por hx. rx hx S 1 O x Figura 3.7: Definição da função r = rx A continuidade de r é clara, pois pequenas pertubações de x produzem pequenas pertubações de hx e portanto pequenas pertubações da reta que liga estes pontos. Note que se x S 1, então rx = x; logo, se consideramos i : S 1 D a inclusão, temos que r é um retrato, pois r i = id S 1. Logo: r : {0} = S 1, x 0 Z o que é uma contradição, pois D é contrátil. Utilizando Geometria Analítica elementar, podemos dar uma definição explícita da função r = rx. De fato, denotemos por v 1 = hx, z = rx e v = x v 1 / x v 1 ; logo rv = z = v 1 + t v, para algum t 0 tal que v 1 + t v S 1, isto é v 1 + t v v 1 + t v = 1, que é equivalente a: x x t t v 1 x + v 1 v 1 = 1. Denotemos por t x a raiz positiva desta equação; então:

78 78 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO rx = hx + t x x v 1 x v Grupo Fundamental do Espaço Projetivo Real Introdução Nesta seção determinaremos o grupo fundamental do espaço projetivo real. Para isto, utilizaremos diversas propriedades dos espaços projetivos reais já estudadas em [MV]. Repetiremos as provas de alguns teoremas gerais, que serão apresentadas nos capítulos seguintes. Notamos que estas provas serão idênticas às vistas neste capítulo. Seja RP n o espaço projetivo real de dimensão n. De [MV] sabemos que a projeção: Π : S n RP n é aberta e que para todo U S n aberto, temos: Π 1 Π U = U U. Por outro lado, Π : S n RP n é um homeomorfismo local. De fato. Seja p RP n ; então p = {x, x}. Seja Ũ Sn vizinhança de x que não contem nenhum ponto antípoda de seus pontos, isto é, Ũ Ũ =. Logo, Π Ũ = U é uma vizinhança de p, tal que: e Π Ũ é um homeomorfismo sobre U. Π 1 U = Ũ Ũ Observação A vizinhança U do lema anterior, também é chamada vizinhança distinguida do ponto p RP n. 2. Como no caso de S 1, mostraremos que Π : S n RP n também tem a propriedade do levantamento dos caminhos.

79 3.5. GRUPO FUNDAMENTAL DO ESPAÇO PROJETIVO REAL 79 Proposição 3.1. Sejam α : I = [t 0, t 1 ] RP n e x 0 S n tal que Πx 0 = αt 0. Existe um único caminho α : I S n tal que αt 0 = x 0 e α = Π α, isto é, temos o seguinte diagrama comutativo: I α α S n Π RP n Prova: Observemos que proposição é válida se: 1. αi U e U RP n é uma vizinhança distinguida do ponto {x 0, x 0 }, tal que: Π 1 U = Ũ Ũ. De fato, suponha que x 0 Ũ e denotemos por π = Π Ũ. Logo, π : Ũ U é um homeomorfismo. Consideremos α : I Ũ definida por α = π 1 α. 2. O intervalo I = I 1 I 2 i = 1, 2, onde I i são intervalos fechados com um extremo comum t 2 e tais que a proposição seja válida para α I1 = α 1 e α I2 = α 2. De fato, aplicando a proposição a cada intervalo, obtemos α 1 : I 1 S n tal que α 1 t 0 = x 0 e π α 1 = α 1 e, a seguir, α 2 : I 1 S n tal que α 2 t 2 = α 1 t 2 e π α 2 = α 2. Logo, definimos α : I S n por: αt = { α 1 t se t I 1 α 2 t se t I O caso geral, segue dos casos 1. e 2. De fato, como I é compacto, então podemos decompor I numa reunião finita de subintervalos compactos justapostos, isto é I = I 1 I 2... I k tais que αi i U i, para cada i, onde U i é uma vizinhança distinguida. 4. A unicidade de α segue do fato de que se supomos que existem α, β : I S n tais que Π α = Π β, então para todo t I devemos ter: αt = βt ou αt = βt;

80 80 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO utilizando o produto interno de R n+1, temos < αt, βt >= ±1, para todo t I; por outro lado, como I é conexo, o produto interno anterior deve ser constante. Logo, se αt 0 = βt, então αt = βt para todo t I. Observação 3.3. Note que o levantamento de um caminho fechado em S n nem sempre é um caminho fechado em RP n, pois cada caminho em S n possui dois levantamentos; além disso, um deles é fechado se, e somente se ambos são fechados. De fato, se α : I S n é tal que α = Π α e se α é fechado, o caminho fechado α possui um levantamento fechado. Se os extremos do caminho α são antipodais, α é um caminho fechado em RP n que possui levantamento não fechado. Proposição 3.2. Seja n 2; fixando x 0 S n e p 0 = Πx 0 RP n e considerando α, β : I RP n caminhos fechados de base p 0, denotemos por α, β : I S n os correspondentes levantamentos com origem em x 0. Com as notações anteriores, temos que α1 = β1 se, e somente se α β. Prova: Se α, β : I S n são tais que α1 = β1, como S n é simplesmente conexo, temos α β. Se α = Π α Π β, como α0 = β0 = x 0, α1 = ±x 0 e β1 = ±x 0. Por hipótese α1 = β1 se, e somente se α1 β1 2, onde é a norma induzida em RP n pela norma de R n+1. Em particular, se αt βt = 2, para todo t I, isto é αt e βt nunca são antipodais, então αt βt 2, para todo t I; como α0 = β0, não podemos ter α1 β1 = 2. Em geral, considere a homotopia H : α β; pela continuidade uniforme de H, existem 0 = t 0 < t 1 <... < t n = 1 tais que Hs, t i 1 Hs, t i < 2, para todo s I e i = 1,... n. Definamos os caminhos fechados em p 0 : α i s = Hs, t i ; os pontos α i s e α i+1 s não podem ser antipodais, logo α i 1 = α i+1 1. Então, α 0 1 = α 1 1 =... = α n 1 = β O Grupo Fundamental de RP n Sabemos que RP 1 S 1, então: RP 1, p 0 = Z. Para n 2, existem apenas duas classes de homotopias de caminhos fechados em RP n, com ponto base p 0. A classe dos caminhos cujo levantamento é fechado e os que possuem o levantamento aberto. Logo:

81 3.6. O GRUPO FUNDAMENTAL DE RP N 81 Teorema 3.3. Para n 2: RP n, p 0 Z Geradores do grupo RP n, p 0. Seja: α : I S n, tal que αs = coss π, sens π, 0,..., 0; claramente α é um caminho em S n. Por outro lado α0 = e 1 e α1 = e 1. O caminho fechado α em RP n não é homotópico a uma constante. Note que α α = 2 α = 0. Logo, [α] gera RP n, p 0. Corolário 3.5. Teorema de Borsuk-Ulam para n=2 Não existe função f : S 2 S 1 contínua tal que f x = fx, para todo x S 2. Prova: Se tal função existe, então f±x = ±fx, para todo x S 2. Então, f induz no quociente f : RP 2 RP 1 tal que o seguinte diagrama comuta: S 2 f S 1 Π 1 Π 2 RP 2 f RP 1 S 1 Isto é, f Π 1 = Π 2 f. Por outro lado sabemos que: e RP 1, p 0 = π1 S 1, p 0 = Z RP 2, p 0 = Z2. Logo, f : Z 2 Z deve ser um homorfismo trivial, pensados como grupos aditivos. Seja α um caminho em S 2 que liga o polo norte ao polo sul de S 2 ao longo de meridiano de comprimento fixo; então [Π 1 α] é um gerador de RP 2, p 0 = Z2. Como o polo norte e o polo sul são pontos antipodais de S 2, estes pontos, são identificados em RP 1 ; logo [Π 2 f α] é não trivial em RP 1, p 0. Por outro lado: o que é uma contradição. [Π 2 f α] = [ f Π 1 α] = f [Π 1 α] = 0,

82 82 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO Aplicações do Teorema de Borsuk-Ulam [1] Se f : S 2 R 2 contínua é tal que f x = fx, para todo x S 2, então fz 0 = 0, 0, para algum z 0 S 2. De fato, suponha que fz 0, 0 para todo z S 2. Então, podemos definir: hz = fz fz e obtemos h : S 2 S 1 contínua tal que h x = hx, o que contradiz o teorema de Borsuk-Ulam. [2] Se f : S 2 R 2 é contínua, então existe z S 2 tal que fz = f z. De fato, suponha que fz f z para todo z S 2. Então, podemos definir: hz = fz f z, contínua tal que h z = hz e h 0, o que contradiz o teorema de Borsuk-Ulam. Em paricular, não existe subconjunto de R 2 que seja homeomorfo a S Grupo Fundamental de Grupos Ortogonais Da Álgebra Linear sabemos que o conjunto formado pelas matrizes como entradas elementos de K = R ou C, de ordem n m é um espaço topológico conexo. Fixemos K = R; o caso complexo é análogo. Denotemos este espaço por: M n m R. É conhecido que que existe um homeomorfismo natural: Por tanto: para todo n, m N. M n m R = R n m. Mn m R, I = {0}, Nós, estudaremos somente os grupos ortogonais especiais SOn, n 3. Observação 3.4. Consideremos o grupo topológico SOn:

83 3.7. GRUPO FUNDAMENTAL DE GRUPOS ORTOGONAIS Claramente, SO1 = {1}, isto é, um grupo de um elemento; logo: SO1, p0 = {0}. 2. Por outro lado, SO2 é formado pelas matrizes de ordem 2, tais que suas colunas formam uma base ortonormal positiva de R 2 ; logo estas colunas devem ser w e i w, onde w S 1. Então, e consequentemente: SO2 S 1 SO2, p0 = Z O grupo SO3 Consideremos R 4 como o R-espaço vetorial de base {1, i, j, k}. Isto é, se q R 4, então: onde a, b, c, d R. q = a + b i + c j + d k, Definição 3.2. Denotamos e definamos por H o espaço vetorial R 4, com o produto determinado pelas seguinte regras: i 2 = j 2 = k 2 = 1 i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j. H é dito espaço dos quatérnios. Observação Não é difícil verificar que H, +, é um anel. 2. Seja q H; denotamos o conjugado de q por q e definimos por: se q = a + b i + c j + d k. q = a b i c j d k,

84 84 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO 3. Não é difícil verificar que q q = q q 0, para todo q H. 4. Pelo ítem anterior, definimos a norma em H: q 2 = q q = q q = a 2 + b 2 + c 2 + d 2. Esta norma coincide com a norma usual de R 4 e para todo q 1, q 2 H. 5. Se q 0, podemos definir o inverso de q por: q 1 q 2 = q 1 q 2, 3.1 q 1 = q q. 6. Não é difícil verificar que o produto definido em H é não comutativo. Portanto, H não é um corpo. 7. Podemos identificar R com o subespaço vetorial gerado por < 1 > e R 3 com o subespaço vetorial gerado por < i, j, k >. Logo, para todo q H temos que q = a + p, onde a R e p R 3. Com estas identificações, os elementos de R são ditos quatérnios reais e os de R 3 são ditos quatérnios puros. De 3.1, temos que R e R 3 são ortogonais e que S 3 R 4 pode ser considerada como: S 3 = {q H / q = 1}. De forma análoga à S 1 C, S 3 H tem uma estrutura de grupo induzido pelo produto de H. Como a multiplicação definida em H é bilinear, logo contínua, segue que S 3 é um grupo topológico. Proposição Z H = R, isto é, o centro do grupo H são os quatérnios reais. 2. q R 3 se, e somente se q 2 0.

85 3.7. GRUPO FUNDAMENTAL DE GRUPOS ORTOGONAIS Se q H é tal que q p = p q, para todo p R 3, então q R. Em particular, se q S 3, então q = ±1, isto é, Z S 3 = { 1, 1}. Prova: 1. Seja q = a + b i + c j + d k Z H ; então i q = b + a i d j + c k q i = b + a i + d j c k; logo, d = c = 0 e q = a + b i. Analogamente: j q = a j b k q j = a j + b k; logo, b = 0 e q = a. 2. Se q = b i + c j + d k R 3, então q 2 = b 2 + c 2 + d 2 0. Reciprocamente, seja q = a + b i + c j + d k, então q 2 = a 2 b 2 c 2 d a b i + c j + d k. Como q 2 R, temos que a = 0 e q R 3 ou b = c = d = 0 e a 0 e q 2 > 0. Logo, se q 2 0, então q R Seja q = a + b i + c j + d k; então i q = b + a i d j + c k. Por outro lado i q = q i = b + a i + d j c k; então c = d = 0. Logo, q = a + i b; analogamente temos que q j = j q, donde b = 0. Note que se q S 3 é tal que q 2 = 1, então q S 2. De fato, como q 2 < 0, então q R 3 e q = 1. Observemos que i não possui nenhuma propriedade fundamental nos quatérnios puros. Dado q R 3 unitário, sempre podemos considerar uma base ortonormal positiva {1, q, c, d, }.

86 86 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO Lema 3.3. Seja B SO3; então existe uma base ortonormal {a, b, c} R 3 tal que nesta base, B se escreve: cosα senα, 0 senα cosα isto é, B é uma rotação de ângulo α em relação ao eixo a. Prova: Seja A a matriz B em alguma base ortonormal de R 3 ; então A t A = I e deta = 1; logo A t A I = I A t e: deta I = deta t A I = deti A t = deta I. Donde deta I = 0. Logo, exite um vetor não nulo a R 3 tal que A I a = 0, isto é B a = a. Se for necessário, mudamos a por a/ a. Consideremos a unitário. Seja V o plano passando pela origem, ortogonal a a. Denotemos por {b, c} uma base ortormal de V. Como B é uma isometria temos BV V. Logo, C = B V também é uma isometria. A equação B a = a implica que detb = detc = 1. Logo, a matriz C em relação à base {b, c} é [ ] cosα senα senα cosα O Grupo Fundamental de SO3 Seja q S 3 ; definamos: ν q : H H p q p q = q p q 1. A função ν q é naturalmente linear; na verdade, é um isomorfismo de espaços vetoriais, com inversa ν 1 q p = q p q. Por outro lado, ν q q = q e ν q é uma isometria. De fato: ν q p = q p q = q p q = p. Sejam q 1, q 2 S 3, então:

87 3.7. GRUPO FUNDAMENTAL DE GRUPOS ORTOGONAIS 87 ν q1 q 2 p = q 1 q 2 p q 1 q 2 = q 1 q 2 p q 2 q 1 = q 1 ν q2 p q 1 = ν q1 ν q2 p = ν q1 ν q2 p. Claramente ν q deixa R invariante. Note que ν q também deixa R 3 invariante; de fato, seja p R 3 ; denotemos por r = q p q; então: Então, r R 3. Logo, a aplicação: r 2 = q p q q p q = q p 2 q = p 2 0. ν q : R 3 R 3 p q p q é bem definida. A matriz de ν q tem como vetores colunas q i q 1, q j q 1 e q k q 1, que dependem continuamente de q S 3. Suponha que q = cosα + a senα onde a S 3. Seja {a, b, c} uma base ortonormal com a mesma orientação da base canônica de R 3 ; então: ν q a = a ν q b = b cos2 α + c sen2 α ν q c = b cos2 α + c sen2 α. Logo, ν q SO3; pelo lema e pelas observações anteriores, temos o seguinte teorema: Teorema 3.4. A aplicação: é um homomorfismo contínuo sobrejetivo. ν : S 3 SO3 Note que o núcleo da aplicação ν é formado pelos q S 3 tais que: q p q 1 = p, ou seja q p = p q. Logo, Kerν} = { 1, 1}, isto é, ν q1 = ν q2 se, e somente se q 1 = ±q 2.

88 88 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO Corolário 3.6. SO3 RP 3. Prova: De fato, de [MV], sabemos que RP 3 = S 3/ kerν e: S 3 Π RP 3 ν ν SO3 Como ν é uma bijeção contínua, RP 3 compacto e SO3 é de Hausdorff, então ν é um homeomorfismo. Logo, obtemos o seguinte teorema: Teorema 3.5. SO3, A0 = π1 RP 3, p 0 Z2.

89 3.8. EXERCÍCIOS Exercícios 1. Complete todos os detalhes das provas dos teoremas, proposições e lemas do capítulo. 2. Determine o grupo fundamental da faixa de Möbius. 3. Determine o grupo fundamental de {x, y R 2 / 1 x 2 + y 2 4}. 4. Determine o grupo fundamental de R n {x 0 }, x 0 R n. 5. Verifique que S 1 {x} é um retrato de T R 2 é homeomorfo a R n se n 2?

90 90 CAPÍTULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO

91 Capítulo 4 ESPAÇOS DE RECOBRIMENTOS 4.1 Introdução Neste capítulo generalizaremos todas as idéias sobre levantamento de funções, estudadas no capítulo anterior e utilizadas no cálculo do grupo fundamental do círculo e do espaço projetivo real. 4.2 Recobrimentos Sejam X, X espaços topológicos e p : X X uma função contínua. O aberto U X é dito vizinhança distinguida se: p 1 U = V α, α Γ onde {V α / α Γ} é uma família de abertos de X, dois a dois disjuntos, tais que: é um homeomorfismo. Definição 4.1. p Vα : V α U 1. Uma aplicação de recobrimento ou simplesmente um recobrimento é uma função p : X X contínua, sobrejetiva e tal que todo x X possui uma vizinhança distinguida. 91

92 92 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS DE RECOBRIMENTOS 2. X é dito espaço de recobrimento; X é dito a base do recobrimento. 3. A função p é dita projeção e p 1 x é fibra sobre x X. Observação 4.1. A notação utilizada para recobrimentos é: X, p, X. A função contínua p : X X é uma aplicação de recobrimento se, e somente se: 1. p é sobrejetiva. 2. Para todo x X existe U vizinhança de x tal que: p 1 U = α Γ V α, onde V α X são abertos tais que V α V β = para todo α β e p : V α U é um homeomorfismo, para todo α Γ, isto é, p é um homeomorfismo local sobrejetivo. ~ X Vβ -1 p x Vα p U x X Figura 4.1: Vizinhança distinguida de um ponto

93 4.2. RECOBRIMENTOS 93 Observação 4.2. Se p é um recobrimento então p é um homeomorfismo local sobrejetivo. A recíproca é falsa, isto é, existem homeomorfismos locais sobrejetivos que não são recobrimentos. Verifique!. Exemplo 4.1. [1] Se p : X X é um homeomorfismo, então X, p, X é um recobrimento. [2] Do capítulo anterior: R, exp, S 1 é um recobrimento. IR exp S 1 Figura 4.2: Por exemplo, dado o aberto U = S 1 {0, 1}, temos que: exp 1 U = n Z n 1/2, n + 1/2. Por outro lado, se x 0 = 1, 0, temos que: exp 1 x 0 = {t R / e 2πit = 1} = Z. [3] Analogamente, R 2, p, T 2, onde T 2 = S 1 S 1 e: é um recobrimento. p : R 2 T 2 s, t exps, expt

94 94 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS DE RECOBRIMENTOS Por outro lado, se x 0 = 1, 1, temos que: p 1 x 0 = Z Z. [4] Em geral, R n, p, T n, onde T n = S 1 S 1... S 1, n-vezes e: pt 1, t 2,..., t n = expt 1, expt 2,..., expt n é um recobrimento. [5] S 1 R, p, T 2, também é um recobrimento do toro, onde: pz, t = z, expt. Fica como exercício determinar as fibras nos exemplos anteriores. [6] Seja: p : R [0, + x x. Então p não é um recobrimento. Caso contrário, considerando 0 R e um aberto ε, ε, ε > 0, então p ε,ε é um homeomorfismo, o que é absurdo pois, p não é injetiva. [7] Por um argumento similar ao anterior C, p, C, onde pz = z 2 não é um recobrimento. [8] Seja X = R {0}, X = {r, θ / 0 < r < + } e: X, Pol, X é um recobrimento. Pol : X X r, θ r cosθ, r senθ. Note que Pol é a mudança de coordenadas polares e que a variável angular θ toma infinitos valores separados por múltiplos de 2 π. [9] A aplicação p : N R R definida por pn, x = x é um recobrimento. De fato: p 1 R = n N{n} R e p {n} R é um homeomorfismo sobrejetivo. [10] Em geral, a aplicação p : Y X X tal que py, x = x e Y é discreto é um recobrimento.

95 4.2. RECOBRIMENTOS 95 Lema Sejam f : X Y e g : Y Z funções contínuas tais que f e g f são homeomorfismos locais sobrejetivos; então g é um homeomorfismo local sobrejetivo. 2. Se p : X Y é um homeomorfismo local sobrejetivo com fibra finita e tal que X é de Hausdorff, então p é uma aplicação de recobrimento. Prova: 1. Exercício. 2. Seja y Y ; então p 1 y = {x 1, x 2,..., x n }. Como X é de Hausdorff, existem vizinhanças U 2 i abertas de x i tais que U 2 i U 2 j = se i j. Por outro lado, p sendo um homeomorfismo local, então para cada x i podemos escolher vizinhanças Ui 1 abertas de x i tais que Ui 1 Ui 2, p Ui 1 é um aberto de Y e p U 1 : Ui 1 p Ui 1 é um homeorfismo. Denotemos por: i Logo: V y = p U p U 1 n e Ui = p U 1 i p 1 V y = n i=1 U i Vy. e p Ui : U i V y é um homeomorfismo. Então, p : X Y é um recobrimento. Proposição 4.1. Seja X, p, X um recobrimento; então as fibras p 1 x são discretas. Prova: Como cada y p 1 x possui uma vizinhança U tal que y o único elemento de U com py = x lembrando que p é um homeomorfismo local, então: U p 1 x = {y}. Logo, todo ponto de p 1 x é isolado; portanto p 1 x é discreto. Observação 4.3. Note que na prova da proposição somente utilizamos que p é localmente injetiva, isto é, a proposição pode ser provada somente com esta hipótese.

96 96 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS DE RECOBRIMENTOS Corolário 4.1. Se X, p, X é um recobrimento tal que X é compacto, X é conexo e de Hausdorff, então as fibras são finitas. Prova: Exercício. Definição 4.2. A cardinalidade de p 1 x é chamada o número de folhas do recobrimento. Logo, um recobrimento com as hipóteses do corolário possui um número finito de folhas. Exemplo 4.2. [1] A aplicação: exp : R S 1 t expt é um recobrimento de infinitas folhas. [2] A aplicação: é um recobrimento de n folhas. p : S 1 S 1 z z n De fato, p é um homeomorfismo local sobrejetivo, S 1 é compacta, de Hausdorff e p 1 x tem cardinalidade n. São as raízes n-ésimas da unidade. [3] Seja S 2n+1, Π, CP n, onde Π : S 2n+1 C n CP n é a projeção canônica; S 2n+1, Π, CP n é um recobrimento? A resposta é negativa, pois Π 1 [x] = S 1, isto é a fibra não é finita. Teorema 4.1. Seja X, p, X um recobrimento; então: 1. p é aberta.

97 4.2. RECOBRIMENTOS X tem a topologia quociente em relação a p. Prova: 1. Exercício. 2. Como p é contínua e aberta, então U X é aberto se, e somente se p 1 U é aberto em X A Faixa de Möbius Se M é a faixa de Möebius e p a projeção canônica, então: p : R I M é um recobrimento. Primeiramente definamos: M 1 = [0, 1] [ 1, 1] / 1 onde 0, t 1 1, t, t [ 1, 1]. Denotemos por: p 1 : [0, 1] [ 1, 1] M 1 a aplicação quociente. Por outro lado, a faixa de Möebius também pode ser definida como: M = R [ 1, 1] / onde x, t x + q, 1 q t, q Z e t [ 1, 1]. Denotemos por: p : R [ 1, 1] M a aplicação quociente. Note que p é aberta, pois se U R [ 1, 1] é aberto: p 1 pu = q Z R q U, onde:

98 98 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS DE RECOBRIMENTOS R q : R [ 1, 1] R [ 1, 1] r, t x + q, 1 q t. Note que R q é um homeomorfismo, para todo q Z. Denotemos por: i : [0, 1] [ 1, 1] R [ 1, 1] a inclusão canônica, que induz no quociente a aplicacão contínua f : M 1 M tal que o seguinte diagrama é comutativo: [0, 1] [ 1, 1] p 1 i R [ 1, 1] p M 1 f M Isto é, p i = f p 1. Como f é sobrejetiva e M é de Hausdorff, então f é um homeomorfismo. Note que M possui uma cobertura determinada pelos abertos: e : p 0, 1 [ 1, 1], p 1/2, 1/2 [ 1, 1] p 1 p 0, 1 [ 1, 1] = q Z q, q + 1 [ 1, 1], logo: p : q, q + 1 [ 1, 1] p 0, 1 [ 1, 1] é um homeomorfismo. Analogamente para o aberto p 1/2, 1/2 [ 1, 1]. 4.3 Recobrimentos de G-espaços Seja G um grupo que atua sobre X de modo que X é um G-espaço. Para mais detalhes sobre G-espaços, veja [MV].

99 4.3. RECOBRIMENTOS DE G-ESPAÇOS 99 Definição 4.3. A ação do grupo G sobre X é dita totalmente descontínua se para todo x X, existe vizinhança U de x tal que para todo g 1, g 2 G e g 1 g 2. g 1 U g 2 U =, Lema 4.2. Se o grupo G age de forma totalmente descontínua sobre X, então g x x para todo g G, g e e todo x X. Prova: Exercício. Exemplo 4.3. [1] Seja a : S n S n definida por ax = x, onde x é o ponto antipodal de x; então G = {id S n, a}, com a composta de funções é um grupo. G atua descontinuamente sobre S n. De fato, se U S n é um aberto contido num dos hemisférios, temos: a U U =. [2] Seja Z n R n. Considere a seguinte ação: Z n R n R n v, x x + v. Esta ação é totalmente descontínua; basta considerar abertos de diâmetro menor que 1. Teorema 4.2. Se X é um G-espaço e G age de forma totalmente descontínua sobre X, então a projeção canônica: é um recobrimento. p : X X / G Prova: Note que p : X X / G é contínua, sobrejetiva e aberta. Seja U X uma vizinhança de x X; então p U é uma vizinhança de G x = px e p 1 pu = g G g U.

100 100 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS DE RECOBRIMENTOS g U é uma família de abertos disjuntos de X e: p g U : g U p U é um homeomorfismo. Exemplo 4.4. [1] Considere a ação de Z, + sobre R, definida por x x + n. Então: é um recobrimento. p : R R / Z S 1 De fato, a ação é totalmente descontínua. Seja 0 < ε < 1/2; então U = x ε, x+ε é uma vizinhança de x que satisfaz à condição da definição de ser totalmente descontínua. Pode ser verificado exercício que este exemplo é idêntico ao estudado no capítulo anterior para exp : R S 1. [2] Em geral, Π : R n R n/ Z n T n, onde Π é a projeção canônica, é um recobrimento. [3] A projeção canônica: é um recobrimento. Π : S n PR n De fato, seja Z 2, e consideremos S n como um Z 2 -espaço com a ação ±1 x = ±x. Para cada x S n consideremos: U = {y S n / y x < 1/2}. U é uma vizinhança de x que satisfaz à condição da definição de ser totalmente descontínua. De forma alternativa, como x x, existem V e W vizinhanças disjuntas de x e x respectivamente e basta considerar U = V W. [4] Considere a ação de Z, + sobre X = R 1, 1, definida por: n, x, y x + n, 1 n y.

101 4.3. RECOBRIMENTOS DE G-ESPAÇOS 101 Então: p : X X / Z = M, é um recobrimento, onde M é a faixa de Möebius. Verifique!. Definição 4.4. A ação do grupo G sobre X é dita livre se g x x, para todo x X e todo g G, g e. Proposição 4.2. Seja X de Hausdorff e G um grupo finito, então, G atua livremente sobre X se, e somente se a ação é totalmente descontínua. Prova: Seja G = {g 0, g 1,..., g n }, onde e = g 0. Como X é de Hausdorff, existem vizinhanças U 0, U 1,... U n de g 0 x, g 1 x,... g n x, respectivamente, tais que U 0 U i =, i = 1, 2,,... n. Denotemos por: U = U é uma vizinhança de x; por outro lado: n i=0 g 1 i U i. g j U = n i=0 g j g 1 i U i g j U g i U = g i pois g k U U k e U U 0, g k e. g 1 i g j U U = g i g k U U =, Observação 4.4. Se G é um grupo infinito a ação livre pode não ser totalmente descontínua. Isto é: p : X X / G pode não ser um recobrimento, ainda que a ação seja livre e X de Hausdorff.

102 102 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS DE RECOBRIMENTOS Exemplo 4.5. [1] Seja G o grupo gerado pelos homeomorfismos: a, b : R 2 R 2 definidos por: ax, y = x, y + 1 e bx, y = x + 1, y. Sabemos que K = R 2/ G, é a garrafa de Klein. A ação: :G K K f, x, y f x, y = fx, y, é livre, R 2 é de Hausdorff; então R 2, p, K é um recobrimento. Note que G não é isomorfo a Z Z, pois G é não comutativo e satisfaz à relação b a b = a. 4.4 Espaços Lenticulares Seja S 2n+1 C n+1 tal que: S 2n+1 = {z 0, z 1,..., z n C n+1 / z z n 2 = 1}. Sejam p, q 1,... q n Z tais que p é primo e os q j são primos relativos a p; definamos por: h : S 2n+1 S 2n+1 hz 0, z 1,..., z n = e 2πi/p z 0, e 2πiq 1/p z 1,..., e 2πiqn/p z n. h é um homeomorfismo tal que h p = id. Consideremos S 2n+1 como Z p -espaço com a seguinte ação: n z 0, z 1,..., z n = e 2πin/p z 0, e 2πinq 1/p z 1,..., e 2πiqn/p z n, onde n Z p = {0, 1,..., p 1}. Esta ação é livre. De fato, se: n z 0, z 1,..., z n = z 0, z 1,..., z n,

103 4.5. LEVANTAMENTOS 103 então: e 2πinqj/p z j = z j com 0 j n e q 0 = 1. Como z 0, z 1,..., z n S 2n+1, existe z j0 0 para algum j 0, logo: e 2πinq j /p 0 = 1 e n q j0 = 0 modp. Como q j0 0 modp e p é primo, então n = 0 modp. Isto é, n é a identidade de Z p. Logo, a ação é livre e S 2n+1 é de Hausdorff; então: p : S 2n+1 Lp, q 1,..., q n, onde Lp, q 1,..., q n = S 2n+1/ Z p é um recobrimento. Definição 4.5. O espaço Lp, q 1,..., q n é chamado lenticular. Note que L2, q 1,..., q n = RP 2n Levantamentos A seguir, apresentaremos as generalizações das propriedades de levantamento dos caminhos e das homotopias, estudadas no capítulo anterior. A maioria das provas são idênticas. Definição 4.6. Sejam X, p, X um recobrimento e f : Y X uma função contínua. A função contínua f : Y X é dita um levantamento de f se o seguinte diagrama comuta: Y f f X X p Isto é, p f = f. Lema 4.3. Sejam X, p, X um recobrimento e fi : Y X, i = 1, 2 levantamentos de f : Y X, isto é, temos o seguinte diagrama comutativo: f 1, f 2 Y f X p X

104 104 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS DE RECOBRIMENTOS Se Y é conexo e f 1 y 0 = f 2 y 0, então f 1 = f 2. Prova: Seja W = {y Y / f 1 y = f 2 y}, W pois y 0 W. Provaremos que W é aberto e fechado e como Y é conexo, então W = Y. Seja y Y ; então existe vizinhança aberta V de fy tal que p 1 V = j J V j e p Vj : V j V é um homeomorfismo, para todo j J. Se y W, então f 1 y = f 2 y V k, para algum k J e f1 1 Vk f 1 2 Vk é um aberto tal que: Se x f 1 1 Vk f 1 2 Vk f 1 Vk W. y f1 1 2 Vk, então f1 x, f 2 x V k e p f 1 x = p f 2 x. Por outro lado, p Vk é um homeomorfismo; temos que f 1 x = f 2 x. Logo, todo elemento de W possui uma vizinhança contida em W, isto é, W é aberto. Se y / W, então f 1 y V k e f 2 y V j, para i, j tais que i j; logo, f1 1 Vk f 1 2 Vj é um aberto tal que y f 1 1 Pelo mesmo argumento anterior, W C é aberto. Vk f 1 Vk W C. 2 Corolário 4.2. Sejam X, p, X um recobrimento e h : X X contínua tal que Xé conexo por caminhos e p h = p. Se hx 1 = x 1 para algum x 1 X, então h = id X. Prova: Exercício. Teorema 4.3. Seja X, p, X um recobrimento. 1. Levantamento dos caminhos: Dado um caminho α : I X e x 0 X tal que p x 0 = α0, existe um único levantamento α : I X tal que p α = α e α0 = x 0, isto é, temos o seguinte diagrama comutativo: α X p I α X

105 4.5. LEVANTAMENTOS Levantamento das homotopias: Dada H : I I X contínua e x 0 X tal que p x 0 = H0, 0, existe um único levantamento H : I I X tal que p H = H e H0, 0 = x 0, isto é, temos o seguinte diagrama comutativo: H I I H X X p Prova : A prova é idêntica às dos teoremas vistos no capítulo anterior. Corolário 4.3. Se X, p, X é tal que X é conexo, então a cardinalidade da fibra p 1 x é independente de x. Prova: Para todo x, y X, definiremos uma bijeção entre p 1 x e p 1 y. Seja: definida da seguinte forma: h : p 1 x p 1 y, Dado γ um caminho que liga x a y, então para cada x p 1 x, existe um único levantamento γ x tal que γ x 0 = x; definamos: h está bem definida pois γ x 1 p 1 y. h x = γ x 1. Analogamente, definimos h 1 utilizando γ 1, isto é: Logo, h é uma bijeção. h 1 x = γ 1 1.

106 106 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS DE RECOBRIMENTOS 4.6 Exercícios 1. Complete todos os detalhes das provas dos teoremas, proposições e lemas do capítulo. 2. Se X é conexo e p : X X é um recobrimento. Verifique se X é compacto então X é compacto? Quando a recíproca é válida? 3. Se X = X Y e Y é discreto, verifique que a projeção p : X X é um recobrimento. 4. Sejam p 1 : X 1 X 1 e p 2 : X 2 X 2 recobrimentos. Verifique que: p 1 p 2 : X 1 X 2 X 1 X 2 é um recobrimento. 5. Sejam p : X X, q : X Y e h = q p. Se p e q são recobrimentos, h é um recobrimento? Verifique. 6. Sejam Z e X = R 1, 1. Consideremos a seguinte ação: : Z X X n, x, y x + n, 1 n y. Verifique que esta ação é totalmente descontínua. 7. Verifique que toda ação totalmente descontínua é livre. A recíproca é verdadeira? 8. Seja α R e defina a ação: : R T 2 T 2 t, x, y expt x, expα t y. a Quando o estabilizador é trivial? b Verifique que esta ação é livre.

107 Capítulo 5 RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL Neste capítulo estudaremos a relação que existe entre os recobrimentos de um espaço e seu grupo fundamental. O teorema seguinte nos permite ter uma primeira aproximação de qual é o grupo fundamental de um espaço dado, conhecendo apenas as fibras de seu recobrimento. Teorema 5.1. Seja X, p, X um recobrimento. Se X é simplesmente conexo, então para cada x X existe uma bijeção: onde p x = x. Prova: Definamos: X, x p 1 x, F : X, x p 1 x, por F [α] = α1, onde α é o único levantamento de α tal que α0 = x; logo, pela unicidade dos levantamentos, F é bem definida. Agora, consideremos: definida da seguinte forma: G : p 1 x X, x, Sejam ỹ p 1 x e α : I X um caminho tal que α0 = x e α1 = ỹ. Logo, o caminho α = p α : I X é tal que α0 = p x = x e α1 = pỹ = x; então determina uma única classe de homotopia [α] X, x. Definamos: Gỹ = [α] = [p α]. 107

108 108 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL 1. G está bem definida, pois para todos α e β tais que α0 = β0 e α1 = β1, temos α β relativamente a {0, 1}. 2. Logo, G não depende do caminho escolhido. 3. Claramente F e G são inversas. Exemplo 5.1. Denotemos por as bijeções: [1] Seja R, exp, S 1 ; então: exp 1 1 Z. [2] Seja R 2, p, T 2, onde p = exp, exp; então: p 1 1 Z Z = Z 2. [3] Em geral, seja R n, p, T n, onde p = exp, exp,..., exp; então: p 1 1 Z Z... Z = Z n. [4] S n, Π, PR n n > 1, onde Π é a projeção canônica, é um recobrimento de 2 folhas e: Π 1 [x] = {x, x} Z 2. [5] Seja X, Π, M, onde X = R 1, 1, M é a faixa de Möebius e Π é a projeção canônica; então: Π 1 [0, 0] = {n, 0 / n Z} Z. Teorema 5.2. Seja X, p, X um recobrimento tal que p x = x; então o homomorfismo induzido: é um monomorfismo. p : X, x π1 X, x

109 Prova: Sejam [ α], [ β] X, x tal que p [ α] = p [ β]; então, [p α] = [p β]. Logo, existe uma homotopia H : p α p β; consideremos o único levantamento H de H; portanto H : α β; logo: [ α] = [ β]. 109 Observação 5.1. Como p é um monomorfismo, podemos considerar X, x como um subgrupo de X, x. Logo, com as hipóteses do teorema, se: X, x {e}, então π1 X, x {e}. Teorema 5.3. Sejam X, p, X um recobrimento e x, x1 p 1 x; então: 1. Todos os subgrupos de p π1 X, x e p π1 X, x1 são conjugados em π1 X, x. 2. Se x p 1 x é fixado, toda classe conjugada de p π1 X, x é igual ao subgrupo p π1 X, x1, para algum x1 p 1 x. Prova: 1. Seja α um caminho em X que liga x a x 1. Sabemos que: F α : X, x π1 X, x1 definida por F α [ γ] = [ α γ α 1 ] é um isomorfismo de grupos. Definamos: G : X, x π1 X, x1 por G[γ] = [p α] [γ] [p α] 1. Logo, obtemos o seguinte diagrama comutativo: X, x F α X, x1 p π1 X, x G p π1 X, x1 Então, p π1 X, x e p π1 X, x1 são conjugados em π1 X, x.

110 110 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL 2. Por outro lado, seja H um subgrupo de X, x conjugado a p π1 X, x ; então: H = [γ] 1 p π1 X, x [γ]. Seja γ um levantamento de γ tal que γ0 = x; denotemos por x 1 = γ1; então: H = p π1 X, x Critério Geral de Levantamento Suponhamos que X, p, X é um recobrimento e que toda função contínua f : Z X admite um levantamento f, ou seja, temos o seguinte diagrama comutativo: tal que p f = f. f X p Z f X Se p x 0 = x 0, fz 0 = x 0 e fz 0 = x 0, temos que p f = f e o diagrama comutativo: Z, z0 f f X, x0 p X, x0 Como p é um monomorfismo, a existência de f que faz o diagrama comutativo é equivalente à condição: f π1 Z, z0 p π1 X, x0. Observação 5.2. O teorema geral de levantamento nos dá as condições necessárias e suficientes para a existência de levantamentos de um espaço topológico. Este teorema é um exemplo do que estuda a Topologia Algébrica. Um problema puramente topológico, como a existência de uma função contínua sob certas condições é reduzido a uma condição puramente algébrica uma relação entre grupos e homomorfismos.

111 5.1. CRITÉRIO GERAL DE LEVANTAMENTO 111 Teorema 5.4. Critério de Levantamento Sejam X, p, X um recobrimento, Z um espaço topológico e f : Z X contínua. Se Z é conexo e localmente conexo por caminhos, então existe um levantamento de f se, e somente se onde p x 0 = x 0 e fz 0 = x 0. f π1 Z, z0 p π1 X, x0, Prova: Se existe levantamento f de f, isto é, p f = f, então: f π1 Z, z0 = p f π1 Z, z0 p π1 X, x0. Suponhamos que f π1 Z, z0 p π1 X, x0, onde p x0 = x 0 e fz 0 = x 0. Sejam z 1 Z arbitrário e o caminho η em Z tal que η0 = z 0 e η1 = z 1 ; então, f η é um caminho em X tal que f η 0 = x 0 e f η 1 = fz 1. Pelo teorema de levantamento dos caminhos, existe um único levantamento f η : I X tal que f η0 = x 0 e p f η = f η. Logo, definamos: onde F z 0 = x 0 e F z 1 = f η 1. F : Z X, 1. F é bem definida. De fato, seja η 1 outro caminho em Z tal que η 1 0 = z 0 e η 1 1 = z 1 ; então η η1 1 é tal que η η1 1 0 = η η1 1 1 = z 0, isto é, [η η1 1 ] Z, z0 ; então: f [η η 1 1 ] = [f η f η 1 1 ] f π1 Z, z0. Por outro lado: f π1 Z, z0 p π1 X, x0 ; então existe [µ] π1 X, x0 tal que: Logo: [f η f η 1 1 ] = [p µ]. f η f η e x0 f η f η 1 1 f η 1 f η f η 1 1 f η 1 p µ f η 1. Denotemos por ψ = p µ f η 1 ; então ψ = µ f η 1 ; pela unicidade dos levantamentos:

112 112 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL f η1 = ψ1 = µ f η 1 1 = f η 1 1. Nesta parte da prova utilizamos somente a hipótese de que Z é conexo por caminhos. 2. F é contínua. Sejam U X aberto e z f 1 U ; então fz U. Denotemos por W uma vizinhança distinguida de p fz = fz tal que W p U. Como W é vizinhança distinguida: p 1 W = j J V j, onde cada V j é homeomorfo a W e fz V k para algum k J. Logo, como V k e U são vizinhanças de fz consideramos W = V k U. Note que p W também é uma vizinhança distinguida, pois W é distinguida e p W W. Por outro lado, f é contínua e f 1 p W é uma vizinhança de z Z. Como Z é localmente conexo por caminhos, existe um caminho ligando uma vizinhança V de z tal que V f 1 p W Mostraremos que f V U. Primeiramente fz V ; se z V, existe um caminho α en V ligando z a z ; logo, pela definição de f temos fz = f α1, onde f α é o único levantamento de f α tal que f α0 = fz, pois: Por outro lado: f α I f V p W e f α I p 1 p W. p 1 p W = j J W j, onde os W j são disjuntos aos pares, cada W j é homeomorfo a p W e pelo menos um W k W ; como f α0 = fz W segue que f α1 = fz. Provamos que f V W U e portanto V f 1 U, isto é, todo elemento de f 1 U possui uma vizinhança totalmente contida em f 1 U ; logo f é contínua. Existem exemplos que mostram que a hipótese de ser Z localmente conexo por caminhos não pode ser retirada para a prova de que o levantamento f é contínuo.

113 5.1. CRITÉRIO GERAL DE LEVANTAMENTO 113 Corolário 5.1. Sejam X, p, X um recobrimento e Z um espaço simplesmente conexo e localmente conexo por caminhos; então toda função contínua f : Z X admite levantamento f : Z X. Prova: Se Z é simplesmente conexo e localmente conexo por caminhos, sempre temos que: f π1 Z, z0 = f {e} p π1 X, x0. Exemplo 5.2. [1] Toda função f : R S 1 admite levantamentos. [2] Em geral, toda função f : R n T n admite levantamentos. [3] Se n > 1, toda função f : S n PR n admite levantamentos. Proposição 5.1. Sejam X, p, X um recobrimento, α, β : I X caminhos tais que α0 = β0 = x 0 e α1 = β1 = x 1 e α, β : I X levantamentos de α e β, respectivamente, de ponto inicial x 0 X tal que p x 0 = x 0. Então, α1 = β1 se, e somente se [α β 1 ] p π1 X, x0. Prova: Seja [α β 1 ] p π1 X, x. Denotemos por γ o levantamento do caminho α β 1, a partir do ponto x 0 ; logo, γ é um caminho fechado. Os caminhos α, β : I X são definidos por: αt = γt/2 e βt = γ1 t/2. α0 = γ0 = x 0 = γ1 = β0 e α1 = γ1/2 = β1. Note que α e β são levantamentos de α e β, respectivamente: p αt = p γt/2 = α β 1 t/2 = α2 t/2 = αt. Analogamente,

114 114 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL p βt = p γ1 t/2 = α β 1 1 t/2 = β t/2 1 = β 1 1 t = βt. Em particular, nas hipóteses da proposição, temos o seguinte corolário: Corolário 5.2. Dado α um caminho fechado em x 0, seu levantamento, α com início em x p 1 x 0 é fechado se, e somente se [α] p π1 X, x. Prova: Basta considerar β como um caminho constante em x 0, na proposição anterior. 5.2 Grupo Fundamental e G-espaços Neste parágrafo discutiremos a seguinte questão: Dado X um G-espaço, que relação existe entre o grupo fundamental de X / G e o grupo G? Observação Lembremos que S 1 R / Z; logo: S 1, z 0 = π1 R / Z, w0 Z. 2. O toro T 2 = R 2/ Z 2 ; logo: T 2, y 0 = π1 R 2 / Z 2, w 0 Z Será possível afirmar que, em geral: X / G, y0 G?

115 5.2. GRUPO FUNDAMENTAL E G-ESPAÇOS Se a reposta for afirmativa, por exemplo, teríamos que: Lp, q1,..., q n, y 0 Zp. Se X é um G-espaço, tal que G age de forma totalmente descontínua sobre X, então: Π : X X / G é um recobrimento. / Por outro lado, se [γ] X G, y0, sabemos que existe um único levantamento: I γ γ X Π X / G tal que γ0 = x 0. Como γ1 G x 0, G x é a órbita de x, então existe um único g γ G tal que γ1 = g γ x 0. Definamos a seguinte aplicação: Ψ é um homomorfismo de grupos. Ψ : X / G, y0 G [γ] g γ. Sejam [α], [β] X / G, y0 tal que y0 = Πx 0 ; isto é, y 0 G x 0. Consideremos α e β levantamentos de α e β. Note que α β não é definido, pois g α x 0 x 0 ; por outro lado: α0 = x 0, α1 = g α x 0, β0 = x 0, β1 = gβ x 0. Seja Θ gα : X X o homeomorfismo definido por Θ gα x = g α x e definamos: Note que: Θ gα β : I X. Θgα β 0 = g α x 0, Θgα β 1 = g α g β x 0.

116 116 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL Θ gα β é um levantamento de β. De fato, Π Θ gα β = Π g α β = Π β = β. Consideremos o caminho α Θ gα β ; logo: α Θ gα β 0 = α0 = x 0, α Θ gα β 1 = Θ gα β 1 = g α g β x 0. Então: Ψ [α] [β] = Ψ [α β] = α Θ gα β 1 = g α g β = Ψ [α] Ψ [β]. Lema 5.1. kerψ = Π π1 X, x0, onde Π é o homomorfismo induzido pela projeção: e kerψ é o núcleo de Ψ. Π : X X / G Prova: [γ] kerψ, se, e somente se Ψ[γ] = e se, e somente se γ1 = x 0, onde γ é o único levantamento de γ tal que γ0 = x 0. Logo, se, e somente se [ γ] X, x0 e γ = Π γ; então: [γ] = [Π γ] = Π [ γ] Π π1 X, x0. Utilizando o primeiro teorema do isomorfismo de grupos, temos: X / G, y0 / kerψ = π1 X / G, y0 / Π π1 X, x0 Im Ψ. Teorema 5.5. Com as notações e as hipóteses do lema anterior, temos: X / G, y0 / Π π1 X, x0 G. Prova: Π é sobrejetiva. Veja o capítulo do grupo fundamental de S 1 Corolário 5.3. Se X é simplesmente conexo, então: Prova: Exercício. Veja o caso X = S 1. X / G, y0 G.

117 5.2. GRUPO FUNDAMENTAL E G-ESPAÇOS 117 Exemplo 5.3. [1] Como antes, consideremos S 2n+1 como Z P -espaço; então: Lp, q1,..., q n, y 0 = π1 S 2n+1 / Z p, y 0 Zp ; pois S 2n+1 é simplesmente conexa, n 1. [2] Sabemos que o espaço projetivo real PR n, n > 1 pode ser obtido a partir de S n como Z 2 -espaço. Logo: PR n, y 0 = π1 S n / Z 2, y 0 Z2. [3] Sabemos que a faixa de Möebius M é homeomorfa a X = R 1, 1 como Z -espaço. Logo: M, w0 = π1 X / Z, y0 Z. Assim, obtemos o resultado obtido nos capítulos anteriores. [4] Seja G o grupo gerado pelos homeomorfismos a, b : R 2 R 2 definidos por: ax, y = x, y + 1 e bx, y = x + 1, y. Sabemos que K = R 2/ G é a garrafa de Klein. Lembremos que G não é isomorfo a Z Z, pois satisfaz à relação b a b = a. Logo: K, k0 = π1 R 2 / G, k 0 G. [5] Seja α : I S n um caminho tal que α0 = α1 e Π : S n PR n a projeção canônica. Então PR n, [α0] é gerado por [p α]. De fato, considere o seguinte diagrama comutativo: I α p α S n p PR n Por outro lado sabemos que: Ψ : PR n, [α0] Z 2 é definida por Ψ[p α]] = α1; como α0 α1 e é um isomorfismo de grupos, então Ψ[p α]] é não trivial, logo gera PR n, [α0].

118 118 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL 5.3 Transformações de Recobrimentos Sejam X1, p 1, X e X2, p 2, X recobrimentos sobre X. Definição 5.1. A função h : X 1 X 2 é dita um homomorfismo, se: 1. h é contínua. 2. O seguinte diagrama comuta: isto é, p 2 h = p 1. X 2 h p 2 X 1 p 1 X Observação 5.4. Note que p 2 h = p 1 implica em que h : p 1 1 x p 1 2 x seja uma bijeção. Proposição 5.2. Sejam X1, p 1, X e X2, p 2, X recobrimentos tais que X 1 e X 2 são conexos e localmente conexos por caminhos. Dados x 1 X 1, x 2 X 2 e x 0 X arbitrários, tais que p 1 x 1 = p 2 x 2 = x 0 e se p 1 π1 X1, x 1 p2 π1 X2, x 2, então existe h : X 1 X 2 contínua tal que h x 1 = x 2 e o seguinte diagrama comuta: h X 2 X 1 p 1 X Isto é, p 2 h = p 1 e h é um homomorfismo de recobrimento. Prova: Utilizaremos o teorema 5.4. O recobrimento X1, p 1, X possui a propriedade dos levantamentos. Denotemos por p 1 o único levantamento de p 1 : p 2 tal que p 2 p 1 = p 1. Definamos h = p 1. X 2 p 1 p 2 X 1 p 1 X

119 5.3. TRANSFORMAÇÕES DE RECOBRIMENTOS 119 Exemplo 5.4. [1] Sejam p 1 : S 1 S 1 e p 2 : S 1 S 1 definidas por p 1 z = z 6n e p 2 z = z 2n, respectivamente. Como p 1 π1 S 1, z 0 6 Z e p2 π1 S 1, z 0 2 Z, temos: p 1 π1 S 1, z 0 6 Z p2 π1 S 1, z 0 2 Z. Pela proposição anterior segue que existe h homomorfismo de recobrimentos, onde temos o seguinte diagrama comutativo: S 1 h S 1 p 1 S 1 p 2 Note que h : S 1 S 1 é tal que hz = z 3. Em geral, sejam: p m, p n : S 1 S 1, onde p m z = z m e p n z = z n ; n, m Z. A existência do levantamento é equivalente a que p m π1 S 1, z 0 m Z pn π1 S 1, z 0 n Z, o qual é equivalente a que n divide m, isto é, temos o seguinte diagrama comutativo: S 1 h S 1 p m S 1 p n onde hz = z m/n. [2] Sejam p 1 : R 2 T 2 e p 2 : S 1 R T 2 tais que p 1 s, t = exps, expt e p 2 z, t = z, expt, respectivamente. Como p 1 π1 R 2, t 0 {0} {0} e p2 π1 S 1 R, z 0, t 0 Z {0}, temos: p 1 π1 R 2, t 0 {0} {0} p2 π1 S 1 R, z 0, t 0 Z {0}.

120 120 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL Pela proposição anterior temos que existe h homomorfismo de recobrimentos, onde temos o seguinte diagrama comutativo: h S 1 R p 2 R 2 p 1 T 2 Note que h : R 2 S 1 R é tal que hs, t = exps, t. Proposição 5.3. Sejam X1, p 1, X e X2, p 2, X recobrimentos e h : X1 homomorfismo; então X1, h, X 2 é um recobrimento. X 2 um Prova: Note que todo x X possui uma vizinhança conexa por caminhos que é uma vizinhança distinguida para cada recobrimento. De fato, escolhemos U 1 e U 2 vizinhanças distinguidas de x de cada recobrimento; então consideramos U = U 1 U 2. Provaremos que h é sobrejetiva. Isto é, provaremos que para todo ỹ X 2, existe x X 1 tal que h x = ỹ. Fixemos x 1 X 1 e seja x 2 = h x 1, x 0 = p 1 x 1 = p 2 x 2 ; denotemos por α um caminho em X 2 tal que α0 = x 2 e α1 = ỹ. Agora consideramos β = p 2 α um caminho em X; então existe, um único levantamento γ tal que γ0 = x 1 e que satisfaz a p 1 γ = β. Seja x = γ1. Logo, os caminhos h γ e α tem o mesmo ponto inicial e p 2 h γ = p 2 α; pela unicidade do levantamento temos h γ = α, logo h x = ỹ. Definição 5.2. Dados os recobrimentos X1, p 1, X e X2, p 2, X, a função h : X 1 X 2 é um isomorfismo de recobrimento, se: 1. h é um homeomorfismo. 2. O seguinte diagrama comuta: X 2 h p 2 X 1 p 1 X isto é, p 2 h = p 1.

121 5.3. TRANSFORMAÇÕES DE RECOBRIMENTOS 121 Observação Se existe isomofismo entre X1, p 1, X e X2, p 2, X, dizemos que os recobrimentos são isomorfos. 2. Os isomorfismos de recobrimentos também são chamados transformações de recobrimentos. Proposição 5.4. Sejam X1, p 1, X e X2, p 2, X recobrimentos tais que X 1 e X 2 são conexos e localmente conexos por caminhos. Dados x 1 X 1, x 2 X 2 e x 0 X tais que p 1 x 1 = p 2 x 2 = x 0 e se p 1 π1 X1, x 1 = p2 π1 X2, x 2, então existe h : X1 X 2 homeomorfismo tal que h x 1 = x 2 e o seguinte diagrama comuta: h X 2 X 1 p 1 X isto é, p 2 h = p 1 e h é um isomorfismo de recobrimento. Prova: Novamente utilizaremos o teorema 5.4. Ambos os recobrimentos possuem a propriedade dos levantamentos. Denotemos por p 1 e p 2 os únicos levantamentos de p 1 e p 2, tais que os seguintes diagramas comutam: p 2 X 2 p 1 p 2 X 1 p 1 X X 1 p 2 p 1 X 2 p 2 X isto é, p 2 p 1 = p 1 e p 1 p 2 = p 2. Denotemos por: f = p 2 p 1 : X 1 X 1 ; logo, f x 1 = p 2 p 1 x 1 = p 2 x 2 = x 1. Então, f = id X1 injetiva e p 2 sobrejetiva. Analogamente, definimos: e, consequentemente, p 1 é g = p 1 p 2 : X 2 X 2 ; temos que g = id X2 e, consequentemente, p 2 é injetiva e p 1 sobrejetiva. Definimos h = p 1.

122 122 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL Em particular, temos o seguinte corolário: Corolário 5.4. Sejam X1, p 1, X e X2, p 2, X recobrimentos tais que X 1 e X 2 são simplesmente conexos e localmente conexos por caminhos. Então, existe um homeomorfismo, tal que o seguinte diagram comuta: X 2 h p 2 X 1 p 1 X O seguinte corolário é uma recíproca da proposição anterior. Corolário 5.5. Sejam X1, p 1, X e X2, p 2, X recobrimentos tais que X 1 e X 2 são conexos e localmente conexos por caminhos. Dados x 1 X 1, x 2 X 2 e x 0 X tais que p 1 x 1 = = p 2 x 2 = x 0, se existe h : X 1 X 2 homeomorfismo tal que p 2 h = p 1 e h x 1 = x 2, então: p 1 π1 X1, x 1 = p2 π1 X2, x 2. O seguinte teorema determina completamente os possíves recobrimentos de um espaço, salvo isomorfismos, pela classe de conjugação de p π1 X, x. Teorema 5.6. Os recobrimentos X1, p 1, X e X2, p 2, X são isomorfos se, e somente se para todos x 1 X 1, x 2 X 2 e x 0 X tais que p 1 x 1 = p 2 x 2 = x 0, os subgrupos p 1 π1 X1, x 1 e p2 π1 X2, x 2 estão na mesma classe de conjugação em π1 X, x0. Prova: A prova segue do corolário anterior e do teorema 5.4. Observação Se X = X 1 = X 2, os isomorfismos são chamados automorfismos do recobrimento X, p, X. 2. Não é difícil provar, que os automorfismos de X, p, X formam um grupo com a composta de funções. Denotemos este grupo por: Aut X, p, X = {h : X X / h isomorfismo tal que p h = p}.

123 5.3. TRANSFORMAÇÕES DE RECOBRIMENTOS Cada h Aut X, p, X define uma permutação em cada fibra p 1 x. 4. Note que X é um Aut X, p, X -espaço com a ação: : Aut X, p, X X X h, x h x = h x Dos teoremas anteriores, segue imediatamente: Corolário 5.6. Sejam X, p, X e x X. Um automorfismo h é completamente determinado pelo valor h x. Isto é, se h 1, h 2 Aut X, p, X com h1 x = h 2 x, então h 1 = h 2. Prova: Imediata. Note que se x 0 X e x 0 p 1 x 0, então h x 0 p 1 x 0. Utilizando este corolário podemos construir automorfismos, pois, os automorfismos são completamente determinados por seus possíveis valores na fibra. Sejam x 0 X e x 0 p 1 x 0. Podemos construir os automorfismos associando a h x 0 os possíveis valores em p 1 x 0. Exemplo 5.5. [1] Seja R, exp, S 1 ; então para cada n Z, temos: T n : R R x x + n. As translações T n são automorfismos tais que T n 0 = n, para todo n Z. Por outro lado sabemos que exp 1 1 Z. Logo, estes são todos os possíveis automorfismos; então: Aut R, exp, S 1 = {T n / T n x = x + n, n Z, x R}. [2] Seja R 2, p, T 2 ; então, para cada n, m Z Z, temos: T n,m : R 2 R 2 x, y x + n, y + m.

124 124 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL As translações T n,m são automorfismos tais que T n,m 0, 0 = n, m, para todo n, m Z Z. Por outro lado sabemos que p 1 1 Z Z. Logo, estes são todos os possíveis automorfismos; então: Aut R 2, p, T 2 = {T n,m / T n,m x, y = x + n, y + m, n, m Z 2, x, y R 2 }. [3] Em geral, seja R n, p, T n ; então, para cada v Z n, temos: T v : R n R n x x + v. As translações T v são automorfismos tais que T v 0, 0 = v, para todo v Z n. Por outro lado sabemos que p 1 1 Z n. Logo, estes são todos os possíveis automorfismos; então: Aut R n, p, T n = {T v / T v x = x + v, v Z n, x R n }. [4] Seja PR n, Π, S n. Como sabemos Π 1 1 Z 2. Logo, estes são todos os possíveis automorfismos; então: onde a é função antípoda. Aut PR n, Π, S n = {id, a}, [5] Sejam X, Π, M, onde M é a faixa de Möebius e X = R 1, 1; então para cada n Z, temos: T n : R 1, 1 R 1, 1 x, y x + n, 1 n y. T n são automorfismos tais que T n 0, 0 = n, 0, para todo n Z. Por outro lado sabemos que Π 1 1 Z. Logo, estes são todos os possíveis automorfismos; então: Aut X, Π, M = {T n / T n x, y = x + n, 1 n y, n Z, x, y X}. Teorema 5.7. Se X é conexo e localmente conexo por caminhos, então Aut X, p, X atua de forma totalmente descontínua sobre X. Em particular: é um recobrimento. Π : X X / Aut X, p, X

125 5.3. TRANSFORMAÇÕES DE RECOBRIMENTOS 125 Prova: Sejam x X e U uma vizinhança distinguida de p x = x; então: p 1 U = j J V j, onde V j são disjuntas aos pares e cada V j é homeomorfa a U. Logo, existe um k J tal que x V k. Seja h Aut X, p, X : 1. Se h x = x, então sabemos que h = id X. Veja o capítulo anterior. 2. Se h id X, como p h x = p x segue que h x V s, para algum s J. 3. Se V k = V s, então h x = x. Logo, se h id X, então x V k e h x V s e V k V s =. Por outro lado, U é conexo por caminhos pois X e X são localmente conexos por caminhos e os V j também são conexos por caminhos. Por outro lado, note que p h V k = U e: h V k V j ; como h x V s, para algum x V k, temos que h V k Vs ; logo V k h V k = ; a ação é totalmente descontínua. j J Teorema 5.8. Se X é conexo e localmente conexo por caminhos e p π1 X, x0 é um subgrupo normal de X, x0, então: onde = denota homeomorfismo. X = X / Aut X, p, X, Prova: Se p π1 X, x0 é um subgrupo normal de π1 X, x0, sabemos que: p π1 X, x0 = p π1 X, x1, para todo x1 p 1 x 0. Logo, existe h Aut X, p, X tal que h x0 = x 1. Reciprocamente, se h x 0 = x 1 para algum h Aut X, p, X, então p x0 = p x 1. Isto é, o grupo Aut X, p, X identifica cada elemento de X da mesma forma que os identifica a aplicação de recobrimento p. Logo, existe uma bijeção entre X e X / Aut X, p, X.

126 126 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL Por outro lado, X e X / Aut X, p, X tem a topologia quociente determinada por p e Π, respectivamente. Logo: X = X / Aut X, p, X. Corolário 5.7. Seja X, p, X um recobrimento tal que X é conexo e localmente conexo por caminhos. Se p π1 X, x0 é um subgrupo normal de π1 X, x0, onde p x0 = x 0, então X, x0 / p π1 X, x0 Aut X, p, X. Em particular, se X é simplesmente conexo, então: Prova: Exercício. X, x0 Aut X, p, X. Exemplo 5.6. [1] Seja R n, p, T n. Como R n é simplesmente conexo, temos que: Z n = π1 T n, x 0 = Aut R n, p, T n. Por outro lado, sabemos que: Aut R n, p, T n = {T v x = x + v / v Z n, x R}. Logo, pelo teorema 5.8, obtemos novamente que: R n/ Z n = T n. [2] Seja PR n, Π, S n. Como S n é simplesmente conexa n > 1, temos que: Z 2 = π1 PR n, x 0 = Aut PR n, Π, S n. Por outro lado, sabemos que: Aut PR n, Π, S n = {id, a}, onde a é a função antípoda. Pelo teorema 5.8, obtemos novamente que: S n/ Z 2 = PR n.

127 5.3. TRANSFORMAÇÕES DE RECOBRIMENTOS 127 [3] Seja S 1, p, S 1 tal que pz = z n, n N; então como S 1, x 0 Z, temos que é normal em Z e: p π1 S 1, x 0 n Z Aut S 1, p, S 1 = π1 X, x0 / p π1 X, x0 Z / nz. Isto é, Aut S 1, p, S 1 é um grupo finito de ordem n. Pelo teorema 5.8, obtemos novamente que: S 1/ Z / nz = S 1. [4] Seja X, Π, M, onde M é a faixa de Möebius e X = R 1, 1. Como X é simplesmente conexo, temos que: Por outro lado, sabemos que: Z = M, m0 = Aut X, Π, M. Aut X, Π, M = {T n / T n x, y = x + n, 1 n y, n Z, x R}. Pelo teorema 5.8, obtemos novamente que: X / Z = M. [5] Seja R 2, Π, K, onde K é a garrafa de Klein. Como R 2 é simplesmente conexo, temos que: Aut R 2, Π, K K, x0 G, onde G é o grupo gerado pelos homeomorfismos a, b : R 2 R 2 definidos por: ax, y = x, y + 1 e bx, y = x + 1, y, com a relação b a b = a. Logo, os automorfismos são: Aut R 2, Π, K = {T n,m / T n,m x, y = 1 n x + m, y + n, n, m Z, x, y R 2 }. Note que:

128 128 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL T n,m 0, 0 = m, n T 1,0 x, y = ax, y T 0,1 x, y = bx, y. Pelo teorema 5.8, obtemos novamente que: R 2/ G = K. [6] Seja Lp, q, Π, S 2n+1. Como S 2n+1 é simplesmente conexo, então: Aut Lp, q, Π, S 2n+1 Lp, q, x0 Zp. Pelo teorema 5.8, obtemos novamente que: S 2n+1/ Z p = Lp, q. Observação Sabemos que o teorema 5.6 determina completamente os possíves recobrimentos de um espaço, salvo isomorfismo, pela classe de conjugação dos subgrupos p π1 X, x. 2. A recíproca será verdadeira? Isto é, dada uma classe de conjugação de subgrupos de X, x existe um recobrimento X, p, X tal que p π1 X, x pertence a esta classe de conjugação? Em geral, a resposta a esta questão é negativa. 3. Note que sempre temos o recobrimento X, id, X correspondente à classe de conjugação do subgrupo X, x. Definição 5.3. O recobrimento X, p, X é dito universal de X, se X é conexo, localmente conexo por caminhos e simplesmente conexo. Exemplo 5.7. [1] R, exp, S 1 é o recobrimento universal de S 1. [2] Analogamente, R 2, exp, exp, T 2 é o recobrimento universal de T 2. [3] Em geral, R n, exp,..., exp, T n é o recobrimento universal de T n.

129 5.3. TRANSFORMAÇÕES DE RECOBRIMENTOS 129 [4] S 1 R, id, exp, T 2 não é um recobrimento universal de T 2. [5] X, Π, M, onde M é a faixa de Möebius e X = R 1, 1 é o recobrimento universal de M. [6] R 2, Π, K, onde K é a garrafa de Klein, é o recobrimento universal de K. Observação 5.5. Ao recobrimento universal é associado ao subgrupo {e} X, x. Definição 5.4. O número de folhas do recobrimento universal é dito a ordem do grupo fundamental da base. Por exemplo, R, exp, S 1 tem infinitas folhas e S n, Π, PR n, n > 1 tem 2 folhas. Proposição 5.5. Seja X, p, X recobrimento universal de X. Para todo X1, p 1, X tal que X 1 é conexo, existe h : X X1 homomorfismo tal que o seguinte diagrama é comutativo: isto é, p 1 h = p. h X 1 X p X Prova: Para todo x X e x 1 X 1 tais que p x = p 1 x 1 temos: {0} p π1 X, x p1 π1 X1, x 1. Pela proposição 5.3 e a proposição anterior, temos que: Dado X, p, X o recobrimento universal de X, para todo recobrimento X1, p 1, X, existe homomorfismo h : X X1 tal que X, h, X1 é um recobrimento de X1. Isto justifica o nome de recobrimento universal. p 1 h X 1 X p X p 1 Segue diretamente do corolário 5.5, que dois recobrimentos universais de um mesmo espaço são isomorfos. Neste sentido, o recobrimento universal, se existe, é único. É possível provar a existência do recobrimento universal de um espaço com hipóteses bastante gerais.

130 130 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL 5.4 Aplicações Um problema bastante complicado é determinar todos a menos de isomorfismo os recobrimentos de um espaço dado. Neste parágrafo, estudaremos alguns exemplos com a hipótese de que o espaço de recobrimento é conexo. Utilizaremos o seguinte corolário dos parágrafos anteriores. Teorema 5.9. Seja X conexo e localmente conexo por caminhos possuindo recobrimento universal X, p, X. Dado G π1 X, x0 um subgrupo, existem um recobrimento XG, p, X e y 0 p 1 x 0, tais que: p π1 XG, y 0 = G. Prova: Sabemos que X, x0 e Aut X, p, X são isomorfos. Seja G π1 X, x0 um subgrupo e consideremos G Aut X, p, X o subgrupo correspondente, dado pelo isomorfismo; denotemos por: X G = X / G. A relação de equivalência está definida por: x y se, e somente se, existe g G tal que gx = y. Demos a X G a topologia quociente determinada pela projeção canônica: Π : X X G. Definamos a seguinte aplicação: p G : X G X G x p x. Isto é, temos o seguinte diagrama comutativo: Π X G X p X p G De fato, todo elemento da orbita de x é da forma h x, onde h G ; como G é um subgrupo de automorfismos, temos que:

131 5.4. APLICAÇÕES 131 p h x = p x, então p G Π = p. Logo, p G é bem definida e sobrejetiva. Por outro lado, G age de forma totalmente descontínua; pelo que foi visto nos parágrafos anteriores, p G é um recobrimento. Em particular p G é um homeomorfismo local; como X é localmante conexo, então X G é localmente conexo. X é simplesmente conexo, XG é conexo; como Π é um homomorfismo de recobrimento, em particular, X é o recobrimento universal de X G, logo: XG, y 0 G. Note que para verificar que p π1 XG, y 0 = G, basta verifica que o seguinte diagrama comuta: XG, y 0 p G X, x0 Ψ G i Φ H onde H = Aut X, p, X, Φ e Ψ são isomorfismos e i é a inclusão. p G = Φ 1 i Ψ = Φ 1 Ψ, então: De fato, como p G π1 XG, y 0 = Φ 1 Ψ XG, y 0 = Φ 1 G = G. Consideremos o diagrama comutativo: Π X G X p X p G tal que p x 0 = x 0, Π x 0 = y 0 e p G y 0 = x 0. Seja [ξ] XG, y 0 ; definimos: σ : I X, tal que σ = p G ξ. Note que [σ] X, x0, pois σ0 = pg ξ0 = p G y 0 = x 0 e σ1 = p G ξ1 = p G y 0 = x 0. Consideremos σ o levantamento de σ a partir de x 0, isto é: p σ = σ.

132 132 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL Por outro lado, p G Π = p e p σ = p G Π σ; logo: p G Π σ = p σ = σ = p G ξ. Note que Π σ0 = Π x 0 = y 0. Logo, ξ e Π σ tem ponto inicial y 0 ; então Π σ e ξ são levantamentos de σ partindo de y 0. I Pela unicidade dos levantamentos: I σ Π X ξ X G Π σ = ξ. p X id p G X Logo, σ é um levantamento em X de ξ; então [Π σ] = [ξ]. Como σ e ξ são levantamentos em X, as imagens Ψ[ξ] e Φ[σ] são unicamente determinadas por x 0 e σ1. Logo, Φ[σ] = σ1 = Ψ[ξ]. Por outro lado, Φ[σ] = Φp G [ξ]; então: Φp G [ξ] = Ψ[ξ]. 5.5 Recobrimentos de S n, n > 1 Seja S n R n+1, n 2 a esfera unitária. Como S n é simplesmente conexa, então: S n, z 0 {e}, n 2. Logo, temos que, o único subgrupo possível é o subgrupo trivial, o qual é associado ao recobrimento universal. De fato: XG = S n/ {e} = S n é o recobrimento universal e: é o único recobrimento de S n, n > 1. id : S n S n, Logo, todo recobrimento X, p, S n é isomorfo a este recobrimento.

133 5.6. RECOBRIMENTOS DOS ESPAÇOS LENTICULARES Recobrimentos dos Espaços Lenticulares Seja Lp, q 1,..., q n = S 2n+1/ Z p o espaço lenticular. Sabemos que Lp, q1,..., q n, y 0 Zp, onde p é um número primo e os q i são inteiros, primos relativos com p. Logo, os únicos subgrupos de Z p são {e} e Z p, então: 1. O recobrimento universal: XG = S 2n+1/ {e} = S 2n+1, e: Π : S 2n+1 Lp, q 1,..., q n, onde Π é a projeção canônica. 2. O outro recobrimento é X G = S 2n+1/ Z p = Lp, q1,..., q n, e: id : Lp, q 1,..., q n Lp, q 1,..., q n. Logo, todo recobrimento X, p, Lp, q é isomorfo a um destes recobrimentos. 5.7 Recobrimentos do Espaço Projetivo Real Seja PR n, n 2 o espaço projetivo real. Sabemos que PR n, p 0 é um grupo finito de ordem 2, isomorfo a Z 2. Por outro lado Z 2 admite somente dois subgrupos: {e} e Z 2. Então, temos: 1. XG = S n/ {e} = S n é o recobrimento universal: Π : S n PR n, onde Π é a projeção canônica. O grupo de automorfismos é: PR n, p 0 Aut S n, Π, PR n = {id, a}, onde a é a função antípoda.

134 134 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL 2. XG = S n/ Z 2 = PR n e: id : PR n PR n, é recobrimento trivial. Logo, todo recobrimento X, p, PR n é isomorfo a um destes recobrimentos. 5.8 Recobrimentos do Círculo Sejam S 1 C e z 0 = 1, 0. Sabemos que S 1, z 0 é um grupo cíclico infinito, isomorfo a Z. Os subgrupos de Z são do tipo: G n = n Z, n X = R é o recobrimento universal de S 1 que é associado ao subgrupo {e}, onde: exp : R S 1. De fato, X G = R / {e} R. O grupo de automorfismos é: Aut R, Π, S 1 = {T k z = z + k / k Z, z S 1 }. Note que exp T k = exp, para todo k Z. 2. Se G Z, então X G = R / G S 1 ; logo, temos: id : S 1 S 1, o recobrimento trivial. 3. Os subgrupos G n = nz, n N são associados aos recobrimentos: p n :S 1 S 1 z z n. De fato, o subgrupo G n tem como subgrupo correspondente pelo isomorfismo: G n = {T n z = z + n / n Z, z S 1 }.

135 5.9. RECOBRIMENTOS DO TORO 135 Logo: X G = R / G n S 1, pois: x x + n, n Z. Por exemplo, seja o subgrupo 4 Z que tem como subgrupo correspondente pelo isomorfismo: G 4 = {T 4 z = z + 4 / z S 1 }. Todos os pontos de R são equivalentes a um elemento de [0, 4] por G 4; logo R / G 4 é [0, 4], salvo 0 e 4 que são equivalentes, isto é: R / G 4 S 1. Note que a aplicação T 4 : R R induz p 4, que corresponde a dar 4 vezes a volta ao redor do círculo. R T 4 R S 1 p 4 S 1 Logo, todo recobrimento X, p, S 1 é isomorfo a um destes recobrimentos. 5.9 Recobrimentos do Toro Sejam T 2 o toro e z 0 = 0, 0. Sabemos que T 2, z 0 é um grupo cíclico infinito com 2 geradores, isomorfo a Z Z. Logo, os possíveis subgrupos são: 1. Subgrupos cíclicos com um gerador. 2. Subgrupos cíclicos com dois geradores. O recobrimento universal do toro: XG = R 2/ G 0,0 = R 2 : Π : R 2 T 2.

136 136 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL O grupo de automorfismos é: Aut R 2, Π, S 1 S 1 = {T k,l x, y = x + k, y + l / k, l Z, x, y R 2 }. Compondo com o homeomorfismo: T 2 = S 1 S 1, temos: p : R 2 T 2 s, t exps, expt. 1. Subgrupos gerados por um gerador. Os subgrupos gerados por vetores paralelos a 1, 0: G k,0 k 1 tem como subgrupo correspondente pelo isomorfismo: G k,0 = {T k x, y = x + k, y / k Z, x, y R 2 }, os quais, são associados aos cilindros. De fato: x, y x + k, y, x, y R 2 ; logo: R 2/ G k,0 = {x, y / 0 x k} S 1 R. Compondo com o homeomorfismo: T 2 = S 1 S 1, temos: p : S 1 R T 2 z, t z, expt.

137 5.9. RECOBRIMENTOS DO TORO 137 p Figura 5.1: Cilindro recobrindo o toro Analogamente, os subgrupos gerados por vetores paralelos a 0, 1: G 0,l l 1, tem como subgrupo correspondente pelo isomorfismo: G 0,l = {T l x, y = x, y + l / l Z, x, y R 2 }, os quais, são associados aos cilindros. De fato: x, y x, y + l, x, y R 2 ; logo: R 2/ G 0,l = {x, y / 0 y l} R S 1. Compondo com o homeomorfismo: T 2 = S 1 S 1, temos: p : R S 1 T 2 t, z expt, z.

138 138 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL p Figura 5.2: Cilindro recobrindo o toro Os subgrupos G k,l gerados por vetores k, l são, em geral, faixas do tipo: G k,l = {x, y / 0 x, y k, l k, l 2 }, onde é o produto interno usual do plano. Figura 5.3: Logo, após rotações que são homeomorfismos, obtemos que:

139 5.9. RECOBRIMENTOS DO TORO 139 R 2/ G k,l = C, onde C é um cilindro. Utilizando a estrutura multiplicativa do grupo T 2 = = S 1 S 1, temos que: p : C T 2 z, t z k e 2πlt, z l e 2πkt. Se l = 0, temos que z, t z k, e 2πkt que corresponde ao produto de dois recobrimentos, o primeiro finito de S 1 e o segundo o universal. 2. Subgrupos com dois geradores. São subgrupos gerados por um par de vetores linearmente independentes. Em geral, estes subgrupos são associados a retângulos: Figura 5.4: Portanto os espaços de recobrimento resultantes são toros. Se o subgrupo é gerado por vetores a, b e c, d, linearmente independentes e utilizando a estrutura multiplicativa do grupo T 2 = S 1 S 1, temos que: p : T 2 T 2 z, w z a w c, z b w d.

140 140 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL Se c = b = 0, temos que z, w z a, w d que corresponde ao produto de dois recobrimentos finitos de S 1. Distintos pares de geradores geram distintos subgrupos se o conjunto de geradores não são equivalentes por Aut R 2, Π, S 1 S 1. Por exemplo, o subgrupo 3 Z {0} 2 Z {0} 3 Z 2 Z, tem como subgrupo correspondente pelo isomorfismo a G 3,2, o qual é gerado por: T 3,0 x, y = x + 3 k, y e T 2,0 x, y = x, y + 2 l. Todo ponto de R 2 é equivalente por G 3,2 a um ponto de [0, 3] [0, 2]; logo R 2/ G 3,2 é um toro p Figura 5.5: Recobrimento de 6 folhas do toro A projeção envia os seis retângulos no retângulo original do toro. Logo, é um recobrimento de 6-folhas do toro O subgrupo G gerado por 0, 2 e 1, 1, produz o seguinte recobrimento do toro:

141 5.9. RECOBRIMENTOS DO TORO p Figura 5.6: Recobrimento do toro O número de recobrimentos de k l folhas é determinado pela fatoração de k l. Por exemplo, para recobrimentos de 6 folhas temos: 6 1 = 3 2 = 2 3 = 1 6. Verifique se os recobrimentos anteriores de 6 folhas são isomorfos O n-toro Em geral, se T n = R n/ Z n, então todo recobrimento X, conexo por caminhos de T n é: onde T 0 = {x 0 }. X T m R n m, De fato, o recobrimento universal de T n é R n. Por outro lado, todo recobrimento X, conexo por caminhos é isomorfo a: R n/ G, onde G é um subgrupo de T n, 0,..., 0 que é isomorfo a Z n. Logo, existem v 1, v 2,..., v m Z n linearmente independentes tais que G é gerado por estes vetores. Utilizando a mudança de bases para base canônica e 1, e 2,..., e m de R m, temos: R n/ < e 1, e 2,..., e m > R m/ < e 1, e 2,..., e m > R n m T m R n m, onde < e 1, e 2,..., e m > é o subgrupo gerado pelos elementos e 1, e 2,..., e m.

142 142 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL 5.10 Recobrimentos da Faixa de Möebius Seja M a faixa de Möebius. Sabemos que M, z0 é um grupo cíclico infinito, isomorfo a Z. Os subgrupos de Z são do tipo: G n = n Z, n 0. Denotemos: X = R 1, X = X é o recobrimento universal de M associado ao subgrupo G0, onde: Π : X M. De fato, X G = X / {e} X. O grupo de automorfismos é: Aut X, Π, M = {T k / T k x, y = x + k, 1 k y, k Z, x, y X}. Note que T k 0, y = k, 1 k y. Isto é: 0, y k, 1 k y Π Figura 5.7: Recobrimento universal da faixa de Möebius 2. Se G = Z, então X G = X / G M; logo temos: id : M M,

143 5.10. RECOBRIMENTOS DA FAIXA DE MÖEBIUS 143 o recobrimento trivial. 3. De forma análoga ao caso do círculo, os subgrupos G n = nz n N, são associados, pelo isomorfismo, a subgrupos: Logo: G n = {T n / T n x, y = x + n, 1 n y, n Z, x, y X}. Os recobrimentos: x, y x + n, 1 n y. X Gn = X / G n, onde todo ponto de X é equivalente a x, y com 0 x n. Obtemos recobrimentos de n folhas. Logo: 1. Se n é par, X Gn é um cilindro. De fato: Por exemplo X / 2 Z: x, y x + n, y Π Figura 5.8: Recobrimento da faixa de Möebius associado a 2 Z

144 144 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL 2. Se n é ímpar, X Gn é uma faixa de Möebius. De fato: x, y x + n, y. Por exemplo X / 3 Z: Π Figura 5.9: Recobrimento da faixa de Möebius associado a 3 Z 5.11 Recobrimentos da Garrafa de Klein Seja a garrafa de Klein: K = R 2/ G, onde G é o grupo gerado pelos homeomorfismos a, b : R 2 R 2 definidos por: ax, y = x, y + 1 e bx, y = x + 1, y, tal que b a b = a. Sabemos que K, p0 G. Note que se g G, então g = a m b n, m, n Z de forma única, e: Os possíveis subgrupos de G são: a m b n a r b s = a m+r b 1r n+s a m b n 1 = a m b 1m+1 n.

145 5.11. RECOBRIMENTOS DA GARRAFA DE KLEIN Os subgrupos cíclicos do tipo: H m,n = a m b n. 2. Os subgrupos cíclicos do tipo: tal que m 0, k > 0 e 0 n < k. H m,n,k = a m b n, b k O recobrimento universal: XG = R 2/ {e} = R 2 : Π : R 2 K. O grupo de automorfismos é: Aut R 2, Π, K = {T m,n / T m,n x, y = 1 m x + n, y + m, n, m Z}. Isto é: x, y 1 m x + n, y + m. 1. Consideramos X G = R 2/ H m,n e: onde p é a projeção canônica. É possível provar que se m é par, então: p : R 2/ H m,n K, e se m é ímpar, então: R 2/ H m,n S 1 R, onde M é a faixa de Möebius. R 2/ H m,n M, Por exemplo, seja H m,0 = {T m,0 x, y = 1 m x, y + m}. Logo,

146 146 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL x, y 1 m x, y + m, m Z Se m é par, x, y x, y + m, m Z e: R 2/ H m,0 S 1 R. Se m é ímpar, temos: x, y x, y + m, m Z logo, R 2/ H m,0 M. 2. Os subgrupos: H m,n,k = a m b n, b k tais que m 0, k > 0 e 0 n < k. Consideramos: X G = R 2/ H m,n,k e a projeção canônica: p : R 2/ H m,n,k K. É possível provar que se m é par, então: R 2/ H m,n,k T 2, e se m é ímpar, então: R 2/ H m,n,k K. Por exemplo, consideremos o subgrupo H m,0,k que é gerado pelos automorfismos: Então, se m é par: T m,0 x, y = 1 m x, y + m T 0,k x, y = x + k, y.

147 5.12. AÇÃO DO GRUPO FUNDAMENTAL SOBRE AS FIBRAS 147 x, y x, y + m x, y x + k, y. Logo: R 2/ H m,0,k T 2. Se m é ímpar: x, y x, y + m x, y x + k, y. Logo: R 2/ H m,0,k K. O seguinte recobrimento é determinado pelo subgrupo gerado por T 2,0 e T 1,3 : 0 2 p Figura 5.10: Recobrimento da garrafa de Klein 5.12 Ação do Grupo fundamental sobre as Fibras Seja X, p, X um recobrimento. Não é dificil verificar que existe uma ação natural do grupo fundamental de X sobre as fibras do recobrimento.

148 148 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL Dado x X, definiremos : X, x p 1 x p 1 x [α], x [α] x = α1, onde α é o único levantamento de α tal que p [ α] = [α] e α0 = x. Claramente, p 1 x é um X, x -espaço. Seja X um G-espaço. A ação do grupo G sobre o conjunto X é dita transitiva se para todo x 1, x 2 X existe g G tal que g x 1 = x 2. Lembremos que o subgrupo de isotropia do elemento x 0 X é: {g G / g x 0 = x 0 }. Proposição 5.6. Seja X, p, X um recobrimento. Temos: 1. X, x atua transitivamente sobre p 1 x. 2. Para todo x p 1 x, o subgrupo de isotropia de x é p π1 X, x. 3. Para todo h Aut X, p, X, x p 1 x e [α] X, x, temos que: h[α] x = [α] h x. Prova: 1. Sejam x 1, x 2 p 1 x, como X é conexo por caminhos, existe um caminho α tal que α0 = x 1 e α1 = x 2. Definamos α = p α, então: α0 = p x 1 = x = p x 2 = α1; logo, [α] X, x e [α] x1 = x Segue da definição da ação.

149 5.12. AÇÃO DO GRUPO FUNDAMENTAL SOBRE AS FIBRAS Seja [α] X, x ; denotemos por α o único levantamento de α tal que α0 = x e p α = α. Logo, [α] x = α1; consideremos h α caminho em X tal que h α0 = h x e h α1 = h α1, então: p h α = p h α = p α = α. Logo, h α também é um levantamento de α. Pela definição da ação : [α] h x = h α 1 = h α1 = h[α] x.

150 150 CAPÍTULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL 5.13 Exercícios 1. Complete todos os detalhes das provas dos teoremas, proposições e lemas do capítulo. 2. Um recobrimento X, p, X é dito regular se para algum x0 X o subgrupo p π1 X, x0 é normal de X, x0. Verifique que se [α] π1 X, x0, então todos os levantamentos de α são caminhos fechados ou não são fechados. 3. Seja X, p, X um recobrimento tal que X = X/ G, onde G é um grupo que age de forma totalmente descontíua sobre X. Prove que X, p, X é regular. 4. Seja X = R [0, 1] C e definamos o homeomorfismo T : X X z z i. Se G é o grupo gerado por T, calcule X / G, x0. Verifique primeiramente que X / G é homeomorfa à faixa de Möebius. 5. Verifique que o sinal negativo no expoente da primeira componente de p : C T 2 z, t z k e 2πlt, z l e 2πkt. é coerente com a descrição dos geradores do toro.

151 Capítulo 6 TEORIA DE GRUPOS O próximo capítulos e dedicado ao Teorema de Seifert-Van Kampen. Este teorema tem alguns pré-requisitos da Teoria dos Grupos, que são necessários para seu completo entendimento. Nos parágrafos seguintes, apresentaremos de forma bastante sucintas estes pré-requisitos. 6.1 Grupos Livres Nesta seção, iniciamos o estudo de alguns conceitos da Teoria dos Grupos, o suficiente para entender e aplicar o Teorema de Seifert-Van Kampen. Para mais detalhes e/ou aprofundamentos destes tópicos, veja qualquer livro de Álgebra intermediária. Definição 6.1. Seja S um conjunto e F um grupo. Dizemos que F é um grupo livre sobre S, se existe i : S F injetiva tal que para qualquer função h : S G, onde G é um grupo arbitrário, existe um único homomorfismo g : F G, tal que o seguinte diagrama comuta: Isto é, g i = h i F g S h G Observação Não é difícil ver que fixado o conjunto S, existe um único grupo livre F, a menos de isomorfismos. A existência dos grupos livres pode ser vista em qualquer livro de Álgebra intermediária. 151

152 152 CAPÍTULO 6. TEORIA DE GRUPOS 2. Claramente, o grupo livre G gerado por um único elemento é isomorfo a Z. De fato a única aplicação injetiva h : {a} Z é dada por ha = 1, tal que: {a} i h G Z g 3. Se S é um conjunto finito com n elementos, o grupo livre gerado por S é dito grupo livre com n geradores. Grupos livres com n > 1 geradores, são grupos infinitos não abelianos. 4. A seguinte propriedade caracteriza completamente estes grupos. Proposição 6.1. Todo grupo é quociente de um grupo livre. Prova: De fato. seja G um grupo e S G tal que G =< S >, onde < S > é o grupo gerado por S, logo a inclusão natural i : S G pode ser unicamente estendida a um homomorfismo sobrejetivo f : F G, onde F é o grupo livre sobre S. Denotando por R = kerf, pelo teorema do isomorfismo de grupos temos: F/R = G. Definição 6.2. Dizemos que R é o grupo de relações de G e que S é um sistema ou um conjunto de geradores de G. O par S, R é dito representação do grupo G. Note que sempre temos o seguinte: se G é o grupo gerado por S; então, S, é uma representação de G. A representação de um grupo não é única. De fato, os grupos com representações {x}, e {x, y}, y são isomorfos. Na verdade todo grupo G tem uma representação S, R, para isto, basta considerar: S = G e R = {g1 g 2 g 1 2 g 1 1 ; g 1, g 2 G}. A partir de agora, utilizaremos as seguintes notações: g g = g 2, g 1 g 1 = g 2, em geral g g... g = g n, g 1 g 1... g 1 = g n. Muitas vezes, por abuso de linguagem, se r R escreveremos r = 1, pois R = kerf.

153 6.1. GRUPOS LIVRES 153 Seja F um grupo livre sobre S; consideremos seu subgrupo comutador: então, temos que: R =< a b a 1 b 1 = 1 / a, b F >; G = F/R é um grupo abeliano livre sobre S. Logo, a inclusão natural i : S G é tal que, dada h : S H, onde H é um grupo abeliano, existe un homomorfismo g : G H tal que o seguinte diagrama comuta: i G g S h H onde g i = h. É possível provar que esta última propriedade caracteriza os grupos livres abelianos sobre S. Notações É comum introduzir as seguintes notações em topologia. Suponha que o conjunto de geradores é dado por S = {a, b, c} e o grupo de relações: O grupo correspondente é denotado por: R = {a 4 b 1 c b 8, a 3 b 9 c 2, a 3 b c 2 }. < a, b, c / a 4 b 1 c b 8 = 1, a 3 b 9 c 2 = 1, a 3 b c 2 = 1 >. Exemplo 6.1. [1] Não é difícil ver que o grupo: G =< a, b / b 2 a = b, b a 2 b = a > é isomorfo ao grupo trivial {1}. De fato, b 2 a = b implica b a = 1 ou, equivalentemente a 1 b 1 = 1; por outro lado, a 1 b 1 b a 2 b = a, donde b = 1, logo a = 1. [2] Considere o grupo Z 2 Z 3 gerado pelo par 1, 1 e que existe um único homomorfismo sobrejetivo: f : Z Z 2 Z 3

154 154 CAPÍTULO 6. TEORIA DE GRUPOS tal que f1 = 1, 1; por outro lado kerf =< 6 >, logo o grupo Z 2 Z 3 tem uma representação {a}, < 6 >, multiplicativamente, f6 = 1 é equivalente a a 6 = 1. Se escolhemos como geradores do grupo Z 2 Z 3 os pares 1, 0 e 0, 1 o kerf é gerado por 2 e 3, a representação é {a, b}, R tal que a 2 = 1 e b 3 = 1. [3] Se G é um grupo cíclico de ordem n, então G pode ser escrito como < a / a n = 1 >. Logo: G = Z n. [4] Seja o grupo simétrico G = S 3 ; temos que: G =< a, b / a 3 = b 2 = 1, a b 2 = 1 >. [5] Se G é o grupo de simetrias do quadrado; temos que: [6] Seja grupo Z 2 = Z Z; temos que: G =< a, b / a 4 = b 2 = 1, a b 2 = 1 >. G =< a, b / a b a 1 b 1 = 1 >. 6.2 Produto Livre de Grupos Seja G um grupo e {G α / α Γ} uma família de grupos tal que o conjunto dos índices Γ pode ser finito ou não. Construiremos um novo grupo G, tal que cada G α seja um subgrupo de G, para todo α Γ. A família {G α / α Γ} gera o grupo G, se todo elemento de G pode ser escrito como um produto finito de elementos de G α. Logo, dado g G, existem g ε 1 1, g ε 2 2,... gn εn, tal que: g = g ε 1 1 g ε g εn n, ε i { 1, 1} e onde cada g ε i i G α, diferente da identidade, para algum α de modo que os elementos adjacentes a g ε i i pertencem a diferentes G α. A expressão g ε 1 1 g ε gn εn é chamada palavra de comprimento n em G. Suponha que temos: g = g ε 1 1 g ε g εn n. Se g ε i i e g ε i+1 i+1 pertencem ao mesmo subgrupo, elas podem ser combinadas num novo elemento, obtendo uma palavra de comprimento n 1. Aplicando repetidamente esta operação, podemos obter uma palavra que não contém dois elementos consecutivos de um mesmo subgrupo; esta palavra é dita reduzida.

155 6.2. PRODUTO LIVRE DE GRUPOS 155 Definição 6.3. Seja G um grupo e {G α / α Γ} uma família de subgrupos que geram G. G α G β = {e} se α β. Dizemos que G é o produto livre gerado pelos G α, se para cada g G existe uma única palavra reduzida em G α que representa a g. Em tal caso escrevemos: G = G α. α No cado finito, escrevemos: G = G 1 G 2... G n. G é um grupo livre sobre o conjunto das palavras reduzidas. Observação Em resumo, o grupo G é definido como o conjunto das expressões formais: g = g ε 1 1 g ε g εn n, onde cada g ε i i pertence a algum G i diferente da identidade e tal que os elementos adjacentes a g ε i i pertencem a diferentes G α. 2. Note que a operação em G é um produto, por justaposição seguida de uma redução. De outra forma, o último dos g ε i i da primeira palavra e o último da segunda podem estar no mesmo grupo, então elas podem ser combinadas num novo elemento. Por exemplo, se g 1 = g ε 1 1 g ε g ε k k e g 2 = g ε j j g ε j+1 j gεn n, então g 1 g 2 = g ε 1 1 g ε g ε k ε k g j j g ε j+1 j gεn n = g ε 1 1 g ε g ε k k gε j ε j g j+1 j gεn n O elemento identidade de G é a palavra vazia a qual é denotada por 1. provar, que o produto livre de grupos sempre existe. O grupo G assim definido, satisfaz à seguinte propriedade universal: É possível Para todo grupo H e família de homorfismos h k : G k H, existe um único homomorfismo h : G H tal que h i k = h k, para todo k; isto é, o seguinte diagrama comuta:

156 156 CAPÍTULO 6. TEORIA DE GRUPOS i k G h G k H h k onde hg 1 g 2... g n = h 1 g 1 h 2 g 2... h n g n. Em geral, o produto livre de grupos não é um grupo livre. Por exemplo, considere o produto livre dos grupos Z 2 : Z 2 Z 2 =< a, b / a 2 = b 2 = 1 >. Logo, para todo g Z 2 Z 2 tal que g 1, o elemento g pode ser escrito, somente como produto de a e b, pois potências de a e b são triviais; logo os geradores devem aparecer alternados, por exemplo: a, b, a b, b a, a b a, a b a b,.... Como a b b a, o grupo é não abeliano e observe que ambos os elementos tem ordem finita. Por outro lado: O grupo Z 2 Z 2 é abeliano de ordem 4. Z 2 Z 2 Z 2 Z Produto Amalgamado de Grupos Nesta seção estudaremos o caso mais simples de produto amalgamado de grupos. Sejam G 0, G 1 e G 2 três grupos e os seguintes homomorfismos: h 1 G 1 G 0 G h 2 2 Considere G 1 G 2 o produto livre dos grupos G 1 e G 2 e seja N o subgrupo normalizador de G 1 G 2, isto é, o subgrupo gerado pelas palavras: {h 1 g 1 h 2 g / g G 0 } G 1 G 2.

157 6.3. PRODUTO AMALGAMADO DE GRUPOS 157 Definição 6.4. O produto amalgamado de G 1 e G 2, em relação aos homomorfismos h 1 e h 2, se denota e se define por: G 1 G0 G 2 = G 1 G 2 / N. Por exemplo, consideremos os seguintes grupos: tais que: Z 2 =< z / z 2 = 1 >, Z 4 =< a / a 4 = 1 > e Z 6 =< b / b 6 = 1 > h 1 Z 4 Z 2 Z h 6 2 onde h 1 z = a 2 e h 2 z = b 3 são os únicos homomorfismos não triviais, então: Z 4 Z2 Z 6 = {a, b / a 4 = b 6 = 1, x 2 = y 3 }. Denotemos por i k : G k G 1 G 2 as inclusões canônicas, para k = 1, 2 e por pr : G 1 G 2 G 1 G0 G 2 a projeção canônica, então o seguinte diagrama comuta: h 1 G 1 j 1 G 0 i 1 G 1 G 2 pr G 1 G0 G 2 h 2 i 2 G 2 j 2 onde j i = pr i 1, i = 1, 2. O produto amalgamado G 1 G0 G 2 pode ser considerado como o produto livre G 1 G 2, módulo a identificação h 1 g = h 2 g para todo g G 0. Se G 0 = {id}, então: Não é difícil ver que: G 1 G0 G 2 = G 1 G 2. G 1 G0 {1} G 1 e {1} G0 G 2 G 2. A seguinte propriedade caracteriza completamente o produto amalgamado de grupos.

158 158 CAPÍTULO 6. TEORIA DE GRUPOS Propriedade Universal do Produto Amalgamado Com as notações e definições acima, dado um grupo H arbitrário e: ψ k : G k H, k = 1, 2, homomorfismos tais que ψ 1 h 1 = ψ 2 h 2, existe um único homomorfismo: ψ : G 1 G0 G 2 H tal que ψ i k = ψ k, k = 1, 2 e tal que os seguintes diagramas comutam: G 0 h 1 h 2 G 1 i 1 ψ G 1 G0 G 2 ψ 1 i 2 ψ 2 G 2 H

159 Capítulo 7 TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN 7.1 Introdução O Teorema de Seifert-Van Kampen é um clássico da Topologia Algébrica e é uma ferramenta poderosa, que nos permitirá determinar o grupo fundamental de um espaço topológico, conhecendo apenas alguns dos grupos fundamentais de subconjuntos especiais do espaço topologico. Por exemplo, considere a figura do número oito. Topologicamente esta figura é homeomorfa a união de dois círculos, disjuntos, salvo num único ponto em comum; utilizando o Teorema de Seifert-Van Kampen, poderemos determiná-lo a partir do grupo fundamental do círculo. Figura 7.1: União de dois círculos, com um ponto comum 7.2 Teorema de Seifert-Van Kampen Agora apresentaremos o teorema central do capítulo 159

160 160 CAPÍTULO 7. TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN Considermos U, V e U V conjuntos abertos do espaço topológico X e as inclusões naturais: U U V X V Teorema 7.1. Seifert-Van Kampen Sejam X = U V, onde U, V e U V são abertos conexos por caminhos tal que x 0 U V. Denotemos por: U V, x0 i 1 U, x0 j 1 i 3 π1 X, x0 i 2 j 2 V, x0 os homorfismos induzidos pelas inclusões tal que o diagrama comuta. Dados H um grupo e os homomorfismos: ψ 1 : U, x0 H e ψ2 : V, x0 H, existe um único homorfismo ψ : X, x0 H tal que o seguinte diagrama comuta: i 1 U, x0 j 1 i 3 U V, x0 X, x0 ψ ψ 1 H i 2 j 2 V, x0 }ar[ru] ψ 2 Isto é, ψ j 1 = ψ 1 e ψ j 2 = ψ 2. Observação 7.1.

161 7.2. TEOREMA DE SEIFERT-VAN KAMPEN Em outras palavras: X, x0 = π1 U, x0 π1 U V,x 0 π1 V, x0. 2. Ou, equivalentemente: U, x0 π1 V, x0 / N = π1 X, x0 onde N é o menor subgrupo normal de U, x0 π1 V, x0 tal que: para todo α U V, x0. i 1 α i 1 2 α N, A seguir, apresentaremos um esboço sucinto, da prova do teorema. Denotemos por: j : U, x0 π1 V, x0 π1 X, x0 o homomorfismo induzido pela extensão dos homomorfismos j k, que são sobrejetivos, logo o homomorfismo j é sobrejetivo. Por outro lado N o normalizador de U, x0 π1 V, x0 satisfaz N kerj, De fato, provaremos que para todo g U V, x0 : i 1 g 1 i 2 g kerj. Pela comutatividade do diagrama, temos que: ji 1 g = j 1 i 1 g = i 3 g = j 2 i 2 g = ji 2 g e N kerj. Logo, j induz um homomorfismo sobrejetivo: f : U, x0 π1 V, x0 / N π1 X, x0. Agora, se devemos provar que essencialmente N = kerj, utilizando o fato de que f é um homomorfismo injetivo. Esta parte é bastante longa e ficará fora destas notas. O teorema de Seifert-Van Kampen, implica em que a classe de laços que gera X, x0 pode ser expressada como produto de classes de laços em U, x0 e π1 V, x0.

162 162 CAPÍTULO 7. TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN Corolário 7.1. Nas hipóteses do teorema de Seifert-Van Kampen, se U e V são simplesmente conexos: X, x0 = {e}. Corolário 7.2. Nas hipóteses do teorema de Seifert-Van Kampen, se U V é simplesmente conexo: X, x0 = π1 U, x0 π1 V, x Representações Suponha que conhecemos as representações dos grupos envolvidos no Teorema de Seifert-Van Kampen: U V, x0 =< S, R > U, x0 =< S1, R 1 > V, x0 =< S2, R 2 > Consideremos o diagrama comutativo, induzido pelas inclusões naturais: U, x0 U V, x0 i 1 j 1 i 3 π1 X, x0 i 2 j 2 V, x0 Seja s S, logo i 1 s U, x0 e i2 s V, x0, então podemos escrever estes elementos nos respectivos grupos, utilizando os respectivos geradores de cada grupo. Denotemos por i 1 s e i 2 s estes elementos. Definamos: R S = { i 1 s = i 2 s / s s}. Então, o teorema de Seifert- Van Kampen, fica:

163 7.4. PRIMEIRAS APLICAÇÕES 163 Teorema 7.2. Nas hipóteses do teorema de Seifert- Van Kampen e notações anteriores, temos que: onde: X, x0 =< S, R >, S = S 1 S 2 e R = R 1 R 2 R S, Note que o conjunto de relações R de U V, x0 não é utilizado na determinação do grupo X, x Primeiras Aplicações [1] Provaremos que S 2 é simplesmente conexo para n 2. Isto é: S n, p 0 = {e}, n 2. Sejam p N e p S os polos norte e sul de S n ; consideremos U = S n {p N } e V = S n {p s }, ambos conjuntos abertos e conexos por caminhos. Por outro lado, U e V são homemorfos a R n, via a aplicação estereográfica, logo simplesmente conexos. O conjunto aberto U V é conexo por caminhos para n 2; note que tem o mesmo tipo de homotopia que S n 1. Aplicando o primeiro corolário do Teorema de Seifert-Van Kampen, temos o resultado. [2] Denotemos o espaço obtido pela união disjuntas de 2 cópias, disjunta e homeomorfas a S 1, com um ponto em comum p, por S 1 p S 1 ; então: S 1 p S 1, p = Z Z. De fato, podemos considerar as seguintes cópias, homeomorfas a S 1 : A = {x, y / x y 2 = 1} e B = {x, y / x y 2 = 1}. Sejam q 1 A e q 2 B tal que q 1 p e q 2 p. q 1 p q 2 Figura 7.2: O espaço S 1 p S 1

164 164 CAPÍTULO 7. TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN Denotemos por: U = P 2 {q 1 } e V = P 2 {q 2 } ambos os conjuntos abertos e conexos por caminhos. Os dois conjuntos, tem o mesmo tipo de homotopia de S 1, então U, p = π1 V, p = Z. p q 2 Figura 7.3: O conjunto U Por outro lado: S 1 p S 1 = U V. U V é simplesmente conexo e p U V : p Figura 7.4: O conjunto U V Logo, pelo segundo corolário do Teorema de Seifert-Van Kampen: S 1 p S 1, p = Z Z. 7.5 Interpretação Geométrica do Resultado U, p é um grupo cíclico gerado pela classe de homotopia a = [α] e π1 V, p é um grupo cíclico gerado pela classe de homotopia b = [β], como no desenho:

165 7.5. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO RESULTADO 165 β p α Figura 7.5: Os gerados O segundo corolário do Teorema de Seifert-Van Kampen nos indica que o grupo: S 1 p S 1, p é gerado por potências de a e b. Por exemplo, o elemento: a 3 b 2 a 2 S 1 p S 1, p corresponde a classe de homotopia do laço obtido percorrendo 3 vezes, ao redor de U o laço α seguido de percorrer 2 vezes o laço β, ao redor de V e finalmente, o laço α é percorrido uma vez, no sentido contrário em U. Agora estudemos o caso de três cópias de S 1 unidas por um ponto comum p: S 1 p S 1 p S 1. Consideremos U, V e U V como nos desenhos: U V Figura 7.6: Os conjuntos U e V

166 166 CAPÍTULO 7. TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN Figura 7.7: Os conjuntos U V U é um conjunto aberto e conexo por caminhos, que tem o mesmo tipo de homotopia de S 1 p S 1, V é um conjunto aberto e conexo por caminhos, que tem o mesmo tipo de homotopia que S 1, U V é simplesmente conexo, e: S 1 p S 1 p S 1 = U V. Como p U V, pelo segundo corolário do Teorema de Seifert-Van Kampen: S 1 p S 1 p S 1, p = Z Z Z. Em geral, por indução, podemos provar que o conjunto formado por n cópias de S 1, com um ponto p em comum: tem grupo fundamental: P n = S 1 p S 1 p... p S 1, Pn, p = Z Z... Z, isto é, um grupo livre com n geradores. O espaço P n é dito buquê de n pétalas. Utilizando os mesmos argumentos anteriores, se prova o seguinte corolário : Corolário 7.3. Seja {X i, i = 1... n} uma família de espaços topológicos conexos por n caminhos e x X i um ponto em comum; se X = X i, então: i=1 X, x = π1 X1, x X2, x... Xn, x.

167 7.5. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO RESULTADO 167 Nos capítulos passados, calculamos o grupo fundamental do toro: T 2, x 0 = Z Z. Como motivação dos próximos parágrafos, determinaremos novamente o grupo fundamental do toro, utilizando o Teorema de Seifert-Van Kampen. Consideremos, o toro: x 1 b x 1 a a a b x 1 b x 1 Figura 7.8: O toro T 2 tal que a a e b b Sejam dois discos concêntricos, inscritos no retângulo, de raios r 2 > r 1 > 0, respectivamente. Denotemos por U o complementar, no toro, do disco de raio r 2 e V o interior do disco de raio r 1 ; como no seguinte desenho: b b a U a a V a b b Figura 7.9: Os conjuntos U e V Os conjuntos U, V e U V são abertos e conexos por caminhos tais que T 2 = U V.

168 168 CAPÍTULO 7. TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN Figura 7.10: O conjunto U V Sabemos que U é um retrato por deformação de S 1 p S 1, veja os desenhos: b b x 0 x 0 x 0 a a a b x x 0 0 b x 0 Figura 7.11: O conjunto U x 0 a b Figura 7.12: O conjunto U V é contráctil e tem o mesmo tipo de homotopia do ponto x 0 U V, pois é contráctil e U V tem o mesmo tipo de homotopia de S 1 ; então: U, x0 = Z Z, π1 V, x0 = {1} e π1 U V, x0 = Z. Logo, temos o seguinte diagrama comutativo:

169 7.6. GERADORES 169 Z i 1 Z Z j 1 i 3 π1 T 2, x 0 i 2 j 2 {1} Pelo segundo corolário do Teorema de Seifert-Van Kampen: T 2, x 0 = Z Z Z {1}. Seja z um gerador de U V, x0, então i2 z = 1 e i 1 z = a b a 1 b 1, logo: T 2, x 0 = Z Z Z {1} = {a, b / a b a 1 b 1 = 1} = Z Z. 7.6 Geradores Continuando com o cálculo do grupo fundamental do toro. Do parágrafo anterior temos que: T 2, x 0 = Z Z Z {1} = {a, b / a b a 1 b 1 = 1} = Z Z. Seja x 0 U V, denotemos por δ um caminho entre x 0 e x 1, α e β laços em x 0, que representam a e b, respectivamente e como no desenho: â = δ α δ 1, ˆb = δ β δ 1, b x x 1 1 a a δ x 0 ε x 1 b Figura 7.13: Laço em U V x 1

170 170 CAPÍTULO 7. TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN O grupo U, x0 tem como geradores [â] e [ˆb]. Como S1 = S 2 =, pelo teorema de Seifert-Van Kampen, temos que T 2, x 0 é gerado por [â] e [ˆb]. Por outro lado, seja z = [ε] o gerador de U V, x0 = Z; então: Logo: ε δ α β α 1 β 1 δ 1 δ α δ 1 δ β δ 1 δ α 1 δ 1 δ β 1 δ 1 â ˆb â 1 ˆb 1. i 2 z = [â] [ˆb] [â] 1 [ˆb] 1. Por abuso de linguagem, denotando a = [â] e b = [ˆb], temos o resultado. De forma completamente análoga, podemos aplicar o teorema de de Seifert-Van Kampen á K, a garrafa de Klein. De fato, utilizando as mesmas notações. Seja x 0 U V, denotemos por δ um caminho entre x 0 e x 1, α e β laços em x 0, que representam a e b, respectivamente e como no desenho: â = δ α δ 1, ˆb = δ β δ 1, b x x 1 1 a a x 0 δ ε x 1 b x 1 Figura 7.14: O laço na garrafa de Klein O grupo U, x0 tem como geradores [â] e [ˆb]. Como S1 = S 2 =, pelo teorema de Seifert-Van Kampen, temos que T 2, x 0 é gerado por [â] e [ˆb]. Por outro lado, seja z = [ε] o gerador de U V, x0 = Z; então:

171 7.7. SEGUNDA APLICAÇÃO 171 ε δ α β α 1 β δ 1 δ α δ 1 δ β δ 1 δ α 1 δ 1 δ β δ 1 â ˆb â 1 ˆb. Novamente por abuso de linguagem, temos: K, x0 = {a, b / a b a 1 b = 1}. Logo, podemos afirmar que o toro e a garrafa de Klein tem tipo de homotopia diferentes. Caso contrário deveriam ter grupos fundamentais isomorfos. 7.7 Segunda Aplicação Neste parágrafo determinaremos o grupo de homotopia das superfícies compactas e conexas, isto é, variedadedes topológicas de dimensão 2, compactas e conexas. Todos os resultados e notações utizados neste parágrafo são do livro [MV]. Faremos algumas simplificações para facilitar sua melhor compreensão. Essencialmente, conhecemos 4 exemplos de superfícies compactas: a a a a Figura 7.15: A esfera e o plano projetivo real, respectivamente

172 172 CAPÍTULO 7. TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN b b a a a b b Figura 7.16: O toro e a garrafa de Klein, respectivamente A pergunta é, existem outras superfícies compactas, diferentes das citadas acima? 7.8 Soma Conexa de Superfícies Sejam S 1 e S 2 superfícies compactas, conexas e disjuntas. Dados x i S i, i = 1, 2, existem conjuntos abertos U i S i tal que: U i D e U i S 1, i = 1, 2 onde D é um disco fechado em R 2 e significa homeomorfo. Definição 7.1. Dado qualquer homeomorfismo h : U 1 U 2, a soma conexa das superfícies S 1 e S 2 é denotada e definida por: onde x hx para todo x U 1. S 1 #S 2 = S 1 U 1 S2 U 2 / Observação É possível provar que a soma conexa de superfícies independe da escolha dos abertos e dos homeomorfismos, envolvidos. 2. Não é difícil ver que S 1 #S 2 é uma superfície. Por exemplo consideremos as duas superfícies, como no seguinte desenho:

173 7.8. SOMA CONEXA DE SUPERFÍCIES 173 S 1 S 2 Figura 7.17: S 1 U 1 e S 2 U 2 De ambas as superfícies foram removidos discos e identificadas nos bordos dos discos. O seguinte desenho é a soma conexa de ambas as superfícies. S 1 # S 2 Figura 7.18: A soma conexa S 1 #S 2 A soma conexa não depende do homeomorfismo da identificação. A soma conexa é compacta. Fica como exercício que, para toda superfície S: S#S 2 S. É possível verificar que o conjunto de todas as superfícies compactas com a soma conexa formam um semigrupo com identidade S 2, isto é, um monoide. Sabemos que o toro T 2 pode ser representado como espaço quociente de um quadrado, onde seus lados foram identificados da seguinte forma:

174 174 CAPÍTULO 7. TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN b a a Figura 7.19: O toro T 2 tal que a a e b b b É comum em Topologia das Superfícies associar a cada superfície uma palavra, a qual arquiva, de forma únivoca, todas as informações topológicas da superfície. Estas palavras são formadas pelas letras das arestas na direção indicada pelas setas, tal quando lidas,adicionamos um expoente -1, caso percorramos a aresta no sentido contrário. Na classificação das superfícies compactas, as palavras tem um papel central. Existe uma grande quantidade de propriedades que envolvem as palavras associadas às superfícies. Nós apresentaremos apenas exemplos desas palavras. Note que temos as seguintes palavras: S 2 tem a palavra: a a 1 RP 2 tem a palavra: a a T 2 tem a palavra: a b a 1 b 1 K tem a palavra: a b a 1 b. Determinemos T 2 #T 2. Consideremos dois toros disjuntos, representados por: b d a a c c b d Figura 7.20: Os toros menos um disco Agora identificamos os bordos dos discos retirados:

175 7.8. SOMA CONEXA DE SUPERFÍCIES 175 b d a c a c b d Figura 7.21: Os toros identificados Finalmente obtemos: a b c a d b c Figura 7.22: A superfície T 2 #T 2 d Esta superfície tem associada a palavra: a b a 1 b 1 c d c 1 d 1. Identificando os lados, obtemos um bi-toro ou um 2-toro:

176 176 CAPÍTULO 7. TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN Figura 7.23: O bi-toro T 2 #T 2 Agora consideremos o plano projetivo real RP 2, que pode ser representado como um espaço quociente de um disco, com a seguinte identificação: a a Figura 7.24: O plano projetivo real RP 2 Verefiquemos que: K = RP 2 #RP 2, isto é a soma conexa de dois planos projetivos é uma garrafa de Klein. Consideremos duas cópias disjuntas de RP 2, como no desenho: