Introdução à Topologia Diferencial

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1 Introdução à Topologia Diferencial Notas de aula em construção Fernando Manfio ICMC USP

2 Sumário 1 Superfícies Superfícies O espaço tangente a uma superfície Aplicações diferenciáveis entre superfícies O teorema da aplicação inversa As formas locais Valores regulares Valores regulares O teorema de Sard Funções de Morse O grau módulo 2 de uma aplicação Superfícies Orientáveis Orientação em espaços vetoriais Superfícies orientáveis Superfícies com fronteira Orientação em superfícies com fronteira O teorema do ponto fixo de Brouwer Introdução à teoria do grau O grau de uma aplicação Campos vetoriais O índice de um campo vetorial O teorema de Poincaré-Hopf e a característica de Euler O teorema de Morse Integração em Superfícies Álgebra Multilinear Formas diferenciais i

3 5.3 A derivada exterior Integrais de superfícies Teoremas clássicos O teorema de Stokes Os teoremas da divergência, rotacional e Green A fórmula do grau O teorema da curvatura integral A Alguns teoremas do Cálculo 120 A.1 A topologia de R n A.2 O teorema da invariância do domínio A.3 A regra da cadeia A.4 O teorema da aplicação inversa A.5 O teorema de mudança de variáveis Referências Bibliográficas 140 ii

4 Capítulo 1 Superfícies 1.1 Superfícies Nesta seção veremos exemplos e formas equivalentes de definir uma superfície Euclidiana. Em todo o texto, o noção de diferenciabilidade deve ser entendida como sendo de classe C. Definição Um subconjunto M R n é uma superfície de dimensão m se, para todo ponto p M, existem um aberto V R n, com p V, e uma aplicação ϕ : U M V, onde U é um aberto de R m, tais que (a) ϕ : U M V é um homeomorfismo; (b) ϕ é uma imersão diferenciável. A aplicação ϕ chama-se uma parametrização de M e o subconjunto M V chama-se uma vizinhança coordenada de M. O número n m chama-se a codimensão de M em R n. No caso particular em que n m = 1, M será chamada uma hipersuperfície de R n. Na Definição estamos considerando M com a topologia induzida de R n. Assim, a condição (a) implica que toda superfície é uma variedade topológica, i.e., para todo p M, existe um aberto V R n contendo p, tal que M V é homeomorfo a um aberto de R m. Observação A condição de ϕ ser uma imersão é equivalente a qualquer uma das condições a seguir: (a) O conjunto {dϕ(p) e i : 1 i m} é linearmente independente; (b) A matriz Jacobiana de dϕ(p) tem posto m. 1

5 Exemplo Qualquer subespaço vetorial m-dimensional E R n é uma superfície de dimensão m em R n. De fato, seja T : R m E um isomorfismo linear. Munindo E com a topologia induzida de R n, T torna-se um homeomorfismo. Além disso, como toda transformação linear é diferenciável, segue que T é um difeomorfismo. Exemplo A esfera S n = {x R n+1 : x = 1} é uma hipersuperfície de R n+1. De fato, denotando por N = (0,..., 0, 1) S n seu polo norte, considere a projeção estereográfica π N : S n \{N} R n, definida da seguinte forma. Dado um ponto x S n \ {N}, π N (x) é o ponto em que a semirreta Nx R n+1 intercepta o hiperplano x n+1 = 0. Note que os pontos da semirreta Nx são da forma N +t(x N), com t 0. Assim, um ponto dessa semirreta está no hiperplano x n+1 = 0 se, e somente se, 1 + t(x n+1 1) = 0, 1 onde x = (x 1,..., x n+1 ). Assim, t = 1 x n+1 e, portanto, π N (x) = 1 1 x n+1 (x 1,..., x n, 0). A expressão acima mostra que π N é diferenciável. Por outro lado, considerando a aplicação diferenciável ϕ : R n S n \ {N} definida por ( ) 2x1 ϕ(x) = x 2 + 1,..., 2x n x 2 + 1, x 2 1 x 2, + 1 para todo x = (x 1,..., x n ) R n, um cálculo simples mostra que ϕ π N = id e π N ϕ = id, ou seja, π N é um difeomorfismo. De forma inteiramente análoga, podemos considerar a projeção estereográfica π S relativa ao polo sul S da esfera S n. Exemplo Todo aberto U R n é uma superfície de dimensão n de R n, imagem de uma única parametrização ϕ, sendo ϕ : U U a aplicação identidade. Reciprocamente, seja M R n uma superfície de dimensão n. Assim, para todo p M, existem um aberto V R n, com p V, e um homeomorfismo ϕ : U M V, onde U é um aberto de R n. Usando o teorema da invariância do domínio, segue que a vizinhança coordenada M V é aberta em R n. Portanto, o conjunto M, reunião das vizinhanças coordendas M V, é aberto em R n. Exemplo Um subconjunto M R n é uma superfície de dimensão 0 se, e somente se, para todo p M, existem um aberto V de R n, com p V, e uma parametrização ϕ : U M V, onde U é um aberto de R 0 = {0}. Assim, devemos ter U = {0} e V = {p}. Portanto, M R n é uma superfície de dimensão 0 se, e somente se, M é um conjunto discreto. 2

6 O teorema a seguir nos dá caracterizações equivalentes da Definição Teorema Seja M um subconjunto de R n. As seguintes afirmações são equivalentes: (a) M é uma superfície de dimensão m de R n. (b) Para todo p M, existem abertos U R m e V R n, com p V, e uma aplicação diferenciável g : U R n m tal que M V = Gr(g). (c) Para todo p M, existem um aberto V de R n, com p V, e uma submersão f : V R n m tal que M V = f 1 (0). (d) Para todo p M, existem um aberto V de R n, com p V, e um difeomorfismo ϕ : V ϕ(v ) que satisfaz ϕ(m V ) = ϕ(v ) R m. Antes de apresentarmos sua prova, vejamos como usá-lo a fim de produzir exemplos de superfícies em R n. Lembremos que um ponto c R n m é chamado valor regular de uma aplicação diferenciável f : U R n R n m se a diferencial df(p) é sobrejetora para todo ponto p f 1 (c). Um ponto p U é chamado ponto crítico da aplicação f se df(p) = 0. Corolário Seja f : U R n m uma aplicação diferenciável, definida no aberto U R n. Se c R n m é valor regular de f então M = f 1 (c) é uma superfície de dimensão m de R n. Vejamos alguns exemplos. Exemplo A esfera S n = {x R n+1 : x = 1} pode ser descrita como a imagem inversa f 1 (1) da função f : R n+1 R definida por f(x) = x, x, para todo x R n+1. Note que f é diferenciável e, para todo ponto p R n+1 e todo vetor v R n+1, temos: df(p) v = 2 p, v. Isso implica que 0 R n+1 é o único ponto crítico de f. Como f(0) = 0 1, concluimos que 1 é valor regular de f, logo S n = f 1 (1) é, como já sabíamos, uma superfície de dimensão n de R n+1. Exemplo Seja M R 3 o cone de uma folha, i.e., M = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = z 2, z 0}. Note que M é homeomorfo a R 2. De fato, denotando por π a projeção π(x, y, z) = (x, y), a restrição de π a M é um homeomorfismo. No entanto, 3

7 M não é uma superfície regular. De fato, caso fosse, existiriam abertos U R 2 e V R 3, com 0 V, e uma função diferenciável g : U R tal que M V = Gr(g). Observe que M V não pode ser um gráfico em relação a uma decomposição da forma R 3 = R 2 R, no qual o segundo fator seja o eixo-x ou o eixo-y. Assim, tem-se necessariamente g = f U, onde f(x, y) = x 2 + y 2. Como f não é diferenciável em (0, 0), obtemos uma contradição. Portanto, M é apenas uma superfície topológica. Consideremos agora o espaço vetorial das matrizes reais m n, denotado por M(m n). Dado uma matriz X M(m n), com X = (x ij ), a transposta de X, denotada por X t, é a matriz X t = (x ji ), que se obtém de X trocandose ordenadamente suas linhas por suas colunas. Assim, X t M(n m). Se m = n e det X 0, então det X t 0 e vale (X t ) 1 = (X 1 ) t. Uma matriz quadrada X M(n) chama-se simétrica se X t = X e antisimétrica se X t = X. As matrizes simétricas e anti-simétricas formam subespaços vetoriais, S(n) e A(n), de M(n), de dimensão n(n+1) 2 e n(n 1) 2, respectivamente. Dado uma matriz X M(n), tem-se X + X t S(n) e X X t A(n). Assim, ou seja, X = 1 2 (X + Xt ) (X Xt ), M(n) = S(n) A(n). Exemplo O grupo ortogonal O(n), definido por O(n) = {X M(n) : XX t = I}, é uma superfície compacta de dimensão n(n 1) 2 de M(n) R n2. De fato, O(n) pode ser considerado como a imagem inversa f 1 (I) da aplicação f : M(n) S(n) definida por f(x) = XX t, para toda matriz X M(n). Assim, devemos provar que I S(n) é valor regular de f. A aplicação f é diferenciável e sua diferencial é dada por df(x) H = XH t + HX t. Finalmente, se X O(n) e dada qualquer matriz S S(n), tome V = 1 2 SX. Um cálculo simples mostra que df(x) V = S, ou seja, df(x) é sobrejetora 4

8 para toda X O(n), logo O(n) é uma superfície de dimensão n(n 1) 2 de M(n). Além disso, como f é contínua, segue que O(n) = f 1 (I) é fechado em R n2. Como cada vetor linha de X O(n) é unitário tem-se X = n, logo O(n) está contido na esfera centrada na origem e de raio n. Portanto, O(n) é fechado e limitado em R n2. Observação A imagem inversa f 1 (c) pode ser uma superfície sem que c seja valor regular de f. Por exemplo, seja f : R 2 R dada por f(x, y) = y 2. Note que f 1 (0) = eixo x, que é uma curva (de classe C ) de R 2. No entanto, 0 R não é valor regular de f, pois df(x, 0) = 0, para todo (x, 0) f 1 (0). A fim de provarmos o Teorema 1.1.7, faremos uso do seguinte lema. Lema Seja E R n um subespaço vetorial real de dimensão m. Então existe uma decomposição em soma direta R n = R m R n m tal que a primeira projeção π : R n R m, π(x, y) = x, transforma E isomorficamente sobre R m. Demonstração. Dado uma base {v 1,..., v m } de E, sejam e j1,..., e jn m vetores da base canônica de R n tais que {v 1,..., v m, e j1,..., e jn m } seja uma base de R n. Sejam R n m = span{e j1,..., e jn m } e R m gerado pelos vetores canônicos restantes. Temos, então, duas decomposições em soma direta: R n = R m R n m = E R n m. Seja π : R m R n m R m, π(x, y) = x. Dado x R m, seja x = x 1 + y, onde x 1 E e y R n m. Temos: x = π(x) = π(x 1 ) + π(y) = π(x 1 ). Isso implica que π E : E R m é sobrejetora. Como E tem dimensão m, segue que π E é um isomorfismo linear. Demonstração do Teorema (a) (b) Dado p M, seja ϕ : U ϕ(u) uma parametrização de M, com p = ϕ(q). Como E = dϕ(q)(r m ) é um subespaço vetorial m-dimensional de R n existe, pelo Lema , uma decomposição em soma direta R n = R m R n m tal que π E é um isomorfismo linear entre E e R m. Defina a aplicação η = π ϕ : U R m. 5

9 Como dη(q) = π dϕ(q) é um isomorfismo linear, segue do Teorema da Aplicação Inversa que existe um aberto W R m, com q W U, tal que η W : W η(w ) = Z é um difeomorfismo. Defina ψ é uma parametrização de M e ξ = (η W ) 1 : Z W e ψ = ϕ ξ. π ψ = π (ϕ ξ) = η ξ = id. Da igualdade acima segue que a primeira coordenada de ψ(x), em relação à decomposição R n = R m R n m, é x. Denote por g(x) a segunda coordenada. Assim, ψ(z) = ϕ(w ) = {(x, g(x)) : x W } para alguma aplicação diferenciável g : W R n m. tem-se ϕ(w ) = M V = Gr(g), para algum aberto V R n, com p V. (b) (c) Defina a aplicação f : V R n m pondo Como ϕ é aberta, f(x, y) = y g(x), onde V R n = R m R n m é o aberto dado por hipótese. Temos: M V = Gr(g) = {(x, y) R n : y = g(x)} = {(x, y) R n : f(x, y) = 0} = f 1 (0). Resta provar que df(x, y) é sobrejetora, para todo (x, y) V. De fato, dados (x, y) V e (u, v) R n, temos: df(x, y) (u, v) = df(x, y) (u, 0) + df(x, y) (0, v) Portanto, dado v R n m, tem-se = Id(0) dg(x) u + Id(v) dg(x) 0 = v dg(x) u. df(x, y) (0, v) = v, 6

10 ou seja, df(x, y) : R n R n m é sobrejetora. Portanto, f é uma submersão com M V = f 1 (0). (c) (d) Dado um ponto p M, considere a submersão f : V R n m tal que M V = f 1 (0). Como df(p) : R n R n m é sobrejetora, o conjunto {df(p) e 1,..., df(p) e n } gera R n m. Assim, podemos escolher vetores e i1,..., e in m tais que {df(p) e i1,..., df(p) e in m } seja uma base de R n m. Considere a decomposição em soma direta R n = R m R n m tal que R n m = span{e i1,..., e in m } e R m gerado pelos demais vetores canônicos. Assim, df(p) R n m é um isomorfismo linear. Defina pondo ϕ : V R n = R m R n m ϕ(x, y) = (x, f(x, y)), para todo (x, y) V. Temos que ϕ é uma aplicação diferenciável e dϕ(p) é um isomorfismo. Assim, pelo teorema da aplicação inversa, existe um aberto Ṽ R n, com p Ṽ V, tal que ϕ : Ṽ ϕ(ṽ ) é um difeomorfismo. Ṽ Podemos supor que ϕ(ṽ ) = Z W Rm R n m, onde W é um aberto contendo 0 R n m. Assim, (x, y) M Ṽ ϕ(x, y) = (x, f(x, y)) Portanto, ϕ(m Ṽ ) = ϕ(ṽ ) Rm. ϕ(x, y) = (x, 0). (d) (a) Dado p M, considere o difeomorfismo ϕ : V ϕ(v ) tal que ϕ(m V ) = ϕ(v ) R m, onde V é um aberto de R n, com p V. Como ϕ(v ) é aberto em R n, U = ϕ(v ) R m é aberto em R m. Defina, então, ψ : U R n pondo ψ = ϕ 1 U. Assim, ψ é uma parametrização de M, com ψ(u) = M V. Dados duas parametrizações ϕ 1 : U 1 M V 1 e ϕ 2 : U 2 M V 2 em uma superfície M, com V 1 V 2, a aplicação ϕ 1 2 ϕ 1 : ϕ 1 1 (M V 1 V 2 ) ϕ 1 2 (M V 1 V 2 ) (1.1) é chamada a mudança de coordenadas entre ϕ 1 e ϕ 2. Uma consequência do Teorema se refere à aplicação (1.1), como mostra o corolário seguinte. Corolário Sejam ϕ 1 : U 1 M V 1 e ϕ 2 : U 2 M V 2 parametrizações de uma superfície M, com V 1 V 2. Então, a mudança de coordenadas ϕ 1 2 ϕ 1 é um difeomorfismo. 7

11 Demonstração. Dado p M V 1 V 2, seja f : V f(v ) o difeomorfismo dado pelo Teorema satisfazendo f(m V ) = f(v ) R m. Considere um aberto Ũ1 R m, com ϕ 1 1 (p) Ũ1 U 1, tal que ϕ 1 (Ũ1) M V. Assim, (f ϕ 1 )(Ũ1) R m. Da mesma forma, considere um aberto Ũ2 R m, com ϕ 1 2 (p) Ũ2 U 2, tal que (f ϕ 2 )(Ũ2) R m. Assim, no aberto ϕ 1 1 (W ), onde W = ϕ 1 (Ũ1) ϕ 2 (Ũ2), temos ϕ 1 2 ϕ 1 = ϕ 1 2 f 1 f ϕ 1 = (f ϕ 2 ) 1 (f ϕ 1 ). A composta f ϕ 1 é diferenciável. Como d(f ϕ 2 )(x) é um isomorfismo linear, segue do teorema da aplicação inversa que f ϕ 2 é, possivelmente num aberto menor, um difeomorfismo. Segue, em particular, que (f ϕ 2 ) 1 é diferenciável, logo ϕ 1 2 ϕ 1 é diferenciável. Analogamente se prova a diferenciabilidade da aplicação ϕ 1 1 ϕ 2. Exercícios 1. Verifique se os seguintes conjuntos são superfícies de dimensão 1 em R 2. Caso sejam, determine a classe de diferenciabilidade. (a) M = {(t, t 2 ) : t R} {(t, t 2 ) : t R} (b) M = {(t, t 2 ) : t R } {(t, t 2 ) : t R + } (c) M = {(t 2, t 3 ) : t R} 2. Mostre que todo subconjunto aberto de uma superfície M R n também é uma superfície em R n. 3. Sejam M 1 R n 1 e M 2 R n 2 superfícies de dimensão m 1 e m 2, respectivamente. Prove que o produto cartesiano M 1 M 2 R n 1+n 2 é uma superfície de dimensão m 1 + m 2. Conclua, daí, que o toro bidimensional T 2 = S 1 S 1 é uma superfície de R O grupo linear GL é o subconjunto aberto de M(n) formado pelas matrizes inversíveis. O grupo linear especial, SL(n) = {X GL : det X = 1}, é um subgrupo de GL. Prove que SL(n) é uma hipersuperfície de M(n). 8

12 1.2 O espaço tangente a uma superfície Nesta seção discutiremos a noção de espaço tangente a uma superfície. Veremos que este espaço admite uma estrutura natural de espaço vetorial, aquela que é induzida do espaço Euclidiano através das parametrizações da superfície. Seja M uma superfície de dimensão M em R n. Fixado um ponto p M, dizemos que um vetor v R n é um vetor tangente a M no ponto p se existe uma curva λ : ( ɛ, ɛ) M, diferenciável em t = 0, tal que λ(0) = p e λ (0) = v. O conjunto de todos os vetores tangentes a M no ponto p será chamado o espaço tangente a M em p e será denotado por T p M. Exemplo Se U é um subconjunto aberto da superfície M R n, então T p U = T p M para todo p U. De fato, claramente temos T p U T p M. Se v T p M, existe uma curva λ : ( ɛ, ɛ) M, diferenciável em t = 0, com λ(0) = p e λ (0) = v. Podemos restringir o intervalo ( ɛ, ɛ) de modo que λ( ɛ, ɛ) U, logo v T p U. Em particular, se V é um subconjunto aberto de R n, então T p V = T p R n = R n. Proposição Seja f : U V uma aplicação diferenciável entre os abertos U R m e V R n. Suponha que existam superfícies M m e N n, com M U e N V, tais que f(m) N. Então, df(p)(t p M) T f(p) N para todo p M. Em particular, se f é um difeomorfismo, com f(m) = N, então df(p)(t p M) = T f(p) N para todo p M. Demonstração. Dados um ponto p M e um vetor v T p M, considere uma curva λ : ( ɛ, ɛ) M, diferenciável em t = 0, com λ(0) = p e λ (0) = v. A curva α : ( ɛ, ɛ) N, dada por α(t) = f(λ(t)), é diferenciável em t = 0. Além disso, temos α(0) = f(λ(0)) = f(p) e α (0) = df(λ(t)) λ (0) = df(p) v, ou seja, df(p) v T f(p) N. Logo, df(p)(t p M) T f(p) N. A última afirmação segue-se aplicando f 1 à parte já provada. Decorre então o seguinte Corolário O espaço tangente T p M é um subespaço vetorial de dimensão m em R n. Demonstração. Do Teorema 1.1.7, existem um aberto V R n, com p V, e um difeomorfismo ϕ : V ϕ(v ) tais que ϕ(m V ) = ϕ(v ) R m. Então, 9

13 pela Proposição 1.2.2, temos: dϕ(p)(t p M) = dϕ(p)(t p (M V )) = T ϕ(p) (ϕ(v ) R m ) = T ϕ(p) R m = R m. Disso decorre que T p M = dϕ(p) 1 (R m ) é um subespaço vetorial de dimensão m em R n. Corolário Dado um ponto p M m, considere uma parametrização ϕ : U ϕ(u) de M, com p = ϕ(x). Então, T p M = dϕ(x)(r m ). Em particular, uma base para T p M é dada por {dϕ(x) e i : 1 i m}. Demonstração. Pela Proposição 1.2.2, temos: dϕ(x)(r m ) = dϕ(x)(t x U) T p ϕ(u) = T p M. Assim, em virtude do Corolário 1.2.3, segue que T p M = dϕ(x)(r m ), uma vez que ambos são subespaços vetoriais de dimensão m em R n. Exemplo Sejam f : U R n m uma aplicação diferenciável, definida no aberto U R n, e c R n m um valor regular de f. Então, o espaço tangente a M = f 1 (c) num ponto p é dado por T p M = ker df(p). De fato, basta provar que T p M ker df(p), já que ambos são subespaços vetoriais de dimensão m em R n. Então, dado um vetor v T p M, seja λ : ( ɛ, ɛ) M uma curva diferenciável em t = 0 tal que λ(0) = p e λ (0) = v. A curva α : ( ɛ, ɛ) R n m, dada por α(t) = f(λ(t)), é constante, igual a c para todo t ( ɛ, ɛ). Assim, df(p) v = df(λ(0)) λ (0) = d dt (f λ)(0) = α (0) = 0, ou seja, v ker df(p). Exemplo Uma situação particular do Exemplo pode ser vista no grupo ortogonal O(n). Lembre que O(n) pode ser considerado como a imagem inversa O(n) = f 1 (I) da aplicação diferenciável f : M(n) S(n) dada por f(x) = XX t (cf. Exemplo ). Como a diferencial de f é dada por df(x) H = XH t + HX t, segue do Exemplo que T I O(n) = ker df(i) = {H M(n) : H t + H = 0}, ou seja, o espaço tangente ao grupo ortogonal O(n) na matriz identidade é o subespaço das matrizes anti-simétricas. 10

14 Exercícios 1. Mostre que o espaço tangente à esfera S n R n+1 num ponto p é dado por T p S n = {v R n+1 : v, p = 0}. 2. Mostre que o espaço tangente a SL(n), na matriz identidade, é o subespaço das matrizes de traço nulo. 3. Seja f : U R n uma aplicação diferenciável, definida no aberto U R m. Mostre que o espaço tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)) é o gráfico da diferencial df(p) : R m R n. 4. Dados uma superfície M e um ponto p M, considere parametrizações ϕ : U ϕ(u) e ψ : V ψ(v ) de M, com p = ϕ(x) = ψ(y). Dado um vetor v T p M, suponha que suas expressões, nas bases de T p M associadas a ϕ e ψ, sejam dadas por v = n i=1 a i (p) e v = x i n i=1 b i (p), y i onde x i (p) = dϕ(x) e i e y i (p) = dψ(y) e i. Mostre que as coordenadas de v estão relacionadas por n y j b j = a i, x i i=1 onde y j = y j (x 1,..., x n ) são as expressões da mudança de coordenadas entre ϕ e ψ. 11

15 1.3 Aplicações diferenciáveis entre superfícies A noção de diferenciabilidade para aplicações até agora só faz sentido quando o domínio da aplicação é um subconjunto aberto do espaço Euclidiano. O que faremos agora é estender este conceito, abrangendo aplicações definidas em superfícies. A fim de reduzir a notação, a partir de agora uma superfície M de dimensão m do espaço Euclidiano R n será denotada simplesmente por M m. Assim, quando considerarmos uma superfície M m, ficará subentendido que M é um subconjunto de algum espaço Euclidiano R n. Definição Uma aplicação f : M N, entre duas superfícies M m e N n, é dita diferenciável no ponto p M se existem parametrizações ϕ : U ϕ(u) de M e ψ : V ψ(v ) de N, com p = ϕ(x) e f(ϕ(u)) ψ(v ), tais que é diferenciável no ponto x U. ψ 1 f ϕ : U V (1.2) Segue da Definição que a diferenciabilidade da aplicação f : M N fica condicionada à diferenciabilidade da aplicação (1.2), que é uma aplicação entre abertos do espaço Euclidiano, chamada a representação de f em relação às parametrizações ϕ e ψ, e denotada por f ou f ϕψ. Precisamos mostrar agora que a Definição independe da escolha das parametrizações ϕ e ψ. De fato, considere parametrizações ϕ : U ϕ (U ) de M e ψ : V ψ (V ) de N, com p ϕ (U ) e f(ϕ (U )) ψ (V ). Então, no aberto ϕ 1 (ϕ(u) ϕ (U )), temos: ψ 1 f ϕ = (ψ 1 ψ) (ψ 1 f ϕ) (ϕ 1 ϕ ). Pelo Corolário , segue que ψ 1 ψ e ϕ 1 ϕ são diferenciáveis. Como ψ 1 f ϕ é diferenciável por hipótese, concluimos que ψ 1 f ϕ também é diferenciável. Observação No caso particular em que f é da forma f : M m R k, segue que f é diferenciável no ponto p M se existe uma parametrização ϕ : U ϕ(u) de M, com p = ϕ(x), tal que a aplicação é diferenciável no ponto x = ϕ 1 (p). f ϕ : U R k 12

16 Proposição Toda parametrização ϕ : U ϕ(u) de uma superfície M m em R n é um difeomorfismo. Demonstração. Por definição, a aplicação ϕ : U ϕ(u) é um homeomorfismo diferenciável. Resta mostrar que a inversa ϕ 1 : ϕ(u) U é diferenciável. Escrevamos f = ϕ 1. Note que a aplicação f : ϕ(u) R m está definida num aberto da superfície M. Assim, segundo a Observação 1.3.2, devemos mostrar que, para todo p ϕ(u), existe uma parametrização ψ : V ψ(v ) de ϕ(u), com ψ(x) = p, tal que f ψ : V R m é diferenciável. Basta considerar a própria parametrização ϕ : U ϕ(u), pois f ϕ = ϕ 1 ϕ = id é a aplicação identidade em R m, que é diferenciável. Dado uma aplicação f : M m N n, diferenciável no ponto p M, a diferencial de f no ponto p é a transformação linear df(p) : T p M T f(p) N definida do seguinte modo. Considere uma parametrização ϕ : U ϕ(u) de M, com p = ϕ(x). Dado um vetor v T p M, temos v = dϕ(x) w, para algum vetor w R m. Definimos, então, df(p) v = d(f ϕ)(x) w. Devemos mostrar que a transformação linear df(p) está bem definida, ou seja, independe da escolha da parametrização ϕ. De fato, seja ψ : V ψ(v ) outra parametrização de M, com p = ψ(y) e v = dψ(y) u. Sabemos, pelo Corolário , que ψ = ϕ ξ, onde ξ : ϕ 1 (ϕ(u) ψ(v )) ψ 1 (ϕ(u) ψ(v )) é um difeomorfismo entre abertos de R m, com ξ(y) = x. Temos: dϕ(x) w = v = dψ(y) u = d(ϕ ξ)(y) u = dϕ(x) dξ(y) u. Como dϕ(x) é injetora, segue que dξ(y) u = w. Assim, d(f ψ)(y) u = d(f ϕ ξ)(y) u = d(f ϕ)(x) dξ(y) u = d(f ϕ)(x) w. Observação O vetor v T p M é o vetor velocidade, v = α (0), de uma curva α : ( ɛ, ɛ) M, diferenciável em t = 0, tal que α(0) = p. Assim, df(p) v = d(f ϕ)(x) w = d(f ϕ)(x) (ϕ 1 α) (0) = (f ϕ ϕ 1 α) (0) = (f α) (0), ou seja, df(p) v é o vetor velocidade da curva f α : ( ɛ, ɛ) N, no instante t = 0. 13

17 Proposição (Regra da cadeia). Sejam M m, N n, P k superfícies e f : M N, g : N P aplicações tais que f é diferenciável no ponto p M e g é diferenciável no ponto f(p). Então a aplicação composta g f : M P é diferenciável no ponto p e vale a regra: d(g f)(p) = dg(f(p)) df(p). Demonstração. Considere parametrizações ϕ : U ϕ(u), ψ : V ψ(v ) e ξ : W ξ(w ) de de M, N e P, respectivamente, tais que p = ϕ(x) e f(p) = ψ(y). Como f é diferenciável em p M, segue que ψ 1 f ϕ é diferenciável em x, e como g é diferenciável em f(p), ξ 1 g ψ é diferenciável em y. Assim, ξ 1 (g f) ϕ = (ξ 1 g ψ) (ψ 1 f ϕ) é diferenciável no ponto x, como composta de aplicações diferenciáveis entre abertos Euclidianos logo, por definição, g f é diferenciável em p. Para a segunda parte, temos: como queríamos. Exercícios dg(f(p)) df(p) = d(g ψ)(y) d(f ϕ)(x) = d(g ψ)(ψ 1 (f(p))) d(f ϕ)(x) = d(g f ϕ)(x) = d(g f)(p), 1. Mostre que toda aplicação diferenciável f : M N, entre as superfícies M e N, é contínua. 2. Se U é um aberto de uma superfície M m, mostre que a aplicação inclusão i : U M é diferenciável. 3. Se f : M N é uma aplicação diferenciável, mostre que a restrição de f a qualquer aberto U de M também é diferenciável. 4. Considere o produto cartesiano M = M 1 M 2 das superfícies M 1 e M 2. (a) Mostre que as projeções π i : M M i são aplicações diferenciáveis. (b) Se N é outra superfície, mostre que uma aplicação f : N M é diferenciável se, e somente se, as aplicações coordenadas π i f são diferenciáveis, i = 1, 2. 14

18 1.4 O teorema da aplicação inversa Um difeomorfismo entre duas superfícies M e N é uma aplicação bijetora f : M N, que é diferenciável e sua inversa f 1 : N M também é diferenciável. Decorre da proposição seguinte que só existe difeomorfismo entre superfícies de mesma dimensão. Proposição Se f : M m N n é um difeomorfismo então, para cada ponto p M, a diferencial df(p) : T p M T f(p) N é um isomorfismo. Decorre, em particular, que m = n. Demonstração. Das igualdades f 1 f = id M e f f 1 = id N, decorre da regra da cadeia que df 1 (q) df(p) é a identidade em T p M e df(p) df 1 (q) é a identidade em T q N, onde q = f(p). Portanto, df 1 (q) = df(p), ou seja, df(p) : T p M T q N é um isomorfismo linear para todo p M, cujo inverso é df(p) 1. Decorre, em particular, que m = dim(t p M) = dim(t q N) = n. Observação A fim de concluir que m = n bastaria que a diferencial df(p) : T p M T q N fosse um isomorfismo em apenas um ponto p M. A recíproca da Proposição é falsa, no sentido que temos apenas difeomorfismo local, como mostra o seguinte Teorema (Teorema da aplicação inversa). Considere uma aplicação diferenciável f : M n N n e um ponto p M tal que a diferencial df(p) : T p M T q N seja um isomorfismo linear, onde q = f(p). Então existe um aberto W M, com p W, tal que f(w ) é aberto em N e f W : W f(w ) é um difeomorfismo. Demonstração. Sejam ϕ : U ϕ(u), ψ : V ψ(v ) parametrizações de M e N, respectivamente, com p = ϕ(x) e f(ϕ(u)) ψ(v ). A representação f de f é diferenciável e, pela regra da cadeia, segue que d(ψ 1 f ϕ)(x) = dψ 1 (q) df(p) dϕ(x) é um isomorfismo linear. Assim, pelo teorema da aplicação inversa entre abertos Euclidianos, existe um aberto W R m, com x W U, tal que f( W ) é aberto em R n e f W é um difeomorfismo. Tome W = ϕ( W ). Segue então que W é aberto em M, com p W, f(w ) = ψ( f( W )) é aberto em N e f W é um difeomorfismo, como composta de difeomorfismos. Vejamos uma aplicação simples do Teorema

19 Exemplo Dado uma superfície M m R n, denotemos por x 1,..., x n as funções coordenadas usuais de R n, ou seja, a i-ésima função coordenada x i : R n R é dada por x i (x) = x i, para todo x = (x 1,..., x n ) R n. Afirmamos que m dessas funções coordenadas constituem uma parametrização local para M. De fato, denotemos por φ 1,..., φ n a base dual de R n, i.e., φ i (e j ) = δ ij, onde e 1,..., e n denota a base canônica de R n. Note que, a linearidade das funções coordenadas x i implica que dx i (x) = φ i, (1.3) para quaisquer x R n e 1 i n. Além disso, como T p M é um subespaço m-dimensional de R n, existem inteiros i 1,..., i m tais que φ i1,..., φ im são linearmente independentes quando restritos a T p M. Considere então a aplicação ϕ = (x i1,..., x im ) : M R m. Em virtude de (1.3), segue que a diferencial de ϕ no ponto p coincide com a restrição dos funcionais φ i1,..., φ im em T p M. Como tais funcionais são linearmente independentes, segue que dϕ(p) : T p M R m é um isomorfismo e o teorema da aplicação inversa implica que ϕ é um difeomorfismo local sobre uma vizinhança de p. Exercícios 1. Dado uma superfície compacta M m, mostre que não existe um difeomorfismo local f : M R m. 16

20 1.5 As formas locais Nesta seção estudaremos alguns resultados que descrevem a estrutura local de aplicações diferenciáveis de posto máximo entre superfícies. Definição Sejam M m, N n superfícies e f : M N uma aplicação diferenciável. Dizemos que f é uma imersão no ponto p se a diferencial df(p) : T p M T f(p) N é uma aplicação linear injetora. Se f é uma imersão em todo ponto p M, diremos simplesmente que f é uma imersão. Note que se f : M m N n é uma imersão em p M, devemos ter, necessariamente, m n. Exemplo Considere a aplicação inclusão f : R m R m R n, dada por f(p) = (p, 0). Como f é linear, segue que df(p) = f para todo p R m. Assim, f é uma imersão de classe C. Exemplo Uma curva diferenciável α : I R n, definida no intervalo aberto I R, é uma imersão se, e somente se, α (t) 0 para todo t I. Isso significa que a imagem α(i) possui, em cada ponto α(t), uma reta tangente. Exemplo Uma imersão pode não ser injetora. Um exemplo simples é a curva α : R R 2 dada por α(t) = (t 3 t, t 2 ). Um cálculo simples mostra que α (t) = (3t 2 1, 2t) (0, 0) para todo t R e, além disso, α(1) = (0, 1) = α( 1). O teorema seguinte afirma que, em vizinhanças coordenadas apropriadas, qualquer imersão f : M N se comporta, localmente, como a inclusão canônica do Exemplo A.4.5. Teorema (Forma local das imersões). Seja f : M m N n uma aplicação diferenciável que é uma imersão num ponto p M. Então, dado uma parametrização ϕ : U ϕ(u) de M, com p = ϕ(x), existe um difeomorfismo ξ : Z U W, onde Z N é um aberto contendo f(ϕ(u)) e W R n m é um aberto contendo 0, tais que para todo x U. (ξ f ϕ)(x) = (x, 0) R m R n m, Demonstração. Sejam ϕ : U ϕ(u) e ψ : V ψ(v ) parametrizações de M e N, respectivamente, com p = ϕ(x) e f(ϕ(u)) ψ(v ). Como df(p) é injetora, segue que d(ψ 1 f ϕ)(x) também é injetora. Pela forma local 17

21 das imersões em espaços Euclidianos, restringindo os domínios, se necessário, existe um difeomorfismo h : V U W, onde W R n m é um aberto contendo 0 R n m, tal que é a aplicação inclusão, i.e., h (ψ 1 f ϕ) : U U W [h (ψ 1 f ϕ)](x) = (x, 0) para todo x U. Agora, basta definir ξ = h ψ 1 e fazer Z = ψ(v ). Definição Sejam M m, N n superfícies e f : M N uma aplicação diferenciável. Dizemos que f é uma submersão no ponto p se a diferencial df(p) : T p M T f(p) N é uma aplicação linear sobrejetora. Se f é uma submersão em todo ponto p M, diremos que f é uma submersão. Neste caso, se f : M m N n é uma submersão em p M, devemos ter, necessariamente, m n. Exemplo Uma função diferenciável f : M R é uma submersão se, e somente se, df(p) 0 para todo p M. Isso decorre do fato de que um funcional linear é sobrejetor ou é nulo. Exemplo Dado uma decomposição em soma direta da forma R m+n = R m R n, seja π a projeção sobre o primeiro fator, π(x, y) = x. Como π é linear, segue que dπ(x, y) = π para todo (x, y) R m+n, logo π é uma submersão. A matriz jacobiana de π tem como linhas os m primeiros vetores da base canônica de R m+n. Da mesma forma podemos concluir que a projeção sobre o segundo fator também é uma submersão. O teorema seguinte mostra que o Exemplo A.4.11 é, localmente, o caso mais geral de uma submersão. Teorema (Forma Local das Submersões). Seja f : M m N n uma aplicação diferenciável que é uma submersão num ponto p M. Então, dado uma parametrização ψ : V ψ(v ) em N, com f(p) ψ(v ), existe um difeomorfismo ξ : V W Z, onde Z M é um aberto contendo o ponto p, com f(z) ψ(v ), e W R m n é um aberto, tais que para todo (x, y) V W. (ψ 1 f ξ)(x, y) = x, 18

22 Demonstração. Considere uma parametrização ϕ : U ϕ(u) de M, com p ϕ(u) e f(ϕ(u)) ψ(v ). Como df(p) é sobrejetora, segue que a diferencial d f(a), da representação f = ψ 1 f ϕ de f, também é sobrejetora, onde a = ϕ 1 (p), com a = (a 1, a 2 ) R n R m n. Assim, pela forma local das submersões em espaços Euclidianos, restringindo os domínios, se necessário, existe um difeomorfismo h : V W U, onde W R m n é um aberto contendo a 2, tal que [(ψ 1 f ϕ) h](x, y) = x para todo (x, y) V W. Assim, basta considerar ξ = ϕ h e Z = ϕ(u). Observação Assim como os Teoremas e 1.5.9, outros resultados válidos em abertos Euclidianos podem ser provados no contexto de superfícies como, por exemplo, o teorema da função implícita e o teorema do posto. Exercícios 1. Seja f : M N uma imersão injetora. Prove que se M é compacta então f é um mergulho, ou seja, sobre a imagem f é um homeomorfismo. 2. Prove que qualquer submersão f : M N, com M compacta e N conexa, é sobrejetora. 3. Seja M n uma superfície compacta. Prove que não existe uma submersão f : M R k, para qualquer k 1. 19

23 Capítulo 2 Valores regulares 2.1 Valores regulares Nesta seção discutiremos o conceito de valor regular para aplicações entre superfícies, apresentando uma demonstração simples do teorema fundamental da Álgebra. Seja f : M m N n uma aplicação diferenciável. Dizemos que um ponto p M é ponto regular de f se a diferencial df(p) tem posto n, i.e., se df(p) é uma transformação linear sobrejetora. Neste caso, devemos ter, necessariamente, m n. Um ponto q N é chamado valor regular de f se f 1 (q) contém apenas pontos regulares. Se a diferencial df(p) tem posto menor do que n, i.e., se df(p) não é sobrejetora, diremos que p é um ponto crítico de f, e a imagem f(p) é chamada um valor crítico de f. A proposição seguinte é um resultado análogo ao Corolário 1.1.8, agora no contexto de superfícies. Proposição Sejam f : M m N n uma aplicação diferenciável e q N um valor regular para f. Então o conjunto f 1 (q) M é uma superfície de dimensão m n. Além disso, para todo p f 1 (q), tem-se T p f 1 (q) = ker df(p). Demonstração. Dado um ponto p f 1 (q), seja ψ : V ψ(v ) uma parametrização de N, com ψ(0) = q. Pela forma local das submersões (cf. Teorema 1.5.9), existe um difeomorfismo ϕ : U ϕ(u), onde U M é um aberto contendo p e ϕ(u) é aberto em R m, tal que (ψ 1 f ϕ 1 )(x 1,..., x m ) = (x 1,..., x n ), 20

24 para todo (x 1,..., x m ) ϕ(u). Temos: ϕ ( f 1 (q) U ) = ( ψ 1 f ϕ 1) 1 (0) = ϕ(u) ( {0} n R m n). Seja T : R m R m um isomorfismo linear que transforma o subespaço {0} n R m n sobre R m n R m. Então, T ϕ : U T (ϕ(u)) é um difeomorfismo tal que (T ϕ) ( f 1 (q) U ) = T ( ϕ(u) ( {0} n R m n)) = T (ϕ(u)) R m n, ou seja, T ϕ transforma f 1 (q) U difeomorficamente sobre T (ϕ(u)) R m n. Isso prova que f 1 (q) é uma superfície de dimensão m n. A prova da segunda parte segue de forma análoga ao Exemplo Exemplo Sejam f : M n N n uma aplicação diferenciável, com M compacta, e q N um valor regular para f. Então, a imagem inversa f 1 (q) é um subconjunto finito de M (possivelmente vazio). De fato, como f 1 (q) é fechado em M, e M é compacta, f 1 (q) também é compacta. Além disso, f 1 (q) é discreto, pois f é injetora em uma vizinhança de cada ponto p f 1 (q), devido ao teorema da aplicação inversa. Dados uma aplicação diferenciável f : M n N n, com M compacta, e q N um valor regular para f, denotemos por #f 1 (q) a cardinalidade do conjunto f 1 (q), que é finita em virtude do Exemplo Lema A função #f 1 (q) é localmente constante quando q percorre os valores regulares q de f. Demonstração. Denotemos por p 1,..., p k os pontos do conjunto f 1 (q). Pelo teorema da aplicação inversa, existem abertos U 1,..., U k M, com p i U i, que podemos supor dois a dois disjuntos, que são transformados difeomorficamente por f sobre abertos V 1,..., V k em N. Considere então o subconjunto V = ( ) ( V 1... V k \ f M \ {U1... U k } ) de N, com q V. Para cada y V, tem-se #f 1 (y) = #f 1 (q). Uma aplicação simples do Lema é o seguinte: Teorema (Teorema fundamental da Álgebra). Todo polinômio nãoconstante admite uma raiz. 21

25 Demonstração. A ideia da prova consiste em transferir o problema do plano complexo C para a esfera S 2 R 3, que é uma superfície compacta. Denotando por N = (0, 0, 1) o polo norte de S 2, consideremos a projeção estereográfica π N : S 2 \ {N} C R 2. Aqui, estamos identificando R 2 com o subespaço R 2 {0} R 3. Dado um polinômio P : C C, P (z) = a n z n a 1 z + a 0, com a n 0, denotemos por f o levantamento de P na esfera S 2, i.e., f : S 2 S 2 é a aplicação dada por { ( π 1 f(x) = N P π N) (x), x N N, x = N. Observe que f é diferenciável em todo ponto x N. A fim de mostrar que f é diferenciável no polo norte N, considere a projeção estereográfica π S : S 2 \ {S} R 2 relativa ao polo sul S = (0, 0, 1). Note que π S é uma parametrização para S 2. Explicitando as expressões de π N e π S, obtemos: ( πn π 1 ) 1 S (z) = z = ( π S π 1 ) N (z). Assim, a representação de f na parametrização π S é dada por ( πs f π 1 ) ( S (z) = πs π 1 N P π N π 1 ) S (z) = ( π S π 1 ) ( ( )) 1 N P z = ( π S π 1 ) ( ) 1 N a n z n a 1 1 z + a 0 = z n a n a 1 z n 1 + a 0 z n, mostrando que f é diferenciável no polo norte N. Logo, f é globalmente diferenciável. Observe agora que f tem somente um número finito de pontos críticos. De fato, a aplicação f deixa de ser um difeomorfismo local, em virtude da regra da cadeia, somente nos zeros da derivada de P, P = ka k z k 1, e estes zeros são em quantidade finita, pois P não é identicamente nulo. Denotemos por X o conjunto dos pontos críticos de f e seja Y = f(x). Assim, o conjunto dos valores regulares de f, S 2 \ Y, é conexo. Portanto, a função localmente constante #f 1 (q) é constante em todo o conjunto S 2 \ Y. No entanto, esta constante não pode ser a identicamente nula, pois o polinônio P não é constante. Disso decorre que S 2 \ Y f(s 2 \ X) e, portanto, f é sobrejetora. Logo, existe z C tal que P (z) = 0, provando o teorema. 22

26 Exercícios 1. Seja f : M R uma função diferenciável, onde M é uma superfície compacta. Mostre que f tem, pelo menos, dois pontos críticos. 2. Seja f : X R uma função localmente constante, definida num subconjunto conexo X R n. Mostre que f é constante. 3. Determine as expressões das projeções estereográficas π N e π S, e mostre que ( π N π 1 ) S (z) = 1 z para todo z C. 23

27 2.2 O teorema de Sard Nesta seção apresentaremos o clássico teorema de Sard a respeito dos valores regulares de uma dada aplicação diferenciável f : M N. Mais precisamente, o teorema afirma que o conjunto de tais pontos é denso em N. A fim de estabelecer o teorema de Sard, necessitamos de alguns preliminares acerca dos conjuntos de medida nula no espaço Euclidiano. Definição Dizemos que um subconjunto X R n tem medida nula em R n, e escrevemos µ(x) = 0, se, para cada ɛ > 0 dado, é possível obter uma sequência de cubos abertos C 1, C 2,..., C k,... em R n tais que X k=1 C k e vol(c k ) < ɛ. Existem várias propriedades importantes acerca dos conjuntos de medida nula. Apresentaremos apenas algumas delas, que serão usadas quando necessário. Para maiores detalhes, o leitor pode consultar o livro [4]. k=1 Proposição São válidas as seguintes propriedades: (a) Todo subconjunto de um conjunto de medida nula também tem medida nula. (b) Qualquer união enumerável de conjuntos de medida nula ainda é um conjunto de medida nula. (c) Se f : U R n é uma aplicação diferenciável, definida no aberto U R n, e X U tem medida nula em R n, então f(x) também tem medida nula em R n. (d) Se m < n e f : U R n é uma aplicação diferenciável, definida no aberto U R m, então f(u) tem medida nula em R n. Definição Dizemos que um subconjunto X R n é localmente de medida nula em R n se, para cada x X, existe um aberto V x em R n, contendo o ponto x, tal que µ(v x X) = 0. Observe que, da cobertura aberta X V x extraimos, pelo teorema de Lindelöf (cf. [9, Theorem 30.3]), uma subcobertura enumerável X V k, logo X = (V k X) é uma união enumerável de conjuntos de medida nula e, portanto, µ(x) = 0. Assim, um conjunto X R n é localmente de medida nula se, e somente se, tem medida nula. 24

28 Exemplo Seja M m R n uma superfície, com m < n. Dado uma parametrização ϕ : U ϕ(u) em M, segue da Proposição 2.2.2, item (d), que a vizinhança coordenada ϕ(u) M tem medida nula em R n. Como ϕ(u) = A M, onde A R n é aberto, segue que M é localmente de medida nula e, assim, µ(m) = 0 em R n. Estudaremos agora os conjuntos de medida nula em uma superfície M. Definição Sejam M m uma superfície e ϕ : U ϕ(u) uma parametrização de M. Dizemos que um subconjunto X ϕ(u) tem medida nula em M se o conjunto ϕ 1 (X) tem medida nula em R m, i.e., se µ(ϕ 1 (X)) = 0. Se ψ : V ψ(v ) for outra parametrização de M, com X ψ(v ), então ψ 1 (X) = (ψ 1 ϕ)(ϕ 1 (X)) também tem medida nula em R m em virtude da Proposição 2.2.2, item (c), pois ψ 1 ϕ é um difeomorfismo em R m. No caso geral, dizemos que um subconjunto X M tem medida nula em M se, para toda parametrização ϕ : U ϕ(u) de M, o conjunto ϕ(u) X tiver medida nula em M de acordo com a Definição Os conjuntos de medida nula em uma superfície M satisfazem propriedades análogas daquelas dos conjuntos de medida nula do espaço Euclidiano. Por exemplo, temos a seguinte Proposição Se f : M m N n é uma aplicação diferenciável, com m < n, então f(m) tem medida nula em N. Demonstração. Segue diretamente da Proposição 2.2.2, item (d), usando parametrizações para M e N. O teorema seguinte, provado por Arthur Sard [10] em 1942, se refere à aplicações diferenciáveis entre duas superfícies M m e N n. Em virtude da Proposição 2.2.6, resta mostrar o caso em que m n. A demonstração que apresentaremos aqui é para o caso particular em que m = n. Apenas comentamos que o caso n = 1 foi provado por Anthony Morse [7] in Teorema (Sard). Dado uma aplicação diferenciável f : M n N n, denotemos por S o conjunto dos pontos p M tais que a diferencial df(p) não é isomorfismo. Então f(s) tem medida nula em N. Demonstração. Dado p S, considere parametrizações ϕ : U ϕ(u) de M e ψ : V ψ(v ) de N, com p ϕ(u) e f(ϕ(u)) ψ(v ). Basta provar que f(s ϕ(u)) tem medida nula em N. Por outro lado, µ(f(s ϕ(u))) = 0 µ(ψ 1 (f(s ϕ(u)))) = 0 em R n µ( f(ϕ 1 (S ϕ(u)))) = 0 em R n, 25

29 onde f é a representação de f em termos de ϕ e ψ. Assim, o teorema de Sard para superfícies se reduz ao problema Euclidiano. Ou seja, devemos provar: se f : U R n é uma aplicação diferenciável, definida no aberto U R n, e S é o conjunto dos pontos x U tais que det(df(x)) = 0, então f(s) tem medida nula em R n. De fato, pelo teorema de Lindelöf, podemos expressar U como união enumerável de cubos fechados. Assim, basta provar que se C é um cubo fechado, de aresta a > 0, contido em U, e T = {x C : det(df(x)) = 0}, então f(t ) tem medida nula em R n. Fixemos a norma Euclidiana em R n. Subdividindo cada uma de suas arestas em k partes iguais, obtemos uma partição de C, cujos blocos são k n cubos C i, de mesma aresta a k = δ e volume igual a δ n. Se x, y C i, temos x y nδ. Em cada pequeno cubo C i tal que C i T, escolha um ponto x i C i T. A imagem da transformação linear df(x i ) : R n R n está contida num subespaço vetorial E i R n, de dimensão n 1. Todos os pontos f(x i ) + df(x i ) v, v R n, pertencem ao subespaço afim L i = f(x i ) + E i, de dimensão n 1 em R n. Para cada x C i, podemos escrever f(x) = f(x i ) + df(x i ) (x x i ) + r i (x), onde r i (x) é o resto da definição de diferenciabilidade. Dado ɛ > 0, podemos escolher o inteiro k suficientemente grande tal que, para todo cubo C i contendo pontos de T e todo x C i, tenhamos r i (x) < ɛ x x i nδɛ. Fazendo c = sup{ df(x) : x C}, temos: df(x i ) (x x i ) c x x i < ncδ, para todo x C i. Assim, para todo x C i, o ponto f(x i ) + df(x i ) (x x i ) pertence ao cubo de centro f(x i ) e aresta 2ncδ em L i. Considerando o paralelepípedo retangular P i em R n que tem esse cubo como seção média e altura 2nδɛ, temos: vol(p i ) = 2 n n n c n 1 δ n ɛ = Aδ n ɛ, onde A = 2 n n n c n 1. A imagem f(t ) está contida na união de, no máximo, k n desses paralelepípedos P i, cuja soma dos volumes não ultrapassa Ak n δ n ɛ = Aa n ɛ. Como ɛ > 0 é arbitrário, concluimos que f(t ) tem medida nula em R n. 26

30 Uma consequência direta do Teorema de Sard é o seguinte Corolário O conjunto dos valores regulares de uma aplicação diferenciável f : M N é sempre denso em N. Demonstração. De fato, se existisse um aberto V N que não intercepta o conjunto dos valores regulares de f, V seria constituído somente de valores críticos e não teria medida nula em N, contradizendo o teorema de Sard. Exercícios 1. Demonstre a Proposição Prove que R m tem medida nula em R n, com m < n. 27

31 2.3 Funções de Morse Nesta seção apresentaremos uma aplicação do teorema de Sard, onde estudaremos o comportamento local de funções diferenciáveis f : M R. Dado um ponto p M, ou p é ponto regular de f ou df(p) = 0. Se p é ponto regular para f, então f é uma submersão em p. Assim, pela forma local das submersões, existe uma parametrização em torno de p tal que, nesta vizinhança coordenada, f é simplesmente a projeção sobre a primeira coordenada. Neste caso, conhecemos o comportamento local de f nos pontos regulares, a menos de difeomorfismos. O objetivo agora é estudar o comportamento local de f nos pontos críticos. Consideremos inicialmente funções diferenciáveis f : R n R, definidas em R n. Nosso interesse inicial reside na diferencial segunda d 2 f(x) da função f no ponto x. Mais precisamente, à esta diferencial fica associada uma matriz de ordem n n ( 2 ) f H f (x) = (x), x i x j chamada a matriz Hessiana de f no ponto x. Note que o teorema de Schwarz garante que essa matriz é simétrica. Suponhamos agora que f admita um ponto crítico x. Isso significa que df(x) = 0, i.e., f (x) =... = f (x) = 0. x 1 x n Definição Dizemos que o ponto crítico x é não-degenerado quando a matriz Hessiana nesse ponto é inversível, i.e., det H f (x) 0. O comportamento local de uma função em um ponto crítico não-degenerado é completamente determinado, a menos de difeomorfismos, pelo chamado Lema de Morse. Este lema descreve completamente a função, em uma parametrização apropriada, em termos da matriz Hessiana do respectivo ponto. Lema (Morse). Sejam f : R n R uma função diferenciável e x R n um ponto crítico não-degenerado para f. Então, existe um difeomorfismo ξ : V W, com 0 V, p W e ξ(0) = x, tal que f(ξ(y)) = f(x) + n h ij (y)y i y j, i,j=1 para todo y = (y 1,..., y n ) V, onde (h ij (x)) denota a matriz Hessiana de f no ponto x. 28

32 Disso decorre que toda função diferenciável, em torno de um ponto crítico não-degenerado, é localmente equivalente a um polinônio quadrático, onde os coeficientes são dados pela matriz Hessiana. Considere agora uma função diferenciável f : M R, definida na superfície M n, e p M um ponto crítico para f. Diremos que p é ponto crítico não-degenerado para f se existe uma parametrização ϕ : U ϕ(u) de M, com ϕ(0) = p, tal que 0 seja ponto crítico não-degenerado para a função f ϕ. Devemos verificar que essa definição independe da escolha da parametrização. Para isso, seja ψ : V ψ(v ) outra parametrização de M, com ψ(0) = p. Então f ψ = (f ϕ) φ, onde φ = ϕ 1 ψ. Devemos então provar o seguinte Lema Sejam f : R n R uma função diferenciável e φ : R n R n um difeomorfismo tal que φ(0) = 0. Se 0 R n é ponto crítico não-degenerado para f então também o é para a função g = f φ. Demonstração. Denotemos por H f, H g as matrizes Hessianas de f e g, respectivamente, no ponto 0. Usando a regra da cadeia, obtemos onde y = φ(x). Assim, 2 g x i x j (0) = n k,l=1 g x j (x) = n k=1 f y k (φ(x)) φ k x j (x), 2 f y i y j (0) φ l x i (0) φ k x j (0) + n k=1 f 2 φ k (0) (0). y k x i x j Como 0 é ponto crítico de f, cada termo no segundo somatório é nulo. Assim, 2 g x i x j (0) = n k,l=1 2 f y i y j (0) φ l x i (0) φ k x j (0). Usando a notação de multiplicação de matrizes, a igualdade acima pode ser escrita como H g (0) = (dφ(0)) t H f (0) (dφ(0)). Como φ é difeomorfismo, temos que det(dφ(0)) 0, logo det(dφ(0)) t 0. Portanto, como det H f (0) 0, concluimos que det H g (0) 0, i.e., 0 é ponto crítico não-degenerado para g = f φ. 29

33 Definição Uma função diferenciável f : M R, cujos pontos críticos são todos não-degenerados, é chamada uma função de Morse. Uma das razões para destacarmos os pontos críticos não-degenerados é que a ocorrência de pontos críticos degenerados é rara. Mais precisamente, usando o teorema de Sard, provaremos que a maioria das funções diferenciáveis são funções de Morse. Consideremos uma função diferenciável f : M R, definida na superfície M m R n. Dado um ponto a = (a 1,..., a n ) R n, definimos uma nova função f a : M R pondo para todo p = (x 1,..., x n ) M. f a (p) = f(p) + a 1 x a n x n, Teorema O conjunto dos pontos a R n, para os quais a função f a : M R é uma função de Morse, é denso em R n. Demonstração. Consideremos dois casos: Caso 1: Seja f : R n R uma função diferenciável, definida em R n. Associada a f, considere a aplicação g : R n R n dada por ( f g(x) = (x),..., f ) (x). x 1 x n A diferencial da função f a num ponto x R n é dada por df a (x) = g(x) + a. Assim, x é ponto crítico para f se, e somente se, g(x) = a. Além disso, como f e f a têm as mesmas derivadas parciais de segunda ordem, a matriz Hessiana de f em x é a matriz (dg(x)). Assuma que o ponto a seja valor regular para g. Como g(x) = a, concluimos que det(dg(x)) 0. Disso decorre que x é ponto crítico não-degenerado para f a. No entanto, o teorema de Sard nos diz que o conjunto dos pontos a R n, para os quais a é valor regular para g, é denso em R n. Caso 2: Para o caso de uma função f : M R, definida numa superfície M m R n, fixe um ponto p M e sejam x 1,..., x n as coordenadas usuais de R n. Segue do Exemplo que m dessas funções coordenadas constituem uma parametrização de M em torno de p. Assim, a superfície M pode ser coberta por abertos U α onde, em cada U α, m das funções x 1,..., x n 30

34 constituem uma parametrização. Pelo teorema de Lindelöf, podemos assumir que os abertos U α são em quantidade enumerável. Fixado um aberto U α, suponha que (x 1,..., x m ) seja uma parametrização em U α. Para cada ponto c = (c m+1,..., x n ) R n m, considere a função f (0,c) : M R dada por f (0,c) = f + c m+1 x m c n x n. Pelo Caso 1, o conjunto dos pontos b R m para os quais a função f (b,c) = f (0,c) + b 1 x b m x m é uma função de Morse em U α, é denso em R m. Denotemos por S α o conjunto dos pontos a R n para os quais f a não é função de Morse em U α. Assim, cada faixa horizontal S α (R m {c}) tem medida nula, considerado como um subconjunto de R m. Por outro lado, um subconjunto de R n, cujas faixas horizontais têm medida nula em R m, tem medida nula em R n. Assim, cada S α tem medida nula em R n. Agora, um ponto p é ponto crítico degenerado para uma função em M se, e somente se, o é para a mesma função restrita a um aberto U α. Assim, o conjunto dos pontos a R n para os quais f a não é função de Morse em M é união dos S α, que tem medida nula por ser união enumerável de conjuntos de medida nula. Vejamos um exemplo no contexto de superfícies em R 3. Exemplo Seja M R 3 uma superfície regular orientável. Dado um ponto p M, consideremos a função altura h : M R em relação ao plano tangente T p M, dada por h(q) = q p, N(p), onde N é o campo unitário, normal a M. Do Exercício 6 segue que p é ponto crítico de h. Um cálculo simples mostra que a segunda forma fundamental da superfície M no ponto p coincide com a Hessiana da função altura h em p. Ou seja, dado um vetor w T p M e uma curva α : ( ɛ, ɛ) M, diferenciável em t = 0, tal que α(0) = p e α (0) = w, então II p (w) = d2 (h α)(0). dt2 Disso decorre, em particular, que p M é ponto crítico não-degenerado para h se, e somente se, K(p) 0, onde K denota a curvatura Gaussiana da superfície M. 31