CONTROLADORES COMUTATIVOS ESTABILIZANTES PARA PLANTAS

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1 CONTROLADORES COMUTATIVOS ESTABILIZANTES PARA PLANTAS INSTÁVEIS Marcos V. Moreira, João C. Basilio, Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE - Programa de Engenharia Elétrica Escola Politécnica - Departamento de Eletrotécnica Cidade Universitária - Ilha do Fundão Rio de Janeiro - R. J. s: moreira@pee.coppe.ufrj.br, basilio@coep.ufrj.br Resumo Recentemente, uma parametrização de todos os controladores comutativos estabilizantes foi obtida, bem como uma caracterização de todos os graus de liberdade disponíveis, o que permite a aplicação do método do lugar característico no projeto de controladores multivariáveis visando atender outros objetivos de controle como, por exemplo, robustez. Porém, a existência do controlador comutativo estabilizante não é garantida para plantas instáveis. Neste artigo uma condição suficiente para a existência do controlador comutativo estabilizante é apresentada. Esta condição é satisfeita para uma vasta classe de plantas e pode ser facilmente verificada a partir da matriz de transferência da planta. Abstract Recently, a parametrization of all stabilizing commutative controllers and a characterization of all degrees of freedom available has been obtained, thus, allowing the application of the CLM to the design of multivariable controllers with the view to addressing other control objectives, e. g. robustness. However, it has not been guaranteed the existence of a stabilizing commutative controller for unstable plants. In this paper, a sufficient condition for the existence of stabiling commutative controllers is presented. This condition is satisfied for a large class of plants and can be easily checked from the plant transfer function matrix. Key Words Multivariable control, frequency domain, linear systems. Introdução O Método do Lugar Característico (MLC) (MacFarlane e Belletruti, 970) é uma importante ferramenta de projeto de controladores multivariáveis para plantas com o mesmo número de entradas e de saídas. Esse método consiste em transformar o projeto de um sistema de controle multivariável no projeto de vários sistemas de controle monovariáveis sem que sejam necessários o desacoplamento ou a dominância diagonal da planta. A base do MLC é o critério de estabilidade de Nyquist generalizado (MacFarlane e Kouvaritakis, 977), que fornece uma maneira de verificar a estabilidade do sistema multivariável em malha fechada a partir dos lugares característicos da função de transferência do sistema em malha aberta. De acordo com o critério de Nyquist generalizado, um sistema em malha fechada é estável se e somente se o número total de envolvimentos em sentido anti-horário, do ponto crítico + j0, pelos lugares característicos do sistema em malha aberta, for igual ao número de pólos instáveis da planta e do controlador. O MLC consiste em se projetar controladores que tenham as mesmas matrizes de autovetores e autovetores duais que a planta e, em seguida, as funções de autovalores são escolhidas de forma que os sistemas realimentados sejam estáveis e satisfaçam requisitos de desempenho tais como rejeição de perturbação, rastreamento do sinal de referência e resposta transitória. Um problema inicial é que a matriz de autovetores da planta é, em geral, irracional, sendo, portanto, necessário utilizar uma aproximação racional para a matriz de autovetores para a obtenção do controlador comutativo (MacFarlane e Kouvaritakis, 977; Cloud e Kouvaritakis, 987; Kouvaritakis e Basilio, 994; Basilio e Kouvaritakis, 995). Mais recentemente (Basilio et al., 2002) uma outra abordagem para a obtenção de um controlador racional que comute com a planta é apresentada, em que utilizando-se a parametrização de Youla- Kucera e a teoria de bases polinomiais mínimas, é obtida uma parametrização para todos os controladores racionais estabilizantes que comutam exatamente com a planta, sendo também apresentada uma caracterização de todos os graus de liberdade disponíveis nesta parametrização. Contudo, a existência do controlador comutativo estabilizante não é garantida para o caso de plantas instáveis. Neste artigo será apresentada uma condição suficiente para a existência de controladores comutativos estabilizantes. Esta condição é satisfeita para uma vasta classe de plantas e pode ser verificada a partir de uma análise simples da matriz de transferência da planta. Este artigo está estruturado da seguinte forma. Na seção 2 é feita uma breve revisão sobre bases polinomiais mínimas. Uma parametrização do tipo Youla-Kucera é apresentada na seção 3 para todos os controladores comutativos estabilizantes. Na seção 4 é dada uma condição suficiente para a existência de controladores comu-

2 tativos para plantas instáveis. Um exemplo que ilustra a parametrização proposta é apresentado na seção 5. 2 Base polinomial mínima para o espaço nulo de uma matriz polinomial Sejam R p q [s] e R p q (s), os anéis de matrizes polinomiais e racionais, respectivamente. Suponha que seja dada uma matriz A(s) R p q [s] e seja f(s) um vetor polinomial tal que A(s)f(s) = 0. Então f(s) é um vetor pertencente ao espaço nulo de A(s). Isto leva à definição de base polinomial mínima (Forney, 975) para o espaço nulo de A(s). Para tanto, suponha que A(s) (p < q por simplicidade) tenha a seguinte forma de Smith: ǫ (s) ǫ 2(s) Σ A(s) = , () ǫ p(s) onde ǫ k (s) = 0 para k = p ν +,...,p. Neste caso a matriz A(s) é dita ter um posto normal r = p ν, ou equivalentemente, que o espaço nulo de A(s) tem dimensão ν = q p + ν para todo s. Definição Seja A(s) uma matriz com posto normal r e seja F(s) = [ f (s) f 2 (s)... f ν (s) ], onde gr[f i (s)] = φ i, uma matriz polinomial tal que A(s)F(s) = O. Então, F(s) forma uma base polinomial mínima para o espaço nulo de A(s) se e somente se ν i= φ i é mínimo. Para a obtenção de uma base polinomial mínima para o espaço nulo de A(s), o primeiro passo é determinar o posto normal de A(s). Uma maneira simples para o cálculo do posto normal pode ser desenvolvida a partir da equação () notando que a matriz A(s) somente perde posto, além do normal, para um número finito de valores de s, que são os zeros dos polinômios invariantes ǫ i (s), i =,...,r. Além disso, como ǫ i (s) divide ǫ i+ (s), então o número de valores s k C que tornam ρ [A(s k )] < r, onde ρ(.) denota o posto de uma matriz complexa, é determinado pelo grau de ǫ r (s). Portanto, para saber qual é o posto normal de A(s) basta verificar o posto de A(s k ) para k valores distintos de s = s k, onde k é maior que o grau de ǫ r (s) e obter r fazendo: r = max{ρ[a(s k )]}. (2) s k Uma estimativa do número de freqüências que precisam ser utilizadas para a verificação do posto normal de A(s) pode ser obtida a partir da definição de polinômios invariantes. Seja i (s) o máximo divisor comum de todos os menores i i de A(s). Então os polinômios invariantes ǫ i (s) são obtidos fazendo-se ǫ i (s) = i (s)/ i (s). Portanto, é fácil verificar que o somatório dos graus dos polinômios invariantes é igual ao grau de r (s), isto é, r i= gr(ǫ i) = gr( r ), onde gr(.) denota grau, e, portanto, gr(ǫ r ) gr( r ). Um limitante superior para o grau de r (s) pode ser obtido supondo r = p e lembrando que o máximo r(s) y(s) K(s) G(s) + Figura. Sistema com realimentação unitária negativa divisor comum de todos os menores p p de A(s) não excede o menor somatório dos graus de p colunas de A(s). Desta forma, o seguinte algoritmo pode ser utilizado para a determinação do posto normal de uma matriz polinomial. Algoritmo Seja A(s) uma matriz polinomial. Passo : Selecione as p colunas de A(s) com os menores graus por coluna e faça l igual ao somatório dos graus dessas p colunas de A(s) selecionadas. Passo 2: Escolha cada valor de s, s k, para k =,...,l+, de forma que todos os s k sejam distintos. Para cada s k, faça decomposição por valores singulares de A(s k ) e obtenha o posto ρ[a(s k )] a partir dos valores singulares não nulos de A(s k ). Passo 3: O posto normal r é obtido fazendo-se r = max sk {ρ[a(s k )]}. Observação O algoritmo acima pode ser terminado antes que todos os valores de s k tenham sido verificados se, para algum s k, ρ [A(s k )] = min(p, q). Uma vez calculado o posto normal de A(s), r, então a matriz A(s) tem um espaço nulo de dimensão ν = q r, ou seja, é sempre possível encontrar um conjunto de ν vetores polinomiais linearmente independentes f(s) de graus mínimos, sobre o corpo das funções racionais, tal que A(s)f(s) = 0. Bases polinomiais mínimas podem ser obtidas de maneira robusta utilizando-se o algoritmo proposto em Basilio e Moreira (2004). 3 Uma parametrização para todos os controladores comutativos estabilizantes Considere o sistema realimentado da figura onde G(s) R m m (s) é a matriz de transferência da planta e K(s) R m m (s) é a matriz de transferência do controlador a ser projetado. Considere também que G(s) = N(s)M (s) = M (s)ñ(s) (3) é uma fatoração duplamente coprima de G(s) em RH m m (o anel de todas as matrizes racionais próprias e estáveis). Desta forma, existem matrizes X(s), Y (s), X(s) e Ỹ (s) RH m m que satisfazem a identidade de Bezout generalizada [ ] [ ] X(s) Ỹ (s) M(s) Y (s) Ñ(s) M(s) N(s) X(s) = [ I O O I ]. (4) A classe de todos os controladores, K(s), que estabilizam internamente o sistema em malha fechada é dada pela parametrização de Youla-Kucera: K(s) = U(s)V (s) = Ṽ (s)ũ(s) = [Y (s) + M(s)Q(s)][X(s) N(s)Q(s)] =[ X(s) Q(s)Ñ(s)] [Ỹ (s) + Q(s) M(s)], (5)

3 onde Q(s) RH m m. Em Basilio et al. (2002), utilizando-se as equações (4) e (5), uma condição necessária e suficiente para a existência de controladores comutativos estabilizantes é obtida, i.e., para que K(s) estabilize internamente e comute com G(s), ou seja, G(s)K(s) = K(s)G(s), deve-se encontrar Q(s) RH m m que satisfaça a seguinte equação: onde N(s)Q(s) M(s) M(s)Q(s)Ñ(s) = C(s), (6) C(s) = X(s) M(s) M(s) X(s). (7) Escrevendo Q(s) = [ q (s) q 2 (s)... q m (s) ] e C(s) = [ c (s) c 2 (s)... c m (s) ], onde q i (s) e c i (s) denotam, respectivamente, as colunas de Q(s) e C(s), tem-se que a equação (6) torna-se: onde P(s)q(s) = c(s), (8) P(s) = M t (s) N(s) Ñt (s) M(s), q(s) = [ q t (s) qt 2 (s)... qt m (s)] t, (9) c(s) = [ c t (s) ct 2 (s)... ct m (s)] t, onde denota o produto de Kronecker. Portanto, a partir de (8) e (9) uma condição necessária e suficiente para a existência de um controlador comutativo estabilizante pode ser reescrita da seguinte forma: existe K(s) que estabiliza e comuta com a planta G(s) se e somente se existe um vetor estável q(s) R m2 (s) tal que (8) é satisfeita. Observação 2 Embora N(s), M(s), Ñ(s), M(s), X(s), X(s) sejam matrizes racionais, é sempre possível formá-las de modo que elas tenham todas o mesmo polinômio no denominador. Logo, é sempre possível considerar P(s) R m2 m 2 [s] e c(s) R m2 [s]. 4 Existência de controladores comutativos estabilizantes Um controlador comutativo estabilizante K(s) sempre existe quando a matriz de transferência da planta G(s) é estável (Basilio, 995). Neste caso, Q e (s) = M (s)y (s) = Ỹ (s) M (s) satisfaz a condição de comutatividade (6) e pertence a RH m m. Porém, se G(s) não é estável, Q e (s) RH m m, uma vez que no polinômio do denominador aparecerão os pólos instáveis da planta. Assim, para abordar o caso geral de plantas instáveis, é necessário caracterizar o espaço gerado por todas as soluções da equação (8). Para tanto, escreva q(s) = d q (s) n q(s), (0) onde n q (s) R m2 [s] e d q (s) é um polinômio. Substituindo-se q(s) na equação (8), resulta: P(s) d q (s) n q (s) = c(s), () que pode ser escrito na seguinte forma matricial: [ ] [ ] [ ] n P(s) c(s) q (s) nq (s) = 0 T(s) = 0. (2) d q(s) d q(s) Portanto as soluções (estáveis e instáveis) da equação (8) serão definidas pelo espaço nulo à direita de T(s) e serão obtidas a partir de combinações lineares dos elementos de uma base polinomial mínima para o espaço nulo de T(s). Assim, é imperativo obter a nulidade de T(s). Para tanto, o seguinte resultado é necessário. Lema Seja A C m m uma matriz diagonalizável e considere que cada autovalor distinto de A, λ i, i =,...,l, tem multiplicidade µ i. Então, existem l i= µ2 i matrizes linearmente independentes que comutam com A. Prova. Seja A = WΛ A W a decomposição espectral de A e seja B uma matriz que comuta com A. Se AB = BA, então WΛ A W B = BWΛ A W e Λ A (W BW) = (W BW)Λ A. Denotando B = (W BW), então conclui-se que B comuta com A se e somente se B comuta com Λ A. Como A é diagonalizável, então Λ A pode ser escrita como: Λ A = diag{λ Ai, i =,...,l}, onde cada bloco Λ Ai é Λ Ai = λ i I µi, com I µi denotando a matriz identidade de ordem µ i. Portanto, é fácil verificar que B é diagonal por blocos, ou seja, B = diag{bi, i =,...,l}, onde cada bloco B i C µi µi, e que para que haja a comutatividade entre Λ A e B é necessário que cada bloco B i comute com o seu correspondente bloco Λ Ai. Como Λ Ai é múltipla da identidade, então existem µ 2 i matrizes B i, linearmente independentes, que comutam com Λ Ai. Portanto, como existem l blocos Λ Ai distintos é fácil verificar que existem l i= µ2 i matrizes linearmente independentes que comutam com A. Uma conseqüência do lema é a possibilidade de se obter a nulidade de P(s) a partir das funções de autovalores de G(s). Lema 2 Seja G(s) a matriz de transferência da planta. Então, P(s) tem posto normal m 2 ν, onde ν = l i= µ2 i e µ i é a multiplicidade da função de autovalor g i (s), para i =,...,l, de G(s). Prova. Se P(s) tem posto normal igual a r, menor do que m 2, então existem ν = m 2 r vetores polinomiais α(s) R m2 [s] linearmente independentes tais que α t (s)p(s) = 0 t. (3) Seja α t (s) = [α t (s) αt 2 (s)... αt m (s)], onde α i (s) R m [s] e defina A(s) = α t (s) α t 2 (s). α t m (s). (4) Portanto, é fácil verificar que satisfazer a equação (3) é equivalente a satisfazer: M(s)A(s)N(s) Ñ(s)A(s)M(s) = O. (5)

4 Multiplicando esta equação à esquerda por M (s) e à direita por M (s) resulta: A(s)N(s)M (s) M (s)ñ(s)a(s) = O. (6) Como G(s) = N(s)M (s) = M (s)ñ(s) e escrevendo G(s) = N G (s)/d(s), onde d(s) é o mmc dos denominadores de G(s) e N G (s) R m m [s], pode-se reescrever (6) como: A(s) d(s) NG(s) = NG(s)A(s). (7) d(s) Como G(s) tem l funções de autovalores g i (s) distintas com multiplicidade µ i, então para um número infinito de freqüências ω k, k =, 2,..., N G (jω k ), tem l autovalores distintos e cada um com multiplicidade µ i. Logo, se jω k não é um zero de d(s), então (7) é satisfeita se e somente se A(jω k ) comuta com N G (jω k ). Como, de acordo com o lema, existem l i= µ2 i matrizes linearmente independentes que comutam com N G (jω k ), então para um número infinito de valores ω k, a nulidade de P(jω k ) é igual a l i= µ2 i. Desta forma, pela definição de posto normal dada em (2), se verifica que a nulidade normal de P(s) é l i= µ2 i. Supondo que a matriz polinomial P(s) tem nulidade ν, então T(s) tem nulidade ν +. Desta forma, denotando H(s), a matriz polinomial de dimensão (m 2 + ) ( ν + ) cujas colunas formam uma base polinomial mínima para o espaço nulo de T(s), então T(s)H(s) = O. Logo, todos os vetores q(s) que satisfazem (2) podem ser obtidos da seguinte forma: [ nq (s) d q(s) ] = H(s)ψ(s), (8) onde ψ(s) é um vetor polinomial. Particionando H(s) como [ ] Ht(s) H(s) = h t b (s), (9) então d q (s) é dado por: ν+ d q(s) = h bi (s)ψ i(s), (20) i= que é uma equação Diophantina generalizada. Logo, a equação (8) tem solução estável se e somente se existem polinômios ψ i (s), i =, 2,..., ν +, tais que d q (s) é Hurwitz. Desta forma, o problema de encontrar um controlador comutativo estabilizante para uma dada planta G(s) se torna o problema de encontrar d q (s) Hurwitz. Uma condição necessária e suficiente para a existência de um controlador comutativo estabilizante é apresentada a seguir. Lema 3 Seja G(s) a matriz de transferência da planta. Então, existe um controlador comutativo estabilizante para G(s) se e somente se h t b (s 0) 0 t, para todo s 0 igual a um pólo instável da planta. Prova. Note que não existem ψ i (s), i =, 2,..., ν +, que fazem com que d q (s) seja Hurwitz se e somente se o maior divisor comum de h bi (s), χ(s), tiver um zero instável, ou seja, χ(s 0 ) = 0 e s 0 possui parte real positiva. Este fato implica que se não existir um controlador comutativo estabilizante, então h t b (s 0) = 0 t. Note também que Q e (s) = M (s)y (s) satisfaz a equação (6) e, conseqüentemente, q e (s), construído de acordo com (9) a partir de Q e (s), satisfaz (8). Logo, escrevendo q e (s) = d qe (s) n q e (s), é imediato perceber que os zeros de d qe (s) são os pólos de G(s). Portanto, se algum valor de s = s 0 tem parte real positiva e é tal que h t b (s 0) = 0 t, então s 0 deve ser um pólo instável da planta. A partir dos lemas 2 e 3 uma condição suficiente para a existência de controladores comutativos estabilizantes pode ser obtida. Teorema Se P(s 0 ) tem posto m 2 ν, onde ν é a nulidade normal de P(s), para todo pólo instável da planta, s 0, então existe um controlador comutativo estabilizante. Prova. Suponha que não exista um controlador comutativo estabilizante para a planta, i. e., de acordo com o lema 3, h t b (s 0) = 0 t para algum s 0 igual a um pólo instável da planta e seja H(s) a matriz polinomial obtida via base polinomial mínima para o espaço nulo de T(s). Portanto, [ ] Ht(s 0) T(s 0) 0 t = O P(s 0)H t(s 0) = O. (2) Como H(s) é obtido via base polinomial mínima, então H(s) é irredutível (Kailath, 980), ou seja, tem posto cheio por coluna para todo s, o que leva a H t (s 0 ) ter posto ν +. Como, de acordo com o lema 2, P(s) tem nulidade normal igual a ν, logo, para que (2) tenha solução é necessário que P(s 0 ) tenha nulidade maior ou igual a ν +, o que significa que P(s 0 ) deve perder posto além do normal. Portanto, se P(s 0 ) tem posto m 2 ν, então não é possível que H t (s 0 ) tenha posto ν +, o que leva a h t b (s 0) 0 t. O teorema fornece uma condição suficiente para a existência do controlador comutativo estabilizante e que é satisfeita para uma vasta classe de plantas, conforme será apresentado a seguir. Teorema 2 Se N G (s 0 ) tem posto m e se os autovalores distintos de N G (s 0 ) têm a mesma multiplicidade que as respectivas funções de autovalores de N G (s), para todo s 0 igual a um pólo instável da planta, então existe um controlador comutativo estabilizante. Prova. Se N G (s 0 ) tem posto m, então o fator (s s 0 ) não pertence aos polinômios invariantes de N G (s). Logo, é fácil verificar que M(s 0 ) = M(s 0 ) = O, e, portanto, de acordo com (6), (7) e (9), P(s 0 ) = O e c(s 0 ) = 0. Colocando o fator (s s 0 ) em evidência, a equação (8) pode ser reescrita como: (s s 0) P(s)q(s) = (s s 0) c(s). (22) Desta forma, encontrar a solução q(s) para a equação (22) é equivalente a encontrar a solução para P(s)q(s) = c(s). (23)

5 Suponha, sem perda de generalidade, que s 0 é um pólo de G(s) de multiplicidade. Então, resolver a equação (23) é o mesmo que obter um controlador comutativo estabilizante para a planta (s s0) Ḡ(s)=(s s 0)G(s)= d(s) NG(s)= NG(s) (24) d(s) tal que d(s 0 ) 0. Logo, uma fatoração duplamente coprima para Ḡ(s) pode ser escrita como: Ḡ(s) = N(s) M (s) = M (s)ñ(s), (25) onde M(s) = s s 0 M(s) e M(s) = s s 0 M(s). Procedendo de maneira igual a prova do lema 2 é fácil verificar que obter o posto de P(s 0 ) equivale a encontrar todas as matrizes linearmente independentes A(s 0 ) que satisfazem: M(s 0)A(s 0)N(s 0) Ñ(s0)A(s0) M(s 0) = O. (26) Como d(s 0 ) 0 então M(s 0 ) e M(s0 ) possuem inversa. Logo, pré-multiplicando-se a equação (26) por M (s 0 ) e pós-multiplicando por M (s 0 ) obtém-se: A(s 0)N(s 0) M (s 0) M (s 0)Ñ(s0)A(s0)=O, (27) e, de acordo com as equações (25) e (24), a equação (27) pode ser reescrita como: A(s 0) d(s NG(s0) NG(s0)A(s0) = O. (28) 0) d(s 0) Assim sendo, todas as possíveis matrizes A(s 0 ) que satisfazem (26) devem comutar com N G (s 0 ). Como os autovalores de N G (s 0 ) têm as mesmas multiplicidades das funções de autovalores de N G (s), então o posto de P(s 0 ) é igual a m 2 ν, onde ν é a nulidade normal de P(s) e, de acordo com o teorema, isto garante a existência do controlador comutativo estabilizante. Note que a condição imposta pelo teorema 2 requer que a planta não tenha pólos e zeros instáveis coincidentes. Além disso, o teorema 2 leva a uma maneira simples de verificar a e- xistência do controlador comutativo estabilizante: para todos os pólos instáveis da planta, s 0, devem ser calculados os autovalores de N G (s 0 ). Se, por exemplo, os autovalores de N G (s 0 ) são distintos e diferentes de zero, então existe um controlador comutativo estabilizante e pode-se utilizar a parametrização apresentada em (8) para a obtenção de todos os vetores racionais e estáveis q(s) que satisfazem (8). 5 Exemplo Considere a seguinte matriz de transferência da planta apresentada em Basilio et al. (2002): G(s) = [ ] 54, 32s 47s + 2, d(s) 48,5s, 94 42s onde d(s) = (s )(s + 2). É fácil verificar neste exemplo que G(s) tem somente um pólo instável s 0 =. Portanto, é necessário calcular os autovalores de [ ] 54,32 45 N G() =, 50, que são iguais a 96, 99 e 0, 2. Desta forma, as condições do teorema 2 são satisfeitas, isto é, N G () tem todos os autovalores distintos, e a e- xistência do controlador comutativo estabilizante está garantida. Considere agora o problema de encontrar um controlador comutativo estabilizante para G(s). O primeiro passo é calcular N(s), M(s), Ñ(s), M(s), X(s), Y (s), X(s) e Ỹ (s) RH que satisfaçam a identidade de Bezout generalizada. Uma vez obtida a parametrização, o próximo passo é formar a matriz polinomial P(s) e o vetor polinomial c(s). A partir das equações (9a) e (9c), P(s) = [p ij (s)] e c(s) são calculados, obtendo-se: p (s) = 78, 3s 4 2, 7s , 3s 2 + 2, 7s + 0, 02 p 2(s) = 48, 5s , 2s 4 329, 3s , 5s , 8s+7, 6 p 3(s) = 47s , 9s 4 54, s , 8s 2 + 7, s + 7, 9 p 4(s) = 78, 3s 4 + 2, 7s 3 78, 3s 2 2, 7s 0, 02 p 2(s) = 47s , 5s 4 +60, 3s , 3s 2 3, 3s 7, 8 p 22(s) =2, 3s 5 +96, s 4 +34, 8s 3 96, s 2 47,s+0, 02 p 32(s) = 8, 7s 4 0, 03s 3 8, 8s 2 + 0, 03s + 0, 02 p 42(s) = 47s , 5s 4 60, 3s , 3s 2 + 3, 3s + 7, 8 p 3(s) = 48, 5s , 4s , 55s , 6s 2 378, s 7, 8 p 23(s) = 9, 0s 4 + 0, 02s 3 9, 0s 2 0, 02s + 0, 02 p 33(s) = 2, 3s 5 78, 4s 4 36, 2s 3 +78, 4s 2 +48, 5s+0, 02 p 43(s) = 48, 5s , 4s 4 329, 6s , 6s , s+7, 8 p 4(s) = 60, 5s 4 2, 7s , 6s 2 + 2, 7s 0, 0 p 24(s) =48, 5s , s , 0s , 5s 2 378, 5s 7, 6 p 34(s) = 47s , 0s 4 +54, 9s , 9s 2 7, 9s 7, 9 p 44(s) = 60, 5s 4 + 2, 7s 3 60, 6s 2 2, 7s + 0, 0 337, 2s s , 9s s 764, 2 c(s)= 43, 5s , 4s 3 55, 0s , 4s + 98, 5 43, 5s , 8s 3 58, s , 8s + 0, , 2s s 3 426, 9s s + 764, 2 Uma vez obtidos P(s) e c(s) deve-se formar a matriz polinomial T(s) = [P(s) c(s)], e via base polinomial mínima calcular H(s), tal que T(s)H(s) = O. De acordo com o lema 2 temse que a nulidade de P(s) é 2, logo, a nulidade de T(s) é 3, o que significa que o algoritmo para obtenção de H(s) deve parar quando forem obtidos 3 vetores polinomiais. Procedendo desta forma obtém-se: 0, 244s + 0, 367 0, 373s 0, 283 0, 047s + 0, 460 0, 279s 0, 420 0, 406s + 0, 27 0, 04s + 0, 40 H(s)= 0, 270s 0, 396 0, 394s + 0, 204 0, 0s + 0, 779 0, 35s + 0, 478 0, 476s 0, 344 0, 02s + 0, 34. 0, 003s + 0, 008 0, 022s 0, 005 0, 48s 0, 009 O próximo passo é a obtenção do vetor estável q(s), utilizando, para tanto, a matriz polinomial H(s) e os graus de liberdade dados pelo vetor ψ(s) conforme descrito pela equação (8). A única restrição na escolha do vetor polinomial ψ(s) é que d q (s) = (0.003s )ψ (s) + (0.022s 0.005)ψ 2 (s) + ( 0.48s 0.009)ψ 3 (s) seja Hurwitz. Desta forma, suponha que ψ (s), ψ 2 (s) e ψ 3 (s) devem ser escolhidos de forma a satisfazer d q (s) = s+3. Uma solução para essa equação Diophantina é ψ (s) = 562, 4805, ψ 2 (s) = 366, 0083

6 4 x e (ω) 0.5 Im[l q (jω)] x 0 0 ω (rad/s) 2 e 2 (ω) Re[l (jω)] q Figura 2. Lugares característicos do sistema em malha aberta Q p(s) = G(s)K(s). e ψ 3 (s) = 50. A partir destes valores obtém-se a seguinte matriz Q RH m m: Q(s)= [ ] 257, 6s 55, 6 287, 0s + 34, 7. (29) s , s + 60, 6 332, 8s 93, 7 Substituindo-se Q(s), dado em (29), na parametrização de Youla-Kucera (equação 5) um controlador comutativo estabilizante, K(s), pode ser obtido: K(s) = N k (s)m k (s) onde [ 4,5s N k (s)= 2 + 2, 7s, 5 63, s 2 ] 8, 5s 0,7 4,0s 2 + 0s 0,5 72, 8s 2 e + 8, 9s + 2,5 [ 3,7s M k (s)= , 4s 0, 9 0, s 2 ] +, s + 3, 2 3,3s , 4s +, 9 0, s 2. 0, 3s +, 3 É fácil verificar que este controlador tem dois pólos instáveis, 9, 9409 e 6, 8869; logo, como a planta também tem dois pólos instáveis, para que o sistema em malha fechada seja internamente estável é necessário que os lugares característicos da função de transferência em malha aberta, Q p (s) = G(s)K(s), tenha quatro envolvimentos em sentido anti-horário do ponto crítico + j0. Os lugares característicos de Q p (s) são apresentados na figura 2, onde claramente se verifica que o ponto crítico +j0 é de fato envolvido quatro vezes em sentido anti-horário e, portanto, o sistema em malha fechada é estável. Considere agora a mesma medida de comutatividade utilizada em Basilio et al. (2002): e i(ω) = lq (jω) i lg (jω)l i k i (jω) 00%, i =,2, l qi (jω) que representa o erro percentual entre os lugares característicos de Q p (s) (l qi (jω)) e os produtos dos lugares característicos de G(s) (l gi (jω)) e K(s) (l ki (jω)) a cada freqüência ω. A partir da figura 3, se verifica que o erro percentual para ambos os lugares característicos é extremamente pequeno (menor do que 0 0 %), o que mostra que G(jω) e K(jω) realmente comutam. 6 Conclusão Neste artigo uma condição suficiente para a e- xistência do controlador comutativo estabilizante ω (rad/s) Figura 3. Erro percentual entre os lugares característicos de Q p(s) = G(s)K(s) e o produto dos lugares característicos de G(s) e K(s) a cada freqüência ω. é apresentada. Essa condição se aplica a uma grande variedade de plantas, e pode ser facilmente verificada a partir dos autovalores da matriz de transferência da planta. Agradecimentos Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPq. Referências Basilio, J. C. (995). Multivariable generalised Nyquist design, PhD thesis, University of Oxford. Basilio, J. C. e Kouvaritakis, B. (995). The use of rational eigenvector approximations in commutative controllers, International Journal of Control 6: Basilio, J. C., Kouvaritakis, B. e Bandeira, P. T. (2002). Stabilizing commutative controllers: parametrization and characterization of degrees of freedom, XIV Congresso Brasileiro de Automática - Natal RN pp Basilio, J. C. e Moreira, M. V. (2004). A robust solution of the generalized polynomial Bezout identity, Linear Algebra and its Applications 385: Cloud, D. J. e Kouvaritakis, B. (987). Commutative controllers revisited: Parallel computation, a new lease of life, International Journal of Control 45: Forney, D. G. (975). Minimal bases of rational vector spaces, with applications to multivariable linear systems, SIAM Journal of Control 3: Kailath, T. (980). Linear Systems, Prentice-Hall. Kouvaritakis, B. e Basilio, J. C. (994). Bi-causal eigenvector sequences and the design of causal commutative controllers, International Journal of Control 59: MacFarlane, A. G. J. e Belletruti, J. J. (970). The characteristic locus design method, Automatica 25: MacFarlane, A. G. J. e Kouvaritakis, B. (977). A design technique for linear multivariable feedback systems, International Journal of Control 25: