Controle Ótimo H Revisitando o controle ótimo: LQR e LQG 1.1. Relação entre o custo ótimo LQR e a norma H 2 e o custo LQG e a norma rms?

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1 Controle Ótimo H 1. Revisitando o controle ótimo: LQR e LQG 1.1. Relação entre o custo ótimo LQR e a norma H e o custo LQG e a norma rms?. Controle ótimo H.1. Por que estudar a síntese de controladores com critério do tipo norma H?.. Abordagem padrão por equações algébricas de Riccati..1 Realimentação de estados.. Realimentação de saída. Utilizando as desigualdades matriciais lineares - LMIs Vantagens?.1 Estabilidade Quadrática. Condições relaxadas para sistemas incertos. Realimentação de saída 4. Alocando pólos em malha fechada pag.1 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

2 Brincando de controle ótimo... Objetivo do controle ótimo: um custo funcional J(x(t), u(t)) encontrar uma lei de controle u(t) tal que minimize Formalmente bu (t) é denominado ótimo se é a solução ótima do problema 8 < : min bu(t) J(x(t), bu(t)) s.a δ[x(t)] = Ax(t) + B bu(t), x(0) = x 0 Custo J = Z 0 f(x(t), bu(t))dt (ou J = T 1 X t=0 f(x(t + 1), bu(t)), discreto) Não importa a trajetória de bu (t), desde que seja limitada (nem sempre a trajetória em linha reta é a melhor solução exemplo tradicional: trajetória que demanda o menor tempo tal que o caça de combate F4 atinja um ponto de operação a uma certa altitude) pag. Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

3 LQR Controle ótimo tempo... Determinar bu (t) solução ótima 8 < : min bu(t) J(x(t), bu(t)) s.a δ[x(t)] = Ax(t) + B bu(t), x(0) = x 0 sendo J(x(t), bu(t)) Z 0 4 x(t) 5 bu(t) 4 Q S 5 4 x(t) 5 dt S T R bu(t) T para x(t) R n e bu(t) R m, Q R n n é uma ponderação para os estados, R R m m é uma ponderação para o sinal de controle e S R n m pondera conjuntamente o termo cruzado: estado e sinal de controle pag. Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

4 LQR realimentação de estados Restrições Q = Q T e R = R T 0. R 0 para garantir que o sinal de controle é regular, ie é finito, bu(t) L [0, ] No geral 4 Q S 5 0 e aplicando o complemento de Schur S T R bq Q SR 1 S T 0 como b Q 0, pode-se fatorá-la da forma b Q = C T zzc zz, com C zz R n n Definem-se u R 1/ bu; B u BR 1/ C z 4 C zz R 1/ S T 5 ; D zu ; z C z x + D zu u I pag.4 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

5 LQR realimentação de estados Desta forma z T z = x T Cz T + u T D zu (C z x + D zu u) = x T C T z C z x + x T C T z D zu u + u T D T zuc z x + u T D T zud zu u x T Cz T C z x h = x T Czz T i SR 1/ 4 C zz = x T 0 T zz +SR 1 S T {z } bq R 1/ S T 1 C A x 5 x = x T Q SR 1 S T + SR 1 S T x = x T Qx pag.5 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

6 LQR realimentação de estados h i x T Cz T D zu u = x T Czz T SR 1/ u I = x T SR 1/ u {z} R 1/ bu = x T S bu u T D T zud zu u = u T I u = bu T R 1/ R 1/ bu = bu T R bu pag.6 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

7 LQR realimentação de estados Logo, pode-se concluir que J(x(t), bu(t)) = = Z 0 Z 0 4 x(t) 5 bu(t) 4 Q S 5 4 x(t) 5 dt S T R bu(t) T z T (t)z(t)dt = z pag.7 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

8 LQR realimentação de estados Por que não introduzir uma saída artificial a ser controlada, z, e considerar o sistema abaixo? 8 < : ẋ(t) = Ax(t) + B u u(t), x(0) = x 0 z(t) = C z x(t) + D zu u(t) (A, B u ) é estabilzável e (A, C z ) é observável (garante u e X = Ric(M) 0) D zu é injetiva (tem posto completo de coluna), ie garante controle não-singular... 4 A jωi B u C z D zu 5 é injetiva, ω R, ie garante também regularidade pag.8 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

9 Reformulando o problema LQR Encontre uma lei de controle ótima u(t) L [0, ), que estabilize internamente o sistema com a saída controlada artificial, z, e minimize o índice de desempenho J = z Associada a matriz Hamiltoniana A B M = 4 u DzuC T z B u Bu T Cz `I T Dzu Dzu T T `I Dzu Dzu T Cz `A B u DzuC T z T 5 tem-se a equação algébrica de Riccati ea T X + X e A XB u B T u X + e C T z e C z = 0 sendo e A A Bu D T zuc z, e e Cz `I D zu D T zu Cz pag.9 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

10 Reformulando o problema LQR Supondo que X seja a solução estabilizante da equação de Riccati define-se 1 K = DzuD T zu Bu T X + DzuC T z, sendo DzuD T zu = I Nota Mostra-se no Zhou que A + B u K é estável Definindo-se A f A + B u K e C f C z + D zu K, a Riccati é reescrita da forma ea T X + XA e XB u Bu T X + C e z T C e z XB u (DzuD T zu )Bu T X XB u (DzuD T zu )Bu T X Cz T (DzuD T zu )D zu Bu T X Cz T (DzuD T zu )D zu Bu T X XB u (DzuD T zu )DzuC T z XB u (DzuD T zu )DzuC T z = 0 ou A T f X + XA f + C T f C f = 0, ie X é o Grammiano de Observabilidade!! pag.10 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

11 Reformulando o problema LQR Considerando o sistema em malha fechada com a lei de controle u(t) = Kx(t) 8 ẋ(t) = (A + B u K)x(t), x(0) = x >< {z } 0 A f >: z(t) = (C z D zu K)x(t) {z } C f Nota Particularmente, a solução do problema é a mesma substituindo-se a condição inicial por uma pertubação persistente não-correlacionada entrando em todas as direções do espaço de estado através de uma matriz B w, ie 8 < : ẋ(t) = A f x(t) + B w w(t), x(0) = 0 z(t) = C f x(t) sendo B w x 0 e w δ(t) pag.11 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

12 Custo LQR norma H Matrix de transferência da pertubação, w, para a saída controlada, z, ie z = T zw w: T zw = 4 A f B w C f 0 5 Considerando o Grammiano de Observabilidade, X, descrito para o sistema em malha fechada, obtém-se que minimizar o custo LQR é equivalente à min K T zw = min K z = Traço hb T wxb w i Nota K é único pag.1 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

13 Realimentação de estados H por Riccati Considere o sistema 8 >< ẋ(t) = Ax(t) + B u u(t) + B w w(t), x(0) = 0 z(t) = C z x(t) + D zu u(t) >: y(t) = I x(t), u(t) = Kx(t) satisfazendo as hipóteses de estabilizabilidade e regularidade anteriores Solução: min K T zw = min K o C f(si A f ) 1 B w = Traço nbwxb T w sendo X = X T 0, X = Ric(M ) A B M = 4 u DzuC T z B u Bu T Cz `I T Dzu Dzu T T `I Dzu Dzu T Cz `A B u DzuC T z T 5 e K = `D T zud zu 1 `BT u X + D T zuc z pag.1 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

14 Regulador Linear Quadrático Gaussiano LQG A saída medida é corrompida por ruído, ou não está acessível para medição. Implicação? Como realimentar... Necessariamente deve-se então estimar os estados. Considere o sistema abaixo 8< : ẋ(t) = Ax(t) + B bu(t) + µ(t), x(0) = x 0 by(t) = Cx(t) + ν(t) sendo v(t) = covariância h µ(t) ν(t)i T um sinal do tipo ruído branco, de média nula e W = 4 W 11 W 1 5 0, W 0 W1 T W Considere o custo J LQG = lim t E 8 < 4 x(t) 5 : bu(t) 9 4 Q S 5 4 x(t) = 5 S T R bu(t) ; T pag.14 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

15 Regulador Linear Quadrático Gaussiano LQG Seguindo os mesmos passos como no LQR, aplica-se Schur em W e na matriz de ponderação 4 Q S 5 0, R 0 S T R ie bq Q SR 1 S T 0, c W W11 W 1 W 1 W T 1 0 Decompondo-os da forma bq C T zzc zz ; cw B ww B T ww, C zz R n n B ww R n n pag.15 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

16 Regulador Linear Quadrático Gaussiano LQG definem-se u R 1/ bu; B u BR 1/ y W 1/ by; C y W 1/ C C z 4 C zz R 1/ S T 5 ; D zu I B w h B ww W 1 W 1/ i ; D yw h i 0 I z C z x + D zu u; y C y x + D yw w pag.16 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

17 Regulador Linear Quadrático Gaussiano LQG Desta forma o sistema original pode ser reescrito abaixo 8 >< >: ẋ(t) = Ax(t) + B u u(t) + B w w(t) z(t) = C z x(t) + D zu u(t) y(t) = C y x(t) + D yw w(t) sendo w(t) um sinal do tipo ruído branco, média nula e covariância unitária, satisfazendo v(t) = 4 B ww W 1 W 1/ 5 w(t) 0 W 1/ n o J LQG = lim E z T (t)z(t) t {z } N orma rms... pag.17 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

18 Regulador Linear Quadrático Gaussiano LQG Maquinário para solução com estado estimado Princípio da Separação: Filtro de Kalman + Realimentação 8 < : ẋ e (t) = Ax e (t) + B u u(t) + L(C y x(t) C y x e (t)) u(t) = Kx e (t) sendo os ganhos dados por K = R 1 B T u X + S T L = Y C T y + W 1 W 1 com R = D T zud zu e S = C T zud zu pag.18 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

19 Regulador Linear Quadrático Gaussiano LQG X = X T 0 e Y = Y T 0 satisfazem, respectivamente, as Riccati ea T X + X e A XB u R 1 B T u X + Q SR 1 S T = 0 bay + Y b A T Y C T y W 1 C y Y + W 11 W 1 W 1 W T 1 = 0 sendo e A A Bu R 1 S, e b A A W1 W 1 C y Nota As hipóteses para a existência de soluções para as Riccati acima, bem como condições para ganhos finitos do controle, K, e do filtro, L, serão apresentadas a seguir no problema de controle H padrão pag.19 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

20 Problema de Controle H padrão Considere o sistema 8 >< >: ẋ(t) = Ax(t) + B u u(t) + B w w(t) z(t) = C z x(t) + D zu u(t) y(t) = C y x(t) + D yw w(t) u(t) = K(s)y(t) Planta Generalizada: P(s) = 6 4 A B w B u C z 0 D zu 7 5 = 4 z 5 = P y 4 w 5 u C y D yw 0 D yu 0 garante que o sistema é bem definido D zw 0 assegura que a função de transferência em malha fechada F i (P, K) é estritamente própria pag.0 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

21 Problema de Controle H padrão Hipóteses (A, B u ) é estabilzável e (A, C y ) é detectável (garante que o sistema é estabilizável por realimentação de saída) D zu é injetiva e D yw é sobrejetiva 4 A jωi B u C z D zu 5 é injetiva, ω R 4 A jωi B w C y D yw 5 é sobrejetiva, ω R pag.1 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

22 Problema de Controle H padrão Encontre um controlador K(s) que estabilize internamente o sistema descrito por P(s), e minimize a norma H da matriz de transferência em malha fechada T zw de w para z (ou F i (P, K)) w z P(s) u y K(s) Planta Generalizada associada ao sistema pag. Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

23 Problema de Controle H padrão por Riccati As hipóteses anteriores garantem que as matrizes Hamiltonianas abaixo, M dom(ric) e H dom(ric) M = A B 4 u DzuC T z Cz T C z + Cz T D zu DzuC T z B u B T u `A B u D T zuc z T 5 H = `A Bw D 4 ywc T y T Cy T C y 5 B w Bw T + B w DywD T yw Bw T (A B w DywC T y ) tais que X = Ric(M ) 0 e Y = Ric(H ) 0 pag. Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

24 Problema de Controle H padrão por Riccati Definem-se os ganhos para o controle H K = D T zud zu 1 B T u X + D T zuc z L = 1 Y Cy T + B w Dyw T D yw Dyw T Nota A construção do ganho do filtro (observador), L, depende das matrizes do sistema, ao contrário do LQG. Pode-se mostrar que há uma relação entre W 1 e W, no LQG, com as matrizes do sistema. De fato, W 1 = B w Dyw T e W = D yw Dyw T pag.4 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

25 Problema de Controle H padrão por Riccati Considera-se o controlador baseado no observador da forma 8 < : ẋ c (t) = Ax c (t) + B u u(t) + L (C y x c (t) y(t)) u(t) = K x c (t) 8 < : ẋ c (t) = (A + B u K + L C y ) x c (t) L y(t) u(t) = K x c (t) u = K(s)y K(s) = 4 A + B uk + L C y L K 0 5 pag.5 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

26 Problema de Controle H padrão por Riccati Considerando agora, isoladamente, pelo princípio da separação, primeiro a ação da realimentação de estados e em seguida o observador (filtro), pode-se obter duas funções de transferência do distúrbio, w, para a saída controlada, z, 1. Realimentação de estado, u = K x, em malha fechada no sistema: 8 >< >: ẋ(t) = Ax(t) + B u u(t) + B w w(t) z(t) = C z x(t) + D zu u(t) y(t) = I x(t) Malha fechada... pag.6 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

27 Problema de Controle H padrão por Riccati 8 >< >: ẋ(t) = (A + B u K ) x(t) + B w w(t) {z } A K z(t) = (C z + D zu K ) x(t) {z } C zk Então z = G c B w w, G c (s) = 4 A K I C zk 0 5 pag.7 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

28 Problema de Controle H padrão por Riccati. Dinâmica do erro de estimação (obervação ou filtragem) considerando o sistema: 8 >< >: ẋ(t) = Ax(t) + B u u(t) + B w w(t) z(t) = C z x(t) y(t) = C y x(t) + D yw w(t) e o observador ẋ c (t) = Ax c (t) + B u u(t) + L (C y x c (t) (C y x(t) + D yw w(t) ) {z } y(t) pag.8 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

29 Problema de Controle H padrão por Riccati A dinâmica do erro de estimação, para ex(t) = x(t) x c (t), é da forma 8 < ėx(t) = Ax(t) + B w w(t) Ax c (t) + L (C y x c (t) C y x(t) D yw w(t)) : z(t) = C z x(t) 8 >< >: ėx(t) = (A + L C y ) {z } A L z(t) = C z x(t) ex(t) + (B w + L D yw) w(t) {z } B wl Então z = C z G f w, G f (s) = 4 A L B wl I 0 5 pag.9 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

30 Problema de Controle H padrão por Riccati Teorema Considere a planta generalizada P(s) e as hipóteses de regularidade, estabilizabilidade e observabilidade. Então o problema de controle H padrão tem a seguinte solução: a) min K T zw = G c B w + K G f = G c L + C z G f = γ b) O único controlador ótimo é dado por K (s) = A 4 b L K 0 5, b A A + B u K + L C y pag.0 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

31 Problema de Controle H padrão por Riccati c) O conjunto de todos os controladores estabilizantes tal que T zw < γ, γ > 0, é definido pelo esquema da figura abaixo u G (s) y G (s) = 6 4 ba L B u K 0 I 7 5 C y I 0 Q(s) sendo o parâmetro livre Q RH, Q < γ γ, γ > γ > 0. Para Q 0, obtém-se K (s) pag.1 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

32 Controle H por LMIs Por que considerar LMIs? Facilidade de se tratar incertezas politópicas (e limitadas em norma também). Obtém-se facilmente problemas de otimização convexa Implicações para o controle H com Incertezas? garantido Introdução da noção de custo Realimentação de estados para o caso de modelos precisamente conhecidos, reproduz exatamente a mesma solução quando se considera uma abordagem por Riccati Nota Há várias estratégias na literatura baseadas em Riccati que também permitem lidar com sistemas incertos, particularmente incertezas limitas em norma (porém, sob o meu ponto de vista, a um custo em termos de manipulações razoavelmente grande) pag. Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

33 Controle H por LMIs Considere o sistema 8 >< >: ẋ(t) = Ax(t) + B u u(t) + B w w(t) z(t) = C z x(t) + D zu u(t) y(t) = I x(t), u(t) = Kx(t) sendo que o sistema em malha fechada de w z é descrito por T zw (s) = 4 A f B w C f 0 5 onde A f = A + B u K e C f = C z + D zu K pag. Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

34 Controle H por LMIs Ponto de partida? Resultado de análise para o cálculo da norma H em espaço de estados, baseado nos Grammianos de observabilidade ou controlabilidade, e revisitados em termos de um problema de otimização, ie n o min T zw = min K X o 0 Traço BwX T o B w ou s.a A T f X o + X o A f + C T f C f 0 n min T zw = min K X c 0 Traço C f X c Cf T o s.a AX c + X c A T + B w B T w 0 pag.4 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

35 Controle H por LMIs Como garantir que se obtêm a norma H mínima? Afinal não utilizou-se diretamente os Grammianos de Observabilidade ou Controlabilidade, mas sim um problema de otimização? Em outras palavras, qual a relação entre X o e L o? Note que do Grammiano de Observabilidade A T f L o + L o A f + Cf T C f = 0 e da LMI na primeira restrição anterior A T f X o + X o A f + C T f C f 0 obtém-se do termo em comum C T f C f A T f X o + X o A f A T f L o + L o A f A T f (X o L o ) + (X o Lo)A f 0 Do Teorema de Lyapunov, se A f é estável então X o L o 0 X o L o pag.5 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

36 Controle H por LMIs Como o problema de otimização é convexo (concorda?), então é fácil concluir que, X o L o e n o o min X o 0 Traço BwX T o B w = Traço nbwl T o B w = min K T zw O mesmo procedimento vale para o cálculo da norma H descrita pelo procedimento de otimização e o Grammiano de controlabilidade pag.6 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

37 Controle H por LMIs Receita de bolo Uma vez de posse de um resultado de análise H em malha fechada (ou cálculo da norma H para um controlador K dado), basta proceder as substituições de A f e C f na LMI, ie considerando A T f X o + X o A f + C T f C f 0 (A + B u K) T X o + X o (A + B u K) + (C z + D uz K) T (C z + D uz K) 0 Schur 4 (A + B uk) T X o + X o (A + B u K) (C z + D uz K) T (C z + D uz K) I 5 0 pag.7 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

38 Controle H por LMIs Transformação de Similaridade 4 X I o 0 4 (A + B uk) T X o + X o (A + B u K) (C z + D uz K) T (C z + D uz K) I 5 4 X I o 0 X Xo 1, Z KXo 1 = KX 4 AX + XAT + B u Z + Z T Bu T XCz T + Z T Duz T C z X + D uz Z I 5 0 pag.8 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

39 Controle H por LMIs Veja que com a mudança de variáveis linearizante X Xo 1 objetivo da forma: transformou a função o Traço nbwx T o B w o = Traço nbwx T 1 B w portanto não-linear!! Dessa forma, ainda é necessário se fazer mais uma manipulação para que o problema possa ser descrito da forma linear... pag.9 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

40 Controle H por LMIs O que fazer? Introduze-se uma variável matricial adicional, J, lembrando que traço é um operador linear e utilizando Schur o Traço{J} Traço nbwx T 1 B w J B T wx 1 B w J B T wx 1 B w 0 agora linear... 4 J BT w B w X 5 0 pag.40 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

41 Controle ótimo H por LMIs Contínuo Portanto o problema de controle ótimo H pode ser colocado da seguinte forma 8 min Traço {J} J=J T,X=X T,Z >< >: s.a 4 J BT w B w X AX + XAT + B u Z + Z T Bu T XCz T + Z T Duz T C z X + D uz Z I 5 0 onde K = ZX 1 e min T zw = Traço {J} pag.41 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

42 Controle ótimo H por LMIs Caso a tempo discreto Mesmos procedimentos... Particularmente do cálculo da norma H em termos de otimização, tem-se ou n o min T zw = min K X o 0 Traço BwX T o B w s.a A T f X o A f X o + C T f C f 0 n min T zw = min K X c 0 Traço C f X c Cf T s.a A f X c A T f X c + B w B T w 0 Da primeira opção, obtém-se a síntese do controlador ótimo aplicando-se Schur na LMI, considerando as mudanças de variáveis linearizantes X = Xo 1, Z = KXo 1, e levando em conta a introdução de uma variável extra na função custo, J o pag.4 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

43 Controle ótimo H por LMIs Discreto Particularmente A T f X o A f X o + C T f C f X 1 o (A + B u K)X 1 o Schur X o A T f Cf T 6 4A f Xo C f 0 I Pré- e pós-multiplicando por diag Xo 1, I, I o (A + B u K) T X 1 (C z + D zu K) T X 1 X 1 o 0 (C z + D zu K)X 1 o 0 I o Aplicando as mudanças de variáveis linearizantes X = Xo 1 última LMI da próxima página... e Z = KX 1 o obtém-se a pag.4 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

44 Controle ótimo H por LMIs Discreto Portanto o problema de controle ótimo H para sistemas a tempo discreto é dado por: 8 Traço {J} min J,X,Z >< >: s.a 4 J BT w B w X X XA T + Z T Bu T XCz T + Z T Duz T AX + B u Z X C z X + D uz Z 0 I onde K = ZX 1 e min T zw = Traço {J} pag.44 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

45 Controle ótimo H por LMIs Discreto Incertezas politópicas? Bastante simples de ser aplicado nos procedimentos de otimização convexa descritos por LMIs. É suficiente testar nos vértices do politopo Valor da norma H? No caso de sistemas incertos, considerando estabilidade quadrática, tem-se o denominado custo garantido H. Isto é, (Traço {J}) 1/ é um limitante superior assegurando que em cada vértice, o valor da norma H é limitado por este custo garantido Solução conservadora? Considerando estabilidade quadrática, com a matriz de Lyapunov fixada para todos os vértices, o custo garantido pode ser bastante conservativo com relação a norma H realmente obtida para cada vértice. Alternativa? Utilizar os resultados de análise introduzidos anteriormente em termos de condições relaxadas, ie considerar que a matriz de Lyapunov não é fixada... pag.45 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

46 Condições relaxadas para H Contínuo Considerando o caso de realimentação de estados, u(t) = Kx(t) e o sistema em malha fechada, T zw Teorema As afirmações a seguir são equivalentes 1. A f é estável e min K T zw min Traço {J}. X = X T, J : 4 X CT f C f J AT f X + XA f XB w BwX T I 5 0 pag.46 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

47 Condições relaxadas para H Contínuo. X = X T, J, V : 4 X CT f C f J 5 0 (V + V T ) V T A f + X V T B w V T A T f V + X X BwV T 0 I V 0 0 X 0 pag.47 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

48 Condições relaxadas para H Contínuo 4. (Dual) X = X T, J, V : 4 X B w Bw T J 5 0 (V + V T ) V T A T f + X V T Cf T V T A f V + X X C f V 0 I V 0 0 X 0 Linhas gerais da demonstração (1) (). Direto da discussão anterior e do cálculo da norma H por Grammiano de controlabilidade (ou observabilidade para o dual) pag.48 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

49 Condições relaxadas para H Contínuo () (). Basta aplicar o Lema Projetivo Recíproco para o Grammiano de controlabilidade no item () A f Y + Y A T f + B w B T w 0, onde Y X 1 com Ψ B w B T w e S T = A f Y 4 (W + W T ) + P + B w Bw T A f Y + W T Y A T f + W P 5 0 pré- e pós-multiplicando por diag{i, Y 1 } com X Y 1 4 (W + W T ) + P + B w Bw T A f + W T X 5 0 A T f + XW XP X pag.49 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

50 Condições relaxadas para H Contínuo pré- e pós-multiplicando por diag{w T, I} e diag{w 1, I} com V W 1 4 (V + V T ) + V T P V + V T B w BwV T V T A f + X 5 0 A T f V + X XP X aplicando Schur em V T P V e V T B w B T wv... (V + V T ) V T A f + X V T B w V T A T f V + X XP X BwV T 0 I V 0 0 P 1 0 usando a mudança de variável linearizante P X 1, obtém-se o resultado () (4). Por dualidade fazendo A f A T f, C f B T w e B w C T f pag.50 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

51 Condições relaxadas para controle H Contínuo Síntese de K? Condição (4) do Teorema anterior substituindo A f e C f : (V + V T ) V T (A + B u K) T + X V T (C z + D uz K) T V T (A + B u K) V + X X (C z + D uz K) V 0 I V 0 0 X 0 mudança de variável Z KV (V + V T ) V T A T + Z T Bu T + X V T Cz T + Z T Duz T V T AV + B u Z + X X C z V + D uz Z 0 I V 0 0 X 0 então K = ZV 1... pag.51 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

52 Condições relaxadas para controle H Contínuo Para A P A A A = P q i=1 ξ ia i, ξ i 0, P q i=1 ξ i = 1 e B u P n Bu B u B u = P r j=1 τ jb uj, τ j 0, P o r j=1 τ j = 1, o problema de controle robusto com custo garantido H é descrito por: 8 Traço {J} min J,X ij,z,v >< s.a 4 J BT w B w X ij 5 0, i = 1,..., q; j = 1,..., r >: (V + V T ) A i V + B uj Z + X ij X ij 6 4 C z V + D uz Z 0 I 7 5 V 0 0 X ij 0 sendo K = ZV 1 e min T zw Traço {J} (veja que indica simetria) pag.5 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

53 Condições relaxadas para H Discreto Considerando novamente o caso de realimentação de estados, u(t) = Kx(t) e o sistema em malha fechada, T zw Teorema As afirmações a seguir são equivalentes 1. A f é estável e min K T zw min Traço {J}. X = X T, J : 4 X B w Bw T J 5 0 X XA T f XCf T 6 4A f X X 0 C f X 0 I pag.5 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

54 Condições relaxadas para H Discreto. X = X T, J, V : 4 X B w Bw T J 5 0 V + V T X V T A T f V T Cf T 6 4 A f V X 0 C f V 0 I Resultado dual para A T f A f, C f B T w e B w C T f Referência M. C. de Oliveira, J. C. Geromel, and J. Bernussou, Extended H and H norm characterizations and controller parametrization for discrete-time systems, International Journal of Control, 75(9), pp , 00. pag.54 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

55 Condições relaxadas para H Discreto Linhas gerais da demonstração (1) (). Direto do cálculo da norma H por Grammiano de controlabilidade, aplicando Schur e uma mudança de variável linearizante do tipo X c = X 1 () (). X XA T f XCf T 6 4A f X X 0 C f X 0 I V = V T = X V T X 1 X X 1 V I A f X X I I C f X 0 I 0 0 I pag.55 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

56 Condições relaxadas para H Discreto V T X 1 V V T A T f V T Cf T 6 4 A f V X 0 C f V 0 I V T X 1 V (V + V T X) V + V T X V T A T f V T Cf T 6 4 A f V X 0 C f V 0 I pag.56 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

57 Condições relaxadas para controle H Discreto Síntese de K? Substituindo A f e C f : 6 4 V + V T X V T (A + B u K) T V T (C z + D uz K) T (A + B u K) V X (C z + D uz K) V 0 I mudança de variável Z KV V + V T X V T A T + Z T Bu T V T Cz T + Z T Duz T 6 4 AV + B u Z X C z V + D uz Z 0 I então K = ZV 1... pag.57 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

58 Condições relaxadas para controle H Discreto Para A P A A A = P q i=1 ξ ia i, ξ i 0, P q i=1 ξ i = 1 e B u P n Bu B u B u = P r j=1 τ jb uj, τ j 0, P o r j=1 τ j = 1, o problema de controle robusto com custo garantido H é descrito por: 8 Traço {J} min J,X ij,z,v >< >: s.a 4 J BT w B w X ij 5 0, i = 1,..., q; j = 1,..., r V + V T X ij 6 4 A i V + B uj Z X ij C z V + D zu Z 0 I sendo K = ZV 1 e min T zw Traço {J} pag.58 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

59 Exercícios Questão 1 Considere o modelo de um avião de combate F4E: α β ζ ẋ(t) = 6 4ξ ν µ 7 5 x(t) u(t) w(t) z(t) = {z } A {z } C z 0 {z } B u x(t) u(t) 1 {z} D zu O modelo incerto é representado por três pontos de operação {z } B w Referência I. R. Petersen, A procedure for simultaneously stabilizing a collection of single input linear systems using non-linear state feedback control, Automatica, V., pp. 40, pag.59 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

60 Exercícios A tabela abaixo apresenta os valores de cada parâmetro para cada ponto de operação Pontos de Operação α β ζ ξ ν µ O problema de controle robusto consiste: (i) estabilização do modo de período curto longitudinal do avião considerando os três pontos de operação; (ii) minimização do índice de desempenho H pag.60 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

61 Exercícios 1. Suponha que o ponto de operação 1 represente o modelo adotado (portanto precisamente conhecido), obtenha o controlador H e o valor da norma H, utilizando os procedimentos nas páginas 41 e 5, respectivamente. Discuta os resultados. Considerando o modelo incerto, ie todos os pontos de operação, obtenha os controladores e os custos garantidos mínimos H, utilizando os procedimentos nas páginas 41 e 5. Discuta os resultados. Considerando o modelo incerto, calcule o valor da norma H obtida em cada vértice para cada um dos controladores no item. pag.61 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

62 Exercícios Questão Considere o modelo de um satélite composto por dois corpos rígidos (módulo principal e módulo de sensor) conectado por uma haste elástica. A haste é modelada como uma mola com torque constante k e amortecimento viscoso f. θ 1 Módulo principal θ Módulo sensor Satélite pag.6 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

63 Exercícios descrito da forma: ẋ(t) = z(t) = x(t) + u(t) + w(t) 6 4 k k f f k k {z f f } 0 {z} 0 {z} A B u B w x(t) u(t), {z } C z 1 {z} D zu 8 < 0.09 k 0.4 : f 0.04 Referência P. Gahinet, A. Nemirovski, A. J. Laub and M. Chilali, LMI Control Toolbox, The MathWorks Inc., (páginas 4-9 a 4-11) pag.6 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

64 Exercícios 1. Considerando o modelo incerto com as variações de k e f, obtenha os controladores e os custos garantidos mínimos H utilizando os procedimentos nas páginas 41 e 5.. Calcule o valor da norma H obtida em cada vértice para cada um dos controladores no item 1. Questão Discuta os resultados obtidos nas questões 1 e quando se utilizou estabilidade quadrática e Lyapunov com condição relaxada pag.64 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

65 Exercícios Questão 4 Considere o exemplo de controle confiável para um sistema a tempo discreto apresentado em ( R. J. Veillette, S. V. Medanic, and W. R. Perkins, Design of reliable control systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 7(), pp , 199), cujas matrizes para o modelo contínuo são A =, B u =, B w = C z = , D zu = Use um segurador de ordem zero com período de amostragem T= 0.1s para obter as matrizes do sistema a tempo discreto pag.65 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

66 Exercícios Objetivo projetar um controlador confiável para três diferentes cenários: 1. Modelo nominal. Falha do primeiro atuador. Falha do segundo atuador Considerando o modelo incerto, obtenha os controladores e os custos garantidos mínimos H utilizando os procedimentos nas páginas 44 e 58 Nota O sistema é modelado por um politopo de matrizes com três vértices... pag.66 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

67 Controle H por realimentação de saída via LMIs Neste caso o controlador é dinâmico (controle baseado no observador), ie 8 < : δ[x c (t)] = A c x c (t) + B c y(t) u(t) = C c x c (t) + D c y(t) K(ζ) = 4 A c B c C c D c 5 Nota O controlador é próprio... (considerando LMIs pode-se incluir facilmente um controlador próprio, e ao final resolver uma restrição extra em termos de LME, tal que o termo de transmissão direta em malha fechada seja forçado a ser nulo) Nota No caso discreto, quando se obtém um sistema em malha fechada próprio isto não é proibitivo no sentido de se obter norma H finita Nota Medidas imperfeitas, ie y(t) I x(t)... pag.67 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

68 Controle H por realimentação de saída via LMIs A filosofia quanto as manipulações é sutilmente similar. De fato, as mesmas idéias com relação a mudança de variáveis (porém em quantidade e qualidade diferenciadas), e transformações de similaridade continuam válidas. Dois artigos são seminais neste tipo de extensão: 1. C. Scherer. Mixed H / H Control. Trends in Control. Editor A. Isidori. Springer-Verlags, Berlin, pp C. Scherer, P. Gahinet and M. Chilali, Multiobjetive output-feedback control via LMI optimization. IEEE Transactions on Automatic Control, 4(7), pp , pag.68 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

69 Controle H por realimentação de saída via LMIs Sistema em malha fechada? Controlador K(ζ) realimentando o modelo abaixo: Σ : 8 >< >: δ[x(t)] = Ax(t) + B u u(t) + B w w(t) z(t) = C z x(t) + D zu u(t) + D zw w(t) y(t) = C y x(t) + D yw w(t) Nota Como D zw 0, a FT em malha fechada de w para z é própria pag.69 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

70 Controle H por realimentação de saída via LMIs Considerando o sistema Σ e o controlador K(ζ) obtém-se as equações: u(t) = C c x c (t) + D c (C y x(t) + D yw w(t)) {z } y(t) δ[x(t)] = Ax(t) + B u C c x c (t) + B u D c (C y x(t) + D yw w(t)) + B w w(t) δ[x c (t)] = A c x c (t) + B c (C y x(t) + D yw w(t)) z(t) = C z x(t) + D zu C c x c (t) + D zu D c (C y x(t) + D yw w(t)) + D zw w(t) Define-se o vetor aumentado: ex(t) = 4 x(t) 5 (Por quê?) x c (t) pag.70 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

71 Controle H por realimentação de saída via LMIs Então o sistema em malha fechada admite a seguinte realização: Σ f : 8 < : δ[ex(t)] = e Aex(t) + e Bw(t) z(t) = e C ex(t) + e Dw(t) T zw = A 4 e B e ec D e 5 sendo e A R n n, e B R n p, e C R q n, e D R q p e ea = 4 A + B ud c C y B u C c B c C y A c 5, B e = 4 B w + B u D c D yw B c D yw 5 ec = i hc z + D zu D c C y D zu C c, D e = Dzw + D zu D c D yw pag.71 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

72 Controle H por realimentação de saída via LMIs As manipulações são bastante similares para sistemas a tempo contínuo ou discreto. Escolhendo o caso mais patológico, ie o contínuo... Cálculo da norma H, para T zw RH e D 0... min K T zw = Traço {J} s.a e D = 0 4 P C et ec J 5 0 A 4 et P + P A e P B e eb T P I 5 0 pag.7 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

73 Controle H por realimentação de saída via LMIs Suponha que a matriz P = P T R n n seja dividida da seguinte forma P 4 P 11 P 1 5, P 11 R n n P1 T P e a sua inversa da forma S P 1 = 4 S 11 S 1 5, S 11 R n n S1 T S pag.7 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

74 Controle H por realimentação de saída via LMIs Da identidade P S = I obtém-se 4 P 11 P S 11 S 1 5 = P1 T P S1 T S 4 I I ou 4 P 11S 11 + P 1 S1 T P 11 S 1 + P 1 S 5 = P1S T 11 + P S1 T P1S T 1 + P S 4 I I = P 11 S 11 + P 1 S T 1 = I = I P 11 S 11 = P 1 S T 1 pag.74 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

75 Controle H por realimentação de saída via LMIs Nota P 1 e S 1 têm posto completo de linhas quando I P 11 S 11 é não singular Nota I P 11 S 11 é singular sse P 1 não tem posto completo de linhas. Em tal caso é possível perturbar P 1 a fim de se obter posto completo. Portanto a não singularidade de I P 11 S 11 pode ser considerada sem perda de generalidade Nota P satisfaz a identidade P M = N, sendo M = 4 S 11 I 5 e N = S1 T 0 4 I P P1 T pag.75 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

76 Controle H por realimentação de saída via LMIs Fato Pode-se assumir que P 1 e S 1 têm posto completo de linhas M e N têm posto completo de colunas Por que introduzir M e N? Construção de transformações de similaridade em função de M ou N... Baseado nas LMIs do resultado de análise, ie do cálculo da norma H obtém-se a. 4 M T P C et 0 I ec J 5 4 M I 4 M T P M M T C et ecm J 5 0 pag.76 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

77 Controle H por realimentação de saída via LMIs b. 4 M T 0 A 5 4 et P + P A e P e B 5 4 M I eb T P I 0 I 4 M T A e T P M + M T P AM e M T P B e eb T P M I 5 0 pag.77 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

78 Controle H por realimentação de saída via LMIs Calculando cada um dos termos nas desigualdades (a) e (b) onde aparece o produto com M M T P M = N T M = 4 I S 11 I 5 = P 11 P 1 S1 T 0 S P 11 S 11 + P 1 S1 T {z } I I P então M T P M = 4 S 11 I 5 I P 11 pag.78 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

79 Controle H por realimentação de saída via LMIs e CM = = i hc z + D zu D c C y D zu C c 4 S 11 I 5 S1 T 0 i hc z S 11 + D zu D c C y S 11 + D zu C c S T1 C z + D zu D c C y M T P e B = N T e B = = 4 I B w + B u D c D yw 5 P 11 P 1 B c D yw 4 B w + B u D c D yw 5 P 11 B w + P 11 B u D c D yw + P 1 B c D yw pag.79 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

80 Controle H por realimentação de saída via LMIs M T P e AM = N T e AM = = 4 I A + B ud c C y B u C c 5 4 S 11 I 5 P 11 P 1 B c C y A c S1 T 0 A + B 4 u D c C y P 11 A + P 11 B u D c C y + P 1 B c C y 4 S 11 I 5 S1 T 0 B u C c P 11 B u C c + P 1 A c 5 pag.80 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

81 Controle H por realimentação de saída via LMIs = AS B u D c C y S 11 + B u C c S1 T P 11 AS 11 + P 11 B u D c C y S 11 + P 1 B c C y S 11 + P 11 B u C c S1 T + P 1 A c S1 T... A + B u D c C y... P 11 A + P 11 B u D c C y + P 1 B c C y 5 pag.81 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

82 Controle H por realimentação de saída via LMIs De (a) 4 M T P M M T C et ecm J 5 0 S 11 I S 11 Cz T + S 11 Cy T Dc T Dzu T + S 1 Cc T Dzu T 6 4 P 11 Cz T + Cy T Dc T Dzu T (1) J pag.8 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

83 Controle H por realimentação de saída via LMIs De (b) 4 M T A e T P M + M T P AM e M T P B e eb T P M I 5 0 Ψ 11 Ψ 1 B w + B u D c D yw 6 4 Ψ P 11 B w + P 11 B u D c D yw + P 1 B c D yw () I pag.8 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

84 Controle H por realimentação de saída via LMIs Ψ 11 AS 11 + S 11 A T + B u C c S T 1 + S 1 C T c B T u + B u D c C y S 11 + S 11 C T y D T c B T u Ψ 1 A + B u D c C y + S 11 A T P 11 + S 11 C T y D T c B T u P 11 + S 11 C T y B T c P T 1 + S 1 C T c B T u P 11 + S 1 A T c P T 1 Ψ A T P 11 + P 11 A + P 11 B u D c C y + P 1 B c C y +C T y D T c B T u P 11 + C T y B T c P T 1 pag.84 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

85 Controle H por realimentação de saída via LMIs Note que (1) e () não são LMIs. Necessita-se então introduzir as seguintes mudanças de variáveis linearizantes em (1) e () da forma A T S 11 A T P 11 + S 11 C T y D T c B T u P 11 + S 11 C T y B T c P T 1 + S 1 C T c B T u P 11 + S 1 A T c P T 1 B P 11 B u D c + P 1 B c C D c C y S 11 + C c S T 1 D D c pag.85 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

86 Controle H por realimentação de saída via LMIs Portanto o problema de controle ótimo H por realimentação de saída é descrito pelo problema de otimização nas variáveis matriciais S 11, P 11, A, B, C, D e J 8 min Traço {J} s.a D zw + D zu D c D yw = 0 >< >: S 11 I S 11 Cz T + C T Dzu T 6 4 P 11 Cz T + Cy T D T Dzu T J AS 11 + S 11 A T + B u C + C T Bu T 6 4 A + A T + Cy T D T Bu T A T P 11 + P 11 A + BC y + Cy T B T Bw T + DywD T T Bu T BwP T 11 + DywB T T I pag.86 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

87 Controle H por realimentação de saída via LMIs Resta a questão: como reconstruir o controlador K(s)? De posse do conjunto solução do problema de otimização convexo anterior, ie S 11, P 11, A, B, C, D e J Primeiramente obtenha as matrizes não-singulares P 1 e S 1 da decomposição: P 1 S T 1 = I P 11 S 11 Siga os passos D c = D. C c = (C D c C y S 11 ) `S T 1 1. B c = P 1 1 (B P 11B u D c ) 4. A c = P 1 1 `A P11 (A + B u D c C y ) S 11 P 1 B c C y S 11 P 11 B u C c S T 1 S T 1 pag.87 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

88 Controle H por realimentação de saída via LMIs Há outras mudanças de variáveis linearizantes combinadas com outras tranformações de similaridade? A resposta para esta questão é sim... Particularmente isto fica facilitado se o controlador for estritamente próprio, o que implica em D c 0 Como tratar sistemas incertos? 1. com bastante paciência pode-se considerar as incertezas do tipo limitadas em norma, e obter uma descrição via LMIs baseada na tática anterior Referência: S. H. Esfahani and I. R. Petersen. An LMI approach to the output-feedback guaranteed cost control for uncertain time-delay systems. Proceedings of the 7th IEEE Conference on Decision and Control. pp , Tampa, FL, 1998 Escolhi esta referência, para mostrar que a mesma estratégia iterativa que se utiliza no caso politópico a seguir, é adotada também neste artigo... O retardo no tempo é um detalhe, para obter o caso H basta considerá-lo nulo e desprezar todas as matrizes associadas. As mudanças de variáveis consideradas são: A (dada anteriormente), e B a e C a, definidas a seguir para o caso politópico pag.88 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

89 Controle H por realimentação de saída via LMIs. o caso de incertezas politópicas pode ser resolvido por uma estratégia iterativa Referência: J. C. Geromel, J. Bernussou and M. C. de Oliveira. H norm optimization with constrained dynamic output feedback controllers: decentralized and reliable control. IEEE Transactions on Automatic Control. 44(7), pp , Neste caso, poder-se-ia, considerando D c 0, definir as seguintes mudanças de variáveis alternativa em (): A a S 1 A T c P 1 ; B a P 1 B c ; C a C c S T 1 No entanto, as desigualdades resultantes seriam não-lineares. Uma solução iterativa, utilizando o princípio da separação, consiste em fixar o ganho de realimentação de estados e calcular um ganho para o filtro, a seguir fixa-se o ganho do filtro e calcula-se o ganho de realimentação, e assim por diante. Pode-se mostrar que este algoritmo é convergente. A solução inicial é obtida a partir de um problema de autovalor generalizado pag.89 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

90 Realimentação de saída: incerteza conservadorismo? As mesmas mudanças de variáveis e transformações de similaridade, no caso de controle por realimentação de saída, podem ser aplicadas as condições relaxadas que foram obtidas tanto no caso contínuo como no caso discreto. Vale a pena tentar, são manipulações que seguem a mesma metodologia apresentada. No caso contínuo pode consultar: Referência: P. Apkarian, H. D. Tuan and J. Bernussou. Continuous-time analysis, eigenstructure assignment, and H synthesis with enhanced linear matrix inequalities (LMI) characterization. IEEE Transactions on Automatic Control. 46(1), pp , 001. Incerteza no modelo conservadorismo? A mesma tática de algoritmos iterativos, e indicadas nas referências anteriores, pode ser empregada sem medo. Para tanto basta lembrar do princípio da separação e encontrar uma solução inicial a partir de um problema de autovalor generalizado... pag.90 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

91 Alocando pólos em malha fechada Faixa, disco ou cone? Como proceder via LMIs? Im(s) Im(s) Re(s) Re(s) Região de alocação dos pólos em malha fechada: caso contínuo no tempo pag.91 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

92 Alocando pólos em malha fechada 1. Solução fácil: alocar apenas dentro de uma faixa, limitando os autovalores em malha fechada (λ), a valores λ max e λ min, (respectivamente, autovalores máximo e mínimo) e procurando por um conjunto de autovalores que estejam relativamente próximos um dos outros Neste caso, bastaria limitar os autovalores da matriz de Lyapunov... Considerando o caso de realimentação de estados, ie u(t) = Kx(t), o controlador ótimo H é obtido da página 41. Particularmente Q = Q T 0 é tal que AX + XA T + B u Z + Z T B T u = Q pag.9 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

93 Alocando pólos em malha fechada Teorema Considere λ max λ min > 0, X = X T 0 e Q = Q T 0 satisfazendo AX + XA T + B u Z + Z T B T u = Q Seja λ i, i = 1,..., n um autovalor em malha fechada de A f = A + BK. Se 1 Q X 1 Q λ max λ min então λ max Re(λ i ) λ min, para i = 1,..., n Referência B. Ling. State-feedback regional pole placement via LMI optimization. In the proceedings of the American Control Conference, pp , Arlignton, VA, 001. pag.9 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

94 Controle H com alocação de pólos (em faixa) por LMIs 8 min T zw = min J,X,Z,Q Traço {J} s.a λ max X Q, λ min X Q >< AX + XA T + B u Z + Z T B T u = Q >: onde K = ZX 1 4 J BT w B w X 5 0 Q 4 C z X + D uz Z XCz T + Z T Duz T 5 0 I pag.94 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

95 Regiões LMIs e Alocação genérica de pólos em malha fechada Uma região LMI é uma subregião convexa do plano complexo, simétrica em relação ao eixo real e que pode ser definida como: D = {z C : L + zm + zm T < 0} sendo L = L T e M matrizes reais. A função matricial f D (z) = L + zm + zm T < 0 é chamada função característica de D Alocação de pólos em uma região LMI especificada pode ser caracterizada em termos dos elementos das matrizes L e M (l ij e m ij ), de modo que a matriz A terá autovalores em uma região determinada D sse P = P T 0 tal que M D (A, X) = [l ij X + m ij AX + m ji XA T ] 1 i,j p = L X + M (AX) + M T (AX) T pag.95 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

96 Regiões LMIs e Alocação de pólos A é D-estável, ie λ(a) D, sse X = X T tal que M D (A, X) 0, X 0 Veja que M D (A, X) e f D (z) estão relacionados através da substituição (X, AX, XA T ) (1, z, z) M D (A, X) pode ser visto como uma generalização da desigualdade de Lyapunov pois se D é todo o semi-plano esquerdo, com f D (z) = z + z < 0, então M D (A, X) = AX + XA T 0, X 0 pag.96 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

97 Regiões LMIs e Alocação de pólos 1. Região semiplano: Re(z) < σ S z + z = (σ + jω) + (σ jω) = σ < σ S z + z σ S < 0 Para semiplano no lado esquerdo do plano complexo, σ S = α, α > 0, ou z + z + α < 0 que resulta na LMI AP F + P F A T + αp F 0 Considerando o sistema em malha fechada, ie para A + B u K, obtém-se (A + B u K)P F + P F (A + B u K) T + αp F 0 que resulta, com a mudança de variável linearizante, Z = KP F, AP F + P F A T + B u Z + Z T B T u + αp F 0, P F 0 e K = ZP 1 F pag.97 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

98 Regiões LMIs e Alocação de pólos. Região do tipo disco de raio r e centrado em (c, 0): z c < r σ c + jω < r p (σ c) + ω < r (σ c) + ω r < 0 elevando ao quadrado e somando e subtraindo jωc e jωσ obtém-se σ σc σc + c + ω r + jωc jωc + jωσ jωσ < 0 (σ jω)(σ + jω) (σ jω)c (σ + jω)c + c r < 0 zz zc cz + c r < 0 (z c)(z c) r < 0 (z c) 1 (z c) r < 0 r pag.98 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

99 Regiões LMIs e Alocação de pólos Aplicando o complemento de Schur na desigualdade: (z c)r 1 (z c) r < 0 obtém-se a LMI 4 r z c 5 0 z c r Para um disco centrado em c = q, com q > 0 segue 4 r z + q 5 0 z + q r pag.99 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

100 Regiões LMIs e Alocação de pólos Veja que f D (z) = 4 r z + q z + q r 5 = 4 r q z + q r 0 0 {z } {z } L M z < {z } M T que resulta na LMI, substituindo (P D, AP D, P D A T ) (1, z, z) rp 4 D P D A T + qp D AP D + qp D 5 0 rp D pag.100 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

101 Regiões LMIs e Alocação de pólos Outras regiões LMIs. Cone descrito como Im(z) < β Real(z) : f D (z) = resulta na LMI 4 (z + z) 1 β 1 β (z z) (z z) (z + z) (AP C + P C A T 1 ) (AP β C P C A T ) 1 (AP β C P C A T ) (AP C + P C A T ) 5 0 pag.101 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

102 Regiões LMIs e Alocação de pólos 4. Faixa horizontal Im(z) < ω: f D (z) = resulta na LMI 4 ω z z z z ω ωp H AP H P H A T P H A T AP H ωp H 5 0 pag.10 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

103 Regiões LMIs e Alocação de pólos Todas as regiões LMIs podem ser estendidas para sistemas a tempo discreto!!! Basta que se escolha de forma apropriada os elementos que a caracterizam Pode-se combinar duas ou mais regiões LMIs facilmente... No entanto, só é possível utilizá-las quando se deseja obter uma intersecção entre as mesmas que não seja vazia. Ie, não há como obter regiões LMIs desconexas Quer obter um único controlador quando se considera duas ou mais regiões LMIs? Basta para tanto que se fixe a matriz de Lyapunov adotada, ie imponha P = P F = P D = P C = P H Extensão imediata para sistemas com incertezas politópicas pag.10 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

104 Restrições sobre Sinais de Entrada e Saída Restrições sobre a entrada de controle Quando a condição inicial, x(0), é conhecida, pode-se encontrar um limitante superior para a norma da entrada do sinal de controle u(t) = Kx(t) de um sistema incerto (politópico) A restrição u(t) µ é imposta para todos os instantes t 0 se as LMIs 4 1 x(0)t x(0) Y 5 0, 4 Y ZT 5 0 Z µ I são factíveis, onde Y 0 e Z satisfazem as condições de estabilidade, i = 1,..., κ, A i Y + Y A T i + B ui Z + Z T Bui T 0 (Caso contínuo) Y Y A 4 T i + Z T Bui T 5 0 (Caso discreto) A i Y + B ui Z Y Neste caso, o ganho estabilizante é: K = ZY 1... pag.104 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

105 Restrições sobre Sinais de Entrada e Saída E se x(0) não é precisamente conhecido? Pode-se estender os resultados para o caso onde x(0) está contido em um politopo (ou elipsóide)... Por exemplo, suponha que x(0) 1, então 4 1 x(0)t x(0) Y 5 0 = Y x(0)x(0) T 0 = Y I Obtendo-se assim as LMIs: Y I, 4 Y ZT 5 0 Z µ I pag.105 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

106 Restrições sobre Sinais de Entrada e Saída Restrições sobre o pico do sinal de saída conhecida e o sistema incerto considerado seja da forma Suponha que a condição inicial, x(0), é 8 < : δ[x(t)] = Ax(t) + B u x(t), x(0) = x 0 y(t) = C y x(t) sendo (A, B, C) P A restrição y(t) φ é imposta para todos os instantes t 0 se as LMIs 4 1 x(0)t x(0) Y 5 0, 4 Y Y CT yi C yi Y φ I 5 0 são factíveis, i = 1,..., κ, onde Y 0 satisfaz a LMI de estabilidade (contínuo ou discreto) como no caso anterior para entrada de controle pag.106 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

107 Exercícios Questão 5 Sistema de Tanques Interativos (STI) Este sistema piloto é composto de dois tanques conectados, utilizando sensores e atuadores industriais a. As matrizes do modelo em espaço de estado são γ γ 0 A = 6 4 γ δ C z = 7 5 ; B = b b ; D zu = 7 5 ; E = onde x 1 e x são os níveis de cada tanque, e ẋ = x é um estado extra adicionado para evitar erros em estado estacionário em x (ie, um integrador...). As matrizes C z, e D zu ponderam os estados e o controle a V.J.S.L. Jr. et al., Robust pole location for an interacting tank system with uncertain parameters. IEEE 8 th IECON, pp , ; pag.107 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

108 Exercícios Usando dados experimentais, o comportamento do sistema pode ser representado por um politopo com κ = vértices, onde os valores dos parâmetros de cada ponto de operação são listados na Tabela abaixo Modelo 1 Modelo Modelo γ δ b b Encontre o controlador robusto H, o custo garantido H e as respectivas normas H em cada vértice, quando considera-se alocar os pólos em malha fechada em uma região LMI do tipo: pag.108 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

109 Exercícios Im r q α Re Região LMI: intersecção de um disco com um semi-plano sendo α = 0., q =.1, e r =. pag.109 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

110 Exercícios Questão 6 Considere o modelo de suspensão ativa de um automóvel estudado no bloco. Sendo as matrizes da forma A = k m 1 0 c m 1 k m k t m c m c m 1 c m ; B u = m 1 1 m ; B w = e 1.1Kg m Kg, m = 8.58Kg, k = 10000N/m, c = 850Ns/m e k t = N/m pag.110 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6

111 Exercícios Pondere a saída controlada, z, da forma C z = ; D zu = Obtenha o controlador H para o modelo nominal (m 1 = 88.19Kg) e apresente a resposta temporal para x 1 (t) considerando realimentação (suspensão ativa) e o sistema sem realimentação (suspensão passiva) a pertubações da pista modeladas como: (a) impulso (b) w(t) = 0.6sen(8πt) sen(1πt) + 0.9sen(16πt) + 0.5sen(0πt). Obtenha o controlador robusto H para o modelo incerto e para as mesmas pertubações, obtenha a resposta para x 1 (t) considerando o sistema incerto (simule para vários pontos no intervalo de incerteza) pag.111 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 6