CONTROLE PREDITIVO ROBUSTO APLICADO AO MODELO DE UM HELICÓPTERO COM TRÊS GRAUS DE RENATA M. PASCOAL, TAKASHI YONEYAMA, ROBERTO K. H.

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1 CONTROLE PREDITIVO ROBUSTO APLICADO AO MODELO DE UM HELICÓPTERO COM TRÊS GRAUS DE LIBERDADE UTILIZANDO DESIGUALDADES MATRICIAIS LINEARES RENATA M. PASCOAL, TAKASHI YONEYAMA, ROBERTO K. H. GALVÃO Divisão de Engenharia Eletrônica, Instituto Tecnológico de Aeronáutica Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 - Vila das Acácias CEP São José dos Campos SP Brasil s: tatalk@hotmail.com, takashi@ele.ita.br, kawakami@ele.ita.br Abstract The applicability of Model Predictive Control (MPC) is partially limited by the on-line computational workload required to solve optimization problems. For robust constrained MPC, such a workload tends to be more demanding. In this paper, the performance of a robust predictive control technique where all optimization problems are solved off-line was evaluated in the control of a simulation model for a helicopter with three degrees of freedom (3DOF). The problem formulation included input and output constraints, as well as uncertainty in the gain of the actuators. Keywords Robust Model Predictive Control, Linear Matrix Inequalities, 3DOF Helicopter. Resumo A utilização do Controle Preditivo baseado em Modelo (MPC) é parcialmente limitada devido à carga computacional requerida para resolução de problemas de otimização em tempo real. O requisito de robustez e a imposição de restrições sob variáveis de controle e estado tendem a aumentar essa carga. Neste trabalho, foi avaliado o desempenho de uma técnica de controle preditivo robusto em que todas as otimizações são realizadas antes da implementação em tempo real para fins de controle de um modelo de simulação para um helicóptero com três graus de liberdade (3DOF). O problema foi formulado de forma a considerar a existência de restrições de entrada e de saída, bem como incertezas em relação ao ganho dos atuadores. Palavras-chave Controle Preditivo Robusto, Desigualdades Matriciais Lineares, Helicóptero 3DOF. 1 Introdução O Controle Preditivo baseado em Modelo (MPC, do inglês Model Predictive Control) engloba diversos algoritmos para lidar com problemas de controle multivariável sujeitos a restrições. Tais algoritmos envolvem a otimização, a cada instante de amostragem, do comportamento futuro da planta durante um horizonte de predição. Para isto, são utilizados um modelo da planta e informações sobre restrições de entrada e de saída. Embora mais de uma ação de controle seja calculada a cada instante, o controlador implementa apenas a primeira delas e, no próximo instante de amostragem, esse cálculo é repetido com base em novas observações obtidas via realimentação. Como o modelo é apenas uma aproximação do processo real, sempre existe a possibilidade de descasamento entre os dois. Desta forma, é conveniente que o MPC apresente robustez a incertezas do modelo (Maciejowski, 2002). Em Kothare et al. (1996) adota-se uma lei de realimentação de estado para horizontes de predição e de controle infinitos. Nesta formulação, o ganho de realimentação é calculado resolvendo um problema de programação semidefinida envolvendo restrições na forma de desigualdades matriciais lineares (LMIs, do inglês Linear Matrix Inequality). Forçando uma função de custo quadrática do estado a diminuir a cada instante do horizonte de predição, é minimizado um limite superior para o pior caso do custo. Como resultado, mostra-se que o sistema de malha fechada é robusta e assintoticamente estável. Contudo, a resolução de tal problema de otimização a cada instante de amostragem faz com que esta abordagem utilize alta carga computacional em tempo real, o que limita sua aplicação a processos de dinâmica lenta e de pequena escala. Em Wan e Kothare (2003), é proposta uma formulação off-line (ou seja, todas as otimizações são realizadas antes da implementação do controlador em tempo real) para a lei de controle apresentada em Kothare et al. (1996). Esta formulação produz uma seqüência explícita de leis de controle correspondente a elipsóides invariantes construídos um dentro do outro. Com esta abordagem, a carga computacional em tempo real é significativamente reduzida, o que facilita a implementação do MPC robusto para processos de dinâmica rápida. Neste trabalho utiliza-se essa formulação off-line para controlar um modelo de simulação para um helicóptero didático com três graus de liberdade (three degrees of freedom, 3DOF). Trata-se de uma planta instável em malha aberta e de dinâmica rápida. Foram consideradas restrições de entrada e de saída, bem como incertezas quanto ao ganho dos atuadores. 2 Controle Preditivo Robusto utilizando LMIs 2.1 Notação Utilizada Neste trabalho será utilizada a seguinte notação: denota o estado predito para o instante com base nas medidas realizadas no instante ; denota a ação de controle no instante 480

2 calculada através da otimização de uma função de custo no instante. 2.2 Versão On-line Considere um modelo da forma: 1 (1) sendo a entrada de controle, o estado e a saída. Em um sistema sujeito a incertezas do tipo politópicas, considera-se que as matrizes, pertençam a um conjunto Ω definido como Ω Co,,, (2) em que Co denota a envoltória convexa e, 1,, são vértices conhecidos. Assim, se Ω, então, 0, 1. (3) Em Kothare et al. (1996), busca-se minimizar o pior caso da seguinte função objetivo quadrática de horizonte infinito (4) sendo 0, 0 sujeita a,, 0, 1,2,, (5) e,, 0, 1,2,,. (6) Ou seja, deve-se obter a solução do seguinte problema min max. (7), Ω Como este problema min-max é computacionalmente complexo, Kothare et al. (1996) propuseram como alternativa a minimização de um limitante superior para e enunciaram o seguinte teorema: Teorema 1. Seja o estado do sistema sujeito a incertezas politópicas (1) medido no instante. Supondo que não haja restrições de entrada ou de saída, a matriz de realimentação de estados da lei de controle que minimiza o limitante superior de no instante é dada por (8) sendo que 0 e são obtidas através da solução (se ela existir) do seguinte problema de minimização: min,, (9) sujeito às seguintes LMIs 0 (10) 1 e / / (11) 1,,. em que é uma matriz identidade de ordem. As restrições sobre a entrada (5) e sobre a saída (6) são respeitadas se for possível realizar a minimização anterior acrescida das seguintes LMIs: 0,,, 1, 2,, (12) e 0, (13) 1,,,,, 1, 2,,. Em Kothare et al. (1996), demonstra-se que se o problema apresentado no Teorema 1 for factível no instante inicial, a lei de controle com horizonte retrocedente estabiliza robusta e assintoticamente a malha de controle e as restrições são respeitadas. 2.3 Versão Off-line A versão acima apresentada da lei de controle preditivo robusto é denominada on-line, pois todas as otimizações são realizadas em tempo real. Vale salientar que a carga computacional requerida pode limitar a aplicação prática desta formulação. Para contornar essa dificuldade, Wan e Kothare (2003) utilizaram o conceito de elipsóides invariantes assintoticamente estáveis para desenvolver um algoritmo de MPC robusto que obtém uma seqüência de leis de controle off-line. Utilizando essa abordagem, o gasto computacional em tempo real é reduzido, facilitando o uso do MPC robusto em processos com dinâmica rápida. Definição 1: Dado um sistema dinâmico discreto 1, um conjunto 1 é dito ser um elipsóide invariante assintoticamente estável se, sempre que, então para todos os instantes e 0 quando. Lema 1 (Wan e Kothare, 2003): Considere um sistema de malha fechada composto pela planta (1), sujeita a incertezas politópicas definidas em (3), e por um controlador com realimentação de estados, sendo que e obtidas como no Teorema 1. Então, o conjunto 1 é um elipsóide invariante assintoticamente estável. O uso de um único ganho de realimentação embora garanta estabilidade assintótica robusta e atendimento às restrições, é uma solução subótima porque tal ganho é obtido para um valor particular do estado em (10). Para contornar esse problema, Wan e Kothare (2003) propuseram o uso de elipsóides invariantes assintoticamente estáveis construídos um dentro do outro, de forma a obter maior liberdade para adotar matrizes de realimentação variadas com base na distância entre o estado e a origem. Algoritmo 1: Considere o sistema incerto (1) sujeito a restrições na entrada e na saída (5) e (6). Dado um estado inicial factível, gera-se, off-line, uma seqüência de minimizadores,,, e ( 481

3 1,,, sendo o número de elipsóides que se deseja definir) conforme os passos a seguir. Faça Calcule,,,, em utilizando o Teorema 1 com uma restrição adicional (ignorada quando 1), armazene,,, em uma tabela de pesquisa. 2. Se, escolha o estado satisfazendo 1. Faça 1, e vá para o passo 1. Com o controlador operando em tempo real, dado um estado inicial satisfazendo 0 1, seja o estado no instante. Realize uma busca por na tabela de pesquisa para encontrar o maior índice (ou equivalentemente, o menor elipsóide 1) tal que 1. Aplique a lei de controle. Teorema 2: Dado um sistema dinâmico (1) e um estado inicial 0 satisfazendo 0 1, o Algoritmo 1 para MPC robusto off-line sujeito restrições estabiliza robusta e assintoticamente o sistema de malha fechada. A seqüência de matrizes de realimentação de estado gerada com o Algoritmo 1 é constante entre dois elipsóides invariantes assintoticamente estáveis e descontínua na fronteira de cada elipsóide invariante assintoticamente estável. O algoritmo a seguir se destina à obtenção de uma realimentação contínua por todo o espaço de estados. Algoritmo 2: Considere a tabela de pesquisa gerada pela parte off-line do Algoritmo 1. Se para cada ( 1,, 1), 0, 1,, (14) é satisfeita, então, operando em tempo real, dado um estado inicial 0 satisfazendo 0 1 e o estado atual no instante, realize uma busca por na tabela de pesquisa para encontrar o maior índice (ou equivalentemente, o menor elipsóide ) tal que 1. Se, encontre que satisfaça 1 1 e aplique a lei de controle 1. Se, aplique. Teorema 3: Dado um sistema dinâmico (1) e um estado inicial 0 satisfazendo 0 1, o Algoritmo 2 para MPC robusto off-line sujeito a restrições estabiliza robusta e assintoticamente o sistema de malha fechada. Corolário: A matriz de realimentação F implementada no Algoritmo 2 é uma função contínua do estado. A prova dos teoremas, do lema e do corolário aqui apresentados, encontram-se em (Wan e Kothare, 2003). 3 Metodologia Para avaliar o desempenho das versões on-line e off-line de MPC robusto apresentadas na seção 2, foi empregado um modelo de simulação para um Helicóptero didático 3DOF, fabricado pela empresa Quanser Consulting (Figura 1). Figura 1. Helicóptero 3DOF fabricado pela empresa Quanser Consulting. 3.1 Modelo da Planta O modelo utilizado para realização das simulações foi obtido em Lopes (2007) e aprimorado em Maia (2008). O helicóptero é capaz de realizar três movimentos de rotação distintos (Figura 2): arfagem, elevação e deslocamento. Trata-se de um modelo não-linear de sexta ordem dado pelas equações: sen cos sen 3 6 cos 3 cos sen cos sen P (a) (c) E (b) Figura 2. Ângulos de rotação do helicóptero: (a) arfagem, (b) deslocamento, (c) elevação; MD motor dianteiro, MT motor traseiro e CP Contra-Peso. T (15) 482

4 Em (15), 1, e 5 representam, respectivamente, os ângulos de arfagem (pitch, P), elevação (elevation, E) e deslocamento (travel,t), em rad, 2, 4 e 6 representam suas respectivas derivadas, em rad/s, e 1 e 2 representam, respectivamente, as tensões de entrada dos amplificadores dos motores dianteiro e traseiro, em volts (limitadas entre 0 e 4,5V). Os valores dos parâmetros desse modelo podem ser encontrados em Maia (2008). Linearizando-se esse modelo em torno do ponto de equilíbrio 0, 4.736, 7 e 2.804, obtém-se as seguintes matrizes para representação em tempo contínuo (Maia, 2008): , (16) Discretização do modelo Para eliminar o erro de regime sobre os ângulos de elevação e de deslocamento, Maia (2008) insere dois estados adicionais, e, para introduzir uma ação integral sobre esses ângulos. As matrizes do modelo aumentado, discretizado para um período de amostragem de 0.04s, são: Procedimento de simulação (17) Primeiramente, foi projetado um controlador LQR (do inglês Linear Quadratic Regulator) para avaliar o comportamento do modelo. Considerou-se o helicóptero inicialmente parado no ponto,, 0, 0, 25, sendo o objetivo levá-lo ao ponto de equilíbrio 0. Como a tensão de entrada dos amplificadores deve permanecer dentro da faixa [0, 4.5V], e a tensão média para manter o sistema no ponto de operação para o qual o modelo foi linearizado é de 2.804V, foi utilizado um saturador com os limites de -1.5V e 1.5V na saída do controlador. Com base no comportamento obtido para o ângulo de arfagem utilizando o controlador LQR, escolheu-se uma restrição para esse ângulo. Foi projetado o controlador preditivo nominal (sem considerar a presença de incertezas no modelo) supondo que o sistema estivesse sujeito à restrição do ângulo de arfagem escolhida. Também foi introduzida a restrição de que a saída do controlador permaneça dentro da faixa [-1.5V, 1.5V] para que a tensão de entrada dos amplificadores permaneça no intervalo [0, 4.5V]. Supondo que os motores possam estar sujeitos a uma perda de ganho de 50%, foi realizado o projeto do controlador preditivo robusto sujeito às restrições utilizadas no projeto nominal. Tanto para o projeto do controlador LQR, quanto para o projeto dos controladores preditivos, foram utilizadas as seguintes matrizes de ponderação (Maia, 2008): 1, 1, 350, 300, 200, 100, 1, ,100 em que denota uma matriz cuja diagonal é formada pelos elementos entre parênteses e os outros elementos são nulos. O Helicóptero 3DOF possui encoders para medição dos ângulos de rotação (Maia, 2008); mas não possui sensores para medição das velocidades angulares. Desse modo, a fim de tornar a simulação mais realista, foram utilizados blocos de quantização nas saídas,, do modelo não-linear e as velocidades foram estimadas utilizando-se os seguintes filtros: 20/ 20, para deslocamento, e 15/ 15, para arfagem e elevação (Maia, 2008). As simulações foram realizadas em ambiente Matlab/Simulink (versão 7.0) utilizando um Notebook com processador Intel Core Duo T Hz, 1GB de memória RAM e sistema operacional Windows XP Service Pack Controlador LQR 4 Resultados Utilizando as matrizes do modelo discreto em (17) e as matrizes de ponderação e, a matriz de ganho do controlador LQR é Simulando o comportamento em malha fechada utilizando esse controlador, para o helicóptero partindo de uma posição inicial de -25 de deslocamento, observou-se que o ângulo de arfagem atingiu um 483

5 valor extremo de -22,9. Como restrição para o projeto dos controladores preditivos, será imposto que o valor máximo do módulo do ângulo de arfagem seja de Controlador Preditivo Nominal O estado foi discretizado em um conjunto de onze pontos: para obtenção dos elipsóides definidos por como proposto na subseção 3.2. A matriz de ganho do elipsóide mais externo obtida é dada por: e a do elipsóide mais interno é dada por: Note que os valores dos componentes do elipsóide mais interno estão mais próximos dos valores dos componentes da matriz obtida no projeto do controlador LQR. Isso é natural uma vez que, estando o estado mais próximo do equilíbrio, as restrições tornam-se inativas. Na Figura 3, é apresentado o comportamento dos ângulos do modelo, considerando o helicóptero na posição inicial citada anteriormente. A linha tracejada corresponde à resposta do sistema utilizando o controlador preditivo nominal projetado utilizando a formulação on-line da seção 3.1. O tempo necessário para realizar cada otimização utilizando essa formulação variou de 200 a 500ms, o que impossibilitaria sua aplicação em tempo real, já que o período de amostragem teria que ser de 40ms. Tal constatação motiva a utilização da formulação off-line. Na Figura 3, pode-se perceber que a perda de desempenho ocasionada pela utilização da formulação off-line é muito pequena, e o tempo médio para busca do ganho do elipsóide e resolução das equações diferenciais do modelo a cada instante de amostragem é de 0,5ms, o que torna a sua aplicação em tempo real viável. O sinal de controle apresentou excursão máxima de -0.83V, o que respeita a restrição de entrada imposta. O valor extremo atingido pelo ângulo de arfagem foi de -13.7, o que satisfaz a restrição de saída imposta. 4.3 Controlador Preditivo Robusto Suponha que haja uma degradação do ganho dos amplificadores dos motores que faça com que ele seja 50% menor. A Figura 4 apresenta a resposta do sistema para esta situação utilizando o controlador preditivo nominal, partindo da condição inicial considerada anteriormente. Podemos ver que a resposta se torna mais lenta e mais oscilatória. Figura 3. Resultado da simulação utilizando o controlador preditivo nominal; as linhas destacadas representam a barreira de restrição para o ângulo de arfagem. A linha contínua é a resposta utilizando a formulação off-line e a tracejada a on-line. Figura 4. Resultado da simulação utilizando o controlador preditivo nominal supondo que ocorra 50% de perda de ganho nos amplificadores; as linhas destacadas representam a barreira de restrição para o ângulo de arfagem. Considerando o mesmo conjunto de pontos para discretização de e as mesmas restrições utilizadas para o projeto nominal, foi projetado o controlador preditivo robusto considerando a existência de 50% de incerteza no ganho dos amplificadores. A matriz de ganho do elipsóide mais externo é dada por: e a do elipsóide mais interno é dada por:

6 Na Figura 5, é apresentado o comportamento dos ângulos do modelo, com a mesma degradação do ganho dos atuadores anterior, utilizando o controlador preditivo robusto projetado, considerando o helicóptero na posição inicial que foi utilizada nas demais simulações. O sinal de controle apresentou excursão máxima de -0.86V, o que respeita a restrição de entrada imposta. O valor extremo atingido pelo ângulo de arfagem foi de -11.9, o que satisfaz a restrição de saída imposta. Pode-se notar uma melhoria em relação à resposta obtida utilizando o controlador nominal, pois se torna menos oscilatória. Essa melhoria pode ser observada também através do valor rms das medidas do ângulo de arfagem que é de 3.1 para o gráfico da Figura 4, e de 2.9 para o da Figura 5. Ela se torna ainda mais evidente, se compararmos os valores rms da velocidade angular de arfagem (Figura 6): 3.9 /s, utilizando o MPC nominal, e 3.0 /s utilizando o MPC robusto. 5 Conclusão Neste trabalho, foi apresentada uma aplicação da formulação de MPC robusto desenvolvida nos trabalhos de Kothare (1996) e de Wan; Kothare (2003) para o controle do modelo da planta didática do Helicóptero 3DOF. Utilizou-se a versão off-line que reduz o esforço computacional durante a operação do sistema, já que não envolve a resolução de nenhuma otimização em tempo real, o que a torna vantajosa para uso em sistemas de larga escala e processos rápidos. O maior problema com esta formulação é o conservadorismo introduzido pela minimização de um limite superior para a função de custo, o que leva a uma solução subótima. Além disso, como as LMIs das restrições são apenas suficientes, os limites dos sinais de controle não são totalmente aproveitados. Para trabalhos futuros, sugere-se a aplicação dessa formulação de controle para realizar experimentos com a planta real. Outra sugestão é que se utilize um observador para estimar as velocidades angulares, bem como perturbações que possam estar atuando sobre a planta. Também pode-se estudar a viabilidade do uso desta formulação para compensar falhas que possam ocorrer durante a operação da planta. Referências Bibliográficas Figura 5. Resultado da simulação utilizando o controlador preditivo robusto supondo que ocorra 50% de perda no ganho nos atuadores; as linhas destacadas representam a barreira de restrição para o ângulo de arfagem. Boyd, S., Ghaoui, L. E. e Balakrishnan, V. (1994). Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Filadélfia. Kothare, M. V. e Balakrishnan, V. e Morari, M. (1996). Robust Constrained Model Predictive Control using Linear Matrix Inequalities, Automatica, 32(10): Lopes, R. V. (2007). Modelagem e Controle Preditivo de um Helicóptero com Três Graus de Liberadade, Dissertação de mestrado Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), São José dos Campos. Maciejowski, J. M. (2002). Predictive Control with Constraints, Prentice Hall, Harlow, Inglaterra. Maia, M. H. (2008). Controle Preditivo Robusto de um Helicóptero com Três Graus de Liberdade Sujeito a Perturbações Externas, Dissertação de mestrado Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), São José dos Campos. Wan, Z. e Kothare, M. V. (2003). An Efficient Offline Formulation of Robust Model Predictive Control using Linear Matrix Inequalities, Automatica, 39: Figura 6. Velocidade angular de arfagem do sistema com perda de 50% no ganho dos amplificadores utilizando os controladores preditivos nominal e robusto. 485