Introdução ao Controle Robusto

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1 Introdução ao Controle Robusto Prof. Reinaldo M. Palhares Contato: Sala 234 (PCA) mailto: palhares/topicosrobusto.html Quartas-feiras 07h30-09h10

2 Linhas Gerais do Curso Caracterizando o problema de Estabilização Robusta Motivação: modelo nominal Incertezas... Incertazas? Modelos de Incerteza Análise no domínio da freqüência Critério de Nyquist. Desempenho nominal e função de sensibilidade. Estabilidade robusta e função de sensibilidade: uma primeira versão do Teorema do ganho pequeno Exemplo de projeto: controle PID robusto de um gravador sujeito a retardo no tempo pag.2 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

3 Linhas Gerais do Curso Uma rápida revisão... Conceitos de álgebra linear. Espaço de estados. Controle baseado no observador por alocação de pólos Normas de Sinais e Sistemas Espaços Normados. Espaços de Hardy H 2 e H. Cálculo das normas H 2 e H Desigualdades Matriciais Lineares DMLs Complemento de Schur e sinais de matrizes pag.3 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

4 Linhas Gerais do Curso Controle H 2 Realimentação de estados: controle robusto H 2 por DMLs. Realimentação de saída. Alocação de pólos Controle H Realimentação de estados: controle robusto H por DMLs: realimentação de estados e de saída Controle misto H 2 /H Otimização multiobjetivo pag.4 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

5 Aspectos Burocráticos Avaliações Uma prova 30 pontos Simulações computacionais exercícios 70 pontos (Pré-)Requisitos Desejáveis Noções de controle clássico (transformadas) e moderno (espaço de estado) Paciência e perseverança... pag.5 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

6 Ferramentas Computacionais Utilização de pacotes computacionais específicos LMILab LMITool pag.6 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

7 Escopo do Curso Não-Linear Linear Sistemas Contínuos Sistemas Discretos Não-Causal Causal Variante no Tempo Invariante no Tempo SISO MIMO sem Memória com Memória Distríbuido Limitado Estocástico Determinístico Espaço de Estado (+) Entrada-Saída (-) Adaptativo Incertezas Não-paramétricas (pouco) Estocástico Incertezas Paramétricas Robusto pag.7 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

8 Motivação e Contexto Problema geral Dado um modelo (ou uma família de modelos) do sistema a ser controlado e um conjunto de especificações, encontrar um controlador adequado Características do controlador adequado Simples, eficiente e barato pag.8 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

9 Motivação e Contexto Métodos tradicionais metodologia de projeto? dependem de experiência, talento e sorte Métodos baseados em otimização O delimitador de águas não está nas características lineares ou não-lineares, e sim em descrições convexas ou não-convexas (Rockafellar) Computacionalmente bastante eficientes Caracteriza os limites de desempenho do sistema pag.9 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

10 Motivação e Contexto Especificações de desempenho resposta adequada aos sinais de controle atenuação de pertubações limitação de sinais críticos Especificações de robustez garantir um nível de desempenho frente a variações no sistema ou diferenças em relação ao seu modelo redução de índices de sensibilidade Especificações de controlador Linear, não-linear, invariante no tempo, gain-scheduling,... centralizado, descentralizado, ordem reduzida pag.10 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

11 frag replacements Representação do Sistema de Controle w u Planta Generalizada y z Controlador w entradas exógenas u entradas controladas z saídas reguladas y saídas medidas pag.11 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

12 Representação do Sistema de Controle Planta generalizada evidencia os tipos de sinais acessíveis ao controlador incluem informação sobre onde os sinais exógenos atuam explicita a presença das saídas reguladas (analogia com o LQR ou LQG) especificações são formuladas em termos de w e z função de transferência em malha fechada pag.12 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

13 Planta generalizada P (s) = P zw(s) P yw (s) P zu (s) P yu (s) sendo z = P zw w + P zu u y = P yw w + P yu u Controlador: u = Ky z = (P zw + P zu K (I P yu K) 1 }{{} det(i P yu K) 0 P yw )w z = T zw w pag.13 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

14 Planta generalizada cements Sistema 1-DOF n p d r - u K P 0 y p n m pag.14 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

15 Representação na forma padrão g replacements Planta generalizada w r n m d P n p P 0 - y p u z u y K sendo y r y p n m pag.15 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

16 Planta generalizada r 1. z = P zw w y p u = P n m d n p 2. z = P zu u y p u = P 0 1 u r 3. y = P yw w y = r y p n m = P 0 n m d n p 3. y = P yu u y = r y p n m = P 0 u pag.16 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

17 Planta generalizada Veja então que a planta generalizada é descrita da forma P (s) = P zw(s) P yw (s) P zu (s) P yu (s) P (s) = P P P 0 P 0 pag.17 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

18 Planta generalizada Realização em espaço de estados ẋ(t) = Ax(t) + B w w(t) + B u u(t) z(t) = C z x(t) + D zw w(t) + D zu u(t) y(t) = C y x(t) + D yw w(t) + D yu u(t) P (s) = P zw (s) P yw (s) P zu (s) P yu (s) = C (si A) 1 B + D sendo B = B w B u, C = C z C y, D = D zw D yw D zu D yw pag.18 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

19 Planta generalizada Em particular P zw = C z (si A) 1 B w + D zw A C z B w D zw Realização Controlador ẋ c (t) = A c x c (t) + B c y(t) u(t) = C c x c (t) + D c y(t) K(s) = C c (si A c ) 1 B c + D c pag.19 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

20 Planta generalizada P D yw w D zw z D zu B w x C z D yu = 0 B u (si A) 1 C y u x c K y C c (si A c ) 1 B c D c pag.20 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

21 Incertezas Quando modelam-se sistemas dinâmicos, pode-se defrontar com uma série de fontes de incertezas como Incertezas paramétricas (estruturadas) Parâmetros físicos que variam entre limites dados Incerteza intervalar (L ) Incerteza elipsoidal (L 2 ) Incertezas não-paramétricas (não-estruturadas) Dinâmicas não-modeladas Não-linearidades Efeitos da linearização, variação no tempo pag.21 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

22 Incertezas Como transpor incertezas? Controle adaptativo Controle preditivo Controle robusto Deseja-se uma única lei de controle válida para todo o domínio de incertezas adotado pag.22 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

23 Motivando com um Exemplo: Suspensão Ativa Veicular Objetivos do Controle Minimizar distúrbios externos frutos de irregularidades do asfalto Conforto é a palavra de ordem Inovação introduzida na F-1 desde 1987 e consagrada em 91/92 pela Williams Uma variação da suspensão ativa veicular é o denominado ABC (Active Body Control, ou controle ativo da carroceria) Corrige inclinação da carroceria Em frações de segundo o sistema reequilibra o carro na curva, evitando capotamento pag.23 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

24 Suspensão Ativa Veicular: FW14 da Williams Modelo FW14 da Williams 91/92. A suspensão ativa trabalhava por computador, absorvendo as imperfeições do asfalto. Era como se Nigel Mansell e Ricardo Patrese dirigissem num tapete nas onduladas ruas do principado de Mônaco Em 94, os sistemas de suspensão ativa foram proibidos na F-1... pag.24 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

25 Suspensão Ativa Veicular: Novo Mercedes-Benz CL Fonte: DaimlerChrysler pag.25 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

26 Suspensão Ativa Veicular: Novo Mercedes-Benz CL A cambagem é realmente ativa, no sentido de se tornar mais negativa (rodas mais afastadas no ponto de contato com o solo) quando um princípio de derrapagem é detectado. Em caso de frenagem intensa, todas as quatro rodas inclinam-se em tempo extremamente reduzido, o que reduz a distância de parada pag.26 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

27 Modelo Matemático? Diagrama de blocos: 1/4 do veículo PSfrag replacements M 2 u x 2 M 1 x 1 K m w 1. M 1 massa do conjunto da roda 2. M 2 porção da massa do veículo (correspondendo a 1/4 de sua massa total) 3. u e K m atuador e rigidez do pneu (uma mola...) 4. x 1 e x 2 deslocamento da roda e do corpo do veículo, respectivamente 5. x 3 e x 4 velocidade relativas às massas M 1 e M 2, respectivamente 6. w distúrbio externo pag.27 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

28 Modelo Dinâmico? Equações Diferenciais Utilizando as Leis de Newton para o movimento... Mẍ + bẋ + kx = Força do sistema: x 1 e x 2 deslocamento das massas M 1 e M 2 x 3 = ẋ 1 ẋ 3 = ẍ 1 x 4 = ẋ 2 ẋ 4 = ẍ 2 M 2 ẍ 2 = u ẋ 4 = u/m 2 M 1 ẍ 1 + K m (x 1 w) = u ẋ 3 = 1 M 1 u K m M1 x 1 + K m M1 w pag.28 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

29 Representação em espaço de estados ẋ(t) = K m /M x(t) + 0 K m /M 1 w(t) + 0 1/M 1 u(t) /M 2 A B w B u y(t) = Ix(t) Considere que a massa do veículo, M 2, não seja precisamente conhecida e varie no intervalo [258, 358] (carro com um passageiro 240Kg + 75/4Kg e carro com cinco passageiros + bagagem 240Kg /4 Kg + 100/4 Kg) pag.29 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

30 Robustez Questão de análise de robustez: o sistema em malha fechada permanece estável para todos os valores possíveis de M 2? 1. O sistema em malha aberta é marginalmente estável M 2 influi na matriz de realimentação B u Como projetar uma única lei de controle que garanta não apenas estabilidade, mas satisfaça as especificações de desempenho? pag.30 Introdução ao Controle Robusto Aula 0

31 Bibliografia Básica 1. Boyd, S.; El-Ghaoui, L.; Feron, E.; Balakrishnan, V. (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Press. 2. Zhou, K.; Doyle, J. C.; Glover, K. (1996), Robust and Optimal Control, Prentice-Hall. 3. Scherer, C.; Gahinet, P.; Chilali, M. (1997), Multiobjective output-feedback control via LMI optimization, IEEE Transactions on Automatic Control, v. 42, n. 7, pp Palhares, R. M.; Takahashi, R. H. C.; Peres, P. L. D. (1997), H and H 2 guaranteed costs computation for uncertain systems, International Journal of Systems Science, v. 28, n. 2, pp Dorf, R. C.; Bishop, R. H. (1998), Modern Control Systems, Addison Wesley Longman, Inc. 6. Artigos recentes em periódicos especializados pag.31 Introdução ao Controle Robusto Aula 0