SÍNTESE DE CONTROLADOR VIA LMIs E IMPLEMENTAÇÃO EM UM PÊNDULO INVERTIDO MODELO LINEAR DA QUANSER R

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1 SÍNTESE DE CONTROLADOR VIA LMIs E IMPLEMENTAÇÃO EM UM PÊNDULO INVERTIDO MODELO LINEAR DA QUANSER R Emerson R. P. da Silva, Edvaldo Assunção, Marcelo C. M. Teixeira e Luiz Francisco S. Buzachero Faculdade de Engenharia, UNESP - Univ Estadual Paulista, Campus de Ilha Solteira, Departamento de Engenharia Elétrica, Laboratório de Pesquisa em Controle (LPC), Avenida José Carlos Rossi, n o 137, Ilha Solteira, SP, Brasil. IFSP - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, Campus Birigui Rua Pedro Cavalo, Portal da Pérola II, n o 79, Birigui, SP - Brasil e.ravazzi@bol.com.br, edvaldo@dee.feis.unesp.br, marcelo@dee.feis.unesp.br, luiz.buzachero@yahoo.com.br Abstract This paper aims a practical implementation of a controller designed by LMIs in a Linear inverted pendulum manufactured by the Quanser R. Linear matrix inequalities (LMIs) facilitate the inclusion of performance indexes in the controller design and may be easily solved in microcomputers, using for example, the MatLab R software. The results show an excellent performance of the control theory applied to the physical model of the inverted pendulum. Keywords inverted pendulum, linear matrix inequalities (LMIs), linear systems, Lyapunov stability theory, practical implementation. Resumo - Este trabalho visa à implementação prática de um controlador projetado via LMIs (Linear Matrix Inequalities) em um pêndulo invertido modelo Linear da Quanser R. LMIs facilitam a inserção de restrições no projeto do controlador e podem ser resolvidas eficientemente usando, por exemplo, o software MatLab R. Os resultados mostram um ótimo desempenho da teoria de controle aplicada ao modelo físico do pêndulo invertido. Palavras-chave desigualdades matriciais lineares (LMIs), implementação prática, pêndulo invertido, sistemas lineares, teoria de estabilidade de Lyapunov. I. INTRODUÇÃO A análise de estabilidade e o projeto de controladores de sistemas lineares é uma área de pesquisa amplamente explorada. Algumas metodologias usam uma função de Lyapunov para garantir a estabilidade do sistema e o projeto é realizado utilizando desigualdades matriciais lineares (LMIs, acrônimo inglês para Linear Matrix Inequalities) [1]. Técnicas baseadas em LMIs têm sido estudadas para vários propósitos, na literatura especializada pode-se encontrar trabalhos que relatam o uso em sistemas lineares, por exemplo, [2], envolvendo sistemas lineares com incertezas politópicas [3], envolvendo sistemas não-lineares com ou sem incertezas no modelo [4, 5], abordando técnicas de controle baseadas na realimentação da derivada do vetor de estado [6 8], entre outras. No entanto, a grande maioria dos trabalhos apresentam simulações realizadas em modelos matemáticos que representam sistemas reais para testar e validar as técnicas de controle, uma vez que, nem sempre é possível ter acesso a um sistema real para a realização de implementações práticas. Em [9 11] os autores apresentam implementações práticas de controladores baseados em LMIs em um helicóptero de bancada modelo 3-DOF fabricado pela Quanser R. De maneira análoga, este trabalho visa a implementação prática de um controlador projetado com o uso de LMIs em um sistema real. A técnica utilizada permite que o projetista posicione os autovalores do sistema em malha fechada numa certa região do semi-plano complexo negativo. Isso, além de assegurar a estabilidade, garante também certos requisitos de desempenho ao sistema realimentado [12]. A síntese de controladores baseados em LMIs tem a vantagem de permitir facilmente a inclusão de índices de desempenho na abordagem do problema. Além disso, LMIs podem ser resolvidas eficientemente em microcomputadores utilizando, por exemplo, o software MatLab R [13]. Utilizando uma técnica de controle já consolidada na literatura, a finalidade deste trabalho é a obtenção de resultados práticos através da implementação em um pêndulo invertido modelo Linear fabricado pela Quanser R [14]. O pêndulo invertido é um sistema propício para a realização de testes, desenvolvimento de pesquisas e aprendizado na área de controle uma vez que possui um modelo naturalmente instável, o que torna o desafio da aplicação teórica ainda maior ao projetista. Além do mais, já foi largamente estudado pela indústria aeroespacial e hoje, possui grandes aplicações em áreas como a biotecnologia, onde sistemas caminhadores bípedes têm sido amplamente estudados com base no modelo do pêndulo invertido. Durante o texto utiliza-se as seguintes notações: M > (M ) é usada para representar matrizes definidas (semidefinidas) positivas e de modo equivalente M < (M ) representa matrizes definidas (semi-definidas) negativas; (...) T indica transposição de um vetor ou matriz. II. PROJETO DO CONTROLADOR UTILIZANDO DESIGUALDADES MATRICIAIS LINEARES (LMIs) Considere um sistema linear controlável, descrito na forma de variáveis de estado:

2 ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), y(t) = Cx(t), sendo A R n n, B R n m e C R q n matrizes que representam a dinâmica do sistema, x(t) R n é o vetor de estados, y(t) R q é o vetor de saída e u(t) R m é o vetor de entrada de controle. O objetivo é encontrar uma matriz constante K R m n, tal que, ao realimentar o sistema (1) com a entrada de controle (1) u(t) = Kx(t), (2) o sistema em malha fechada, dado por (1) e (2), seja estável e com comportamento transitório satisfatório. Logo, o sistema em malha fechada pode ser representado da seguinte forma: ẋ(t) = (A BK)x(t). (3) Da teoria de controle é conhecido que o comportamento transitório de um sistema está relacionado diretamente com a localização dos autovalores no plano complexo. Alocando os autovalores dentro de uma região S adequada, é possível obter certos índices de desempenho, por exemplo, uma taxa de decaimento exponencial mínima γ, um fator de amortecimento mínimo θ e r limita o tempo de subida durante o transitório, que indiretamente pode restringir a norma do controlador, este assegura que nenhum autovalor do sistema em malha fechada tenha parte real muito negativa (λ ). Essa situação é desejável quando pretende-se implementar o controlador projetado. A região de alocação S(γ,r,θ) pode ser vista na Figura 1. y (Eixo Imaginário) S(γ, r, θ)-estável. Lema 1 Dado as constantes positivas γ, r e θ. Se existir uma matriz simétrica X R n n e uma matriz G R m n satisfazendo as LMIs: X >, AX BG+XA T G T B T +2γX <, [ ] rx XA T G T B T <, AX BG rx [ ( sinθ XA T G T B T +AX BG )... cosθ ( AX BG XA T +G T B T)......cosθ ( XA T G T B T AX+BG ) ]...sinθ ( XA T G T B T +AX BG ) <, então, o sistema (3) é S(γ,r,θ)-estável e um ganho que resolve o problema pode ser obtido com Prova. Veja [12]. (4) K = GX 1 (5) III. PÊNDULO INVERTIDO MODELO LINEAR FABRICADO PELA QUANSER R Considere o pêndulo invertido modelo Linear da Quanser R mostrado na Figura 2, sendo que, seu modelo esquemático pode ser visto na Figura 3. O sistema consiste em um pêndulo com ângulo de deslocamento µ(t), tamanho l e massa m, montado sobre um carrinho de massa M, posicionado sobre um trilho que permite um certo deslocamentoρ(t) controlado por uma forçau(t). r S(γ,r,θ) θ x (Eixo Real) γ Fig. 1. Região S(γ, r, θ). A partir dessas informações, o próximo lema apresenta condições necessárias e suficientes para que o sistema (3) seja Fig. 2. Pêndulo invertido modelo Linear da Quanser R pertencente ao LPC-FEIS-UNESP.

3 GND ENB Sign y m mg µ(t) I. Os valores das constantes podem ser encontrados na Tabela TABELA I Parâmetros do pêndulo invertido. u(t) l M ρ(t) Parâmetros Símbolos Valor Comprimento (m) l,61 Centro de gravidade do pêndulo(m) l p l/2 Massa do pêndulo (kg) m,21 Massa do carro (kg) M,4573 Constante gravitacional (m/s 2 ) g 9,8 Dado da placa a 1,7378 Dado da placa b 7,6832 com, Fig. 3. Modelo esquemático do pêndulo invertido. O modelo em espaço de estados é dado por: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), y(t) = Cx(t), x(t) = µ ρ µ ρ (6), (7) sendou(t) a força no motor do carrinho dada em Volts (V). A relação entre o sinal de controle u(t) e a tensão V gerada pelo computador digital é igual a: u(t) = av b ρ, (8) sendo a e b dados da placa A/D D/A. As matrizes A, B e C linearizadas no ponto de equilíbrio µ ρ µ =, (9) ρ são dadas por: 1 1 (M +m) b A = g, (1) Ml p Ml p m M g b M B = a Ml p, (11) a M [ ] 1 C =. (12) 1 A eficiência da metodologia pode ser verificada na implementação prática abordada a seguir. IV. IMPLEMENTAÇÃO PRÁTICA DO PROJETO VIA LMIs NO MODELO FÍSICO DO PÊNDULO INVERTIDO O objetivo do experimento é projetar um controlador através do Lema 1 capaz de garantir a estabilidade do sistema, ou seja, manter o ângulo µ(t) do pêndulo na posição vertical. Ainda, foi colocado um sinal senoidal de,1m de amplitude e frequência de 1rad/s como referência para o deslocamento horizontal ρ(t) do carrinho. A Figura 4 representa o diagrama de controle utilizado para a implementação do controlador. V out B1 Fonte Amplificadora B8 Conversor Digital/Analógico Vref GND ENB u(t) u(k) Pêndulo Invertido Microcomputador MatLab/Simulink R Real-Time y(t) y(k) Vr ef B8 Conversor Analógico/Digital Fig. 4. Diagrama utilizado para a implementação prática. Para o projeto do controlador, foi utilizado o software MatLab R e o solver LMILab [13]. Após vários testes, foi verificado que deve-se fazer uma escolha adequada da região S, visto que, nem todos os controladores projetados, apesar de teoricamente garantirem a estabilidade do sistema, conseguiram manter o pêndulo invertido estável na implementação prática. Resolvendo o Lema 1 com os parâmetros γ = 3,5, r = 32 e θ = 18, o seguinte controlador (5) foi obtido: Vin B1

4 .2 K = GX 1 K = [,63,51 1,61 1,77 ],22,6,88,27,6,5,12,17,88,12 4,8,36,27,17,36,78 K = [ 62,76 35,5 1,71 27,4 ]. (13) A Figura 5 mostra que todos os autovalores do sistema controlado pertencem à regiãos(3,5,32,18 ). 1 Deslocamento [m] Sinal de referência Deslocamento do carro Fig. 6. Implementação prática do ganho K. 4.2 Eixo Imaginário x x x x Eixo Real Deslocamento [m] Deslocamento do carro Sinal de referência Fig. 7. Simulação utilizando o software MatLab/Simulink R. A Figura 8 mostra a posição do ângulo do pêndulo durante todo o transitório do carrinho e, para fins de comparação, a Figura 9 mostra uma simulação digital realizada no software MatLab/Simulink R. Nota-se que o ângulo fica oscilando no intervalo,4 µ(t),3(rad) ou 2,29 µ(t) 1,72 (Figura 8). Logo, o controlador projetado foi capaz de manter o ângulo na posição vertical. Fig. 5. Localização dos autovalores em malha fechada..5.4 Ângulo do pêndulo Pela Figura 6, apesar do aparecimento de leves overshoots, observe que o carrinho manteve-se próximo do sinal de referência estipulado, isto é, obteve-se um transitório satisfatório com o controlador projetado. Para fins de comparação, a Figura 7 mostra uma simulação digital realizada no software MatLab/Simulink R. As diferenças que se notam entre as respostas digitais e as respostas práticas podem ocorrer pelo fato de que, nas simulações digitais alguns fatores foram simplesmente desprezados como, por exemplo, atritos, desgastes naturais (incertezas) dos componentes do equipamento, tempo de aquisição dos estados e processamento do sinal do controlador, entre outros. Deslocamento [rad] Fig. 8. Implementação prática do ganho K.

5 Deslocamento [rad] Volts Volts Ângulo do pêndulo Fig. 9. Simulação utilizando o software MatLab/Simulink R. A Figura 1 mostra o esforço do sinal de controle em Volts para manter o pêndulo estável e na referência desejada e, para fins de comparação, a Figura 11 mostra uma simulação digital realizada no software MatLab/Simulink R. Observe que o sinal fica oscilando entre±2,5v, não saturando o valor máximo suportado pelo motor de corrente contínua do carrinho, isto é, ±5V (Figura 1) Sinal de controle Fig. 1. Implementação prática do ganhok Sinal de controle Fig. 11. Simulação utilizando o software MatLab/Simulink R. V. CONCLUSÕES Este trabalho propôs a síntese e a implementação prática de um controlador que, além de assegurar a estabilidade do sistema, permite alocar os autovalores em uma região préestabelecida em projeto com a finalidade de obter uma resposta transitória adequada em malha fechada. Projetos de controle baseados em LMIs têm a vantagem de permitir facilmente a inclusão de índices de desempenho na abordagem do problema e, ainda, podem ser resolvidos eficientemente usando, por exemplo, o software MatLab R. Na implementação realizada no pêndulo invertido modelo Linear da Quanser R, foi verificado que o controlador projetado atendeu as especificações de projeto e alcançou desempenhos satisfatórios, entretanto, a escolha apropriada da região de alocação tem grandes influências no comportamento transitório do sistema. AGRADECIMENTOS Os autores gostariam de agradecer à CAPES 1, ao CNPq 2 e a FAPESP 3 pelo suporte a este estudo. REFERÊNCIAS [1] S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan. Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory. Volume 15 of Studies in Applied Mathematics. SIAM Studies in Applied Mathematics, USA, 2nd edition, [2] E. Assunção, C. Q. Andrea, and M. C. M. Teixeira. Alocação de zeros aplicada a sistemas de controle via LMI. Sba: Controle & Automaçã Sociedade Brasileira de Automatica, 18:55 66, [3] V. J. S. Leite, V. F. Montagner, P. J. de Oliveira, R. C. L. F. Oliveira, D. C. W. Ramos, and P. L. D. Peres. Estabilidade robusta de sistemas lineares através de desigualdades matriciais lineares. Sba: Controle & Automação Sociedade Brasileira de Automatica, 15:24 4, [4] E. R. P. da Silva, M. C. M. Teixeira, E. Assunção, and F. A. Faria. Controle robusto de sistemas não-lineares sujeitos a falhas estruturais usando realimentação da derivada dos estados. In Anais do 9 o Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Brasília, 29. SBA. 6p. (Artigo 54988). [5] K. Tanaka, T. Ikeda, and H. O. Wang. Fuzzy regulators and fuzzy observers: Relaxed stability conditions and LMI-based designs. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 6(2):25 265, [6] E. R. P. da Silva, M. C. M. Teixeira, E. Assunção, and F. A. Faria. Estabilização de sistemas fuzzy T-S incertos usando realimentação derivativa. Sba: Controle & Automação Sociedade Brasileira de Automatica, pages , [7] E. R. P. da Silva, E. Assunção, M. C. M. Teixeira, F. A. Faria, and L. F. S. Buzachero. Parameter-dependent Lyapunov functions for state-derivative feedback control in 1 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior. 2 Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. 3 Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo.

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