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1 SÍNTESE DE CONTROLADORES ROBUSTOS POR REALIMENTAÇÃO DINÂMICA DE SAÍDA CONSIDERANDO MODELO DE REFERÊNCIA BASEADA EM OTIMIZAÇÃO NO ESPAÇO DE PARÂMETROS DO CONTROLADOR Wagner Eustáquio Gomes Bachur, Eduardo Nunes Gonçalves, Reinaldo Martinez Palhares, Ricardo Hiroshi Caldeira Takahashi Departamento de Engenharia Elétrica Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Av. Amazonas , Belo Horizonte - MG - Brasil Departamento de Engenharia Eletrônica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos Belo Horizonte - MG - Brasil Departamento de Matemática Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos Belo Horizonte - MG - Brasil s: bachur@des.cefetmg.br, eduardong@des.cefetmg.br, palhares@cpdee.ufmg.br, taka@mat.ufmg.br Abstract It is presented in this paper a new strategy for dynamic output-feedback control synthesis for uncertain linear continuous-time systems. It is considered a multiobjective optimization problem to guarantee both the setpoint tracking response performance and disturbance rejection. A reference model is considered to achieve the setpoint tracking response specifications. The proposed control synthesis methodology is based on a two step iterative procedure: synthesis based on a non linear optimization algorithm and analysis based on a branch-and-bound algorithm combined with LMI analysis formulations. A numeric example is presented to illustrate the effectiveness of the proposed approach. Keywords Linear Matriz Inequality, reference model control, robust control, dynamic output-feedback control, polytope-bounded uncertainty. Resumo É apresentado neste artigo uma nova estratégia de síntese de controladores por realimentação dinâmica de saída para sistemas lineares, contínuos no tempo e incertos. É considerado um problema de otimização multi-objetivo para garantir tanto o desempenho da resposta de rastreamento como a rejeição de distúrbios. Um modelo de referência é considerado para atender às especificações da resposta de rastreamento. A metodologia de síntese proposta é baseada em um procedimento iterativo de dois passos: síntese baseada em um algoritmo de otimização não linear e análise baseada em um algoritmo branch-and-bound combinado com formulações LMI de análise. Um exemplo numérico é apresentado para ilustrar a eficácia do procedimento proposto. Keywords Desigualdade Matricial Linear, controle por modelo de referência, controle por realimentação dinâmica de saída, incerteza politópica. 1 Introdução Formulações baseadas em desigualdades matriciais lineares (LMI, do inglês Linear Matrix Inequality) para análise e síntese de sistemas de controle robusto se tornaram bastante populares por serem problemas de otimização convexos que podem ser resolvidos de forma eficiente por softwares gratuitos ou comerciais disponíveis (Gahinet et al., 1995). Entretanto, existem problemas da teoria de controle robusto que resultam em formulações baseadas em desigualdades bilineares matriciais (BMI, do inglês bilinear matrix inequality), não convexa, o que é o caso da síntese de controladores robustos por realimentação dinâmica de saída. Vários trabalhos apresentam métodos para transformar um problema BMI em um problema LMI. Alguns trabalhos são baseados em mudança de variáveis linearizantes (Gahinet et al., 1995; Scherer, 1995; Scherer et al., 1997; Masubuchi et al., 1998; Apkarian et al., 21; de Oliveira et al., 22; Ebihara and Hagiwara, 24) e outros são baseados em eliminação de variáveis para transformar uma formulação BMI em duas formulações LMI acopladas por uma relação não-convexa (Grigoriadis and Skelton, 1996; Iwasaki, 1999; Shimomura and Fujii, 2; de Oliveira et al., 2). Nessas formulações, as matrizes do controlador são funções das matrizes do sistema o que limita a aplicação a sistemas precisamente conhecidos (ou sistemas com incerteza limitada em norma em que o canal H é usado para acomodar a incerteza do modelo aplicando o teorema do ganho pequeno). Até o presente momento, não existe formulação LMI para síntese de controladores fixos por realimentação dinâmica de saída para tratar do caso de sistemas com modelo de incerteza politópico. Isso significa que não existe um algoritmo que garanta a convergência para o ótimo global que resolva essa classe de problemas. 462

2 Este artigo trata da síntese de controladores robustos por realimentação dinâmica de saída considerando dois objetivos: atender as especificações da resposta de rastreamento e rejeição de distúrbios. Muitos dos trabalhos prévios na área de controle robusto utilizam a estratégia de garantir as especificações da resposta transitória através de restrições de posicionamento regional de pólos no problema de otimização. A principal contribuição desse artigo é combinar a técnica de controle H para rejeição de distúrbios com um objetivo adicional de otimização baseado no erro entre a função de transferência a malha-fechada e um modelo de referência, para garantir as especificações de resposta de rastreamento, estendendo resultados prévios obtidos em Rodrigues et al. (29) e Araújo et al. (21). O procedimento de síntese proposto requer a inclusão de uma variável adicional associada com a ação integral que garante erro de rastreamento nulo em regime estacionário mesmo na presença de distúrbios. Neste artigo é utilizado uma metodologia de síntese baseada em um procedimento iterativo de dois passos: 1) síntese baseada em um algoritmo de otimização não-linear diretamente no espaço de parâmetros do controlador considerando um conjunto finito de pontos do domínio de incerteza e 2) análise baseada em um algoritmo branchand-bound combinado com formulações LMI de análise. A motivação para adotar esta metodologia de solução é o fato de que este procedimento já foi aplicado com sucesso em outros problemas de controle robusto tais como síntese de controladores robustos por realimentação de estado (Gonçalves et al., 25), síntese de controladores robustos PID (Gonçalves et al., 28), síntese de filtros robustos (Gonçalves et al., 26) e redução de modelos (Gonçalves et al., 29). Este procedimento apresenta a desvantagem de uma maior complexidade, porém, uma vez implementado, ele apresenta várias vantagens com relação às formulações LMI de síntese, como obter soluções menos conservadoras, obter soluções onde as formulações LMI não conseguem solução, possibilidade de escolher a ordem e a estrutura do controlador e de acrescentar quaisquer tipos de restrições sobre o mesmo. Um exemplo ilustrativo é apresentado para demonstrar a eficácia do procedimento proposto para garantir tanto as especificações da resposta de rastreamento, por meio do modelo de referência, como à rejeição de distúrbios. Os resultados serão comparados com os obtidos utilizando formulações LMI (Rodrigues et al., 29; Araújo et al., 21). A notação utilizada nesse artigo é padrão. É utilizada a notação compacta para funções de transferência: A B G(s) = C(sI A) 1 B + D = C D 2 Formulação do Problema Considere o sistema linear, invariante, contínuo no tempo descrito por ẋ(t) = Ax(t) + B u u(t) + B w w(t) z(t) = C z x(t) + D zu u(t) + D zw w(t) y(t) = C y x(t) + D yw w(t) (1) sendo que x(t) R n é o vetor de estados, incluindo a integral do erro de rastreamento, v(t), u(t) R é o sinal de entrada (variável manipulada), w(t) R p é o vetor de entradas exógenas (sinal de referência, r(t) R, e distúrbios, d(t) R p 1 ), z(t) R m é o vetor de saídas controladas (incluindo necessariamente a variável c(t) R que é relacionada com à resposta de rastreamento) e y(t) R 2 é o vetor de saídas medidas, composto pela variável controlada, c(t), e a integral do erro de rastreamento, v(t) [r(t) c(t)dt, que são as duas entradas do controlador dinâmico. Para simplificar a notação, as matrizes do sistema na Eq. (1) podem ser reunidas na representação seguinte: S A B u B w C z D zu D zw C y D yw (2) que pode incluir parâmetros incertos pertencendo a um conjunto convexo compacto, ou politopo, definido pelos seus vértices: { } N P(α) S : S = α i S i ; α Ω (3) Ω { i=1 α : α i, } N α i = 1 i=1 (4) sendo S i, i = 1,...,N, os vértices do politopo e α = α 1... α N o vetor que parameteriza o politopo. A dependência das matrizes do sistema de α será omitida para simplificar a notação. Neste artigo será considerado o controlador dinâmico por realimentação de saída definido pelas seguintes matrizes: Ac B K(s) = c (5) C c D c Serão consideradas uma função e uma matriz de transferência a malha-fechada. A função de transferência relacionada com a resposta de rastreamento é representada por: Acr B T cr (s) cr (6) C cr D cr e a matriz de transferência relacionada com rejeição de distúrbios é representada por: Azd B T zd (s) zd (7) C zd D zd 463

3 As matrizes a malha-fechada, com f correspondendo aos subscritos cr ou zd, são dadas por: A + Bu D A f = c C y B u C c B c C y A c Bw + B B f = u D c D yw B c D yw (8) C f = C z + D zu D c C y D zu C c D f = [ D zw + D zu D c D yw O cálculo tanto da função de transferência T cr como da matriz de transferência T zd requer que sejam selecionadas as colunas apropriadas das matrizes B w, D zw e D yw associadas com o sinal de referência, r(t), e os sinais de distúrbios, d(t), respectivamente. Considere o modelo de referência que atende às especificações de resposta transitória de rastreamento: Am B T m (s) = m (9) C m D m A função de transferência do erro entre o modelo de referência e a função de transferência a malha-fechada T cr (s) pode ser representada por: E(s) = A m B m A cr B cr C m C cr D m D cr (1) O problema de síntese de controlador robusto multi-objetivo sendo tratado neste artigo pode ser estabelecido como sendo: dado um sistema linear invariante no tempo com modelo de incerteza politópico, P(α), α Ω, e um modelo de referência, T m (s), encontre o controlador dinâmico por realimentação de saída, K(s), que minimiza as normas H máximas do erro em relação ao modelo de referência e a função de transferência a malha-fechada, T cr (s), E(s) T m (s) T cr (s), no domínio politópico de incerteza: K = arg min K sujeito a: K F max α Ω E(s, α, K) max α Ω T zd(s, α, K) (11) sendo F o conjunto de controladores que resultam em sistemas a malha-fechada robustamente estáveis, com estruturas e restrições especificadas. O problema de otimização multi-objetivo pode ser transformado em um problema de otimização escalar através da soma ponderada das duas funções objetivos: K = arg min K [ λ 1 max α Ω E + λ 2 max α Ω T zd sujeito a: K F (12) sendo λ 1 e λ 2 pesos que podem ser variados para gerar diferentes soluções do problema multiobjetivo. 3 Procedimento de Síntese de Controladores Robustos O procedimento de síntese proposto é baseado em uma estratégia de otimização multi-objetivo, diretamente no espaço de parâmetros do controlador, resultando em uma formulação não convexa para o problema. A princípio seria necessário considerar os infinitos pontos do domínio de incerteza no problema de otimização. Para evitar essa dificuldade, é proposto um procedimento de otimização dividido em duas etapas, uma etapa de síntese e uma etapa de análise. Na etapa de síntese é utilizado um algoritmo de otimização não linear para resolver o problema multiobjetivo formulado em termos de um problema escalar considerando um conjunto finito de pontos do domínio de incerteza. Este conjunto finito é inicialmente o conjunto de vértices do politopo. Considerar apenas os vértices do politopo nem sempre é suficiente para garantir a redução das normas E e T zd e a estabilidade robusta do sistema a malha-fechada para todo o domínio de incerteza. Deste modo, é necessária uma segunda etapa de análise robusta do resultado obtido. Na etapa de análise, baseada em uma combinação de algoritmo branch-and-bound e formulações de análise LMI (Gonçalves et al., 27), caso seja localizado um sistema que seja instável ou caso seja verificado que o pior caso das normas não ocorre nos pontos considerados na etapa de síntese, então o ponto correspondente é acrescentado ao conjunto de pontos e nova rodada do procedimento é executada. O procedimento é finalizado quando é verificado que o sistema a malhafechada é robustamente estável e que, dentro de uma determinada precisão especificada, o ponto de pior caso foi considerado na etapa de síntese. As etapas de síntese e análise do procedimento proposto são descritas em detalhes em trabalhos anteriores que utilizaram o mesmo procedimento de projeto (Gonçalves et al., 25; Gonçalves et al., 26; Gonçalves et al., 28; Gonçalves et al., 29). 4 Exemplo Ilustrativo Considere o sistema de controle de nível de dois tanques interligados apresentado na Fig. 1. Será considerado um modelo linearizado em torno de um ponto de operação. As variáveis em letras maiúsculas correspondes aos valores do ponto de operação: Qu = Q 1 =,4m 3 /s, Qd =,1m 3 /s, Q 2 =,5m 3 /s, H1 = 2m e H 2 = 1m. As variáveis em letras minúsculas correspondem à variações em torno do ponto de operação. O vetor de variáveis de estado é definido como x(t) [h 1 (t) h 2 (t) v(t) T, sendo v(t) [r(t) h 2 (t)dt. A saída controlada é o nível do tanque 2, h 2 (t), a variável manipulada é a vazão de entrada no 464

4 tanque 1, u(t) = q u (t), e o distúrbio é a vazão de entrada no tanque 2, d(t) = q d (t). As equações dinâmicas deste sistema são apresentadas a seguir: d dt h 1 h 2 v k 1 k 1 A 1 A 1 = k 1 k 1 + k 2 h 1 h 2 A 2 A 2 v 1 1 A r q u + A 2 qd 1 z = [ 1 x 1 y = x 1 u u H 1+h 1(t) H +h (t) k 2 2 A 1 1 A2 1 d k 2 (13) Figura 1: Sistema de controle de nível de dois tanques interligados. As áreas transversais dos tanques são A 1 = 1m 2 e A 2 = 5m 2. Considere que k 1 e k 2 sejam parâmetros incertos que podem variar na faixa:,15 k 1,25 e,2 k 2,3. O sistema incerto é representado por um modelo politópico com quatro vértices correspondendo aos valores extremos dos dois parâmetros incertos. Os objetivos de projeto são: garantir que o nível do tanque 2 se iguale ao sinal de referência mesmo na presença do distúrbio; obter uma resposta transitória de rastreamento próxima ao de um modelo de referência e minimizar a influência de q d (t) sobre h 2 (t). É desejado que q u (t) varie dentro de uma faixa aceitável para o seguintes sinais de teste: r(t) =,1(t) e q d (t) =,1(t 2). Como modelo de referência é utilizado uma realização no espaço de estados balanceada de: ω 2 n T m (s) = s 2 + 2ζω n s + ωn 2, ζ =,9, ω n =,5 (14) Utilizando o procedimento de dois passos para resolver o problema BMI por meio de dois problemas LMI (Rodrigues et al., 29; Araújo d et al., 21), o melhor controlador obtido foi: K(s) = C c (si A c ) 1 B c = 6,56 11,51 3,12 28,2 2,26 3,52 5,18,36 163,68 1,27 3,94 9,4 6,34 138,28 1,29 3,62 15,93 21,27 = 4.534,458(s 2 +,1185s +,4769) (s +,679)(s 2 + 4,893s + 13,12) 39,5574(s +,1387)(s +,193) (s +,679)(s 2 + 4,893s + 13,12) E,426, T zd,195 Por questões de comparação, o procedimento proposto foi utilizado inicialmente para projetar um controlador com a mesma dimensão e estrutura de K(s) (18 parâmetros de otimização). Para λ 1 =,5 e λ 2 =,5 foi obtido o controlador a seguir que resulta em valores bem menores para as funções objetivos do que aqueles obtidos com a formulação BMI: K 1 (s) = C c (si A c ) 1 B c = 17,46 29,1 23,93 572,2 7,56 17,81 45,23 32,67 215, 11,1 69,81 45,11 33,35 31,18 1,63 168, 5,53 5,52 = ,1943(s + 92,29)(s +,95) (s + 45,81)(s ,3s + 148,7) 1.389,6767(s 2 + 3,594s + 15,85) (s + 45,81)(s ,3s + 148,7) E,16, T zd,515 Além de obter bons resultados, outra vantagem do procedimento proposto é a possibilidade de projetar controladores com qualquer estrutura e dimensão. Considerando um controlador com a mesma dimensão de K 1 (s) mas modificando a sua estrutura, com base em uma forma canônica, tal que o mesmo possua funções de transferência independentes para cada entrada, sendo uma de segunda ordem e outra de primeira ordem (6 parâmetros de otimização), foi escolhido o seguinte controlador, obtido com λ 1 =,8 e λ 2 =,2, que novamente resulta em melhores resultados comparado com K(s): K 2 (s) = C c (si A c ) 1 B c = 6,917 24, , ,9 483,7 = [ 13.84,7828(s +,9261) s 2 + 6,92s + 24,51 E,56, T zd, ,7423 s + 333,3 T T 465

5 Com objetivo adicional de obter o controlador mais simples possível que atende as especificações desejadas, foi considerado um controlador com funções de transferência independentes para cada entrada, sendo uma de primeira ordem e outra apenas um ganho (4 parâmetros de otimização). Foi escolhido o seguinte controlador obtido com λ 1 =,4 e λ 2 =,6: K 3 (s) = [ 2, , ,5 1,4245 [ 1.558,4892(s +,9166) = s + 2,786 1,4245 E,42, T zd,1316 As respostas em freqüência de T m (s) e de T cr (s), para K 3 (s) são apresentadas na Fig. 2. Observa-se que dentro da faixa de passagem, as respostas obtidas estão bastante próximas da desejada. Este controlador apresenta uma excelente rejeição ao distúrbio, por meio de uma variação de q u (t) na faixa de,7 q u (t),72, reproduzindo a resposta de rastreamento perfeitamente, como pode ser visto nas Figs. 3 e 4. h 2 (m) Tempo (s) Figura 3: Respostas transitórias de h 2 (t) do modelo (tracejado) e dos 4 vértices (sólida) para o controlador K Diagrama de Bode q u (m 3 /s) Ganho (db) Tempo (s) 45 Fase (graus) Frequencia (rad/s) Figura 2: Respostas em frequência do modelo (tracejado) e dos 4 vértices (sólida) para o controlador K 3. Pode parecer a princípio que o algoritmo proposto requer maior tempo computacional do que o procedimento com dois passos baseados em LMI. Porém, o tempo computacional do algoritmo proposto dependente do número de variáveis de otimização e da necessidade ou não de mais de uma iteração, o que não foi o caso para este exemplo. O controlador K foi obtido após 259s de processamento ao passo que os controladores K 1, K 2 e K 3 foram obtidos após 2.87s, 61s e 45s respectivamente. Figura 4: Respostas transitórias de q u (t) dos 4 vértices para o controlador K 3. 5 Conclusões Foi apresentada uma estratégia de síntese de controladores robustos por realimentação dinâmica de saída para garantir o desempenho da resposta de rastreamento e a rejeição de distúrbios baseada em otimização multi-objetivo. Para garantir o desempenho da resposta de rastreamento é proposto utilizar uma função objetivo igual ao erro entre um modelo de referência e a função de transferência a malha-fechada entre o sinal de referência e a variável controlada. Existem diferentes possibilidades para resolver o problema de otimização no caso de sistemas com incerteza politópica. Neste artigo é utilizado um procedimento iterativo de projeto que consiste em um passo de síntese, considerando um conjunto finito de pontos do espaço de incerteza, e um passo de análise robusta, considerando todo o politopo, que define a 466

6 necessidade de se acrescentar ou não novos pontos no conjunto considerado no passo de síntese. Este procedimento já foi utilizado em outros problemas de controle robusto sempre com resultados bastante satisfatórios. Uma das principais vantagens do procedimento proposto, baseado em otimização direta no espaço de parâmetros do controlador, é a possibilidade de definir qualquer dimensão e estrutura para o controlador. A proposta de utilizar modelo de referência para garantir o desempenho da resposta de rastreamento poderá ser aplicada em pesquisas futuras para síntese de controladores robustos de sistemas com retardo no tempo ou sistemas não-lineares. Agradecimentos Os autores agradecem os apoios das agências CAPES, CNPq e FAPEMIG. Referências Apkarian, P., Tuan, H. D. and Bernussou, J. (21). Continuous-time analysis, eigenstructure assignment and H 2 synthesis with enhanced LMI characterizations, IEEE Transactions on Automatic Control 46(12): Araújo, M. R., Gonçalves, E. N., Leite, V. J. S. and Palhares, R. M. (21). Síntese de controladores robustos por realimentação dinâmica de saída considerando modelo de referência baseada em formulações LMI, XVIII Congresso Brasileiro de Automática, SBA, Bonito, MS, Brasil. de Oliveira, M. C., Geromel, J. C. and Bernussou, J. (2). Design of dynamic output feedback decentralized controllers via a separation procedure, International Journal of Control 73(5): de Oliveira, M. C., Geromel, J. C. and Bernussou, J. (22). Extended H 2 and H norm characterizations and controller parametrizations for discrete-time systems, International Journal of Control 75(9): Ebihara, Y. and Hagiwara, T. (24). New dilated LMI characterizations for continuoustime multiobjective controller synthesis, Automatica 4: Gahinet, P., Nemirovski, A., Laub, A. J. and Chilali, M. (1995). LMI Control Toolbox: For Use with MATLAB R, The MATH WORKS Inc., Natick. Gonçalves, E. N., Palhares, R. M., Takahashi, R. H. C. and Chasin, A. N. V. (29). Robust model reduction of uncertain systems maintaining uncertainty structure, International Journal of Control 82(11): Gonçalves, E. N., Palhares, R. M. and Takahashi, R. H. C. (25). Improved optimisation approach to robust H 2 /H control problem for linear systems, IEE Proceedings Control Theory & Applications 152(2): Gonçalves, E. N., Palhares, R. M. and Takahashi, R. H. C. (26). H 2 /H filter design for systems with polytope-bounded uncertainty, IEEE Transactions on Signal Processing 54(9): Gonçalves, E. N., Palhares, R. M. and Takahashi, R. H. C. (28). A novel approach for H 2 /H robust PID synthesis for uncertain systems, Journal of Process Control 18(1): Gonçalves, E. N., Palhares, R. M., Takahashi, R. H. C. and Mesquita, R. C. (27). H 2 and H 2 ε-guaranteed cost computation of uncertain linear systems, IET Control Theory and Applications 1(1): Grigoriadis, K. M. and Skelton, R. S. (1996). Loworder control design for LMI problems using alternating projection methods, Automatica 32(8): Iwasaki, T. (1999). The dual iteration for fixed-order control, IEEE Transactions on Automatic Control 44(4): Masubuchi, I., Ohara, A. and Suda, N. (1998). LMI-based controller synthesis: an unified formulation and solution, International Journal of Robust and Nonlinear Control 8: Rodrigues, L. A., Gonçalves, E. N., Leite, V. J. S. and Palhares, R. M. (29). Robust reference model control with LMI formulation, Proceedings of the IASTED International Conference Control and Applications, IASTED, Cambridge, UK, pp Scherer, C., Gahinet, P. and Chilali, M. (1997). Multiobjective output-feedback control via LMI optimization, IEEE Transactions on Automatic Control 42(7): Scherer, C. W. (1995). From single-channel LMI analysis to multi-channel mixed LMI synthesis: a general procedure, Selected Topics on Identification, Modelling and Control 8: 1 8. Shimomura, T. and Fujii, T. (2). Multiobjective control design via sucessive overbounding of quadratic terms, Proceedings of the 39th Conference on Decision and Control pp