ANÁLISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO

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1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Eduardo N. Goncalves, Reinaldo M. Palhares, Ricardo H. C. Takahashi, Renato C. Mesquita Departamento de Engenharia Elétrica Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Av. Amazonas 7675, , Belo Horizonte - MG - Brasil Departamento de Engenharia Eletrônica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos , Belo Horizonte - MG - Brasil Departamento de Matemática Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos , Belo Horizonte - MG - Brasil Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos , Belo Horizonte - MG - Brasil s: eduardong@des.cefetmg.br, palhares@cpdee.ufmg.br, rtakahashi@ufmg.br, renato@cpdee.ufmg.br Abstract In this paper, a new robust stability analysis approach is developed for uncertain discrete-time linear time-invariant systems with polytopic or affine parameter-dependent uncertainty models. The proposed approach is based on a combination of a polytope partition technique with linear matrix inequality (LMI) based analysis formulations. Two sufficient conditions are considered, one to prove that the uncertain system is robustly stable and another one to prove the contrary. If both sufficient conditions fail to the polytope, then it is iteratively subdivided into subpolytopes until one proves to be unstable or all are verified to be robustly stable. The polytope partition is implemented by means of a specially developed simplex subdivision algorithm. Exhaustive numerical tests demonstrate the efficiency of the proposed approach when compared with most recent LMI-based formulations. Keywords robust stability analysis, polytopic model, simplex subdivision. Resumo Neste artigo, um novo método de análise de estabilidade robusta é desenvolvido para sistemas incertos a tempo discreto, lineares e invariantes no tempo, representados por modelos de incerteza politópicos ou com dependência afim de parâmetros. O método proposto é baseado na combinação de uma técnica de partição de politopo e formulações de análise baseadas em desigualdade matricial linear (LMI). Duas condições suficientes são consideradas, uma para provar que o sistema incerto é robustamente estável e outra para provar o contrário. Se ambas as condições suficientes falham para o politopo, então o mesmo é iterativamente subdividido em subpolitopos até que seja encontrado um não estável ou que seja verificado que todos são robustamente estáveis. A partição do politopo é implementada por meio de um algoritmo de subdivisão de simplex desenvolvido especialmente para esta aplicação. Testes numéricos exaustivos demonstram a eficiência do método proposto em comparação com formulações baseadas em LMIs recentes. Palavras-chave análise de estabilidade robusta, modelo politópico, subdivisão de simplex. Introdução e Motivação Este artigo trata da análise de estabilidade robusta para sistemas incertos a tempo discreto, lineares e invariantes no tempo, representados por: x(k + ) = Ax(k), A P () sendo que a matriz A R n n não é precisamente conhecida porém pertence a um conjunto poliédrico convexo compacto P. O sistema () é robustamente estável se para toda A P, A é estável, ou seja, ρ(a) <, sendo ρ( ) o raio espectral do argumento. No caso de sistemas incertos com modelos politópicos, A pertence a um politopo no espaço de matrizes definido como o conjunto de todas as matrizes que resultam da combinação convexa de seus N vértices A,...,A N : P A(θ) : A(θ) = N θ i A i, θ Ω M (2) sendo θ = [θ...θ N ] T o vetor de coordenadas do politopo e N Ω M θ R N : θ i 0, i, θ i = (3) No caso de sistemas incertos com modelos com dependência afim de parâmetros, o conjunto incerto é dado por d P A(p) : A(p) = A 0 + p i A i, p Ω p (4) 02 of 07

2 sendo p = [p...p d ] T o vetor de parâmetros incertos. No caso em que os parâmetros incertos variam entre valores limites, i.e. p i [p i,p i ], sendo p i e p i os valores mínimo e máximo do i-ésimo parâmetro incerto, respectivamente, o vetor p pertence a um hiper-retângulo no espaço d-dimensional: Ω p [p,p ] [p 2,p 2 ]... [p d,p d ] (5) O domínio Ω p também pode ser um politopo de formato qualquer se existirem restrições lineares adicionais sobre os parâmetros, como, por exemplo, no estudo de falhas de sensores e atuadores ou em aproximações de incertezas limitadas em norma por incertezas politópicas. Um sistema é considerado robustamente estável se toda A P é estável. A verificação da estabilidade robusta é difícil porque lida com um número infinito de sistemas no domínio de incerteza. O uso da teoria de Lyapunov para formular o problema de análise de estabilidade robusta em termos de um problema de factibilidade convexo com restrições na forma de desigualdades matriciais lineares (LMIs) transforma o problema de análise de um número infinito de sistemas em um que considera apenas os vértices do politopo P. Tais problemas descritos por LMIs podem ser facilmente resolvidos por algum LMI-solver disponível. A condição de estabilidade quadrática, baseada em uma função de Lyapunov comum para todo o domínio de incerteza, é a formulação mais simples existente. Pela definição de estabilidade quadrática, se existir uma função de Lyapunov comum para todos os vértices com P = P T 0 tal que A T i PA i P 0, i =,...,N (6) então o sistema incerto () é quadraticamente estável. A condição de estabilidade quadrática, que garante a estabilidade de sistemas variantes no tempo, engloba a condição de estabilidade robusta mas, na maioria das vezes, é bastante conservadora para o caso de sistemas invariantes no tempo. Para reduzir o conservadorismo, pode-se utilizar funções de Lyapunov dependente de parâmetros e a introdução de variáveis extras (de Oliveira, Bernussou and Geromel, 999; de Oliveira, Geromel and Hsu, 999; de Oliveira and Skelton, 2002; Ramos and Peres, 200; Leite and Peres, 2003; Gao and Xue, 2004; Kau et al., 2005; Oliveira and Peres, 2005). Uma das possibilidades de formulação de análise baseada em função de Lyapunov dependente de parâmetros é o Teorema apresentado em de Oliveira, Geromel and Hsu (999) ou o Teorema 4 apresentado em Peaucelle et al. (2000). Estes teoremas estabelecem que: se existe P i = Pi T 0, i =,...,N, G e F tal que [ ] Pi + (A T i F T + FA i) F + A T i G F + G T A i P i (G + G T 0, ) i =,..., N (7) então o sistema incerto () é robustamente estável. As formulações LMIs mais recentes buscam a redução do conservadorismo ao custo de formulações mais complexas com maior número de variáveis de decisão e/ou restrições, requerendo cada vez maior esforço computacional. Recentemente foi apresentado em Oliveira and Peres (2006) uma formulação LMI baseada em função de Lyapunov dependente de parâmetros polinomial onde o conservadorismo pode ser reduzido pelo aumento do grau do polinômio com correspondente aumento do esforço computacional. Entretanto, as formulações LMIs de análise de estabilidade robusta são apenas condições suficientes. Deste modo, quando não é encontrado uma solução para o problema de factbilidade, nada pode ser afirmado a respeito da estabilidade do sistema. Como verificado em Kau et al. (2005), a eficiência da formulação LMI de análise diminui com o aumento do número de vértices do politopo e da ordem do sistema. Neste artigo é apresentado um novo método de análise que permite determinar se um sistema linear invariante no tempo é robustamente estável ou não. Para obter este resultado, o método de análise proposto é baseado em um procedimento que combina formulações LMI de análise, obtidas da Teoria de Lyapunov, e uma técnica de subdivisão de politopos. A filosofia adotada neste caso é a de dividir para conquistar. O procedimento proposto subdivide o politopo iterativamente até que todos os sub-politopos obtidos atendam à condição suficiente de estabilidade robusta ou seja encontrado um sistema pertencente ao politopo que não é estável. A estratégia de dividir o politopo até que possa ser afirmado se um sistema incerto é instável ou robustamente estável não é nova, tendo sido utilizada por DeMarco et al. (990) para o caso de um politopo de matrizes na forma de hiper-retângulo, sendo mais restrita que o novo método proposto. A contribuição deste trabalho é apresentar uma implementação completamente diferente da apresentada no início dos anos 90, considerando formulações de análise baseadas em LMI desenvolvidas recentemente e a nova técnica de divisão de politopos apresentada na seção 3. 2 Novo Método de Análise de Estabilidade Robusta Seja LMI(P) a função que implementa o problema de factibilidade com restrições LMIs que caracteriza a estabilidade robusta, onde o politopo P é representado por seu conjunto de vértices A,...,A N. Dado um problema de factibilidade na forma L(x) 0, onde x é o vetor de variáveis de decisão, LMI(P) soluciona o problema convexo auxiliar: minimize t sujeito a L(x) ti. Esta função retorna o escalar t min obtido pelo problema de minimização. O problema é factível se e somente se t min 0. No procedimento de análise de estabilidade 03 of 07

3 robusta de sistema lineares invariantes no tempo discretos, apresentado a seguir, α será utilizado para representar θ ou p, d é a dimensão do espaço de incerteza (igual a N para modelo politópicos), o conjunto L contém os simplexos cuja condição suficiente de estabilidade robusta não é atendida (problema de factibilidade não possui solução) e α u, se não for vazio, contém a coordenada do primeiro sistema instável encontrado. Procedimento de Análise de Estabilidade Robusta: Passo. Inicialize L, α u. Passo 2. Compute t min = LMI(P). Se t min 0, então vá para o passo 9. Passo 3. Verifique se todos os vértices de P, A(α k ), k =,..., N, são estáveis. Se ρ(a(α k )) então faça α u α k e vá para o passo 9. Passo 4. Se P é um simplex, então faça L P, senão aplique a triangularização de Delaunay para decompor P em um conjunto de simplexos S = S,..., S r e vá para o passo 8. Passo 5. Encontre o simplex S m L com maior valor de t min. Passo 6. Gere os novos vértices A(α j) sobre as arestas de S m requeridos pela técnica de subdivisão orientada pelas arestas. Se ρ(a(α j)), j =,..., d(d + )/2, então faça α u α j e vá para o passo 9. Passo 7. Particione S m no conjunto de simplexos S = S,..., S r, r = 2 d, usando a técnica de divisão orientada pelas arestas e exclua S m de L. Passo 8. Para todo S i S, se t min = LMI(S i) > 0, então L L S i. Passo 9. Se L e α u =, então vá para o passo 5, senão finalize. Ao fim do procedimento de análise proposto, se L e α u são vazios, então o sistema incerto é robustamente estável, senão α u contém a coordenada do primeiro caso encontrado de sistema instável no politopo P. Observe que este procedimento pode ser facilmente modificado para tratar de estabilidade robusta em qualquer região convexa do plano complexo, bastando adequar a função LMI(P) e o teste do dos pólos nos vértices de cada politopo. 3 Técnica de Partição de Politopos O principal desafio da implementação do algoritmo de análise proposto é adotar uma técnica de divisão de politopos que permita estender a aplicação do método para modelos com dependência afim de parâmetros bem como para modelos politópicos. Nestes casos existem três possibilidade de domínio incerto, Ω. No caso de politopos de matrizes, com θ Ω M, é mais interessante trabalhar no espaço de dimensão d = N, definindo α [θ...θ N ] T Ω com Ω α : θ i 0, i, N θ i (8) O domínio Ω em (8) corresponde a um d- simplex, que é o politopo mais simples no espaço d-dimensional (triângulos no espaço bidimensional e tetraedros no espaço tridimensional). No caso de modelos com dependência afim de parâmetros, p Ω p, como discutido anteriormente, Ω p pode ser um hiper-retângulo, quando os parâmetros incertos variam em faixas, ou um politopo qualquer se existirem restrições lineares adicionais. Considerando que o simplex é o politopo com o menor número de vértices, que o domínio de incerteza de modelos politópicos pode ser representado por um simplex e que qualquer politopo pode ser decomposto exatamente em um conjunto de simplexos, é adotada a partição do politopo em uma malha simplicial como em (Gonçalves, Bastos, Palhares, Takahashi, Mesquita, Campos and Ekel, 2005). No caso específico de modelos com dependência afim de parâmetros, a triangularização de Delaunay é adotada para decompor o politopo em um conjunto de simplexos. A triangularização de Delaunay busca maximizar o menor ângulo entre arestas reduzindo a possibilidade de gerar simplexos degenerados. Uma vez que o domínio é composto apenas por simplexos, as divisões posteriores são realizadas por uma divisão de simplex orientada pelas arestas que divide um simplex em 2 d simplexos pela inclusão de um novo vértice no meio de cada aresta do simplex original. Para dimensões 2 e 3, tal divisão pode ser criada visualmente, porém, para dimensões superiores não foi encontrado um algoritmo pronto para ser implementado. O algoritmo para implementação da divisão de simplex orientada pelas arestas para qualquer dimensão foi desenvolvido pelos autores deste artigo sendo apresentado em detalhes em Gonçalves et al. (2006). Com este algoritmo é possível trabalhar com malhas simpliciais em qualquer dimensão. Assim é possível aplicar algoritmos tipo branch-and-bound para problemas não limitados ao caso em que o domínio é um hiperretângulo. Com esta estratégia de partição, a cada iteração, são necessárias a verificação da condição suficiente LMI de estabilidade robusta para 2 d politopos com d+ vértices e a verificação dos n autovalores de d(d + )/2 sistemas correspondentes aos novos vértices. 4 Exemplos Ilustrativos Os resultados apresentados nos exemplos a seguir foram computados através do software MATLAB R em um computador com processador de 2.8Ghz e Gb de memória RAM. Exemplo Para avaliar a eficiência do procedimento de análise proposto é considerado neste exemplo uma comparação numérica exaustiva com formulações de análise baseadas em LMI. Para cada par (n,n), 04 of 07

4 Tabela : Taxa de sucesso (%) para identificação de SRE (Exemplo ) n, N QS do PE RA LE GA KA OL OL2 OL3 BB 3, , , , , , , , , Tabela 2: Tempo computacional médio (seg) requerido (Exemplo ) n, N QS do PE RA LE GA KA OL OL2 OL3 BB 3,2 0,02 0,02 0,03 0,03 0,09 0,09 0,06 0,0 0,07 0,09 0,04 3,3 0,03 0,04 0,06 0,09 0,3 0,23 0,37,5 0,3 0,42 0,09 3,4 0,04 0,07 0,0 0,20 0,88 0,53 2,33 4,3,3,92 0,27 4,2 0,03 0,05 0,06 0,05 0,9 0,24 0,6 0,2 0, 0,22 0,07 4,3 0,04 0,09 0,5 0,3 0,9 0,8,72 4,50 0,83,82 0,29 4,4 0,05 0,4 0,27 0,33 3,34,93 4,6 42,3 3,99 0,8 0,86 5,2 0,04 0, 0,8 0,07 0,65 0,8 0,58 0,59 0,3 0,86 0,25 5,3 0,06 0,9 0,4 0,20 3,8 2,50 7,97 2, 2,40 9,35 0,92 5,4 0,07 0,28 0,6 0,49 0,9 5,26 63,6 94,6,4 59,3 2,47 com n 3, 4, 5 e N 2, 3, 4, 250 sistemas politópicos robustamente estáveis foram gerados segundo o procedimento: (i) os N vértices do politopo são obtidos por matrizes A i R n n e B i R n n, i =,...,N, cujos elementos são números reais distribuídos uniformemente no intervalo [, ], com max i ρ(a i ),25; (ii) usando o procedimento de projeto, apresentado em Gonçalves, Palhares and Takahashi (2005), é calculado o controlador por realimentação de estado que estabiliza robustamente o sistema incerto. Os sistemas robustamente estáveis (SRE) em malha-fechada são analisados por formulações baseadas em LMIs e pelo procedimento de projeto proposto implementado com a condição suficiente apresentada em de Oliveira, Geromel and Hsu (999) ou Peaucelle et al. (2000). As taxas percentuais de sucesso para identificar a estabilidade robusta e os tempos computacionais médios requeridos por cada método são apresentados nas Tabelas e 2 respectivamente. Nestas tabelas, as formulações LMI são representadas por: (QS) estabilidade quadrática, (do) Teorema 2 apresentado em de Oliveira, Bernussou and Geromel (999), (PE) Teorema apresentado em de Oliveira, Geromel and Hsu (999) ou Teorema 4 apresentado em Peaucelle et al. (2000), (RA) Lema apresentado em Ramos and Peres (200), (LE) Teorema apresentado em Leite and Peres (2003), (GA) Teorema 4 apresentado em Gao and Xue (2004), (KA) Teorema apresentado em Kau et al. (2005), (OL) Teorema 4 apresentado em Oliveira and Peres (2005) com grau g = 3, (OL2) Teorema 3 apresentado em Oliveira and Peres (2006) com grau g = 3, (OL3) Teorema 4 apresentado em Oliveira and Peres (2006) com grau g = 2. O método de análise proposto é representado por (BB). Baseado na Tabela, é verificado que o número de sistemas politópicos robustamente estáveis identificados pelas formulações baseadas em LMIs decresce com a ordem do sistema ou com o número de vértices do politopo. O método de análise proposto é o mais confiável uma vez que ele é o único que identifica todos os sistemas robustamente estáveis. O segundo aspecto que deve ser considerado na análise dos métodos é o tempo computacional requerido. É verificado que as seis últimas formulações LMIs mais complexas e menos conservadoras necessitam de maior tempo computacional do que o método de análise proposto em todas as situações analisadas. Estes resultados indicam que a estratégia proposta de divisão do espaço de incerteza combinada com condições suficientes mais simples é, a princípio, uma melhor opção que o desenvolvimento de condições suficientes baseadas em LMIs mais complexas. As primeiras quatro formulações baseadas em LMIs são mais rápidas mas apresentam taxas de sucesso muito baixas para sistemas politópicos de ordem alta ou com número elevado de vértices. Considerando o compromisso entre taxa de sucesso e tempo computacional, a formulação apresentada em de Oliveira, Geromel and Hsu (999) ou Peaucelle et al. (2000) parece ser a melhor escolha para ser utilizada no procedimento de análise proposto (BB). Além da taxa de sucesso de 00% verificada 05 of 07

5 com os sistemas testados, a segunda vantagem do método de análise proposto é a capacidade de encontrar a coordenada de um sistema instável no politopo para provar que o sistema incerto não é robustamente estável. O procedimento de análise proposto não identificou apenas os sistemas politópicos robustamente estáveis, mas também os 4.42 não robustamente estáveis gerados nas iterações intermediárias do procedimento de projeto apresentado em Gonçalves, Palhares and Takahashi (2005) sem nenhuma falha sequer. Exemplo 2 Este exemplo considera um método de gerar sistemas aleatórios similar ao desenvolvido em Leite and Peres (2003) mas adotando uma grade não muito fina (α i variando de 0,) e garantindo a existência de pelo menos um sistema com ρ(a) = 0,999. Para cada par (n,n), com n [3, 5] e N [2, 5], são gerados sistemas politópicos até atingir o valor de 250 sistemas robustamente estáveis. O procedimento proposto identificou a condição de estabilidade robusta (sim ou não) de todos os sistemas aleatórios obtidos sem nenhuma exceção com número de subdivisões e tempo computacional bastante satisfatórios, conforme resultados apresentados na Tabela 3. Nesta tabela, para cada par (n,n), T re e T ne representam o número total de sistemas identificados como robustamente estáveis (SRE) ou não (SNRE), respectivamente, T a é o tempo computacional médio em segundos, S a e S m representam o número médio e máximo de subdivisões, respectivamente. O sucesso na localização de um sistema instável dentro dos infinitos sistemas pertencentes ao politopo é devido à redução da região de busca pela eliminação dos simplexos identificados como robustamente estáveis durante o processo de refinamento da malha. Este comportamento é apresentado na Fig. onde os números no centro dos triângulos indicam em qual iteração eles foram eliminados da região de busca. Para este caso, o sistema, com (n,n) = (3,3), é identificado como não robustamente estável após 6 subdivisões. Observe que após 4 subdivisões, o espaço de busca é reduzido para /256 da área original. Exemplo 3 Neste exemplo é considerado um sistema com dependência afim de parâmetros modelado pelas matrizes: A = B = p p 2 p 3 p p , C = [ Este sistema possui cinco parâmetros incertos variando entre os seguintes limites: p [0,7755,,0493], p 2 [0,849,,025], ] Tabela 3: Desempenho do procedimento proposto (Exemplo 2) SRE (T re = 250) SNRE n, N T a S a S m T ne T a S a S m 3,2 0,05 0, ,40 3,9 6 3,3 0,7 0, ,9 4,0 6 3,4 0,45 0,7 3 04,57 3,5 8 4,5,9 0, ,27 3,4 8 4,2 0,08 0, 2 5 0,69 3,5 5 4,3 0,30 0,4 3 42,45 3,7 8 4,4 0,89 0, ,63 3,5 7 4,5,99 0, ,46 3,5 8 5,2 0,4 0, 20,59 4,0 6 5,3 0,55 0, ,74 3,7 7 5,4,49 0, ,33 3,7 6 5,5 3,86, ,3 3,4 7 α α Figura : Partição de um domínio de incerteza 2-d para localizar um sistema instável. p 3 [0,6207, 0,8397], p 4 [0,8044,,0884], e p 5 [0,2056, 0,2782]. O domínio de incerteza é um hiper-retângulo de 32 vértices no espaço de 5 a dimensão. Com o procedimento de projeto apresentado em Gonçalves et al. (2005) é projetado o seguinte controlador estático por realimentação de saída para estabilizar o sistema: K = [,5229 0,2722]. O método de análise proposto identifica a estabilidade robusta após uma iteração e 97,672seg de tempo de processamento. As formulações baseadas em estabilidade quadrática e no teorema 2 apresentado em de Oliveira, Bernussou and Geromel (999) não são capazes de identificar a estabilidade robusta deste sistema. As formulações apresentadas em Ramos and Peres (200) e Gao and Xue (2004) requerem 548seg e.352seg, respectivamente, para identificar a estabilidade robusta deste sistema. Para o computador com a configuração citada, ambas as formulações apresentadas em Leite and Peres (2003) e Kau et al. (2005) resultaram em um erro de falta de memória na execução do programa LMI solver. Nas estratégias que lidam com a divisão de hiper-retângulos, os politopos possuem 32 verti- 06 of 07

6 ces no espaço de 5 a dimensão, ao passo que, pela técnica de divisão de politopo proposta, após a decomposição do hiper-retângulo em simplexos pela triangularização de Delaunay, os simplexos possuem apenas 6 vértices, contribuindo para eficiência do procedimento proposto. 5 Conclusões Neste artigo é apresentado um método para estabelecer se um sistema incerto, a tempo discreto, linear e invariante no tempo, representado por modelo politópico ou por dependência afim de parâmetros, é robustamente estável ou não. Devido ao conservadorismo das formulações LMIs de análise, quando não é obtido uma solução para o problema de factibilidade, não é possível afirmar que o sistema não é robustamente estável. O método proposto particiona o politopo de forma iterativa até que todos os sub-politopos atendam à condição suficiente de estabilidade robusta ou até que seja encontrada uma coordenada do politopo que corresponda a um sistema instável. Foi demonstrado pelo exemplo que o método de análise proposto, implementado com formulações LMIs mais simples, pode requerer menos tempo computacional que formulações LMIs mais complexas (maior número de variáveis de decisão e de restrições). Isto se deve principalmente a estratégia de partição de politopo adotada onde os elementos da malha são simplexos com o menor número de vértices possíveis para um politopo em determinada dimensão. Os resultado obtidos demonstram que o procedimento proposto se aproxima de uma condição necessária e suficiente de estabilidade robusta. O método de análise apresentado pode ser estendido diretamente para análise de estabilidade-d onde é necessário verificar se os pólos de A P estão robustamente localizado em uma região convexa D simétrica em relação ao eixo real do plano complexo. 6 Agradecimentos Os autores agradecem o apoio das agências CAPES, CNPq e FAPEMIG. Referências de Oliveira, M. C., Bernussou, J. and Geromel, J. C. (999). A new discrete-time robust stability condition, System & Control Letters 37(4): de Oliveira, M. C., Geromel, J. C. and Hsu, L. (999). LMI characterization of structural and robust stability: the discrete-time case, Linear Algebra and its Applications 296: de Oliveira, M. C. and Skelton, R. E. (2002). On stability tests for linear systems, Proceedings of the 5th Triennial World Congress, IFAC, Barcelona, Spain. DeMarco, C., Balakrishnan, V. and Boyd, S. (990). A branch and bound methodology for matrix polytope stability problems arising in power systems, Proc. IEEE Conf. on Decision and Control, Honolulu, Hawaii, pp Gao, L. and Xue, A. (2004). On LMI robust D- stability condition for real convex polytopic uncertainty, Proceedings of the 5 th World Congress on Intelligent Control and Automation, IEEE, P. R. China, pp Gonçalves, E. N., Palhares, R. M. and Takahashi, R. H. C. (2005). Robust H 2/H dynamic output-feedback control synthesis for systems with polytope-bounded uncertainty, in P. Horacek, M. Simandl and P. Zitek (eds), Preprints of the 6th IFAC World Congress, IFAC, Prague, Czech Republic. Gonçalves, E. N., Bastos, S. B., Palhares, R. M., Takahashi, R. H. C., Mesquita, R. C., Campos, C. D. and Ekel, P. Y. (2005). H guaranteed cost computation for uncertain time-delay systems, Proceedings of the Joint 44th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference, IEEE, Seville, Spain, pp Gonçalves, E. N., Palhares, R. M. and Takahashi, R. H. C. (2005). Improved optimisation approach to robust H 2/H control problem for linear systems, IEE Proceedings Control Theory & Applications 52(2): Gonçalves, E. N., Palhares, R. M., Takahashi, R. H. C. and Mesquita, R. C. (2006). Algorithm 8xx: SimpleS: An extension of Freudenthal s simplex subdivision, ACM Transactions on Mathematical Software. To appear. Kau, S.-W., Liu, Y.-S., Hong, L., Lee, C.-H., Fang, C.-H. and Lee, L. (2005). A new LMI condition for robust stability of discrete-time uncertain systems, Systems & Control Letters 54: Leite, V. J. S. and Peres, P. L. D. (2003). An improved LMI condition for robust D-stability of uncertain polytopic systems, IEEE Transactions on Automatic Control 48(3): Oliveira, R. C. L. F. and Peres, P. L. D. (2005). Stability of polytopes of matrices via affine parameterdependent lyapunov functions: Asymptotically exact LMI conditions, Linear Algebra and its Applications 405: Oliveira, R. C. L. F. and Peres, P. L. D. (2006). LMI conditions for robust stability analysis based on polynomially parameter-dependent lyapunov functions, Systems & Control Letters 55(): Peaucelle, D., Arzelier, D., Bachelier, O. and Bernussou, J. (2000). A new robust D-stability condition for real convex polytopic uncertainty, Systems & Control Letters 40: Ramos, D. C. W. and Peres,. L. D. (200). A less conservative LMI condition for the robust stability of discrete-time uncertain systems, Systems & Control Letters 43: of 07