Departamento de Engenharia Eletrônica. Universidade Federal de Minas Gerais

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1 CÁLCULO EXATO DOS CUSTOS H 2 E H ARA SISTEMAS COM INCERTEZAS OLITÓICAS Eduardo N. Goncalves, Reinaldo M. alhares, Ricardo H. C. Takahashi, Renato C. Mesquita Departamento de Engenharia Elétrica Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Av. Amazonas 7675, 35-47, Belo Horizonte - MG - Brasil Departamento de Engenharia Eletrônica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos , Belo Horizonte - MG - Brasil Departamento de Matemática Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos , Belo Horizonte - MG - Brasil Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos , Belo Horizonte - MG - Brasil s: eduardong@des.cefetmg.br, palhares@cpdee.ufmg.br, rtakahashi@ufmg.br, renato@cpdee.ufmg.br Abstract This paper presents an approach for H 2 and H cost computation for systems with polytopic uncertainties based on a branch-and-bound algorithm. The lower bound function is defined as the worst case H 2 or H norm calculated in the polytope vertices. The upper bound function is defined as the guaranteed cost computed with a Linear Matrix Inequality (LMI) characterization. The difference between the upper and lower functions converges to zero as the initial polytope is split in smaller polytopes resulting in the exact H 2 or H cost for the whole initial polytope. Its is also presented an algorithm to implement d dimensional simplex subdivision to be used in the branch-and-bound algorithm. Keywords H 2 and H costs, polytopic model, branch-and-bound algorithm, simplex subdivision. Resumo Este artigo apresenta um método de cálculo dos custos H 2 e H para sistemas com incertezas politópicas baseado em um algoritmo branch-and-bound. A função limite inferior é definida como o pior caso das normas H 2 e H calculadas nos vértices do politopo. A função limite superior é definida como o custo garantido calculado a partir de formulações baseadas em desigualdades lineares matriciais (LMI). A diferença entre as funções limites inferior e superior converge para zero a medida que o politopo inicial é subdivido em politopos menores resultando no custo exato H 2 ou H para todo politopo inicial. Também é apresentado um algoritmo para implementar subdivisão de simplex d dimensional que será usado no algoritmo branch-and-bound. Keywords custos H 2 e H, modelo politópico, algoritmo branch-and-bound, subdivisão de simplex. Introdução e Motivação Existem vários métodos disponíveis para o cálculo das normas H 2 e H no caso de sistemas precisamente conhecidos. Entretanto, dado um modelo de sistema com parâmetros incertos, não existe atualmente nenhum método de determinar o valor exato do melhor limitante para a norma no conjunto incerto. Existem estratégias de cálculo dos custos garantidos H 2 e H baseados em formulações por desigualdades matriciais lineares (LMIs), mas os valores obtidos com estas estratégias são apenas um limite superior dos custos exatos. Este trabalho tem como objetivo apresentar uma técnica de cálculo menos conservadora dos custos H 2 e H que possa ser usada como ferramenta de análise de desempenho de sistemas dinâmicos incertos representados por modelos de incertezas politópicas: { ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)w(t) z(t) = C(t)x(t) + D(t)w(t) () sendo que as matrizes A(t), B(t), C(t) e D(t) pertencem ao politopo: {[ ] A(t) B(t) T (α) = = C(t) D(t) N [ ] } (2) Ai B α i i,α Ω i= C i { onde Ω α : α i, } N i= α i =, N é o número de vértices do politopo e o vetor α = [ ] α... α N parametriza o politopo. A representação por incertezas politópicas pode ser obtida de um sistema com diferentes modelos para cada ponto de operação, de sistemas não-lineares, ou de modelos de incertezas D i

2 dependente de parâmetros. No caso de sistemas dependentes de parâmetros com dependência afim de um vetor de parâmetros incertos p = [p,p 2,...,p d ] R d, com p i [p i,p i ], o modelo de incertezas politópicas pode ser obtido dos 2 d extremos da faixa de variação dos parâmetros. Este artigo propõe uma estratégia para o cálculo com a precisão desejada dos custos H 2 e H de sistemas incertos representados por modelo de incertezas politópicas ou modelo afim dependente de parâmetros baseada no algoritmo branch-andbound. O uso do algoritmo branch-and-bound na área de controle robusto não é uma novidade, tendo sido utilizado como uma possibilidade para reduzir o conservadorismo na análise de estabilidade robusta de sistemas lineares com parâmetros incertos reais invariantes no tempo (Balakrishnan et al., 99). Será apresentado de forma detalhada uma implementação do algoritmo branchand-bound onde a operação de subdivisão será baseada na triangulação de Delaunay seguida de uma subdivisão orientada pelas arestas. 2 O Algoritmo Branch-and-Bound O algoritmo branch-and-bound (BnB) pode ser utilizado para encontrar o máximo global de uma função f(p) : R d R cujo domínio é definido como um hiper-retângulo d-dimensional init = [p,p ] [p 2,p 2 ]... [p d,p d ] onde p i e p i, i =,...,d, são os valores extremos dos elementos do vetor de parâmetros p = [p,p 2,...,p d ], i.e., p i [p i,p i ]. A seguinte descrição do algoritmo BnB é adaptada de Balakrishnan et al. (99). ara um hiper-retângulo init, pode-se definir Φ max () max f(p) (3) p O algoritmo BnB calcula Φ max ( init ) baseado em duas funções, Φ lb () e Φ ub (), definidas sobre { : init }. Estas duas funções devem satisfazer as seguintes condições: Φ lb () Φ max () Φ ub () (4) ǫ >, δ > tal que init, dim() δ Φ ub () Φ lb () ǫ (5) A condição (4) estabelece que as funções Φ lb () e Φ ub () calculam os limites inferior e superior de Φ max (), respectivamente. A condição (5) estabelece que, a medida que o máximo comprimento das arestas de, denotado por dim(), tende a zero, a diferença entre os limites inferior e superior converge para zero. O algoritmo BnB inicia pelo cálculo de Φ lb ( init ) e Φ ub ( init ). Se (Φ ub ( init ) Φ lb ( init ))/Φ lb ( init ) ε, onde ε é uma precisão relativa pré-especificada, então o algoritmo finaliza. Se o critério de parada não é atingido, é necessário subdividir o hiperretângulo init em hiper-retângulos menores de forma que init = 2... S, e calcular Φ lb ( i ) e Φ ub ( i ), i =,...,S. Então max Φ lb( i ) Φ max ( init ) max Φ ub( i ) i S i S fornece novos limites para Φ max ( init ). Se a diferença relativa entre os novos limites é menor ou igual a ε, o algoritmo finaliza. Caso contrário, a partição de init é novamente refinada e novos limites são calculados. O algoritmo BnB converge uma vez que dim( i ), i =,...,S, tende para zero e o hiper-retângulo tende para um ponto, fazendo com que Φ ub ( init ) Φ lb ( init ) tenda para zero. A versão do algoritmo BnB utilizada, adaptada de Balakrishnan et al. (99), é apresentada a seguir: Algoritmo k ; L { init }; L Φ lb ( init ); U Φ ub ( init ); enquanto (U k L k )/L k > ε selecione L k tal que Φ ub () = U k ; particione em,..., S L k+ {L k } {,..., S }; L k+ max Lk+ Φ lb (); U k+ max Lk+ Φ ub (); elimine todo L k+ tal que Φ ub () < L k+ ; k k + ; f im enquanto f im algoritmo 3 O Algoritmo BnB Aplicado ao Cálculo Exato dos Custos H 2 e H ara aplicar o algoritmo BnB no cálculo exato dos custos H q, q = 2,, é necessário encontrar as funções Φ lb () e Φ ub () que satisfazem as condições (4) e (5). A função limite inferior pode ser definida como o pior caso da norma H q calculada nos vértices do politopo de matrizes em (2): Φ lb () = max i N T i q, T i = C i (si A i ) B i + D i (6) A função limite superior Φ ub () pode ser definida como sendo os custos H q garantidos (alhares et al., 997): δ c H 2 (A,B,C,D) T (α), D = (7) γ c H (A,B,C,D) T (α) (8)

3 sendo δ c e γ c calculados através dos seguintes problemas de otimização baseados em LMIs: δc 2 = min Trace{J} J,X [ ] X suj. a: C i X J [ (Ai X + XA i ) B ] i I for i =,...,N (9) γc 2 = min µ µ,x suj. a: X = X (A i X + XA i ) B i X I C i D i µi for i =,...,N () onde o símbolo * denota termos simétricos em relação à diagonal. Em alhares et al. (997) também são apresentados as formulações de custos garantidos para o caso de sistemas discretos. Ao invés de utilizar formulações baseadas no conceito de estabilidade quadrática, pode-se optar por formulações baseadas em funções de Lyapunov dependente de parâmetros como, por exemplo, as formulações apresentadas em de Oliveira et al. (24a) e de Oliveira et al. (24b), o que não significa necessariamente em um menor custo computacional. A partição de init no algoritmo BnB pode ser implementada por várias técnicas diferentes. Neste trabalho será utilizado o método de triangulação de Delaunay. A triangulação de Delaunay subdivide uma região 2-dimensional em triângulos (tetraedros no caso 3-dimensional ou simplexos no caso d-dimensional). A vantagem da triangulação de Delaunay é que ela permite que o cálculo exato dos custos baseados no algoritmo BnB possa ser aplicado em sistemas incertos representados tanto por modelo com dependência afim de parâmetros, onde os vértices do politopo são os vértices do hiper-retângulo, como por modelo de incertezas politópicas, onde os vértices podem estar em pontos quaisquer do espaço de parâmetros. Existe uma relação estreita entre a triangulação de Delaunay de um conjunto de pontos S e a casca convexa da lifting transformation (de Berg et al., 998) destes pontos em uma dimensão superior. Deste modo, algoritmos para cálculo da casca convexa em espaços (d+)-dimensional podem ser usados para calcular a triangulação de Delaunay no espaço d-dimensional. Isto é utilizado, por exemplo, pela função delaunayn do MATLAB R que é baseada no algoritmo Quickhull (Barber, 996). Após a triangulação inicial de init, os refinamentos posteriores serão realizados por uma técnica de subdivsão de simplex orientada pelas arestas ( edgewise subdivision ) (Edelsbrunner and Grayson, 2). As subdivisões são obtidas pela introdução de novos pontos sobre as arestas do simplex que atende à condição Φ ub () = U k. Estes novos pontos fornecem as condições para subdividir em 2 d novos simplexos. A subdivisão 2 d orientada pelas arestas de um triângulo é mostrada na Fig., onde ij ( i + j )/2. Existem várias vantagens em se aplicar a subdivisão orientada pelas arestas (Edelsbrunner and Grayson, 2) onde a mais importante aqui é que os novos simplexos terão o mesmo volume d- dimensional e forma similar ao simplex original. Observe que, diferente de outras aplicações em Engenharia, tais como elementos finitos, não existe a preocupação em se garantir a consistência do particionamento pela não utilização de vértices de um simplex sobre a aresta de outro. O algoritmo proposto para implementar a subdivisão de um simplex orientada pelas arestas será introduzido na próxima seção Figura : articionamento de um triângulo por meio de uma subdivisão orientada pelas arestas. ode ser interessante normalizar o hiperretângulo init transformando-o em um hipercubo [,] d. O vetor de parâmetros p init, com p i [p i,p i ], pode ser normalizado para o novo vetor de parâmetros ρ = [ρ,...,ρ d ], ρ i [,], através das relações: ρ i = p i p i p i p i p i = p i + ρ i (p i p i ) () 4 Subdivisão de Simplex Orientada pelas Arestas O algoritmo proposto nesta seção implementa uma subdivisão orientada pelas arestas de um simplex d-dimensional em k d simplexos, sendo inspirado em um esquema de cores ( color scheme ) (Edelsbrunner and Grayson, 2). A mesma notação utilizada por Edelsbrunner and Grayson (2) será adotada aqui. Considere um d-simplex σ definido como uma seqüência de d + pontos,,,..., d, que são afim-independentes em R d. Considere a notação χχ 2...χ k = ( χ + χ χk )/k (2)

4 A subdivisão orientada pelas arestas de σ em k d simplexos será obtida a partir dos pontos,,..., d e de novos pontos χχ 2...χ k como definidos em (2). Os pontos que definem cada novo simplex serão obtidos a partir de uma matriz χ N k (d+), denominada esquema de cores, cujos elementos são números inteiros na faixa [,d], denominados cores, que representam os índices dos pontos,,..., d (Edelsbrunner and Grayson, 2). A i-ésima coluna de χ definirá os pontos χ,iχ,i...χ k,i do novo simplex. ara se adequar ao algoritmo que será proposto, os índices das linhas de χ iniciam com ao invés de como definido por Edelsbrunner and Grayson (2). As principais características do esquema de cores são que os elementos aparecem em ordem não decrescente quando lidos como texto: χ, χ,2... χ,d χ 2,... χ k,d e as colunas são organizadas de tal forma que, da coluna i para a próxima coluna i, apenas uma das cores muda por um incremento unitário. O problema tratado aqui é como obter os k d esquemas de cores para gerar a subdivisão completa do simplex. O algoritmo proposto a seguir irá realizar a tarefa de gerar automaticamente os esquemas de cores, tornando viável o uso do método descrito. No algoritmo proposto, o n-ésimo esquema de cores, χ n, n =,,...,k d, será criado linha por linha iniciando com χ n, =. ara saber se o próximo elemento da matriz será mantido ou incrementado em um, é necessário representar o índice n do simplex χ n no sistema numérico com base k: n = x d k d +x d 2 k d x k (3) Os valores dos dígitos x d i, i =,2,...,d, determinarão qual linha da coluna i será incrementada em um para gerar a coluna i. Ao terminar uma linha, a próxima linha inicia com a última cor da linha anterior, ou seja, χ n i, = χn i,d. O procedimento descrito é implementado pelo seguinte algoritmo: Algoritmo para n =,,...,k d x d...x converta n para base k; cor ; para i =,,...,k χ n i, cor; para j =,...,d se x d j = i então cor cor + ; fim se χ n i,j cor; fim para fim para fim para f im algoritmo Considere, por exemplo, a subdivisão de um tetraedro em k d = 2 3 sub-tetraedros. O esquema de cores é formatado como [ ] χ, χ χ =, χ,2 χ,3 χ, χ, χ,2 χ,3 ara calcular o sub-tetraedro com n = 6, χ 6, a mudança das cores será especificada escrevendo 6 na base 2, ou seja, x = 2, o que significa que as mudanças de cores nas colunas e 2 ocorrerão na linha, enquanto que na coluna 3 a mudança ocorrerá na linha : [ ] χ = Este esquema de cores mostra que o subtetraedro é definido pelo conjunto de pontos {, 2, 3, 3 } como mostrado na Fig. 2, onde o ponto χ,iχ,i é calculado por (2) Figura 2: Exemplo de sub-tetraedro gerado pela partição de um tetraedro em 2 3 partes Exemplo Ilustrativo Considere o seguinte sistema dinâmico linear e incerto modelado por:, a A = a, b b, B = [ ] C = [ ] ; D = [ ] Os parâmetros incertos a e b podem variar dentro do politopo cujos vértices são listados na Tabela. Este exemplo foi escolhido para verificar o comportamento do algoritmo proposto para um politopo não retangular e cujo máximo global do 2 2

5 Tabela : Valores de a e b nos vértices do politopo do modelo do exemplo. Vért a,75,3,5,5,75 b,75,75,3,5,5 custo não se encontra em um dos vértices. A segunda característica pode ser verificada pela Fig. 3, que mostra a superfície gerada pelos valores de T 2 2 para a e b variando entre os seus limites extremos. ara este sistema, não é possível calcular o custo garantido H 2 por meio da formulação (9) porque o mesmo não é factível para init. No entanto, mesmo neste caso onde não é possível calcular o custo garantido inicial, com a partição de init, o problema de otimização baseado em LMIs torna-se factível e o algoritmo proposto converge para o custo exato. Esta potencialidade da metodologia adotada será ilustrada a seguir. Adotando o critério de parada ε =,, o problema de otimização (9), para o cálculo do custo garantido H 2, tornou-se factível após 3 iterações e o algoritmo proposto convergiu com 455 iterações, após 2,98min, com implementação no MATLAB R (notebook com processador de 2.2GHz e 256MB de memória), atingindo Φ lb () = 39,2572 e Φ ub () = 4,6494. A Fig. 4 mostra a evolução das funções limites inferior e superior para as primeiras 4 iterações para o cálculo exato do custo H 2. A Fig. 5 mostra como o espaço de parâmetros foi subdividido após 4 iterações. A Fig. 6 mostra a partição final do espaço de parâmetros com a eliminação dos subpolitopos onde Φ ub () < L k. T funções limites número de iterações Figura 4: Evolução de Φ lb () e Φ ub () nas primeiras 4 iterações no cálculo do custo H 2. ρ2 (b) ρ (a) Figura 5: artição de init após 4 iterações no caso do cálculo do custo H a b.25.5 ρ2 (b) Figura 3: T 2 2 para a e b variando entre seus valores extremos. Adotando o critério de parada ε =,, o problema de otimização (), para o cálculo do custo garantido H, tornou-se factível após 3 iterações e o algoritmo proposto convergiu com 67 iterações, após 28,2min, atingindo ρ (a) Figura 6: artição final de init no caso do cálculo do custo H 2 mostrando a eliminação dos subpolitopos.

6 Φ lb () =,277 e Φ ub () = 2,3276. A Fig. 7 mostra a evolução das funções limites inferior e superior no cálculo exato do custo H. A Fig. 8 mostra como o espaço de parâmetros foi subdividido após 3 iterações quando o problema de otimização () tornou-se factível. funções limites número de iterações Figura 7: Evolução de Φ lb () e Φ ub () no cálculo do custo H. ρ2 (b) ρ (a) Figura 8: artição de init após 3 iterações no caso do cálculo do custo H. 6 Conclusões A metodologia proposta para o cálculo com a precisão desejada dos custos H 2 e H de sistemas com incertezas politópicas baseado no algoritmo branch-and-bound pode ser utilizada para analisar o desempenho de projeto de controladores robustos. ara sistemas com pequeno número de parâmetros incertos e com pequena faixa de variação dos mesmos, o algoritmo converge rapidamente para o valor exato do custo sendo calculado. ara um número grande de parâmetros incertos e/ou grande sensibilidade do modelo à variação dos parâmetros, torna-se necessário considerar o custo computacional envolvido. Mesmo considerando os casos em que a convergência é mais lenta, o algoritmo proposto deve ser considerado uma vez que o mesmo é aplicável em situações onde as formulações por LMIs não são factíveis e quando o são, podem produzir resultados demasiadamente conservadores. Além disso, este trabalho apresenta um algoritmo eficiente e simples para subdivisão de um d simplex em k d simplexos que pode ser aplicado em conjunto com a triangulação de Delaunay para implementar a operação de partição no algoritmo branch-and-bound que é freqüentemente utilizado na área de controle robusto. O algoritmo proposto para o cálculo exato dos custos H 2 e H também pode ser aplicado para sistemas discretos bastando substituir as funções que calculam as normas e os custos garantidos H 2 e H pelas suas equivalentes. 7 Agradecimentos Os autores agradecem o apoio das agências CAES, CNq e FAEMIG e as contribuições dos revisores. Referências Balakrishnan, V., Boyd, S. and Balemi, S. (99). Computing the minimum stability degree of parameter-dependent linear systems, in S.. Bhattacharyya and L. H. Keel (eds), Control of Uncertain Dynamic Systems, CRC ress Inc, pp Barber, C. B. (996). The quickhull algorithm for convex hulls, ACM Transactions on Mathematical Software 22(4): de Berg, M., Kreveld, M. V., Overmas, M. and Schwarzkopt, O. (998). Computational Geometry: Algorithms and Applications, Springer Verlag. de Oliveira,. J., Oliveira, R. C. L. F., Leite, V. J. S., Montagner, V. F. and eres,. L. D. (24a). H 2 guaranteed cost computation by means of parameter-dependent Lyapunov functions, International Journal of Systems Science 35(5). de Oliveira,. J., Oliveira, R. C. L. F., Leite, V. J. S., Montagner, V. F. and eres,. L. D. (24b). H guaranteed cost computation by means of parameter-dependent Lyapunov functions, Automatica 4: Edelsbrunner, H. and Grayson, D. R. (2). Edgewise subdivision of a simplex, Discrete & Computational Geometry 24: alhares, R. M., Takahashi, R. H. C. and eres,. L. D. (997). H and H 2 guaranteed costs computation for uncertain linear systems, International Journal of Systems Science 28(2):