ROBUST, FRAGILE OR OPTIMAL? REVISITADO: UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA A FRAGILIDADE DE CONTROLADORES. Marcos V. Moreira, João C.

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1 ROBUST, FRAGILE OR OPTIMAL? REVISITADO: UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA A FRAGILIDADE DE CONTROLADORES Marcos V. Moreira, João C. Basilio, Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE - Programa de Engenharia Elétrica Escola Politécnica - Departamento de Eletrotécnica Cidade Universitária - Ilha do Fundão Rio de Janeiro - R. J. s: moreira@pee.coppe.ufrj.br, basilio@dee.ufrj.br Resumo A margem de estabilidade paramétrica relativa tem sido a medida de fragilidade de controladores mais freqüentemente utilizada, fornecendo uma variação percentual nos coeficientes da função de transferência do controlador para a qual o sistema realimentado permanece estável. Em um artigo recente, esta medida é utilizada para rotular controladores ótimos e robustos como frágeis. Porém, a partir da definição de uma nova medida de fragilidade baseada no teorema de Kharitonov, é mostrado em outro artigo que é possível ter variações percentuais maiores em cada coeficiente do controlador do que aquelas prescritas pela margem de estabilidade paramétrica relativa. Apesar da medida baseada no teorema de Kharitonov ter se mostrado menos conservadora do que a margem de estabilidade paramétrica relativa, ela é baseada em uma condição apenas suficiente para a estabilidade do sistema realimentado na presença de perturbação nos parâmetros do controlador. Neste artigo, uma medida não conservadora da fragilidade de controladores baseada no teorema de Kharitonov generalizado é proposta, fornecendo, portanto, a maior variação percentual possível nos coeficientes do controlador. Abstract The relative parametric stability margin has been the most frequently used measure of controller fragility, giving a value of allowed percent variation on the coefficients of the controller transfer function for which the feedback system remains stable. In a recent paper, this measure is deployed to label some optimal and robust controllers as fragile. However, with the definition of a new measure of controller fragility based on the Kharitonov theorem, it has been shown in another paper that it is possible to have larger percent variations, on each controller coefficient, than that prescribed by the relative parametric stability margin. Although the measure based on the Kharitonov theorem has shown to be less conservative than the relative parametric stability margin, it is still based on a sufficient condition for the stability of the feedback system in the presence of perturbation on the controller coefficients. In this paper, a non conservative measure of controller fragility, based on the generalized Kharitonov theorem, is proposed, thus, giving the largest possible percent variation on the coefficients of the controller. Key Words Kharitonov theorem, Fragility, Robustness. 1 Introdução Recentemente, o problema da fragilidade de controladores foi abordado em Keel e Bhattacharyya (1997), é sugerido, através de exemplos, que controladores obtidos através de técnicas de controle robusto e ótimo podem ser extremamente frágeis, ou seja, pequenas perturbações nos parâmetros do controlador podem tornar o sistema em malha fechada instável. A medida de fragilidade utilizada em Keel e Bhattacharyya (1997) foi a margem de estabilidade paramétrica (Bhattacharyya et al., 1995), que é definida em termos da perturbação de menor norma-euclidiana que torna o sistema realimentado instável. Como a margem de estabilidade paramétrica tem difícil interpretação, define-se então a margem de estabilidade paramétrica relativa, que é obtida dividindo-se a margem de estabilidade paramétrica pela norma do vetor formado pelos coeficientes do controlador que podem variar. Apesar da margem de estabilidade paramétrica relativa não considerar diretamente variações percentuais em cada coeficiente do controlador individualmente, em Keel e Bhattacharyya (1997) esta interpretação é dada para a medida de fragilidade adotada. De fato, para a implementação do controlador, é necessário saber o quanto cada um dos coeficientes dos polinômios do numerador e denominador da função de transferência do controlador podem variar. Surge, então, a seguinte pergunta: será que a margem de estabilidade paramétrica relativa fornece uma condição necessária e suficiente para estabilidade do sistema em malha fechada na presença de incertezas em cada coeficiente do controlador? Em Moreira e Basilio (2002) esta pergunta é respondida e é mostrado que a margem de estabilidade paramétrica relativa é uma medida conservadora da fragilidade de controladores quando se considera variações em cada coeficiente do controlador. Com esse fim uma nova medida de fragilidade de controladores, que leva em consideração variações percentuais em cada coeficiente do controlador diretamente, baseada no teorema de Kharitonov, é proposta em Moreira e Basilio (2002). Apesar de menos conservadora do que a margem de estabilidade paramétrica, a margem de estabilidade proposta

2 pode ainda levar a uma condição apenas suficiente para garantir a não fragilidade de controladores. Visando superar essa limitação, neste artigo, uma medida da fragilidade de controladores baseada no teorema de Kharitonov generalizado é proposta. Como o teorema de Kharitonov generalizado é baseado em uma condição necessária e suficiente, a medida proposta é não conservadora, fornecendo, portanto, a maior variação percentual possível nos coeficientes do controlador para a qual o sistema realimentado permanece estável. Este artigo está estruturado da seguinte forma: nas seções 2 e 3, a margem de estabilidade paramétrica relativa e a margem de estabilidade baseada no teorema de Kharitonov, respectivamente, são revistas. Na seção 4 a margem de estabilidade baseada no teorema de Kharitonov generalizado é apresentada e na seção 5 todos os exemplos apresentados em Keel e Bhattacharyya (1997) são utilizados para comparação entre as três margens de estabilidade paramétrica. 2 Margem de estabilidade paramétrica relativa Considere um sistema em malha fechada com realimentação unitária negativa, : m1 i=0 G(s) = αism 1 i m2 e K(s) = k=0 ǫ ks m 2 k n1 j=0 βjsn 1 j n2 (1) q=0 ψqsn 2 q são as funções de transferência da planta e do controlador, respectivamente. Além disso, considere que K(s) estabiliza G(s). Seja p 0 = [ p 0 1 p ] T p0 l (l m2 + n 2 + 2) o vetor formado com os parâmetros de K(s) cujos elementos pertencem ao conjunto P = {ǫ 0, ǫ 1,..., ǫ m2, ψ 0, ψ 1,..., ψ n2 }, e que são escolhidos entre aqueles que podem sofrer alguma perturbação, e defina p = p p 0 = [ ] p 1 p 0 1 p 2 p p l p 0 T l como o vetor de perturbação nos parâmetros de K(s). A margem de estabilidade paramétrica (ρ) (Bhattacharyya et al., 1995) é definida como o menor valor de p 2 para o qual o sistema em malha fechada se torna instável. É importante ressaltar que nesta definição está implícita a idéia de que os coeficientes da planta são mantidos constantes. A margem de estabilidade paramétrica tem difícil interpretação, e por isso, é mais usual utilizar a margem de estabilidade paramétrica relativa, que é definida da seguinte forma: ρ = ρ p 0. (2) 2 Apesar de não considerar diretamente variações em cada um dos parâmetros do controlador, a margem de estabilidade paramétrica relativa é utilizada em Keel e Bhattacharyya (1997) para fornecer uma variação percentual permitida em cada parâmetro de p 0. Este fato pode ser justificado a partir do resultado a seguir. Proposição 1 Seja p = [ ρ 1 p 0 1 ρ 2p 0 2 ρ lp 0 l ], ρ i < ρ, i = 1, 2,...,l, uma perturbação nos parâmetros de p 0 e defina p = p 0 + p. Logo p 2 < ρ, ou equivalentemente, o sistema em malha fechada permanece estável se todos os coeficientes da função de transferência do controlador tem variação percentual menor do que ρ. Prova. Ver Moreira e Basilio (2002). Pode ser facilmente mostrado (Moreira e Basilio, 2002) que a proposição 1 não fornece uma condição necessária e suficiente para a estabilidade do sistema em malha fechada na presença de incertezas em cada coeficiente do controlador. Conforme mostrado em Moreira e Basilio (2002), isto ocorre porque o cálculo da margem de estabilidade paramétrica não faz restrições às variações máximas permitidas sobre cada um dos coeficientes de K(s), o que ocasiona variações percentuais grandes em determinados parâmetros do controlador, em contraste com pequenas variações nos demais. Portanto, ao se limitar as variações máximas em cada coeficiente de K(s), variações percentuais muito maiores do que aquelas fornecidas pela margem de estabilidade paramétrica podem ser obtidas. Para demonstrar este fato, uma medida de fragilidade de controladores baseada no teorema de Kharitonov foi proposta em Moreira e Basilio (2002). Esta medida será analisada na seção a seguir. 3 Margem de estabilidade paramétrica baseada no teorema de Kharitonov Considere o problema de encontrar a maior variação percentual possível dos parâmetros do controlador de forma que o sistema em malha fechada permaneça estável. Para tanto, escreva a função de transferência do controlador nominal como: K 0(s) = p0 1s m 2 + p 0 2s m p 0 m 2 +1, (3) p 0 m 2 +2 sn 2 + p 0 m2 +3 sn p 0 l l = m 2 +n Suponha que cada parâmetro p 0 i de K 0(s) está sujeito a uma perturbação a δ pi tal que δ pi ρp i, i = 1,...,l. Portanto, o controlador obtido perturbando-se desta maneira os coeficientes de K 0 (s) pode ser escrito como: K(s) = nk(s) d K(s) = p1sm2 + p 2s m p m2 +1 p m2 +2s n 2 + pm2 +3s n p l, (4) p 1 [p 0 1 ρ p 0 1, p ρ p 0 1 ] p 2 [p 0 2 ρ p 0 2, p ρ p 0 2 ]. (5). p l [p 0 l ρ p 0 l, p 0 l + ρ p 0 l ] Note que a definição dos coeficientes de K(s) em termos dos intervalos (5) gera um hiper-retângulo H K ( ρ) no espaço de parâmetros do controlador. a Por simplicidade a mesma variação percentual será suposta em todos os parâmetros. Porém, em uma situação mais geral, variações percentuais diferentes dos coeficientes do controlador podem ser consideradas.

3 Suponha, agora, que a função de transferência nominal da planta seja dada por: G(s) = n G(s) d G (s), (6) n G (s) e d G (s) são polinômios, e considere que δ(s) = n G (s)n K (s) + d G (s)d K (s) denota o polinômio característico em malha fechada, com n K (s) e d K (s) sendo dados por (4) e (5). Defina S como a região formada pelos vetores δ cujos elementos são os coeficientes dos polinômios característicos em malha fechada δ(s), obtidos utilizando-se os controladores associados ao hiper-retângulo H K ( ρ). Observe que a cada hiper-retângulo H K ( ρ) gerado a partir da escolha para ρ, corresp uma região S diferente. Note também que esta região é um poliedro, uma vez que sempre é possível escrever S G p = δ, S G é a matriz de Silvester formada pelos vetores dos coeficientes dos polinômios do numerador e denominador da função de transferência da planta. Assim sendo, para verificar se H K ( ρ) representa somente controladores estabilizantes, é necessário constatar se os pontos δ de S correspm a polinômios característicos de Hurwitz. Em Moreira e Basilio (2002) uma forma de verificar se S representa somente polinômios de Hurwitz foi obtida a partir do teorema de Kharitonov. Para tanto, o menor hiper-retângulo possível H S, que contém a região S, é formado e a estabilidade de todos os polinômios pertencentes a H S é verificada utilizando-se o teorema de Kharitonov. Desta forma, o maior valor possível para ρ, ρ K, para o qual o correspnte hiper-retângulo H S representa somente polinômios de Hurwitz, é obtido. Note que ρ K não corresp necessariamente à maior variação percentual possível dos parâmetros de K(s), uma vez que em H S existem pontos, representando polinômios característicos, que não são alcançados pela variação sobre os parâmetros do controlador nominal. A margem de estabilidade paramétrica baseada no teorema de Kharitonov mostrou ser bem menos conservadora que a margem de estabilidade paramétrica relativa, como pode ser observado no exemplo a seguir. Exemplo 1 Considere o projeto de um controlador robusto via síntese µ para um sistema de suspensão eletromagnética apresentado em Keel e Bhattacharyya (1997) (exemplo 4). A função de transferência da planta é G(s) = 36,27 s ,69s ,9636s , e o controlador projetado tem a seguinte função de transferência: K(s)= ǫ0 0s 6 + ǫ 0 1s 5 + ǫ 0 2s 4 + ǫ 0 3s 3 + ǫ 0 4s 2 + ǫ 0 5s + ǫ 0 6, s 7 +ψ1 0s6 +ψ2 0s5 +ψ3 0s4 +ψ4 0s3 +ψ5 0s2 +ψ6 0s+ψ0 7 ǫ 0 0 = 5, ǫ 0 1 = 1, ǫ 0 2 = 1, ǫ 0 3 = 5, ǫ 0 4 = 1, ǫ 0 5 = 1, ǫ 0 6 = 7, ψ 0 1 = 1, ψ 0 2 = 8, ψ 0 3 = 2, ψ 0 4 = 1, ψ 0 5 = 5, ψ 0 6 = 6, ψ 0 7 = 6, Definindo como vetor de parâmetros nominal p 0 = ǫ [ ] 0 T, 0 ǫ 0 1 ǫ 0 6 ψ1 0 ψ2 0 ψ7 0 então a margem de estabilidade paramétrica é ρ = 1, e a margem de estabilidade paramétrica relativa é ρ = 1, Em Keel e Bhattacharyya (1997) (ver também exemplo 2 de (Keel e Bhattacharyya, 1997)) foi concluído que uma vez que ρ = 1, então o sistema pode tolerar uma variação percentual em todos os seus coeficientes de somente 1, %. Por esta razão, esse controlador foi considerado frágil. Considere agora os detalhes envolvidos no cálculo de ρ. Seja p o vetor de perturbação que leva ao valor pequeno de ρ obtido acima, e seja p(%) o vetor de variações percentuais nos coeficientes de p 0, i.e., p(%) = [ ǫ 0/ǫ 0 0 ǫ 1/ǫ 0 1 ǫ 6/ǫ 0 6 ψ 1/ψ 0 1 ψ 2/ψ 0 2 ψ 7/ψ 0 7] T 100%. então, p(%) é dado por: 4, , , , , , p(%) = 6, , (7) 5, , , , , , Note que, embora ρ seja da ordem de %, a perturbação necessária em p 0 1 (oitavo elemento de p(%)), para instabilizar o sistema realimentado é aproximadamente 80%. Isto mostra que para instabilizar o sistema em malha fechada, a perturbação nos coeficientes do controlador deve se concentrar principalmente em ψ 0 1..

4 Considere agora a mesma variação percentual em todos os coeficientes de p 0 e vamos verificar se é possível encontrar um vetor de perturbação com magnitude maior do que ρ. Para tanto, é calculada a margem de estabilidade paramétrica baseada no teorema de Kharitonov definida em Moreira e Basilio (2002), ρ K = 0, Isto significa que, mesmo para uma perturbação percentual de todos os parâmetros de p 0 de 5, 73%, ou seja, muito maior do que ρ (3, maior do que ρ) o sistema em malha fechada é ainda estável, mostrando que, de fato, a condição dada pela proposição 1 é somente suficiente. Uma vez que a verificação da estabilidade dos polinômios representados por H S no lugar dos pontos de S pode ser conservadora, ainda é necessário apresentar uma medida de fragilidade que leve a uma condição necessária e suficiente para a estabilidade de sistemas realimentados na presença de perturbação nos parâmetros do controlador. 4 Margem de estabilidade paramétrica baseada no teorema de Kharitonov generalizado Uma condição necessária e suficiente para a estabilidade em malha fechada de todos os sistemas, cujos coeficientes dos polinômios do numerador e denominador do controlador são formados pelos vetores de parâmetros pertencentes a H K ( ρ), é fornecida pelo teorema de Kharitonov generalizado (Bhattacharyya et al., 1995), ou seja, o polinômio característico em malha fechada é Hurwitz se e somente se todos os 32 segmentos de Kharitonov generalizados formados a partir de n K (s), d K (s), n G (s) e d G (s) são Hurwitz. A construção destes 32 segmentos de polinômios será apresentada em detalhes agora. Primeiro, defina p i = [p 0 i ρ p0 i, p0 i + ρ p0 i ] = [pmin i, p max i ] e forme todos os quatro polinômios de Kharitonov para n K (s) e d K (s), da seguinte forma: n 1 K (s) = pmin m pmin m 2 s m 2 1 s2 m 2 3 s4 +p min m 2 4 s5 +p max m 2 5 s6 +p max n 2 K (s) = pmin m pmax m 2 s m 2 1 s2 m 2 3 s4 +p max m 2 4 s5 +p max m 2 5 s6 +p min n 3 K (s) = pmax m pmin m 2 s m 2 1 s2 m 2 3 s4 +p min m 2 4 s5 +p min m 2 5 s6 +p max n 4 K (s) = pmax m pmax m 2 s m 2 1 s2 d 1 K d 2 K d 3 K m 2 3 s4 +p max m 2 4 s5 +p min m 2 5 s6 +p min (s) = pmin l l 1 s + pmax l 2 s2 l 3 s3 l 5 s5 l 6 s6 (s) = pmin l l 1 s + pmax l 2 s2 l 3 s3 l 5 s5 l 6 s6 (s) = pmax l l 1 s + pmin l 2 s2 l 3 s3 l 5 s5 l 6 s6 d 4 K (s) = pmax l l 1 s + pmin l 2 s2 l 3 s3 l 5 s5 l 6 s6 (8) Com os polinômios de Kharitonov definidos em (8), forme os seguintes conjuntos de segmentos de Kharitonov: e S N = { n 12 S (s), n13 S (s), n24 S (s), n34 S (s)} S D = { d 12 S (s), d 13 S (s), d 24 S (s), d 34 S (s) }, n ij S (s) = (1 λ)ni K (s) + λnj K (s) e dij S (s) = (1 λ)d i K (s) + λdj K (s), 0 λ 1. Finalmente, os 32 segmentos de Kharitonov generalizados são formados como descrito a seguir: δ ijk S D (s) = n G(s)n i K(s) + d G(s)d jk S (s), i = 1, 2,3, 4 e jk definido em S D δ jki S N (s) = n G(s)n jk S (s) + dg(s)di K(s), i = 1, 2,3, 4 e jk definido em S N (9) O seguinte resultado pode ser então enunciado: Teorema 1 Para um dado ρ, todos os polinômios característicos formados com todos os possíveis controladores cujos coeficientes pertencem aos intervalos definidos em (5) são Hurwitz se e somente se todos os 32 segmentos de Kharitonov generalizados definidos em (9) são Hurwitz. Prova. Ver (Bhattacharyya et al., 1995), página 300. Observação 1 Uma maneira fácil de verificar se os 32 segmentos de Kharitonov generalizados definidos em (9) são Hurwitz é através do chamado lema da fase limitada (bounded phase lemma) (Bhattacharyya et al., 1995, p. 72). De acordo com o lema da fase limitada, dados dois polinômios estáveis δ 1 (s) e δ 2 (s) de grau n, e supondo que o segmento polinomial δ 12 (s) = (1 λ)δ 1 (s) + λδ 2 (s) tem grau n para todo λ [0, 1], então δ 12 (s) é estável se e somente se φ 1 (jω) φ 2 (jω) π rd para ω R, φ i (jω) denota a fase de δ i (jω). Portanto, a busca por ρ GK, a maior variação percentual ρ para a qual o sistema em malha fechada é estável para todos os controladores com coeficientes do numerador e denominador pertencentes aos intervalos definidos em (5), pode ser feita de acordo com o seguinte algoritmo. Algoritmo 1 Faça k = 1 e escolha um valor para ρ 1. Passo 1. Calcule os 32 segmentos de Kharitonov generalizados definidos em (9). Passo 2. Use o lema da fase limitada (bounded phase lemma) para verificar a estabilidade de cada segmento. Se todos os segmentos são estáveis, então faça k = k + 1, escolha ρ k+1 > ρ k, e volte para o passo 1. Se ao menos um dos segmentos de.

5 Kharitonov generalizados tem um polinômio instável, então use bisseção entre ρ k e ρ k 1 para encontrar a maior variação percentual ρ GK para a qual todos os 32 segmentos de Kharitonov generalizados são estáveis. 5 Exemplos Nesta seção todos os exemplos apresentados em Keel e Bhattacharyya (1997) serão revistos e será feita uma comparação entre os valores obtidos para a margem de estabilidade paramétrica relativa (Keel e Bhattacharyya, 1997) ( ρ), a medida de fragilidade baseada no teorema de Kharitonov (Moreira e Basilio, 2002) ( ρ K ), e a medida de fragilidade baseada no teorema de Kharitonov generalizado ( ρ GK ). Exemplo 2 Considere o problema de encontrar um controlador robusto H que maximize a margem de ganho superior, apresentado em Keel e Bhattacharyya (1997, exemplo 1), para a seguinte planta: G(s) = s 1 s 2 s 2. O controlador obtido otimizando a norma H de uma função de sensibilidade complementar é K(s)= ǫ0 6s 6 + ǫ 0 5s 5 + ǫ 0 4s 4 + ǫ 0 3s 3 + ǫ 0 2s 2 + ǫ 0 1s + ǫ 0 0 ψ6 0s6 + ψ5 0s5 + ψ4 0s4 + ψ3 0s3 + ψ2 0s2 + ψ1 0s +, ψ0 0 ǫ 0 6 = 379 ψ6 0 = 3 ǫ 0 5 = ψ5 0 = 328 ǫ 0 4 = ψ4 0 = ǫ 0 3 = ψ3 0 = ǫ 0 2 = ψ2 0 = ǫ 0 1 = ψ1 0 = ǫ 0 0 = ψ0 0 = Em Keel e Bhattacharyya (1997) foi considerado que todos os parâmetros do controlador podem variar, portanto, o vetor de parâmetros do controlador é p 0 = [ ǫ ǫ 0 0 ψ ψ 0 0]. Calculandose a margem de estabilidade paramétrica obtémse ρ = 0, , e dividindo-se ρ pela norma-euclidiana de p 0 obtém-se: ρ = 2, Considere agora o cálculo das medidas de fragilidade baseadas no teorema de Kharitonov e teorema de Kharitonov generalizado, ρ K e ρ GK, respectivamente. Para tanto, o primeiro passo no processo de calcular ambas as medidas é a obtenção dos intervalos de variação dos parâmetros do controlador em função de ρ, formando o hiper-retângulo H K ( ρ), no espaço de parâmetros do controlador. A cada hiperretângulo H K ( ρ), está associado no espaço dos coeficientes dos polinômios característicos em malha fechada um poliedro S. Portanto, ρ K será o maior valor possível de ρ para o qual um hiper-retângulo H S, contendo S no espaço dos coeficientes dos polinômios característicos em malha fechada, tenha somente pontos representando polinômios de Hurwitz. Procedendo desta maneira obtém-se: ρ K = 3, Note que o valor de ρ K é muito maior do que o obtido para ρ ( ρ K 1700 ρ), o que mostra o conservadorismo da margem de estabilidade paramétrica relativa. Para verificar se o hiper-retângulo H K representa somente controladores estabilizantes, é necessário verificar diretamente se todos os pontos do poliedro S estão associados a polinômios de Hurwitz. Isto é feito utilizando-se o teorema de Kharitonov generalizado. Procedendo, portanto, de acordo com o algoritmo 1 encontra-se: ρ GK = 3, Note que neste exemplo ρ K ρ GK, o que mostra que neste caso, a margem de estabilidade baseada no teorema de Kharitonov mostrou ser uma medida pouco conservadora da fragilidade do controlador. Exemplo 3 Para comparação com o controlador robusto apresentado no exemplo anterior, um controlador arbitrário é projetado em Keel e Bhattacharyya (1997, exemplo 2): K(s) = ǫ0 1s + ǫ 0 0 s + ψ0 0, ǫ 0 1 = 11, ǫ 0 0 = 11, ψ0 0 = 7, Neste caso o vetor de parâmetros do controlador que podem sofrer variações é p 0 = [ ǫ 0 1 ǫ 0 0 ψ 0 0]. Calculando a margem de estabilidade paramétrica relativa obtém-se ρ = 0, Por esta razão este controlador é dito em Keel e Bhattacharyya (1997) tolerar uma variação em seus componentes de 7, 2%. Calculando a medida de fragilidade baseada no teorema de Kharitonov obtém-se: ρ K = 0, , que é próximo ao valor obtido para ρ. Porém, ρ K pode ser uma medida conservadora e calculandose a margem de estabilidade baseada no teorema de Kharitonov generalizado tem-se que ρ GK = 0, 1117, que mostra que, na verdade, o sistema em malha fechada é estável para uma perturbação de até 11, 17% nos parâmetros do controlador.

6 Exemplo 4 Considere o problema de projetar um controlador robusto H que minimize W 2 (s)t(s), T(s) é a função de sensibilidade complementar e W 2 (s) é a função de pração W 2 (s) = s + 0, 1 s + 1, apresentado em Keel e Bhattacharyya (1997, e- xemplo 3). A função de transferência da planta é s 1 G(s) = s 2 + 0, 5s 0, 5, e o controlador robusto encontrado é K(s) = 124, 5s3 364, 95s 2 360, 45s 120 s , 1s , 7s Neste exemplo, o único parâmetro de K(s) que não pode variar é o coeficiente do termo de maior grau do polinômio do denominador. Portanto, a margem de estabilidade paramétrica relativa é ρ = 0, Pelo valor obtido para ρ conclui-se que o controlador pode tolerar 1, 16% de variação nos seus parâmetros. Porém, ao calcular as margens de estabilidade ρ K e ρ GK obtém-se, respectivamente: ρ K = 0, e ρ GK = 0, Note, portanto, que o controlador tolera na verdade 4, 347% de variação nos seus valores, o que é bem maior do que a variação dada por ρ ( ρ GK 3, 7 ρ). Note ainda que neste exemplo ρ GK = ρ K. Isto ocorre porque o ponto pertencente a S que representa um polinômio na fronteira da região de estabilidade b também pertence a H S. Logo, neste caso a margem de estabilidade baseada no teorema de Kharitonov é uma medida não conservadora da fragilidade do controlador. Exemplo 5 Considere novamente o exemplo 1 utilizado na seção 3 (Keel e Bhattacharyya, 1997, exemplo 4). Como mostrado no exemplo 1 a margem de estabilidade paramétrica relativa obtida é ρ = 1, Porém, pela medida baseada no teorema de Kharitonov tem-se que o controlador pode tolerar uma variação percentual muito maior do que a dada por ρ, isto é: ρ K = 0, Calculando agora a margem de estabilidade baseada no teorema de Kharitonov generalizado obtém-se um valor ainda maior do que ρ K, qual seja: ρ GK = 0, Isto mostra que, na verdade, o controlador tolera até 6, 58% de variação nos seus parâmetros ( ρ GK 4, ρ). b A região de estabilidade (Ω) é uma região no espaço de parâmetros formada pelos coeficientes dos polinômios característicos em malha fechada que são Hurwitz, isto é, Ω = {δ R n 1+n 2 +1 : δ(s) é um polinômio de Hurwitz}. Exemplo 6 Por fim, considere o problema de projetar um controlador robusto H 2 (Keel e Bhattacharyya, 1997, exemplo 6) para a seguinte função de transferência da planta: O controlador obtido é: G(s) = s + 1 s 2 + s + 2. K(s) = ǫ0 6s 6 + ǫ 0 5s 5 + ǫ 0 4s 4 + ǫ 0 3s 3 + ǫ 0 2s 2 + ǫ 0 1s + ǫ 0 0 ψ 0 6 s6 + ψ 0 5 s5 + ψ 0 4 s4 + ψ 0 3 s3 + ψ 0 2 s2 + ψ 0 1 s, ǫ 0 6 = 1, 0002, ǫ 0 5 = 3, 0406, ǫ 0 4 = 8, 1210, ǫ 0 3 = 13, 2010, ǫ0 2 = 15, 2004, ǫ0 1 = 12, 08, ǫ 0 0 = 4, 0, ψ0 6 = 0, 0001, ψ0 5 = 1, 0205, ψ4 0 = 2, 1007, ψ3 0 = 5, 1403, ψ2 0 = 6, 06, ψ1 0 = 2, 0. Para este exemplo as margens de estabilidade são: ρ = 3, , ρ K = 0, e ρ GK = 0, Novamente os valores obtidos para ρ K e ρ GK são iguais e muito maiores do que o valor obtido para ρ ( ρ GK 2643 ρ). 6 Conclusões Neste artigo é mostrado, através de exemplos, que a margem de estabilidade de Kharitonov mesmo sendo muito menos conservadora do que a margem de estabilidade paramétrica relativa, pode ser em alguns casos conservadora, o que significa que o controlador projetado pode tolerar variações percentuais maiores em seus parâmetros do que a prescrita por essa medida. Além disso, uma medida não conservadora da fragilidade de controladores baseada no teorema de Kharitonov generalizado é proposta. Todos os exemplos apresentados em Keel e Bhattacharyya (1997) são novamente considerados. Agradecimentos Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPq. Referências Bhattacharyya, S. P., Chapellat, H. e Keel, L. H. (1995). Robust Control: The Parametric Approach, Prentice Hall, Upper Saddle-River. Keel, L. H. e Bhattacharyya, S. P. (1997). Robust, fragile, or optimal?, IEEE - Transactions on Automatic Control 42: Moreira, M. V. e Basilio, J. C. (2002). Uma nova medida de fragilidade de controladores baseada no teorema de Kharitonov, Anais do XIV Congresso Brasileiro de Automática, pp