PRO Pesquisa Operacional II. 5. Análise econômica e análise de sensibilidade

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1 Pesquisa Operacional II 5. Análise econômica e análise de sensibilidade Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção Interpretação econômica do problema dual Cada variável w ii do do dual está diretamente relacionada com a restrição i do i do problema primal. O valor ótimo desta variável w i * i recebe diversas denominações, entre elas: Preço-Sombra (Shadow Price); Preço-Dual (Dual-Price). Portanto, cada restrição i possui i um Preço-Sombra w i *. i *.

2 Preço-Sombra O Preço-Sombra para o recurso i (w i *) mede o valor marginal deste recurso em relação o lucro total. Isto é: a quantidade que o Lucro Total (Z) poderia ser melhorado, caso a quantidade do recurso i (b i ) puder e for aumentado a uma quantidade igual à unidade. Interpretação econômica do problema dual Cada variável de de folga restrição do do dual - está diretamente relacionada com uma determinada variável original do do problema primal. Este valor é chamado de de Custo Reduzido. Portanto, cada variável do do problema original possui um determinado Custo Reduzido.

3 Custo Reduzido O Custo Reduzido de uma variável é o total que o seu coeficiente na função objetivo deve melhorar para que ela deixe de ser zero na solução ótima. Ou: quanto a função objetivo irá piorar para cada unidade que ela aumente a partir de zero. O Custo Reduzido só se aplica a variáveis que na solução ótima são zero. Análise de sensibilidade As quantidades informadas pelas grandezas Preço- Sombra e Custo Reduzido refletem as conseqüências de alterações unitárias: Alterações diferentes da unidade provocaram conseqüências proporcionais. Entretanto, estes valores só podem ser garantidos dentro de intervalos.

4 Intervalos de validação do Preço-Sombra e do Custo Reduzido O Custo Reduzido também possui intervalos nos quais ele é válido. A análise de sensibilidade determina estes intervalos em que o Custo Reduzido e o Preço-Sombra são válidos. Existe uma outra razão para estabelecer estes intervalos: o problema da certeza dos coeficientes. Análise de sensibilidade A análise de sensibilidade serve também para amenizar a hipótese de certeza nos coeficientes e constantes. Em uma análise de sensibilidade queremos responder basicamente a três perguntas: Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da função objetivo? Qual o efeito de uma mudança numa constante de uma restrição?

5 Análise de sensibilidade A pergunta Qual o efeito de uma mudança num coeficiente de uma restrição? também parece importante de ser respondida, e é. Entretanto, a análise de sensibilidade geralmente não responde à esta pergunta A quantidade de coeficientes é muito grande! Análise de sensibilidade Existem dois tipos básicos de análise de sensibilidade: Estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes e constantes: Lindo/Excel; Hipótese de uma alteração a cada momento. Verifica se uma ou mais mudanças em um problema alteram a sua solução ótima: Mais complicado; Pode ser feito através da alteração do problema e sua nova resolução.

6 Análise de sensibilidade Consideremos o seguinte problema de PL: Max Z = x1 + x x1 6 x1 + 5x 5 x 5 Realizaremos a análise de sensibilidade utilizando o software Lindo! Lindo Relatório de resposta Valor Ótimo da Função Objetivo Valor das Variáveis Originais (Solução Ótima) Valor das Variáveis de Folga ou Excesso

7 Lindo Relatório de resposta Valores das variáveis do problema dual Custo Reduzido: Variáveis de folga/excesso do dual. Se uma variável do problema original for maior do que zero, o valor da variável do dual relacionada será zero, isto é, o valor do Custo Reduzido será zero. Lindo - Relatório de resposta Variações de incremento e decremento, as quais cada coeficiente da função objetivo, isoladamente, pode ter sem que a solução ótima (valores finais de x 1 e x ) se altere.

8 Análise de sensiblidade Max Z = x + x x 6 5 Max Z = 1,x + x x 6 5 E se mudarmos um coeficiente da função objetivo? Lindo - Relatório de resposta A solução ótima não mudou, já que o coeficiente permaneceu dentro do intervalo de variação do coeficiente; O valor da função objetivo alterou.

9 Análise de sensiblidade Max Z = x + x x 6 5 Max Z = 1,4x + x x 6 5 E se mudarmos um coeficiente da função objetivo? Lindo - Relatório de resposta A solução ótima foi mudada!!!

10 Lindo - Relatório de resposta Preço-Sombra: (de uma restrição) mede o quanto o valor ótimo da função objetivo varia por unidade de acréscimo no lado direito da restrição. OU Até quanto estamos dispostos a pagar por uma unidade adicional de recurso? Análise de sensiblidade Max Z = x + x x 6 5 Max Z = x + x x 7 5 E se mudarmos os termos independentes das restrições?

11 Lindo - Relatório de resposta Se mudarmos o lado direito da 1a restrição para 7, a função objetivo sofrerá uma variação de 0, Lindo - Relatório de resposta Variações de incremento e decremento, as quais cada constante das restrições, isoladamente, podem ter sem que os valores dos Preços-Sombra (Dual Price) se alterem.

12 Lindo - Relatório de resposta das duas otimizações Análise de sensiblidade Max Z = x + x x 6 5 Max Z = x + x x 10 5

13 Lindo - Relatório de resposta Análise de sensiblidade Max Z = x + x x 6 5 Max Z = x + x x 11 5

14 Lindo - Relatório de resposta Mudanças simultâneas em coeficientes A análise de sensibilidade só é valida quando apenas um dos coeficientes é alterado isoladamente. Porém existem situações que podemos utilizar a análise de sensibilidade feita pelo Excel/Lindo para garantir que a solução ótima não se altere. Esta regra é conhecida como Regra de 100%.

15 Mudanças simultâneas em coeficientes Caso 1: Quando todas as variáveis cujos coeficientes da função objetivo se alterarem tiverem Custo Reduzido diferentes de zero. Neste caso a solução ótima permanece inalterada, desde que, todos os coeficientes alterados permaneçam dentre dos limites permitidos. Mudanças simultâneas em coeficientes Caso : Quando pelo menos uma das variáveis cujos coeficientes da função objetivo se alteram, tem Custo Reduzido com valor igual a zero. Neste caso devemos calcular uma razão entre a alteração do coeficiente e a variação permitida, para todas as variáveis que tiverem seus coeficientes alterados.

16 Mudanças simultâneas em coeficientes Para cada variável com coeficiente alterado calcule: Δcj, se Δcj 0 I j rj = Δ cj, se Δcj 0 Dj onde: c j : valor original do coeficiente Δc j : variação do coeficiente I j : incremento permitido do coeficiente D j : decremento permitido do coeficiente Mudanças simultâneas em coeficientes Caso mais de uma alteração seja feita simultaneamente a solução ótima permanecerá constante se: r j 1 Isto não significa dizer que se r j > 1 a solução ótima tem que se alterar, significa apenas que a regra não pode garantir que ela permanecerá constante.

17 Mudanças simultâneas em coeficientes Se existir apenas uma alteração, a solução ótima será inalterada se r j 1. Isto tem o mesmo significado da regra original, significando que o numerador da razão (alteração no coeficiente) é menor que o denominador (alteração máxima permitida). Exemplo da regra do 100% Max Z = 40x + 30x sa.. x + x x + x x 0, x 0 Será que a solução ótima se manterá se mudarmos o coeficiente de x 1 para 50 e o de x para 45? Δ c = I = 0 Δ c = 15 I = 0

18 Exemplo Δ c = I = 0 Δ c = 15 I = 0 Δc = = = I1 0 r Δc 15 = = = I 0 r 0,5 0,75 r j = 0,5 + 0,75 = 1,5 Logo, este não é um acréscimo permitido! Análise de sensibilidade - solução degenerada A solução de um problema de Programação Linear, algumas vezes, apresenta uma anomalia conhecida como degeneração. Uma solução de um PL é dita degenerada quando o valor de incremento ou decremento de uma restrição é igual a zero. A presença de degeneração altera a interpretação da análise de sensibilidade em um certo número de maneiras.

19 Análise de sensibilidade - solução degenerada Quando a solução ótima é degenerada: O valor do Custo Reduzido pode não ser único. O valor de incremento e decremento dos coeficientes da função objetivo são ainda validos. De fato os valores podem se alterar substancialmente acima deste valores sem que a solução ótima se altere. O valor do Preço-Sombra (Shadow Price) e seus intervalos podem continuar sendo interpretados da mesma maneira, contudo podem não ser únicos. Referências Bibliográficas LACHTERMACHER, G., Pesquisa operacional na tomada de decisão (modelagem em Excel). ª edição, revista e atualizada, Editora Campus, 004. HILLIER, F. S. Introdução à pesquisa operacional. Rio de Janeiro, Editora Campus, 1988.