Fundamentos da PESQUISA OPERACIONAL

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1 Andréa Cardoso Fundamentos da PESQUISA OPERACIONAL Março 200

2 2 0. Lista de Problemas 6. O quadro a seguir mostra o processo de resolução de um PPL. A partir dos dados fornecidos, responda às seguintes questões: BASE X X 2 X Y Y 2 B (Recurso A) (Recurso B) L (a) Complete o quadro indicando as variáveis que estão na base. (b) Escreva a solução que o quadro indica. A solução obtida nessa etapa é otima? 2. Uma empresa fabricante de móveis de copa trabalha com três modelos principais de conjuntos aos quais denomina MXA, MXB e MXC (x, x 2 e x, respectivamente), cuja produção semanal deseja programar. As margens unitárias de lucro dos modelos são respectivamente, $20, $8 e $. Os três conjuntos utilizam as três principais seções da fábrica, que chamaremos Seção, Seção 2 e Seção, conforme os coeficientes unitários de utilização mostrados no modelo de programação linear abaixo. As seções dispõem das seguintes capacidades semanais de trabalho, respectivamente: 240 homens-horas (H.h), 20 H.h e 480 H.h. O modelo de programação linear utilizado pelo setor de planejamento da empresa para a programação da produção da próxima semana é o seguinte: Achar x, x 2 e x de modo a Maximizar lucro = 20x + 8x 2 + x respeitando as restrições: 4x + x 240 (Seção ) 4x + 2x 2 + 2x 20 (Seção 2) x + 4x (Seção ) O quadro a seguir mostra os resultados do processo de solução do Método Simplex.

3 0.. LISTA DE PROBLEMAS 6 Pede-se: BASE X X 2 X Y Y 2 Y B LUCRO (a) Na solução ótima do problema, identifique as utilidades marginais das três seções utilizadas no processo de produção da empresa. (b) Caso a Seção tenha sua disponibilidade alterada para 200 H.h, quais os novos valores das produções ótimas dos conjuntos MXA e MXB? (c) Caos a empresa possa acrescentar mais 60 H.h a alguma seção, qual deverá ser a seção escolhida? Por quê? (d) Na hipótese anterior, quais os novos valores das produções ótimas e quais as novas utilizações dos recursos?. Uma empresa produz dois produtos A e B. As receitas unitárias são $ 2 e $, respectivamente. A disponibilidade das duas matérias-primas (M e M 2 ) usadas na fabricação dos produtos é de 8 e 8 unidades. Uma unidade de A usa duas unidades de M e duas unidades de M 2, e uma unidade de B usa três unidades de M e seis unidades de M 2. (a) Determine as faixas de viabilidade de cada restrição. (b) Suponha que quatro unidades adicionais de M podem ser adquiridas ao custo de 0 centavos por unidade. Você recomendaria essa compra adicional? (c) Qual é o valor máximo que a empresa pode pagar por unidade de M? (d) Determine a receita ótima se a disponibilidade de M 2 for aumentada em cinco unidades. (e) Determine as faixas de otimalidade para as receitas unitárias considerando que as alterações são feitas uma por vez. (f) Como fica a solução ótima se a receita unitária do produto A passar a ser $ 5? E se a receita unitária do produto B passar a ser $ 4?

4 4 4. Uma pequena empresa produz pôsteres de bandas de Rock. Ela fabrica quatro tipos de pôsteres, que diferem em tamanho e nas cores utilizadas. A empresa conseguiu uma impressora para produzir os pôsteres e estabeleceu um limite mínimo de 000 pôsteres para produção. Cada pôster deve ser impresso, cortado e dobrado. O tempo (em minutos) para fazer isso para os quatro tipos de pôsteres é de: Tipo de Pôster Impressão Corte Dobragem A 2 B C 5 D Disponível (a) Quais as quantidades ótimas produzidas e o lucro projetado? (b) Quanto a empresa está disposta a pagar por tempo extra de impressão, de corte e de dobragem? (c) Suponha que reduzíssemos o limite mínimo de produção de 000 em um dos itens para 900. Qual pôster deveria ter sua produção diminuída, e qual seria o lucro adicional da empresa? 5. A Distribuidora de Bebidas Desce Redondo deseja programar suas vendas para o mês de janeiro, de acordo com as cotas por produtos determinadas pela empresa produtora Ambe, fabricante de diferentes marcas de cerveja. Neste período, a Desce Redondo consegue vender quaisquer quantidades de produto entregues pela Ambe, tendo uma margem de lucro de 2% sobre sua receita. A Ambe autorizou um pedido de caixas com 24 garrafas cada, de diversos produtos, podendo a Desce Redondo determinar dentro de certos limites impostos pela fábrica que quantidade deseja receber de cada cerveja. A tabela abaixo discrimina os lucros unitários por caixa dos produtos e limites de cotas impostos pela fábrica.

5 0.. LISTA DE PROBLEMAS 6 5 Cerveja Capacidade Preço de venda Max (%) Min(%) Recipiente (ml) por caixa (R$) Antártida , Antártida 50 7, Boemia Regressa ,00,0,0 Mudweiser 50 40,50,5 0,5 Malebier 50 4,00,5,0 Bama Chopp 50 40,50,7 0,5 Lambati 50 44,0 5,0 2,0 Desce Redondo ,0,0 0,5 Pede-se (a) Quais são as quantias ótimas a serem solicitadas? Qual o lucro total? (b) Se você pudesse aumentar seu pedido em 50 caixas, que cerveja solicitaria? 6. Considere o PPL max z = 5x + 5x 2 + x x + x 2 + x 20 s.a. : 2x + 4x 2 + 0x + 2x 4 90 x, x 2, x 0 bem como o seu quadro Simplex ótimo x x 2 x x 4 x 5 x x z Resolva as seguintes questões: (a) Qual a nova solução ótima se alterarmos o vetor b de (20 90) T para (0 00) T? (b) Qual a nova solução ótima se alterarmos o custo c da variável x de para 8?

6 6 (c) Qual a nova solução ótima se alterarmos os coeficientes de x 2 nas restrições de ( 4) T para (2 5) T? (d) Qual a nova solução ótima se introduzirmos no PPL original uma nova variável x 6 com coeficientes a 6 = ( 5) T e c 6 = 0? (e) Qual a nova solução ótima se introduzirmos uma nova restrição no PPL original: 2x + x 2 + 5x 50? 7. A Electra produz quatro tipos de motores elétricos, cada um em uma linha de montagem separada. As capacidades respectivas das linha são 500, 500, 800 e 750 motores por dia. O motor do tipo usa oito unidades de um certo componente eletrônico, o motor do tipo 2 usa cinco unidades, o motor do tipo usa quatro unidades e o motor do tipo 4 usa seis unidades. O fabricante do componente pode fornecer peças por dia. Os preços dos componentes para os respectivos tipos de motor são $ 60, $ 40, $ 25 e $ 0 por motor. (a) Determine o mix ótimo de produção diária. (b) A atual programação de produção atende às necessidades da Electra. Contudo, devido à concorrência, pode ser que a empresa precise reduzir o preço do motor do tipo 2. Qual é a maior redução que pode ser efetuada sem alterar a programação de produção atual? (c) A Electra decidiu reduzir em 25% o preço de todos os tipos de motores. Use a análise de sensibilidade para determinar se a solução ótima permanecerá inalterada. (d) Atualmente, o motor do tipo 4 não é produzido. De quanto deveria ser o aumento no preço desse motor para ser incluído na programação de produção? 8. Um fazendeiro dispõe de 00 hectares de terra e um total de mão-de-obra anual disponível correspondente a homens/hora. O fazendeiro tem a opção de plantar trigo, soja ou milho. O gasto anual de mão-de-obra por hectare para cada uma destas culturas é respectivamente h, h 2 e h homens/hora. O lucro por hectare para trigo, soja e milho é respectivamente 0, 8 e i unidades monetárias. O filho do fazendeiro, Pedro, que estuda P.O., montou então o seguinte modelo, que visa maximizar o lucro da fazenda:

7 0.. LISTA DE PROBLEMAS 6 7 max z = 0x + 8x 2 + x x + x 2 + x 00 s.a. : h x + h 2 x 2 + h x 0000 x, x 2, x 0 onde x, x 2 e x representam a quantidade de terra por hectare a ser plantada respectivamente com o trigo, soja e milho. Em seguida, Pedro pediu ao pai para especificar os valores de h, h 2 e h, com o auxílio do Simplex determinou a solução ótima através do seguinte quadro: x x 2 x x 4 x Visando prevenir-se contra possíveis mudanças na fazenda, estude os seguintes casos (os casos não podem ocorrer simultaneamente): (a) Uma indústria se instala nas proximidades da fazenda e absorve toda a mãode-obra da região. O fazendeiro fica restrito ao caseiro, que não pode dispor de mais de 00 horas por ano. O plano de produção da fazenda seria alterado? Como? Caracterize a nova solução. (b) Por uma questão de segurança (mudança de preços do trigo), o fazendeiro decide plantar no máximo 50 hectares de trigo. Qual seria a nova solução ótima? (c) Determine o valor das variáveis do dual para três soluções obtidas (a dada no enunciado e mais as obtidas em (a) e (b)). Interprete o significado dessas variáveis para as três soluções caracterizando as alterações sofridas.

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