PESQUISA OPERACIONAL NA TOMADA DE DECISÃO

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1 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS CCE DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Curso de Especialização Lato Sensu em Engenharia de Produção com enfoque em Pesquisa Operacional PESQUISA OPERACIONAL NA TOMADA DE DECISÃO Professores: Dr. Waldir Medri Ms. Ana Satie Yotsumoto Londrina/Pr Setembro 2009

2 ii ÍNDICE PESQUISA OPERACIONAL NA TOMADA DE DECISÃO PESQUISA OPERACIONAL INTRODUÇÃO PROGRAMAÇÃO LINEAR MODELO MATEMÁTICO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR FORMULAÇÃO DO PROBLEMA MONTAGEM DO MODELO MODELO COMPLETO RESOLUÇÃO GRÁFICA DO PROBLEMA DE MAXIMIZAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR RESOLUÇÃO GRÁFICA DO PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR APLICAÇÕES EM SISTEMAS PRODUTIVOS MÉTODO SIMPLEX INTRODUÇÃO DAS VARIÁVEIS DE FOLGA MÉTODO SIMPLEX EM DUAS FASES OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL MÉTODO DAS DUAS FASES APLICAÇÕES EM SISTEMAS PRODUTIVOS ANÁLISE DE SENSIBILIDADE MUDANÇAS PARAMÉTRICAS EM UM COEFICIENTE C J DA FUNÇÃO OBJETIVO MUDANÇA NO COEFICIENTE DE UMA VARIÁVEL NÃO-BÁSICA MUDANÇA NO COEFICIENTE DE UMA VARIÁVEL BÁSICA Intervalo de Estabilidade para o Coeficiente de x 1 (c 1) Intervalo de Estabilidade para o Coeficiente de x 2 (c 2) ENTRADA DE UMA NOVA VARIÁVEL MUDANÇAS NOS VALORES DOS RECURSOS B J APLICAÇÕES EM SISTEMAS PRODUTIVOS DUALIDADE EM PROGRAMAÇÃO LINEAR PROGRAMAÇÃO INTEIRA INTRODUÇÃO MÉTODOS DE RESOLUÇÃO MÉTODO DE PARTIÇÃO E AVALIAÇÃO SUCESSIVAS APLICAÇÃO APLICAÇÕES EM SISTEMAS PRODUTIVOS BIBLIOGRAFIA... 46

3 1 PESQUISA OPERACIONAL NA TOMADA DE DECISÃO 1 PESQUISA OPERACIONAL 1.1 INTRODUÇÃO A Pesquisa Operacional apareceu pela primeira vez durante a 2 a. Guerra Mundial, quando equipes de pesquisadores procuraram desenvolver métodos para resolver problemas de operações militares. Neste período observouse uma atividade global de planejamento a nível mundial. Este planejamento envolvia instrumentos e sistemas econômicos, políticos e sociais diferentes entre si, mas com objetivos e funções perfeitamente determinados pela guerra, ligada de alguma forma, ao próprio desenvolvimento da pesquisa operacional. Desde seu nascimento, esse novo campo de análise de decisão caracterizou-se pelo uso de técnicas e métodos científicos qualitativos por equipes interdisciplinares, com a finalidade de determinar a melhor utilização de recursos limitados e para a programação otimizada das observações de uma empresa. Essa característica multidisciplinar das aplicações de pesquisa operacional deu origem a um novo enfoque. A pesquisa operacional é uma metodologia administrativa que agrega, em sua teoria, quatro ciências fundamentais para o processo de preparação, análise e tomada de decisão: economia, matemática, estatística e informática. Uma característica importante que a pesquisa operacional possui e que facilita muito processo de análise de decisão é a utilização de modelos, uma vez que, a P.O. consiste, basicamente, em construir um modelo de um sistema real existente como meio de analisar e compreender o comportamento dessa situação, com o objetivo de levá-lo a apresentar o desempenho que se deseja. Este sistema pode existir atualmente ou pode ainda estar em concepção. No primeiro caso, o objetivo do estudo é analisar o desempenho do sistema para escolher uma ação no sentido de aprimorá-lo. No segundo, o objetivo é identificar a melhor estrutura do sistema futuro.

4 2 A pesquisa operacional tem sido vista pelos gerentes e praticantes sob dois enfoques diferentes quanto à abordagem, mas coerentes e complementares na aplicação prática no campo da gestão empresarial: Enfoque clássico busca da solução ótima. Enfoque atual uso do modelo para identificação do problema correto. O enfoque clássico ou tradicional é derivado do conceito quantitativo da pesquisa operacional. Aqui a P.O. é definida como a arte de aplicar técnicas de modelagem a problemas de decisão e resolver os modelos obtidos através da utilização de métodos matemáticos e estatísticos, visando à obtenção de uma solução ótima, sob uma abordagem sistêmica. A outra visão decorre de um conceito qualitativo da pesquisa operacional. O esforço despendido para a modelagem de um problema leva a uma compreensão mais profunda do próprio problema, identificando melhor seus elementos internos, suas interações com o ambiente externo, as informações necessárias e os resultados possíveis de obter. Nessa abordagem qualitativa, o enfoque central é deslocado do método de solução para a formulação e para a modelagem, ou seja, para o diagnóstico de problema. 2 PROGRAMAÇÃO LINEAR A Programação Linear é hoje o instrumento de Pesquisa Operacional mais comumente empregado na resolução prática de problemas decisórios objetivos e de certa complexidade. Em linhas gerais, a programação linear consiste na descrição de um sistema organizado com auxílio de um modelo matemático, e através da resolução deste modelo, encontrar a melhor solução. 2.1 MODELO MATEMÁTICO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Usa-se programação matemática para a determinação da solução ótima de problemas que exigem que se decida sobre a utilização eficaz de uma quantidade limitada de recursos, para a obtenção de um determinado objetivo.

5 3 A programação linear é uma técnica de programação matemática e, consiste na otimização (maximização ou minimização) de uma função linear, denominada de Função Objetivo, respeitando-se um sistema linear de igualdades ou desigualdades que recebem o nome de Restrições do modelo. Matematicamente, a função objetiva a ser maximizada pode ser escrita da seguinte maneira: Max Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n s.a.: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1, x 2,, x n 0 onde: x j = número de unidades do produto j produzidas num certo período de tempo (variáveis de decisão); Z = função a ser otimizada (maximizada ou minimizada); c j = aumento no lucro Z pelo acréscimo de uma unidade x j (coeficiente de lucro); a ij = quantidade do recurso i consumida na produção de uma unidade de atividade j (coeficiente de restrições); b j = quantidade de recurso i disponível no período para as n atividades (limitação de capacidade da restrição). Pode-se apresentar esse modelo de forma mais compacta: Max Z = n j = 1 c j x j n s. a. : a x b para i = 1, 2,..., m j=1 ij j i x j 0 para j = 1, 2,..., n

6 4 2.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Definindo o problema através de um exemplo de programação linear. Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente, a oficina fabrica apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, considere que a mercearia tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas no quadro 1. Quadro 1 Recurso Madeira Mão-de-obra Disponibilidade 12 m 2 8 H.h. O processo de produção é tal que, para fazer uma mesa a fábrica gasta 2 m 2 de madeira e 2 H.h. de mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 3 m 2 de madeira e 1 H.h. de mão-de-obra. Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o lucro de R$ 4,00, e cada armário, de R$ 1,00. O problema do fabricante é encontrar o programa de produção que maximize a margem de contribuição para o lucro. 2.3 MONTAGEM DO MODELO Como variáveis de decisão, considera-se: quantidade a produzir de mesa: x 1 quantidade a produzir de armário: x 2 Com essa definição de variáveis, pode-se escrever as relações matemáticas que formam o modelo. Assim, para função objetivo tem-se: Margem de Contribuição Total: Z = 4x 1 + x 2 Para as restrições, a relação lógica existente é:

7 5 Utilização de recursos Disponibilidade de recurso Para a madeira: 2x 1 + 3x 2 12 Utilização de madeira para os dois produtos Disponibilidade de madeira Para a mão-de-obra: 2x 1 + 1x 2 8 Utilização de mão-de-obra para os dois produtos Disponibilidade de mão-de-obra 2.4 MODELO COMPLETO Maximizar Z = 4x 1 + x 2 s.a.: 2x 1 + 3x x 1 + 1x 2 8 x 1, x 2 0 Observa-se que o conjunto de restrições forma um sistema de desigualdades lineares. Assim existem infinitas combinações de valores de x 1 e x 2 que satisfazem as restrições RESOLUÇÃO GRÁFICA DO PROBLEMA DE MAXIMIZAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Mesmo na era do computador, o método de solução gráfica de programação linear é ainda útil para pequenos problemas envolvendo duas variáveis de decisão, bem como para mostrar como é que se pode resolver, sistematicamente, problemas de programação linear.

8 6 Z = 4x 1 + x 2 gradiente de Z, representado por (nabla) Z Z Z = (, ) Z = (4, 1) a função objetiva sempre é x 1 x 2 perpendicular ao e sobe no sentido que está apontado o. X 2 8 2x 1 + 3x 2 12 A: 2x 1 + 3x 2 = 12 x x2 = 2 A X 1 X x 1 + 1x 2 8 B: x 2 = 8-2x 1 B X 1 X X 1 Solução ótima (x 1 = 4; x 2 = 0 e Z = 16) A área hachurada representa a região onde estão todas as soluções possíveis para o problema. Cada ponto dessa região, definido por um par de coordenadas (x 1, x 2 ) é uma solução viável, pois satisfaz o conjunto de restrições. Portanto, o problema admite infinitas soluções, porém o que se quer é encontrar o ponto que dá a solução ótima, ou seja, que maximize o lucro total. Importante: o ponto (solução ótima) sempre se encontra em um dos vértices da região exeqüível. Deslocando-se uma reta que representa a função objetiva, paralelamente a si mesma para cima, implica em fazer crescer o valor de Z. O

9 7 nosso problema consiste, portanto, em procurar o último ponto pertencente ao conjunto viável, tal que por ele passe a reta que maximize Z. Outra forma de garantir que a função objetiva cresce sempre num sentido determinado é nos apoiar num teorema de cálculo diferencial e integral que diz que se uma função f:!r n!r é diferenciável, então o vetor gradiente, representado por ( ), fica: f f f ( x) = (,, L, x x f x 1 2 n em cada x!r n aponta no sentido do máximo crescimento da função. Quando for linear, f(x) (gradiente) é constante e aponta sempre no mesmo sentido. ) No problema em questão Z = (4, 1) que é o vetor que dá o sentido de máximo crescimento de Z. Nota-se também que ele é perpendicular á reta da função objetiva. expressa como, Em se tratando de Problema de Minimização, a função objetiva é Minimizar z = b 1 y 1 + b 2 y b n y n e as restrições, geralmente, são apresentadas da seguinte maneira: a 11 y 1 + a 21 y a n1 y n c 1 a 12 y 1 + a 22 y a n2 x n c 2... a 1m y 1 + a 2m y a mn y n b m y 1, y 2,, y m 0 Pode-se apresentar esse modelo de forma mais compacta: Minz = m i= 1 c i y i

10 8 m s. a.: a y c para j = 1, 2,..., n i=1 ij i j y 0 para i = 1, 2,..., m i j Exemplo: Min z = 2x 1 + 3x 2 s.a.: x 1 + x 2 5 5x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 Observa-se que o conjunto de restrições forma um sistema de desigualdades lineares. Assim existem infinitas combinações de valores de x 1 e x 2 que satisfazem as restrições RESOLUÇÃO GRÁFICA DO PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Z = 2x 1 + 3x 2 gradiente de z, representado por (nabla) Z Z z = (, ) z = (2, 3) a função objetiva sempre é x 1 x 2 perpendicular ao e sobe no sentido que está apontado o. X 2 10 x 1 + x 2 5 A: x 1 + x 2 = 5 5 x 2 = 5 x 1 A X 1 X x 1 + 1x 2 10 B: x 2 = 10-5x 1 B X 1 X X 1 Solução ótima (x 1 = 5; x 2 = 0 e z = 10)

11 APLICAÇÕES EM SISTEMAS PRODUTIVOS 1. Resolver graficamente o modelo de programação linear 1.1. Maximizar RECEITA = 0,3x 1 + 0,5x 2 Sujeito a: 2x 1 + x 2 2 x 1 + 3x 2 3 x 1, x Minimizar CUSTO = 10x x 2 Sujeito a: x 1 + x 2 20 x 1 + x x 1 + 6x 2 54 x 1, x Certa empresa fabrica 2 produtos P 1 e P 2. O lucro por unidade de P 1 é de 100 u.m. e o lucro unitário de P 2 é de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P 1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P 2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P 1 e P 2 não devem ultrapassar 40 unidades de P 1 e 30 unidades de P 2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

12 Duas fábricas produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel médio e 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de espessura. O custo de produção na primeira fábrica é de u.m. e o da segunda fábrica é de u.m., por dia. A primeira fábrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda fábrica produz 2 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fábrica deverá operar para suprir os pedidos mais economicamente? 1.5. Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: O tipo A tem 2m 3 de espaço refrigerado e 3m 3 de espaço não refrigerado; O tipo B tem 2m 3 de espaço refrigerado e 1m 3 de espaço não refrigerado. O cliente quer transportar um produto que necessitará 16 m 3 de área refrigerada e 12 m 3 de área não refrigerada. A companhia calcula em litros o combustível para uma viagem com o caminhão A e 750 litros para o caminhão B.Quantos caminhões de cada tipo deverão ser usados no transporte do produto, com o menor consumo de combustível.

13 MÉTODO SIMPLEX O algoritmo Simplex de resolução de problema de programação linear foi desenvolvido pelo matemático norte americano George B. Dantzig em O Método Simplex de programação linear utiliza os conceitos básicos da álgebra matricial para achar a intersecção de duas ou mais retas ou planos. Ele começa em alguma solução viável, isto é aquela que satisfaça todas as restrições, e sucessivamente obtém soluções em intersecções que fornecem valores cada vez melhores para a função objetiva. Além disso, esse método fornece um indicador que determina quando a solução ótima é atingida. Dentro da matriz, tem-se uma coluna para cada variável real positiva, uma coluna para cada variável auxiliar ou de folga e uma última coluna é para cada constante indicando a limitação do recurso INTRODUÇÃO DAS VARIÁVEIS DE FOLGA Se as restrições são expressas em inequações, é preciso modificá-las em equações. Isto é feito pela introdução de um termo adicional em cada restrição. Este termo recebe o nome de variável de folga (s i ). Conforme já visto anteriormente, que as restrições do problema têm a seguinte estrutura lógica: Utilização de recursos disponibilidade Se introduzir o conceito de folga de recurso pode-se escrever a relação acima da seguinte forma: Utilização mais folga = disponibilidade Isto significa que: utilização < disponibilidade folga > 0 utilização = disponibilidade folga = 0 Assim, a folga de cada recurso pode se representada por uma variável de forma exatamente igual à produção de cada produto. Desse modo, Chamando-se de:

14 12 s 1 = folga da madeira s 2 = folga de mão-de-obra Introduzindo a variável s 1 para a primeira desigualdade e s 2 para a segunda, tem-se o sistema anterior transformado. É óbvio que ao introduzir duas variáveis de folga (auxiliares) nesse sistema de inequações lineares terá o sistema de equações lineares: Max Z = 4x 1 + 1x 2 + 0s 1 + 0s 2 s.a.: 2x 1 + 3x 2 + 1s 1 + 0s 2 = 12 2x 1 + 1x 2 + 0s 1 + 1s 2 = 8 x 1, x 2, s 1, s 2 0 onde s 1, s 2 são as variáveis de folga. Estas variáveis representam a parte não utilizada dos recursos a que se referem às inequações de restrição. O objetivo agora é encontrar valores não negativos de x 1, x 2, s 1 e s 2 que satisfaçam as duas novas condições de restrição e maximizem o valor da função objetivo (Z). Inicialmente monta-se a Tabela 1 Base x 1 x 2 s 1 s 2 constantes (b) S S Z A última coluna corresponde aos termos independentes das equações, e a última linha contém os coeficientes da função objetiva. Nesta última linha, sempre tem a contribuição que cada variável dá para o lucro total L, por unidade, em cada iteração do processo de solução.

15 13 Solução inicial: A solução inicial para o problema será sempre obtida fazendo as variáveis originais do modelo (no caso x 1, x 2 ) iguais a zero e achando o valor das demais. Assim temos x 1 = x 2 = 0 (variáveis não básicas) e s 1 = 12 e s 2 = 8 (variáveis básicas) e Z = 0. Como a primeira solução não é a melhor, procura-se outra que dê um valor maior para Z. O problema é descobrir: Das duas variáveis não básicas (nulas) na primeira solução, qual deverá ser básica, isto é, se tornar positiva? Das duas variáveis básicas (positivas) qual deverá ser anulada? Observando a tabela 1, nota-se que a contribuição unitária para o lucro da variável x 1, é maior que a contribuição de x 2. Logo, a variável que deverá se tornar positiva é x 1. Por outro lado, examinando as duas equações, o maior valor possível para x 1 na primeira equação, será 6, quando s 1 for igual a zero, e o maior valor possível para x 1 na segunda equação, será 4, quando s 2 for igual a zero. Observe que essa análise pode ser feita diretamente no tabela 1, através da divisão dos elementos da coluna b pelos correspondentes elementos da coluna x 1. O menor quociente indica, pela linha em que ocorreu, qual a variável básica que deve ser anulada, isto é, sair da base. Como 12/2 = 6 e 8/2 = 4, a variável básica a ser anulada é s 2 e, em seu lugar entra a variável x 1. 1 a. operação: Dividir a segunda linha por 2. Tabela 2 Base x 1 x 2 s 1 s 2 b s x 1 1 0,5 0 0,5 Z

16 14 2 a. operação: a) Multiplicar a 2 a linha por (-2) e somar com a 1 a linha, colocando o resultado na linha 1. resultado na linha 3. Tabela 3 b) Multiplicar a 2 a linha por (-4) e somar com a 3 a linha, colocando o Base x 1 x 2 s 1 s 2 b S X 1 1 0,5 0 0,5 Z Como a última linha mostra as contribuições líquidas para o Z, e como estas contribuições têm seus valores com sinais (-) trocados com relação à tabela original, concluímos que a solução encontrada, x 1 = 4; x 2 = 0; s 1 = 4; s 2 = 0 e Z=16 é a solução ótima. madeira, isto é, 4m 2. O valor positivo de s 1 representa uma quantidade não usada de 4 4-2L 2 + L 1-4L 2 + L MÉTODO SIMPLEX EM DUAS FASES O processo iterativo do Método Simplex sempre exige uma solução básica para iniciar a busca da solução ótima OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL Essa solução básica inicial vista até o presente momento era formada pelas variáveis de folga, já que as restrições eram do tipo ( ). Quando as restrições são do tipo (=) ou ( ), não existe essa solução básica inicial natural. Veja o exemplo: Min z = 16x x 2 + 5x 3 s.a.: 8x 1 + 4x 2 + 4x x 1 + 6x 2 12 x 1, x 2, x 3 0

17 15 Como as restrições são tipo ( ), as variáveis de folga (variáveis auxiliares) a serem acrescentadas devem ter coeficientes negativos, tendo o significado de variáveis de excesso. Assim o problema fica: Min z = 16x x 2 + 5x 3 0s 1 0s 2 s.a.: 8x 1 + 4x 2 + 4x 3 1s 1 = 16 4x 1 + 6x 2 1s 2 = 12 x 1, x 2, x 3, s 1, s 2 0 Ressalta-se que quando o problema original não assume a forma canônica, após a introdução de variáveis auxiliares, deve-se acrescentar variáveis artificiais (a i ) ao mesmo, formando um novo problema de programação linear. A introdução de variáveis artificiais, que não tem significado algum para o problema real, mas que permitem a inicialização do processo usando o mesmo algoritmo simplex descrito anteriormente. Com a introdução de variáveis artificiais, o método simplex deverá desdobrar-se em duas fases, conforme será visto a seguir MÉTODO DAS DUAS FASES Passo 1: Introduzidas as variáveis de folga ou de excesso, para as restrições do tipo ( ) ou ( ) respectivamente, devem ser adicionadas as variáveis artificiais para todas as restrições do tipo (=) ou ( ), tal como: 8x 1 + 4x 2 + 4x 3 1s 1 + 1a 1 = 16 4x 1 + 6x 2 1s 2 + 1a 2 = 12 Passo 2: Cria-se uma Função Objetiva Artificial da seguinte maneira. Para todas as variáveis reais e de folga, o coeficiente da função artificial será a soma dos coeficientes destas variáveis, e zero para as variáveis artificiais. Em nosso

18 16 exemplo, com as restrições do problema, tem-se a seguinte função objetiva artificial: F.O. artificial: 12x x 2 + 4x 3 1s 1 1s 2 + 0a 1 + 0a 2 = 28 Passo 3: Monta-se a tabela de solução de forma exatamente igual à sistemática anterior, colocando-se a função objetiva artificial na última linha. Tabela 4 Base x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 a 1 a 2 B A a Z z a Passo 4: Aplica-se o Método Simplex normalmente, usando como função objetiva a última linha. Quando a solução for atingida, dois casos podem ocorrer: 1) Z a = 0: Neste caso foi obtida uma solução básica do problema original e o processo de solução deve continuar, desprezando-se as variáveis artificiais e os elementos da última linha. É o início da fase 2 do processo. 2) Z a 0: Neste caso o problema original não tem solução viável, o que significa que as restrições devem ser inconsistentes. Fase 1: Resolver o problema de forma completa Tabela 5 Base x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 a 1 a 2 b a a Z z a

19 17 1 a. iteração: entra a variável x 1 e sai a variável a 1 Tabela 6 Base x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 a 1 a 2 B x 1 1 0,5 0,5-0, ,125 0 a ,5-1 -0,5 1 Z z a ,5-1 -1, a. iteração: entra a variável x 2 e sai a variável a 2 Tabela 7 Base x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 a 1 a 2 b X ,75-0,1875 0,125 0,1875-0,125 X ,5 0,125-0,25-0,125 0,25 Z ,5 1-1, z a ,5 1 Como na última linha o valor da função objetiva artificial é zero, a fase 1 termina e a solução encontrada é a solução básica inicial para a fase 2. Fase 2: Resolver o problema para minimização da função Tabela 8 inicial Base x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 B x ,75-0,1875 0,125 x ,5 0,125-0,25 1,5 Z , contribuição. Como o problema é de minimização, então entra a variável de menor

20 18 1 a. iteração: entra a variável x 3 e sai a variável x 1 Tabela 9 final Base x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 b x 3 1, ,25 0,1667 x 2 0, ,1667 Z 1, ,25 1, Como os coeficientes da última linha são todos nulos ou positivos, a solução obtida é ótima. No caso, x 2 = 2, x 3 = 2 e z = 34

21 APLICAÇÕES EM SISTEMAS PRODUTIVOS 1. Resolver os modelos de programação linear, usando o método simplex Max LUCRO = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 Sujeito a.: x 1 + x 2 + x x 1 + x x 1 80 x 1, x 2, x Min CUSTO = 2x 1 + 3x 2 Sujeito a.: x 1 + x 2 5 5x 1 + x 2 10 x 1, x Uma companhia fabrica dois produtos P 1 e P 2 que utilizam os mesmos recursos produtivos: matéria-prima, forja e polimento. Cada unidade de P 1 exige 4 horas de forjaria, 2 horas de polimento e utiliza 100 u. de matériaprima. Cada unidade de P 2 requer 2 horas de forjaria, 3 horas de polimento e 200 u. de matéria-prima. O preço de venda de P 1 é u.m. e de P 2, u.m. Toda produção tem mercado garantido. As disponibilidades são de: 20 horas de forja; 10 horas de polimento e 500 unidades de matéria-prima, por dia. Determinar as quantidades de P 1 e P 2 que otimizem a receita diária dos produtos.

22 Um fabricante de fantasias tem em estoque 32 m de brim, 22 m de seda e 30 m de cetim e pretende fabricar dois modelos de fantasias. O primeiro modelo (M1) consome 4 m de brim, 2 m de seda e 2 de cetim. O segundo modelo (M2) consome 2 m de brim, 4 m de seda e 6 de cetim. Se M1 é vendida a u.m e M2 a u.m., quantas peças de cada tipo o fabricante deve fazer para obter a receita máxima? 1.5. Uma fábrica de calçados pode produzir sapatos femininos, infantis e masculinos. A produção de uma dezena de pares de calçados femininos requer 2 horas de serviço do setor de montagem e 8 horas de serviço do setor de acabamento. A produção de uma dezena de pares de calçados infantis requer 1 hora de serviço do setor de montagem e 6 horas de serviço do setor de acabamento. A produção de uma dezena de pares de calçados masculinos requer 2 horas de serviço do setor de montagem e 4 horas de serviço do setor de acabamento. Os ganhos líquidos unitários na produção de sapatos femininos, infantis e masculinos, em unidades monetárias por dezenas de pares, são respectivamente 10, 8 e 10. Em cada turno de trabalho a fábrica dispõe de 300 horas de serviço no setor de montagem e de 720 horas de serviço no setor de acabamento. Determine o plano de produção que maximiza ganhos líquidos totais. 2. Resolver os modelos de programação linear (1.3, 1.4 e 1.5), usando o Excel, ou Simplex e Lindo.

23 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE A análise de sensibilidade refere-se ao estudo de certas questões de pós-otimização. Freqüentemente, o agente econômico tem interesse em saber até que ponto a solução encontrada para o seu problema de programação linear seria alterada se um ou mais parâmetros do problema original fossem modificados. Dessa forma, deve-se examinar o efeito de mudanças paramétricas nos coeficientes da função objetiva e nos coeficientes do lado direito das restrições. A análise será totalmente desenvolvida a partir do problema numérico a seguir descrito. Uma fábrica pode produzir três produtos: 1, 2 e 3. Definimos x j (j=1, 2, 3) como a quantidade mensal produzida do j-ésimo produto. Os preços de mercado dos três produtos são P 1 = 10,00, P 2 = 6,00 e P 3 = 4,00. Para produzir uma unidade do produto 1 são necessárias 1 hora de serviços técnicos, 10 horas de mão-de-obra e 2 horas de administração. Para produzir uma unidade do produto 2 são necessárias 1 hora de serviços técnicos, 4 horas de mão-de-obra e 2 horas de administração. Para produzir uma unidade do produto 3 são necessárias 1 hora de serviços técnicos, 5 horas de mão-de-obra e 6 horas de administração. Existe uma disponibilidade de 100 horas de serviços técnicos, 600 horas de mão-de-obra e 300 horas de administração. O objetivo da fábrica é maximizar os lucros. Formalmente o problema é representado como: Max L = 10x 1 + 6x 2 + 4x 3 S.a.: x 1 + x 2 + x (serviços técnicos) 10x 1 + 4x 2 + 5x (mão-de-obra) 2x 1 + 2x 2 + 6x (administração) x 1, x 2, x 3 0 onde: x 1, x 2 e x 3 são as quantidades dos produtos 1, 2 e 3 produzidos. Introduzindo as variáveis de folga, tem-se:

24 22 Max L = 10x 1 + 6x 2 + 4x 3 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 S.a.: x 1 + x 2 + x 3 + 1s 1 + 0s 2 + 0s 3 = x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 0s 1 + 1s 2 + 0s 3 = 600 2x 1 + 2x 2 + 6x 3 + 0s 1 + 0s 2 + 1s 3 = 300 x 1, x 2, x 3, s 1, s 2, s 3 0 As tabelas do problema ficam: Tabela 10: Inicial Base X 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 b s 1 s 2 s Z Tabela 11: Final Base x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 b x 2 x 1 s ,8333 1,6667-0, , ,1667-0,6667 0, , Z 0 0-2,6667-3,3333-0, ,333 Solução: x 1 = 33,33; x 2 = 66,67; x 3 = 0; s 1 = 0; s 2 = 0; s 3 = 100 e Z = 733, MUDANÇAS PARAMÉTRICAS EM UM COEFICIENTE C J DA FUNÇÃO OBJETIVO MUDANÇA NO COEFICIENTE DE UMA VARIÁVEL NÃO-BÁSICA Nota-se, em primeiro lugar, que a coluna associada à atividade x 3 não faz parte da base ótima (exemplo anterior), isto é, a atividade x 3 é não-básica. Dada a própria natureza do problema, de imediato pode-se concluir que, se o produto 3 não é produzido quando c 3 = 4,00, também não irá entrar no plano ótimo para c 3 < 4,00. Portanto, a solução ótima dada na tabela 11 é completamente

25 23 estável com relação à diminuição de c 3. O que pode acontecer se c 3 > 4,00? Neste caso é de se esperar que para um valor de c 3 suficientemente alto a atividade x 3 acabe entrando no plano ótimo. Então, a solução da tabela 11 não deve ser completamente estável com relação a aumentos de c 3. Supondo que c 3 = 4,00 +. Neste caso, a solução da tabela 11 deveria ser modificada para incorporar esta mudança. Assim, para a solução básica apresentada na tabela 11 continuar sendo uma solução ótima, o valor de 2,6667, pois ainda, o valor do coeficiente relativo de lucro permaneceria negativo ou nulo. Entretanto, nota-se também que para > 2,6667 tem-se o valor do coeficiente relativo de lucro maior que 0 (zero) e a solução básica apresentada na tabela 11 deixará de ser ótima. Concluí-se então que a solução da tabela 11 é estável com relação a aumentos de c 3 até o acréscimo máximo de 2,6667 unidades ao valor utilizado inicialmente. Para c 3 > 4 + 2,6667 > 6,6667 a atividade x 3 passa a ser candidata à entrada na base. Outra maneira de calcular é como segue: quando uma variável é nãobásica, o que se deseja saber é qual seu coeficiente crítico para a estabilidade da solução, isto é, qual o valor a partir do qual a variável entra na base, mudando a solução. No exemplo, a entrada de x 3 com valor 1 provoca um aumento no lucro de 4,00 (1x4) e a diminuição devido às outras variáveis de: 0,8333 x 6 + 0,1667 x x 0 = 6,6667 O resultado é um decréscimo do lucro de 6, = 2,6667, exatamente o valor de seu coeficiente em módulo na tabela final. Para que a entrada de x 3 não diminua o lucro, é necessário que seu lucro unitário seja de: 4 + 2,6667 = 6,6667. Isto é, o lucro corrente mais seu valor de oportunidade. Portanto, a solução é estável para c 3 6,6667, e para c 3 > 6,6667 a atividade x 3 passa a ser candidata à entrada na base.

26 MUDANÇA NO COEFICIENTE DE UMA VARIÁVEL BÁSICA Estando interessado agora em saber que tipo de variação podem sofrer os coeficientes de x 1 e x 2 sem alterar a solução ótima da tabela Intervalo de Estabilidade para o Coeficiente de x 1 (c 1 ) É intuitivamente claro que quando c 1 fica abaixo de um certo nível, pode não ser lucrativo incluir o produto 1 na composição ótima de produtos. Quando c 1 cresce, é possível que isto traga uma mudança da composição ótima de produtos em algum nível. Isto ocorre porque o produto 1 pode tornar-se tão lucrativo que a mistura ótima pode incluir apenas o produto 1. Portanto, existe um limite superior e um inferior na variação de c 1 dentro da qual a solução ótima dada na tabela 11 não é influenciada. Para determinar a amplitude de variação sobre c 1, deve-se observar que uma mudança em c 1 muda o lucro das variáveis básicas. Entrada de x 3 na base (passa de x 3 = 0 para x 3 = 1) Na tabela final 11, a coluna dos coeficientes de x 3 nos mostra que, quando x 3 passa de x 3 = 0 para x 3 =1 x 2 diminui em 0,8333 x 1 diminui em 0,1667 s 3 diminui em 4 O coeficiente de x 1 que permite a entrada de x 3 é um coeficiente que iguala o aumento de lucro com a entrada de x 3 com a diminuição do lucro devido às outras variáveis x 2, x 1 e s 3. Conhecidos os lucros unitários da tabela inicial 10, e chamando o lucro de x 1 de c 1, teremos: Aumento devido a x 3 : 1 x 4 = 4 Diminuição devido às outras variáveis e compensação: 0,8333x6 + 0,1667xc 1 + 4x0 = 4 c 1 = -6