Universidade Federal do Rio de Janeiro. Nos exercícios de 1 a 10 a seguir, determinar o seguinte: (a) uma modelagem matemática

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática Departamento de Matemática Lista 3 de Modelagem Matemática-PROFMAT Nos exercícios de 1 a 10 a seguir, determinar o seguinte: (a) uma modelagem matemática para o PPL; (b) um esboço da região admissível R A ; (c) classificação do PPL como (i) inviável ou (ii) ilimitado ou (iii) otimizável, justificando porque; (d) solução ótima, quando existir, utilizando o método geométrico ; (e) justificativa para o resultado do item (d), utilizando a teoria de PL estudada. Nos exercícios 11 a 18, determinar somente modelagem matemática para o PPL. Os últimos 5 exercícios são desafios para os alunos. 1. Uma empresa que produz móveis para escritório pretende lançar um novo modelo de escrivaninha e um de estante. Pesquisas com clientes indicam que o mercado pode absorver toda a produção de estantes, mas é aconselhável que a produção mensal de escrivaninhas não ultrapasse 160 unidades. Ambos os produtos são processados nas unidades de corte (UC) e de montagem e acabamento (UMA). A disponibilidade mensal em cada uma destas unidades é de 720 horas- máquina (h.m.) na UC e de 880 horas-homem (h.h.) na UMA. Cada escrivaninha necessita de 2h.m. na UC e de 4h.h. na UMA. Cada estante necessita de 4h.m. na UC e de 4h.h. na UMA. As margens de lucro unitárias estimadas são de 6 (em centenas de reais) para as escrivaninhas e de 3 (em centenas de reais) para as estantes. Determine o plano de produção mensal de estantes e escrivaninhas que maximiza a margem de lucro da empresa. 2. A legislação de reposição florestal determina que empresas consumidoras de madeira precisam plantar anualmente um certo número de árvores para cada metro cúbico de madeira consumida, ou terceirizar o serviço através da utilização de mão de obra local. O plantio através de terceiros é feito em uma área não pertencente à 1

2 empresa com um custo de 75 centavos por árvore. A TMD madeireira dispõe de uma área na qual é posssível plantar no máximo 5000 árvores e o curso deste plantio próprio é de 60 centavos por árvore. Esta esmpresa deseja gerar empregos na região onde se estabelece e, porisso, pretende plantar, no mínimo 1500 árvores de forma terceirizada. A lei determina, ainda, que, para cada metro cúbico consumido de madeira em tora, é obrigatória a reposição de 6 árvores. Como a TMD Madeireira tem um consumo anual de no mínimo 1000 metros cúbicos de madeira em toro, qual deve ser o valor mínimo de seu custo com reflorestamento? 3. Um vendedor ambulante sabe preparar pastéis e cachorro quente. Um cachorro quente é vendido pelo dobro do valor de um pastel. Ele nunca consegue vender mais do que 3 pasteis e 4 cachorros quentes em um mesmo dia. Um pastel vem com uma porção de molho e um cachorro quente vem com 2 porções. Ele só tem disponível para gastar em um único dia 9 porções de molho. Quantos pasteis e quantos cachorros quentes ele deve produzir em um dia para ter o máximo possível de lucro? 4. D. Ana gosta dos pães de forma A e B, que são vendidos em pacotes de 500g, com 15 fatias cada. O pão A custa 3 reais e o pão B custa 2,25. Cada fatia do pão A contém 0.3g de carboidratos, 0.3g de proteínas e 0.2g de gorduras. Já a fatia do pão B contém 0.1g de carboidratos, 0.4g de proteínas e 0.7g de gorduras. A dieta alimentar diária recomendada para D.Ana é de, no máximo, 1.2g de carboidratos, no mínimo 3g de proteínas e, no máximo 2.8g de gorduras, em fatias de pão. Quantas fatias de cada tipo de pão D.Ana deve comer para que seja respeitada a sua dieta alimentar com o menor custo diário? 5. A fábrica de brinquedos Politoy S.A. fabrica soldados e trens de madeira. Cada soldado é vendido por 27 reais e utiliza 10 reais de matéria prima e 14 reais de mão de obra. Para produzir um soldado são necessárias 1h de carpintaria e 2h de acabamento. Cada trem é vendido por 21 reais e utiliza 9 reais de matéria prima e 10 reais de mão de obra. Para produzir um trem são necessários 1h de carpintaria e 1 hora de acabamento. A Politoy não tem problemas de fornecimento 2

3 de matéria prima, mas só pode contar com 100h para acabamento e 80h para carpintaria semanalmente. A demanda semanal por trens é ilimitada, mas, no máximo 40 soldados são vendidos por semana. A Politoy deseja maximizar seus ganhos semanais. Como isto será possível? 6. Durante a segunda guerra mundial, um general tinha à sua disposição tanques e aviões bombardeiros para realizar um ataque aos inimigos. Sabe-se que um tanque causa, em média, 20 baixas inimigas e, um avião bombardeiro, causa 50 baixas. Foi dito ao general que havia somente 4 tanques operacionais disponíveis. Sabe-se que um avião bombardeiro requer 1 soldado para pilotá-lo e um tanque requer 2( e não cabem soldados adicionais). O general sabe que precisa enviar no mínimo 9 soldados para o ataque, conforme prometido às outras forças aliadas que vão participar do ataque, para que possam reconstruir um local de descanso depois do ataque. Quantos tanques e quantos aviões bombardeiros o general deve enviar para o ataque, para causar o maior número de baixas? 7. A nota de Matemática de alunos de uma turma é obtida somando-se a nota de Álgebra com a de Geometria. Em cada bimestre, a nota máxima de Álgebra corresponde a 60%, enquanto que a nota de Geometria corresponde a 40% da nota total. Para que o aluno seja aprovado em Matemática, a soma destes valores deverá ser igual ou superior a 5. Quais devem ser os valores mínimos para as notas de Álgebra e de Geometria para um aluno ser aprovado em Matemática? 8. Uma pessoa tem até reais para investir e, no banco, a gerente sugere dois investimentos diferentes. O investimento A é bastante arriscado, com lucro anual de 10% e o investimento B é bastante seguro, com um lucro anual de 7%. Depois de algumas considerações a pessoa resolve investir no máximo 6000 reais no A e, no mínimo 2000 reais no B. Esta também resolve investir no mínimo tanto no investimento A como no investimento B. Como ela deve investir seu dinheiro para maximizar o rendimento anual? 9. Um estudante quer tomar um café da manhã composto de flocos de milho e leite, 3

4 da forma mais econômica possível. Levando em conta o que ele consegue comer nas outras refeições, ele decide que seu café da manhã deve supri-lo com pelo menos 9g de proteínas, pelo menos a terça parte da necessidade diária recomendada (NDR) de vitamina D, e pelo menos a quarta parte da NDR de cálcio. Olhando as embalagens de leite e de flocos de milho que ele gosta, ele obtém as seguintes informações: 1/2 copo de leite custa 7,5 centavos e tem 4g de proteínas, supre 1/8 de NDR de Vitamina D e 1/6 de NDR de cálcio. Já uma xícara de flocos de milho custa 50 centavos e tem 2g de proteína, supre 1/10 de NDR de vitamina D e não tem cálcio. Afim de não ter uma mistura muito empapada ou muito seca, o estudante decide por uma mistura que contenha pelo menos 1 e no máximo 3 xícaras de flocos de milho, por copo de leite. Qual a quantidade de leite e de flocos de milho que ele deve utilizar para minimizar o custo? 10. A empresa de transportes de carga TRANSCARGO transporta conteiners para duas companhias, A e B. Cada conteiner da companhia A pesa 40kg (cheio) e tem metros cúbicos de volume. O da companhia B pesa 50kg (cheio) e seu volume é metros cúbicos. Por cada conteiner transportado a empresa TRANSCARGO cobra 2,20 reais de frete da companhia A e 3,00 reais de frete da companhia B. Sabe-se que um caminhão da empresa não pode carregar mais do que 37 toneladas e não comporta mais do que 54 metros cúbicos. Determine quantos conteiners da companhia A da companhia B o caminhão da TRANSCARGO deve transportar para maximizar o lucro do frete. O que acontecerá se a empresa aumentar o frete da um conteiner da companhia A para 2,5 reais? 11. Uma companhia de transportes tem 4 caminhões com capacidade para 5 toneladas, 4 com capacidade para 10 toneladas e 2 com capacidade para 20 toneladas de carga. O custo por hora, respectivamente, para cada tipo de caminhão é de 200 reais, 300 reais e 500 reais. Como devem ser usados os caminhões para transportar uma carga de 80 toneladas, para que o custo seja mínimo? 12. Numa cidade do Paraná, a prefeitura deseja construir casas populares. Depois de algumas pesquisas, ela decide fazer casas do tipo A, para abrigar 6 pessoas, com 4

5 custo de 1200 (em dezenas de reais) cada, do tipo B, para abrigar 4 pessoas, com custo de 1000 (em dezenas de reais) e do tipo C, para abrigar 3 pessoas, com custo de 800 (em dezenas de reais). A demanda por casas do tipo A é de, no máximo 150 famílias, do tipo B, de no máximo, 200 famílias, e do tipo C, de, no máximo 250 famílias. A verba total disponível para construção é de reais. Quantas casas de cada tipo devem ser construídas, de modo a atender o maior número de pessoas? O que aconteceria se o custo da casa tipo B passasse para 1040 (em dezenas de reais)? 13. Na produção de 4 tipos de produto, P 1, P 2, P 3 e P 4, são utilizadas 2 tipos de máquinas, M 1 e M 2. O tempo utilizado na fabricação de 1 unidade de cada tipo de produto, em cada uma das máquinas, é o seguinte: para P 1 é necessário 2h na máquina M 1 e 3h na máquina M 2 ; para P 2 é necessário 3h na M 1 e 2h na M 2 ; para o produto P 3 é necessário 4h na M 1 e 1h na M 2 e para o produto P 4 é necessário 2h na M 1 e 2h na M 2. O custo total de produção de uma unidade de cada produto é diretamente proporcional ao tempo de uso da máquina. Considere que o custo por hora para M 1 e para M 2 é de 10 reais e 15 reais, respectivamente. O total de horas disponíveis para todos produtos nas máquinas M 1 e M 2 é de 500h e 380h, respectivamente. o preço de venda, por unidade, dos produtos P 1, P 2, P 3 e P 4 é de 65 reais, 70 reais, 55 reais e 45 reais, respectivamente. Deseja-se maximizar o lucro líquido total. 14. Uma companhia de aviação pretende comprar 3 tipos de aviões de passageiros novos: T 1, para curtas distâncias (ponte-aérea), que custa 3,5 milhões de dólares (M), T 2, para vôos domésticos de média distância, que custa 5M e T 3, para vôos internacionais de longa distância, que custa 6,7M. A diretoria autorizou um gasto máximo de 150M na compra total. A procura por transporte aéreo faz prever que os aviões vão estar sempre lotados. Estima-se que o lucro anual líquido será de 0,42M para cada avião T 3, 0,30M para cada avião T 2 e 0,23M para cada avião T 1. A companhia terá pilotos treinados para pilotar, no máximo, 30 novos aviões. Se comprarem somente avião T 1, a divisão de manutenção tem disponibilidade para 5

6 cuidar de, no máximo, 40 novos aviões. Cada avião T 2 precisa de 1/3 a mais de manutenção do que T 1 e o T 3 precisa de 2/3 a mais de manutenção que T 1. Esta é apenas uma análise preliminar, mas a diretoria deseja uma estimativa de quantos aviões de cada tipo devem ser comprados de forma a maximizar o lucro. 15. Um fazendeiro tem 200 hectares(ha) de área de terra, onde planeja cultivar trigo, arroz e milho. A produção esperada é de 1,8 T (tonelada)/ha de área plantada com trigo, 2,1 T/Ha de área plantada com arroz e de 2,9T/Ha de área plantada com milho. Para atender o consumo interno de sua fazenda ele deve plantar, pelo menos 12Ha de trigo, 16Ha de arroz e 20Ha de milho. Ele tem condição de armazenar, no máximo, 700T de grãos. O trigo dá um lucro de 1,20 reais/kg, o arroz de 0,60 reais/kg e o milho, de 0,28 reais/kg. Quantos hectares de cada produto ele deeve plantar para ter lucro máximo? 16. Uma companhia deseja fabricar uma nova liga metálica com 30% de chumbo, 20% de zinco e 50% de estanho, a partir de minérios procedentes de 5 minas diferentes, M 1, M 2, M 3, M 4, M 5. O minério M 1 tem 30% de chumbo, 60% de zinco e 10% de estanho e custa 8,5 reais o quilo. M 2 tem 10% de chumbo, 20% de chumbo e 70% de estanho, custando 6 reais o quilo. O minério M 3 tem 50% de chumbo, 20% de zinco e 30% de estanho, custando 8,0 reais o quilo. O minério M 4 tem 10% de chumbo, 10% de zinco e 89% de estanho, custando 5,7 reais/kg e M 5 tem 50% de chumbo, 10% de zinco e 40% de estanho, custando 8,8 reais/kg. Quais as proporções dos 5 minérios que devem ser misturadas para produzir a nova liga, com o menor custo possivel? 17. Uma agência de correior necessita de um número diferente de funcionários de acordo com o dia da semana: 17 na segunda, 13 na terça, 15 na quarta, 19 na quinta, 14 na sexta, 16 no sábado e 11 no domingo. Por exigência sindical cada funcionário trabalha 5 dias consecutivos e folga 2. Formule um modelo tal que o número de empregados contratados seja o mínimo necessário para atender às necessidades de mão de obra da agência dentro da lei. 6

7 18. Uma empresa de petróleo possui uma refinaria no norte e 2 unidades de produção de óleos lubrificantes, uma no norte, junto da refinaria, e uma no sul. Estas duas unidades de produção fabricam 2 tipos de óleo: O Normal e o Super, cuja composição é a seguinte: o Normal tem volume 80% de óleo base proveniente da refinaria e 20% de aditivo, comprado em fornecedor; o Super tem volume 60% de óleo base e 40% de aditivo. As duas unidades de produção têm uma capacidade de produção de 2000 horas por ano cada uma, e se dividem pela produção dos 2 tipos de óleo lubrificante, com o rendimento de produção (em litros/hora) da unidade norte sendo de 1800, para produzir o Normal e de 1600, para produzir o Super. Já na unidade sul, o rendimento é de 2000, para produzir o Normal e 1500 para produzir o Super. Cada hora de produção da unidade norte tem um encargo de 1000 dólares e, na unidade sul, de 900 dólares. O óleo base é produzido na refinaria (junto à unidade norte), com um custo de 2 dólares o litro. O seu transporte para a unidade de produção sul acarreta um custo adicional de 0,2 dólares/litro. A refinaria tem uma capacidade de produção de 6 milhões de litros de óleo base por ano. Quanto ao aditivo, é adquirido de um fornecedor a 15 dólares o litro. Cada litro de óleo lubrificante é vendido pela empresa a 6 dólares/litro e 7 dólares /litro, os tipos Normal e Super, respectivamente. O mercado tem capacidade anual para absorver 3 milhões de litros de óleo Normal e 2,5 milhões de litros de óleo Super. (a) Formule um PPL para maximizar a receita das vendas; (b) Qual a função objetivo se o objetivo for maximizar o lucro? 7