Análise e síntese de sistemas de controle robusto baseado no método evolução diferencial

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1 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Associação Ampla Entre CEFET-MG e UFSJ Análise e síntese de sistemas de controle robusto baseado no método evolução diferencial Devair de Moura Marcos Belo Horizonte 2016

2 Devair de Moura Marcos Análise e síntese de sistemas de controle robusto baseado no método de evolução diferencial Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, associação ampla entre o CEFET- MG e UFSJ como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de concentração: Modelagem e Controle de Sistemas. Linha de Pesquisa: Sistemas de Controle. Orientador: Prof. Dr. Eduardo Nunes Gonçalves. Belo Horizonte 2016

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4 Dedico este trabalho à Deus, à minha família, aos meus professores e amigos. iv

5 Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus pelo dom da vida, pela força e pela perseverança que me foram concebidas durante toda minha vida. Agradeço à minha família representada por minha mãe Leci Leila de Moura, avó Minervina Firmina Duque,Tia avó Carmita de Souza Duque, por acompanharem meus passos e me incentivarem a alçar voos mais altos. Por me ensinarem todos os valores leais e me tornarem uma pessoa melhor. Agradeço aos meus irmãos, Jair de Moura, e a sua esposa e filhos, e Edivaldo de Moura por todo o suporte fornecido, por sempre me incentivarem e me mostrarem o caminho. Agradeço em especial a todos os meus amigos representados na pessoa de Luíza Dias pela amizade e apoio concedido. Agradeço ao meu professor orientador, Eduardo Nunes Gonçalves, pelo acompanhamento durante todo este trabalho. Agradeço pela oportunidade de poder trabalhar com ele, pelo exemplo de respeito, seriedade diante do processo de transferência de conhecimento e pela enorme contribuição na minha formação. Agradeço aos professores,márcio Mathias, Valter Leite e Giovanni Guimarães Rodrigues por estarem sempre disponíveis para ajudar e pelo profissionalismo como professores. Aos amigos Thiagos em geral, pelas dicas na dissertação e trabalhos realizados em conjunto. Aproveito aqui para desejar sucesso na caminhada de todos vocês. Ao CEFET-MG, CNPq, CAPES e a FAPEMIG pelos apoios financeiros, que deram suporte para a realização desta dissertação. Enfim, agradeço a todos que sempre torceram pelo meu sucesso e me ajudaram a construir e concretizar este sonho. v

6 Feliz a nação cujo Deus é o SENHOR. Bíblia King James, Salmos 33:12 vi

7 Resumo Esta dissertação apresenta metodologias de análise e síntese de sistemas de controle robustos, para sistemas incertos lineares invariantes no tempo, com domínio politópico de incerteza, baseado no método de otimização evolução diferencial. Formulações para análise e síntese de sistemas de controle robusto baseadas em desigualdades matriciais lineares são bastante populares, mas podem apresentar resultados conservadores ou até mesmo falhar na obtenção de resultados para sistemas de ordem mais elevada ou com maior número de vértices do politopo. Em trabalho anterior foi verificado que combinando uma formulação de análise baseada em desigualdades matriciais lineares com uma técnica de divisão de politopos é possível determinar se um sistema politópico é robustamente estável ou localizar uma instância de sistema instável no politopo em caso contrário. Além disso, é possível determinar os valores de custos garantidos H 2 ou H com qualquer precisão necessária na análise de desempenho robusto (Gonçalves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2006a). Entretanto tal metodologia tem a desvantagem de um rápido crescimento de custo computacional com a complexidade do sistema. Um dos objetivos dessa dissertação é propor uma forma alternativa de análise de estabilidade e desempenho robusto visando um menor custo computacional na aplicação do método evolução diferencial. O problema de controle robusto requer a otimização do desempenho garantindo a estabilidade de infinitos sistemas pertencentes ao domínio de incerteza, um problema de otimização semi-infinita de difícil solução. Em trabalhos anteriores foi proposto resolver tal problema através de um procedimento iterativo de dois passos, síntese e análise, implementados pelos algoritmos cone-elipsoidal e método Branch-and-Bound, respectivamente (Gonçalves, Palhares & Takahashi 2005, Gonçalves, Palhares & Takahashi 2006, Gonçalves, Palhares & Takahashi 2008, Gonçalves, Gonçalves, Palhares & Takahashi 2012, Siqueira, Silva, Gonçalves, Palhares & Takahashi 2014). Nesta dissertação é proposto aplicar o método evolução vii

8 diferencial para ambos os passos do procedimento de síntese. Palavras-chave: Controle robusto, sistema politópico, método evolução diferencial. viii

9 Abstract This dissertation presents methodologies of analysis and synthesis of robust control systems, for uncertain linear time-invariant systems, with polytopic uncertainty domain, based on the differential evolution method. Robust control analysis and synthesis formulations based on linear matrix inequalities are quite popular but can present conservative results or can even fail to obtain results in the case of higher order systems or more polytope vertices. In previous works it was verified that combining an analysis formulation based on linear matrix inequalities with a polytope division technique,it is possible to determine whether a polytopic system is robustly stable or to locate an instance of unstable system in the polytope otherwise. In addition, it is possible to determine the H 2 or H guaranteed costs with any required precision in the robust performance analysis. However this method has the disadvantage of a fast increase of the computational cost with the increase of the system complexity. One of the objectives of this dissertation is to propose an alternative way of robust stability and performance analysis with lower computational cost applying the differential evolution method. The robust control problem requieres the optimization of the performance ensuring stability for infinite systems belonging to the uncertainty domain, a semi-infinity optimization problem that is difficult to solve. In previous works it was proposed to solve this problem by a two-step iterative procedure, synthesis and analysis, implemented by the cone-ellipsoidal algorithm and branch-and-bound method, respectively. In this dissertation, it is proposed to apply the differential evolution method for both steps of the synthesis iterative procedure. Keywords : Robust control, polytopic system, differential evolution method. ix

10 Sumário Agradecimentos Resumo Abstract Lista de Acrônimos Lista de Notações v vii ix xvi xvii 1 Introdução Revisão Bibliográfica Motivação Objetivos Organização do Trabalho Método Evolução Diferencial Introdução Técnica de otimização baseada no método evolução diferencial (DE) Mutação Recombinação Seleção Algoritmo básico Conclusão Análise de Estabilidade Robusta Introdução x

11 3.2 Formulação do problema Método Evolução Diferencial na Análise de Estabilidade Robusta População Inicial Mutação diferencial Cruzamento Tratamento das restrições Seleção Critério de parada Testes exaustivos Análise de Diferentes Opções Conclusões Método DE no Cálculo de Custos Garantidos H 2 e H Fundamentação teórica Normas de sinais e sistemas Formulação do problema Método Evolução Diferencial aplicado ao cálculo de custos garantidos H 2 e H População Inicial Mutação diferencial Critério de parada Testes exaustivos Conclusões Síntese de Controladores Robustos pelo Método DE Fundamentação teórica Formulação do problema Procedimento de Síntese Iterativo Aplicação do Método Evolução Diferencial no Passo de Síntese População Inicial Mutação diferencial Cruzamento Tratamento das restrições xi

12 5.4.5 Critério de parada Exemplo Ilustrativo Conclusões Conclusão Método Evolução Diferencial aplicado à Análise de Estabilidade Robusta Método Evolução Diferencial aplicado ao Cálculo de Custos Garantidos H 2 ou H Síntese de Controladores Robustos pelo Método Evolução Diferencial Propostas para Trabalhos Futuros Trabalhos Apresentados em Eventos Científicos Relativos à Dissertação Referências 66 Apêndice 70 xii

13 Lista de Figuras 2.1 Diagrama de bloco das principais etapas do algoritmo DE Operadores mutação e recombinação no espaço de parâmetros bidimensional Exemplo de operações de mutação, cruzamento e tratamento de restrição para η = Superfície de max i R(λ i (A(χ))), em função de χ 2 e χ 6, para um modelo com η = Regiões de nível de max i R(λ i (A(χ))), em função de χ 2 e χ 6, para um modelo com η = Superfície de T zw (s, χ) 2, em função de χ 2 e χ 5, para um modelo com n = 8 e η = Perfil de T zw (s, χ) 2, sobre a aresta que ocorre o pior caso para um modelo com n = 8 e η = Funções limitantes inferior e superior do método BB no cálculo do custo garantido H 2 para um modelo com n = 8 e η = Perfil de T zw (s, χ), sobre a aresta onde ocorre o pior caso para um modelo com n = 4 e η = Divisão de simplex pelo método BB e máximo obtido para um modelo com η = População inicial, o, após 10 iterações,, e final, x, do método DE para um modelo com η = Superfície de T zw (s, χ), em função de χ 1 e χ 2, para um modelo com η = Fronteira candidata a Pareto-ótima obtida pelo método DE,, e pelos métodos CE/BB, xiii

14 5.2 Nuvem de polos de T zw (s, α) com 1 iteração para ε 2 = 0, Superfície de T cd (s, α) Curvas de nível de T cd (s, α) com os pontos de Ω,, após 10 iterações com ε 2 = 0, xiv

15 Lista de Tabelas 3.1 Resultados do teste Resultados do teste Comparação entre diferentes opções de análise de estabilidade robusta pelo DE Comparação entre dois valores de C r na análise de estabilidade robusta pelo DE Comparação entre três valores de F na análise de estabilidade robusta pelo DE Comparação entre números de soluções aleatórias iniciais na análise de estabilidade robusta pelo DE Resultados do teste exaustivo H Resultados do teste exaustivo H xv

16 Lista de Acrônimos PID Proporcional-Integral-Derivativo LMI do inglês, Linear Matrix Inequality SLIT Sistema Linear Invariante no Tempo DE do inglês, Differential Evolution BB do inglês, Branch-and-Bound CE Cone-Elipsoidal xvi

17 Lista de Notações * - Bloco simétrico nas LMIs R - Conjunto dos números reais C - Conjunto dos números complexos R -Parte real do número G(s) = A B = C(sI A) 1 B + D C D T - Norma H da função de transferência T T 2 - Norma H 2 da função de transferência T I (m) -um número inteiro pseudo-aleatório com distribuição uniforme no intervalo [1, m] U (a,b) -um número real pseudo-aleatório com distribuição uniforme no intervalo (a, b) Ω -Conjunto politópico com infinitos sistemas Ω -Conjunto politópico com número finito de pontos xvii

18 Capítulo 1 Introdução 1.1 Revisão Bibliográfica Com o extenso desenvolvimento na área de sistemas lineares variantes no tempo e sistemas não-lineares, a representação de sistemas de controle por sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) é bastante empregada devido a sua maior simplicidade de análise e de síntese e todo o desenvolvimento já consolidado na área. A aplicabilidade de SLIT é ainda maior quando incluídas incertezas no modelo. Tais incertezas podem ser decorrentes de dinâmicas em alta-frequência negligenciadas da planta, de não linearidades e de incertezas nos parâmetros do sistema não precisamente conhecidos e que podem variar em faixas conhecidas. Uma forma bastante popular de se modelar sistemas incertos é tratá-los como sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT), representados por modelos no espaço de estado, com incerteza politópica. Para esta representação, cada um dos infinitos sistemas pertencentes ao domínio de incerteza podem ser descritos como uma combinação convexa dos sistemas que correspondem aos vértices do politopo. Sistemas politópicos podem ser derivados de sistemas com parâmetros variando em faixas ou por diferentes pontos de operação, por exemplo. A popularidade de sistemas politópicos é devida às formulações de análise e síntese baseadas em desigualdades matriciais lineares (LMIs, do inglês linear matrix inequality) (Boyd, El Ghaoui, Feron & Balakrishnan 1994). Por meio das formulações LMI, é possível analisar e projetar sistemas de controle considerando somente os sistemas correspondentes aos vértices do politopo. Desse modo, problemas de factibilidade ou de otimização global não-convexos, de difícil solução, são representados por problemas convexos de solução mais simples. A dis- 1

19 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2 ponibilidade de softwares comerciais e gratuitos para solução de problemas LMI reforçaram a popularização do uso de sistemas politópicos combinados com formulações LMI (Gahinet, Nemirovski, Laub & Chilali 1995),(Sturm 1999). Existem diferentes formulações LMI para a análise de estabilidade robusta de SLIT representados por modelos politópicos, tanto contínuo como discreto no tempo, ou no formato mais geral de D-estabilidade (Chilali & Gahinet 1996), derivadas das condições de estabilidade segundo Lyapunov. A condição de estabilidade quadrática (Boyd et al. 1994), baseada em uma função de Lyapunov simples, com uma única variável de Lyapunov para todos os vértices, é a formulação mais simples, porém a mais conservadora. Para reduzir o conservadorismo, podem-se utilizar variáveis de Lyapunov dependentes de parâmetros (Peaucelle, Arzelier, Bachelier & Bernussou 2000, Ramos & Peres 2002, Leite & Peres 2003, Oliveira & Peres 2005b) e funções de Lyapunov com dependência polinomial de parâmetros (Bliman 2004, Henrion, Arzelier, Peaucelle & Lasserre 2004, Chesi, Garulli, Tesi & Vicino 2005b, Oliveira & Peres 2006, Chesi 2008, Chesi 2010). Como verificado em Leite & Peres (2003) e Gonçalves, Palhares, Takahashi & Mesquita (2007b), a eficiência da formulação LMI de análise diminui com o aumento do número de vértices do politopo ou da ordem do sistema. É possível obter formulações menos conservadoras aumentando o número de variáveis de decisão ao custo de um maior tempo de processamento. Mesmo com formulações LMIs mais complexas, nem sempre é possível determinar se um sistema politópico é robustamente estável ou não. Este fato motivou o desenvolvimento de um método de análise combinando formulações LMIs com uma técnica de divisão de politopo (Gonçalves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2006b, Gonçalves et al. 2007b). Foi verificado que, quando uma formulação baseada em LMIs é não factível para um determinado politopo, ela pode se tornar factível se for aplicada as subdivisões do politopo. Desse modo é possível determinar se um sistema é robustamente estável dividindo cada politopo até que todos eles resultem em uma solução factível para formulação de análise LMI. Caso o sistema não seja robustamente estável, é possível localizar uma instância de sistema instável correspondente a um dos vertices dos politopos. Em (Gonçalves et al. 2007b) foi verificado que o método LMI/divisão requer menor custo computacional do que formulações LMIs mais complexas. Um sistema de controle robusto deve garantir não somente a estabilidade robusta do sistema mas também o seu desempenho ótimo para todos os valores possíveis dos parâmetros

20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3 incertos. Uma das formas de caracterizar o desempenho de sistemas de controle é através de normas matriciais de determinadas matrizes de transferência do sistema. Normas matriciais, como as normas H 2 e H, proporcionam uma medida da influência das entradas exógenas (distúrbios de carga, ruídos, sinais de referência etc.) sobre as saídas controladas do sistema (erros de rastreamento, sinais de controle etc.) (Zhou & Doyle 1998). Existem formulações LMI de análise para o cálculo de um limitante superior para as normas H 2 e H dos infinitos sistemas pertencentes ao domínio de incerteza politópico, denominado custo garantido H 2 ou H. Formulações LMI de análise baseadas no conceito de estabilidade quadrática (Palhares, Takahashi & Peres 1997), com o uso de uma única variável de Lyapunov para todo o domínio de incerteza, geralmente apresentam resultados conservadores, isto é, o limitante superior é muito maior que o valor real do máximo da norma. Da mesma forma que no caso da análise de estabilidade robusta, para reduzir o conservadorismo, trabalhos posteriores adotaram o uso de variáveis de Lyapunov dependentes de parâmetros, variáveis matriciais extras e/ou parâmetros de sintonia, como por exemplo em Apkarian, Tuan & Bernussou (2001), de Oliveira, Geromel & Bernussou (2002), de Oliveira, Oliveira, Leite, Montagner & Peres (2004a), de Oliveira, Oliveira, Leite, Montagner & Peres (2004b), Ebihara & Hagiwara (2004), Trofino, Coutinho & Barbosa (2005) e He, Wu & She (2005). Contudo, os valores obtidos por estas estratégias são apenas limites superiores dos custos exatos dos resultados obtidos que pode variar consideravelmente de um caso para outro. Para reduzir o conservadorismo, as novas formulações estão cada vez mais complexas, requerendo maior esforço computacional, como, por exemplo, as formulações baseadas em funções de Lyapunov quadráticas com dependência polinomial homogênea de grau arbitrário nos parâmetros (Chesi, Garulli, Tesi & Vicino 2005a, Oliveira & Peres 2005a). A vantagem desta abordagem é que a precisão do custo garantido pode ser melhorada com o aumento do grau da dependência polinomial de parâmetros. Entretanto, a complexidade dessas formulações aumenta rapidamente com o número de vértices do domínio politópico de incerteza e com o grau do polinômio. No caso de sistema lineares invariantes no tempo (SLIT), foi verificado que é possível calcular o custo garantido com qualquer precisão desejada através do método Branch-and-Bound (Gonçalves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2007a). Como no caso de análise de estabilidade robusta, esse método combina formulações LMI de análise com uma técnica de divisão de politopos. O valor máximo dos custos garantidos calculados

21 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4 para cada divisão do politopo é considerado o limitante superior e o valor máximo de norma nos vértices das divisões do politopo é considerado o limitante inferior. O método converge quando a diferença entre os dois limitantes atende à precisão especificada ou se é localizado um sistema instável sobre os vértices das divisões do politopo. Na síntese de sistemas de controle robustos, o controlador deve garantir a estabilidade robusta do sistema incerto e minimizar os custos garantidos H 2 e/ou H de determinadas matrizes de transferência em malha-fechada. Através da minimização dos custos garantidos H 2 e H, é possível minimizar a influência das entradas exógenas (distúrbios de carga, ruídos de medição, sinais de referência etc.) sobre as saídas controladas do sistema (saídas da planta, sinais de controle, erros de rastreamento etc.) (Zhou & Doyle 1998). O problema de síntese de sistemas de controle robusto pode ser formulado como um problema de otimização semi-infinita em que é necessário minimizar o valor máximo da função objetivo e garantir o atendimento às restrições em um domínio com infinito pontos (Zakovic & Rustem 2002), que é um problema de difícil solução. Através das formulações LMI é possível não somente analisar como também projetar sistemas de controle robusto considerando somente os sistemas correspondentes aos vértices do politopo. Desse modo, os problemas de otimização semi-infinita, geralmente não-convexos, de difícil solução, são representados por problemas convexos mais fáceis de serem solucionados. Entretanto, nem todos os problemas de controle robusto podem ser representados por formulações LMI. Problemas de controle robusto representados por formulações LMI podem gerar resultados muito conservadores e, em alguns casos, pode até mesmo não ser obtida uma solução para o problema. Esses dois fatos motivam o desenvolvimento de estratégias de síntese alternativas que possam resolver problemas de controle robusto ainda não formulados por LMI ou fornecer soluções ainda mais eficientes. Um exemplo de abordagem alternativa são os métodos probabilísticos para projetos de sistemas de controle incertos (Calafiore, Dabbeneb & Tempo 2011). Em uma dessas abordagens alternativas, o problema de controle robusto, na forma original de problema de otimização semi-infinita, foi solucionado através de um procedimento iterativo de dois passos similar ao método proposto por Zakovic & Rustem (2002) para soluções de problemas de otimização semi-infinita. Tal procedimento obteve resultados melhores que os obtidos por formulações LMI em diferentes tipos de problemas na área de controle robusto

22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 5 (Gonçalves, Bachur, Palhares & Takahashi 2011a) (Gonçalves et al. 2005, Gonçalves, Palhares & Takahashi 2006, Gonçalves et al. 2008, Gonçalves et al. 2011a). A ideia do procedimento é obter a solução do problema em dois passos: síntese e análise. No passo de síntese, o domínio infinito é substituído por um conjunto finito de sistemas que pode ser inicialmente os vértices do politopo. O controlador é projetado para minimizar a função objetivo e garantir o atendimento às restrições somente para esse conjunto finito, o que torna o problema mais fácil de ser solucionado. No passo de análise, o controlador obtido no passo de síntese é analisado para todos os infinitos sistemas do politopo. Se for verificado que alguma restrição foi violada ou que o máximo da função objetivo nos passos de síntese e de análise possuem uma diferença significativa, novos sistemas são acrescentados no conjunto finito e os dois passos são executados novamente. O procedimento finaliza quando é verificado que todas as restrições são atendidas para todos os sistemas no domínio infinito e que a diferença entre o mínimo da função objetivo calculada em cada passo está dentro de um limite especificado. Nos trabalhos anteriores, esse procedimento foi implementado considerando o algoritmo coneelipsoidal (CE) para o passo de síntese e o método Branch-and-Bound (BB) para o passo de análise. 1.2 Motivação Essa implementação do procedimento iterativo baseada no algoritmo cone-elipsoidal (CE) e no método Branch-and-Bound (BB) pode apresentar problemas em determinadas situações. Primeiro, o algoritmo cone-elipsoidal é mais adequado para problemas de otimização convexos. Segundo, apesar do método Branch-and-Bound possuir garantia de convergência para o máximo global com a precisão desejada, o custo computacional do método aumenta rapidamente com o aumento da ordem do sistema e do número de vértices do politopo, como ocorre com as formulações LMIs. Ao se aplicar o procedimento iterativo para problemas na área de controle multivariável, onde a ordem do modelo no espaço de estados é elevada, o método Branch-and-Bound pode apresentar custos computacionais proibitivos. Além disso, quando o sistema de controle é baseado em controladores proporcional-integral-derivativo (PID), é observado que existem diferentes subótimos / ótimos locais no espaço de variáveis de otimização, caracterizando o problema como multimodal e então não-convexo. Desse modo é

23 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 6 interessante estudar outras possibilidades de implementação desse procedimento. O método evolução diferencial (DE, do inglês differential evolution) (Storn & Price 1997) apresenta características que permitem a sua aplicação na implementação de ambos os passos do procedimento iterativo. Por ser um método evolucionário baseado em populações, o método DE pode ser aplicado a problemas não diferenciáveis, não convexos e multimodais com maior probabilidade de localização do mínimo global. Baseado em nossa experiência prévia, o método evolução diferencial possui a vantagem de manipulação dos operadores o que difere dos algoritmos genéticos, em comparação obteve um menor custo computacional e, em alguns casos observados com soluções melhores. Apesar de não ter a garantia de convergência, como ocorre com o método Branch-and-Bound, para problemas mais complexos, o método evolução diferencial pode requerer custo computacional muito menor, o que torna essa nova alternativa bastante interessante. Uma motivação adicional para o uso do método evolução diferencial é sua maior simplicidade de implementação que os métodos cone-elipsoidal e Branch-and- Bound o que pode facilitar a utilização do procedimento iterativo de síntese de controladores robusto por outros pesquisadores. 1.3 Objetivos O foco do projeto de pesquisa desta dissertação de mestrado é avaliar o desempenho do método evolução diferencial na implementação de ambos os passos do procedimento iterativo de síntese de controladores robustos. Deste modo, este trabalho tem como objetivos: 1. Formular uma nova metodologia de análise de estabilidade robusta de SLIT com modelos politópicos baseada no método evolução diferencial, para ser utilizada no passo de análise do procedimento iterativo, de modo que, em caso de sistemas não robustamente estáveis, seja localizada uma coordenada do politopo relativa a um caso de sistema instável no politopo. 2. Analisar o comportamento de diferentes configurações do método de evolução diferencial para análise de estabilidade robusta por meio de testes exaustivos identificando o grau de confiabilidade do mesmo. 3. Formular uma nova metodologia de cálculo de custos garantidos H 2 e H de SLIT com modelos politópicos baseada no método de evolução diferencial para ser utilizada no

24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 7 passo de análise do procedimento iterativo, que possa determinar o sistema no politopo que corresponde ao valor máximo de norma. 4. Analisar o comportamento de diferentes configurações do método de evolução diferencial para cálculo de custos garantidos H 2 e H por meio de testes exaustivos identificando o grau de confiabilidade do mesmo. 5. Implementar a etapa de síntese do procedimento iterativo baseado no método de evolução diferencial para atender às restrições e minimizar o valor máximo da função objetivo para um número finito de sistemas pertencentes ao politopo. 6. Avaliar o comportamento do procedimento iterativo, com ambos os passos implementados pelo método DE, para a solução de problemas de controle robusto H 2 e H. 1.4 Organização do Trabalho Esta dissertação está organizada da seguinte maneira: Capítulo 1: Introdução. Este capítulo apresenta uma breve contextualização do tema abordado, bem como os objetivos e justificativas do desenvolvimento desta dissertação. Capítulo 2: Método Evolução Diferencial. Apresentação do Método Diferencial Evolutivo, que será aplicado para resolver diferentes problemas de otimização descritos nos Capítulos 3, 4 e 5. Capítulo 3: Analise de Estabilidade Robusta. Apresenta um estudo da viabilidade do uso do método evolução diferencial para a análise de estabilidade robusta comparando diferentes possibilidades de implementação e escolha de parâmetros dos operadores. Capítulo 4: Aplicação do Método Evolução Diferencial no cálculo de Custos Garantidos H 2 e H. Neste capítulo é avaliada a aplicação do método evolução diferencial para o cálculo do valor máximo de normas de SLIT com modelo politópico de incerteza. Capítulo 5: Síntese de Controle Robusto pelo Método Evolução Diferencial. Neste capítulo é proposto uma implementação do método evolução diferencial para o passo de síntese do procedimento iterativo de síntese de controladores robustos. O procedimento iterativo, com ambos os passos de síntese e análise implementados pelo método evolução diferencial, é aplicado a um problema de síntese de difícil solução e os resultados são com-

25 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 8 parados com as soluções obtidas por implementações anteriores (Gonçalves et al. 2005, Gonçalves, Palhares & Takahashi 2006, Gonçalves et al. 2008, Gonçalves, Bachur, Palhares & Takahashi 2011b). Capítulo 6: Conclusões. Apresentação das conclusões, propostas para trabalhos futuros e a produção acadêmica relacionada com a dissertação.

26 Capítulo 2 Método Evolução Diferencial 2.1 Introdução Projetistas muitas vezes têm de lidar com o problema clássico de otimização, ou seja, encontrar a solução mais adequada de um problema dentro das limitações e flexibilidades do projeto. Através de métodos de otimização, pretendemos descobrir o conjunto de valores dos parâmetros do sistema para as quais o desempenho global do sistema será o melhor sob algumas condições de projeto. As técnicas de otimização baseiam-se na busca pela melhor solução ou ótimo global de problemas de projeto para os quais é possível quantificar o grau de adequação de cada solução (Takahashi 2007). Os projetistas geralmente necessitam de uma técnica que atenda a três requisitos principais. O método deve ser capaz de encontrar uma solução ótima para o problema que resulte em um desempenho adequado para o sistema projetado. A convergência do algoritmo deve ser rápida, requerendo um menor custo computacional. Além disso, o método deve possuir o mínimo número de parâmetros de ajuste tal que fique fácil de ser utilizado (Storn & Price 1995). Com base em experiência prévia, podemos afirmar que os três diferentes problemas de otimização, a serem tratados nas etapas de síntese e análise do procedimento iterativo de síntese de sistemas de controle robusto em estudo, podem ser não diferenciável, não convexo e multimodal. Desse modo, métodos de otimização determinísticos, como os métodos quasi- Newton ou o método elipsoidal, podem ter dificuldades para obtenção do mínimo global. Para a solução dessa classe de problemas são comumente empregados os métodos evolutivos, baseados em populações de soluções, que terão maior probabilidade de obtenção do mínimo 9

27 CAPÍTULO 2. MÉTODO EVOLUÇÃO DIFERENCIAL 10 global. Dentro dos métodos evolutivos mais conhecidos, podemos citar o algoritmo genético (Goldberg 1989), o método de enxame de partículas (Kennedy 1995), o método de evolução diferencial (Rainer Storn e Kenneth Price em 1995) e o algoritmo de busca harmônica (Geem & Loganathan 2001). Com base em experiência prévia com alguns desses algoritmos de otimização, nessa dissertação de mestrado é realizada o estudo sobre a viabilidade de implementação dos passos do procedimento de projeto iterativo com base no método evolução diferencial. O Método Evolução Diferencial (DE, do inglês Differential Evolution) é um algoritmo de otimização evolucionário para solução de problemas com funções de domínio real, proposto por Rainer Storn e Kenneth Price em O método DE inclui operadores similares aos empregados por algoritmos evolucionários padrões: mutação, cruzamento ou recombinação e seleção. O mecanismo de busca do algoritmo é baseado em um operador de mutação diferencial e embora a mutação diferencial não tenha base ou inspiração em nenhum processo natural, o algoritmo DE é classificado como um algoritmo evolutivo (Storn & Price 1995). O algoritmo ganhou destaque na comunidade internacional de Computação Evolutiva após apresentar excelente desempenho nas edições de 1996 e 1997 da International Contest on Evolutionary Optimization da International Conference on Evolutionary Computation (IEE/ICEC) (Storn & Price 1995). O método DE apresenta qualidades computacionais interessantes, destacando-se: simplicidade de implementação; robustez e eficiência; fácil adaptação; versatilidade. 2.2 Técnica de otimização baseada no método evolução diferencial (DE) Um problema de otimização escalar com restrições de desigualdades pode ser representado por:

28 CAPÍTULO 2. MÉTODO EVOLUÇÃO DIFERENCIAL 11 x = arg min f(x) x Sujeito a: g(x) 0 (2.1) sendo x R n o vetor de variáveis de otimização a ser determinado, f(x) : R n R a função objetivo a ser minimizada, g(x) : R n R p o vetor de funções de restrições a serem atendidas e x R n o vetor solução do problema. forma: O método DE foi desenvolvido para tratar problemas de otimização escalar irrestrito na x = arg min x f(x) (2.2) A Figura 2.1 apresenta um diagrama de blocos do algoritmo evolutivo representando a sequência dos operadores. Figura 2.1: Diagrama de bloco das principais etapas do algoritmo DE As seções a seguir apresentam uma descrição dos operadores Mutação Em geral o conjunto inicial de vetores é gerado aleatoriamente e deve cobrir todo o espaço de busca. Na ausência de qualquer conhecimento acerca do espaço de busca (regiões promissoras ou mesmo soluções parciais), utiliza-se uma distribuição uniforme para a população inicial. U (a,b) um número real pseudo-aleatório com distribuição uniforme no intervalo (a, b); I (m) um número inteiro pseudo-aleatório com distribuição uniforme no intervalo [1, m]; x R n o vetor de variáveis de otimização; e N o número de indivíduos (soluções candidatas) da população, em que geralmente 5n N 10n. Supondo uma população na k-ésima iteração,

29 CAPÍTULO 2. MÉTODO EVOLUÇÃO DIFERENCIAL 12 X k = {x k,i ; i = 1,..., N}, a i-ésima solução é definida como: x k,i = x k,i,1. x k,i,n. (2.3) sendo n o número de variáveis de otimização. O DE gera novos vetores de parâmetros através da adição da diferença ponderada entre dois vetores de parâmetros a um terceiro vetor, denominado vetor base. Considere esta operação como uma mutação. O operador mutação é descrito na equação: v k,i = x k,r1 + F (x k,r2 x k,r3 ) em que: Os índices r 1 r 2 r 3 i são gerados como r j = I (N), j = 1,..., 3. v k,i representa a i-ésima solução mutante, na k-ésima geração; F é um fator de escala aplicado ao vetor diferença, geralmente F [0; 1]; x k,r1 é denominado vetor de base. Obtém-se uma população mutante tomando como partida este procedimento: V k = {v k,i ; i = 1,..., N}. Baseado em resultado de pesquisas anteriores, é verificado que selecionando F aleatoriamente em um intervalo entre 0,5 e 1, para cada geração ou para cada vetor-diferença, melhora significativamente o comportamento de convergência, especialmente para funções objetivo não suaves (Price 2014). A operação de mutação é demonstrado na figura 2.2

30 CAPÍTULO 2. MÉTODO EVOLUÇÃO DIFERENCIAL 13 x 2 x vetor base x k,r k,i 1 x k,r 3 v k,i possíveis vetor teste, u k,i x k,r 2 x 1 Figura 2.2: Operadores mutação e recombinação no espaço de parâmetros bidimensional Quando usado em conjunto com recombinação binomial, o operador mutação básico é denominado DE / rand / 1 / bin (Das 2011). A convenção geral usada é DE / x / y / z, onde x representa um texto denotando o vetor base a ser perturbado, y é o número de diferenças de vetores considerados para perturbação de x e z o tipo de recombinação a ser utilizado (exp: exponencial; bin: binomial). Os outros quatro esquemas diferentes de mutação, sugeridos por Storn e Price, são resumidos como (Storn & Price 1995),(Storn & Price 1997): DE/best/1: v k,i = x k,best + F (x k,r1 x k,r2 ) DE/target-to- best/1: v k,i = x k,i + F (x k,best x k,i ) + F (x k,r1 x k,r2 ) DE/best/2: v k,i = x k,best + F (x k,r1 x k,r2 ) + F (x k,r3 x k,r4 ) DE/rand/2: v k,i = x k,r1 + F (x k,r2 x k,r3 ) + F (x k,r4 x k,r5 )

31 CAPÍTULO 2. MÉTODO EVOLUÇÃO DIFERENCIAL Recombinação O operador de recombinação é obtido da seguinte maneira: os indivíduos da população X k são recombinados com os indivíduos da população mutante V k. A partir desta recombinação, gera-se uma população de soluções teste U k. Na versão clássica do DE, emprega-se recombinação discreta com probabilidade Cr entre 0 e 1, ou seja: v k,i,j, u k,i,j = x k,i,j, se U [0,1] Cr ou j = δ i caso contrário. para j = 1,..., n, i = 1,..., N, sendo C r [0, 1] a taxa de cruzamento. A figura 2.2 apresenta as possibilidades de vetor teste para o caso de um espaço de parâmetros bidimensional Seleção A operação de seleção determina qual solução, se o alvo, x k,i, ou a tentativa, u k,i, sobrevive para próxima geração: Algoritmo básico u k,i, se f(u k,i ) f(x k,i ) x k+1,i = x k,i, caso contrário. Com relação ao tamanho da população, N, recomenda-se utilizar a seguinte relação: 5n N 10n Estrutura de código computacional é representado uma montagem para resolver um problema de otimização com o DE. Supondo L o limite de cada variável; N o tamanho da população; M o número de gerações, Cr a probabilidade de recombinação e F o fator de escala, considerando o espaço de busca normalizado [0,1] o algoritmo DE pode ser descrito como: k 1 X k Inicia Populacao(L, N) F x funcao objetivo(x k )

32 CAPÍTULO 2. MÉTODO EVOLUÇÃO DIFERENCIAL 15 enquanto k M para i = 1,..., N % Mutação diferencial Gerar r 1 r 2 r 3 {1,..., N} F i 0,5 + 0,5U ( 0, 1) v k,i x k,r1 + F i (x k,r2 x k,r3 ) fim-para para i = 1,..., N δ i I (n) u k,i Recombinacao(x k,i, v k,i, δ i, Cr) fim-para F u funcao objetivo(u k ) X k+1 Selecao(X k, U k, F x, F u ) k k + 1 fim-enquanto 2.3 Conclusão No próximo capítulo é apresentado o estudo da aplicação do método DE para análise de estabilidade robusta. Tal análise é necessária para implementação do procedimento iterativo de síntese a ser descrito no Capitulo 5.

33 Capítulo 3 Análise de Estabilidade Robusta 3.1 Introdução Na análise de estabilidade Robusta é apresentada uma formulação de otimização que é resolvida pelo Método DE. A implementação do método DE foi feita com base numa configuração de parâmetros a fim de obter um melhor desempenho de tempo computacional por via de testes com diferentes possibilidades. São apresentados os resultados dos testes exaustivos do método DE proposto para analisar a viabilidade de seu uso como estratégia de análise de estabilidade robusta de SLIT. 3.2 Formulação do problema Considere o sistema linear invariante no tempo descrito por ẋ(t) = A(χ)x(t) (3.1) sendo x(t) R n o vetor de variáveis de estado. Considere que a matriz A(χ) pode possuir parâmetros incertos que pertencem a um conjunto compacto convexo, ou politopo, definido por seus vértices: { } η A A(χ) R n n : A(χ) = χ i A i ; χ Ω, (3.2) i=1 16

34 CAPÍTULO 3. ANÁLISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 17 Ω { χ R η : χ i 0, } η χ i = 1, (3.3) [ ] T sendo A i, i = 1,..., η, os vértices do politopo e χ = χ 1... χ η o vetor que parametriza o politopo. O sistema politópico é robustamente estável se todos os autovalores de A(χ) A, para todo χ Ω, estão localizados no semi-plano esquerdo do plano-s, isto é, possuem parte real negativa. A estabilidade robusta do sistema politópico (3.1) pode ser facilmente verificada pelo seguinte problema de factibilidade LMI: o sistema (3.1) é quadraticamente estável se existe P = P T R n n tal que P 0 e i=1 A T i P + P A i 0, (3.4) para i = 1,..., η. Tal problema é facilmente solucionado pelos LMI solvers disponíveis como o LMI Control Toolbox (Gahinet et al., 1995) ou o SeDuMi Interface (Peaucelle, Henrion, Labit e Taitz, 2002; Sturm, 1999), ambos para uso com o MATLAB R. A formulação de estabilidade quadrática é muito exigente para o caso de análise de estabilidade robusta de SLIT. Como mencionado na introdução, várias formulações LMI mais complexas foram propostas buscando aumentar a taxa de sucesso para identificação de sistemas robustamente estáveis ao custo de um maior esforço computacional. A formulação de análise de estabilidade robusta mais simples é obtida considerando uma variável de Lyapunov dependente de parâmetro na equação (3.4): P i = P T i 0, i = 1,..., η. Mesmo com o aumento da complexidade e maior custo computacional, como foi verificado em (Gonçalves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2006b, Gonçalves et al. 2007b), com o aumento da ordem do sistema e do número de vértices do politopo, as formulações LMIs podem falhar na verificação de estabilidade robusta. Em trabalhos anteriores(gonçalves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2006b, Gonçalves et al. 2007b) foi proposto um método que combina as formulações LMIs com uma técnica de divisão de politopos orientada pela arestas (Gonçalves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2006a). Caso a formulação LMI não seja factível para o politopo, o simplex no espaço d-dimensional, d = η 1, é dividido em d 2 simplexos e a formulação LMI é aplicada para cada um deles. Enquanto existir simplexos cuja formulação LMI é infactível, eles devem ser subdividos até uma das duas seguintes situações ser atingida: 1) é verificado que todos os simplexos que compõem o politopo sejam robustamente estáveis,

35 CAPÍTULO 3. ANÁLISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 18 ou seja, o sistema é robustamente estável, ou 2) é localizado uma matriz A(χ), χ Ω, que resulte em um sistema instável comprovando que o sistema não é robustamente estável. Através de testes exaustivos, foi verificado que o método que combina formulação LMI com divisão de politopo é mais eficaz que as formulações LMIs isoladamente e ainda pode apresentar menor custo computacional que formulações LMIs mais complexas (Gonçalves, Palhares, Takahashi & Mesquita 2006b, Gonçalves et al. 2007b). Esta metodologia está disponível para download no MATLAB R Central, File ID: # Um bom compromisso entre eficiência e complexidade, para ser utilizado nessa metodologia, é a formulação LMI apresentada em (Peaucelle et al. 2000) (Teorema 4): o sistema (3.1) é robustamente estável se existe P i = P T i R n n, F R n n e G R n n tal que P i 0 e para i = 1,..., η. AT i F T + F A i P i F + A T i G P i F T + G T A i (G + G T ) 0, (3.5) A única desvantagem do método de análise baseado na divisão do politopo é o rápido crescimento do custo computacional com o número de vertices do politopo, η, que define a dimensão do simplex. Desse modo, é interessante desenvolver uma nova metodologia para os casos em que o custo computacional passe a ser proibitivo. O problema de análise de estabilidade robusta do sistema politópico pode ser formulado como um problema de otimização em que é desejado determinar a maior parte real dos n autovalores das infinitas matrizes A(χ) A: χ = arg min χ Ω f(χ), f(χ) max R(λ i (A(χ))) (3.6) i sendo R(λ) a parte real de λ C e λ i (A) o i-ésimo autovalor de A R n n. Se f(χ) 0, isso significa que existe uma instância de A(χ) com autovalores no semi-plano direito do plano-s e o sistema não é robustamente estável. Caso contrário, existe uma grande probabilidade do sistema ser robustamente estável, mas não pode-se afirmar com absoluta certeza uma vez que trata-se de um problema de otimização não convexo, com mínimos em diferentes regiões de Ω, isto é, multimodal. Algoritmos evolutivos, baseados em populações, possuem maior probabilidade de locali-

36 CAPÍTULO 3. ANÁLISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 19 zar o mínimo global de funções multimodais. A opção nesse trabalho foi adotar o algoritmo de evolução diferencial com base em nossa experiência prévia. O método evolução diferencial, descrito no capítulo anterior, é fácil de ser implementado e existem implementações disponíveis gratuitamente. 3.3 Método Evolução Diferencial na Análise de Estabilidade Robusta Seja U (a,b) um número inteiro pseudo-aleatório com distribuição uniforme no intervalo (a, b); I (m) um número inteiro pseudo-aleatório com distribuição uniforme no intervalo [1, m]; χ R η o vetor de variáveis de otimização e N o número de indivíduos (soluções candidatas) da população. Supondo a população na k-ésima iteração, X k = {χ k,i ; i = 1,..., N}, a i-ésima solução é definida como: χ k,i = χ k,i,1. χ k,i,η. (3.7) As características específicas para o uso de método DE com o problema de análise de estabilidade robusta são descritas nas seções a seguir População Inicial Para encontrar de forma mais eficiente a solução do problema (3.6), após diferentes testes, foi adotada uma população inicial composta pelos vértices, três pontos determinísticos sobre cada aresta e η soluções distribuídas de forma aleatória também sobre as arestas do politopo Ω. Seja I i R η a i-ésima coluna da matriz identidade, a população inicial é criada pelo seguinte algoritmo: para i 1 até η χ 1,i I i fim para i η para p 1 até η 1 para q p + 1 até η

37 CAPÍTULO 3. ANÁLISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 20 χ 1,i+1 0,25χ 1,p + 0,75χ 1,q χ 1,i+2 0,5χ 1,p + 0,5χ 1,q χ 1,i+3 0,75χ 1,p + 0,25χ 1,q i i + 3 fim para fim para para j 1 até η r 1 I (η) repita r 2 I (η) até r 1 r 2 α U (0,1) i i + 1 χ 1,i αχ 1,r1 + (1 α)χ 1,r2 fim para O tamanho total da população é dado por N = η + 3η(η 1)/2 + η. NOTA 3.1: Baseado nos testes realizados, incluir os vértices e pontos nas arestas aceleram a convergência do algoritmo e aumentam a probabilidade de se localizar sistemas instáveis no politopo quando os mesmos existem. Esta opção foi adotada considerando que a técnica baseada em divisão de politopos, combinada com formulação LMI, geralmente localiza sistemas instáveis sobre as arestas Mutação diferencial Sejam os índices r 1 r 2 r 3 i gerados como r j = I (N), j = 1,..., 3. Com base em testes anteriores, testando as várias formas de implementação do operador de mutação, para resolver o problema (3.6) foi adotado o operador no seu formato tradicional. A i-ésima solução mutante é obtida como sendo: v k,i = χ k,r1 + F i (χ k,r2 χ k,r3 ), (3.8)

38 CAPÍTULO 3. ANÁLISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 21 i = 1,..., N. Para este problema adotamos o fator de escala aleatório para cada mutação, sendo F i = U (0,1,1). Outras possibilidade testadas foram valor constante, F = 0,5, ou valor aleatório em faixa menor de variação, F = U (0,5,1) Cruzamento O cruzamento é realizado entre a i-ésima solução da população atual, χ k,i, e da população mutante, v k,i, para gerar a i-ésima solução da população teste, u k,i, descrita na seção (2.2.2). Foi adotado C r = 0,5, pois obteve melhores resultados que o outro valor testado C r = 0,9 no problema. O índice δ i = I (η) garante que u k,i χ k,i Tratamento das restrições No problema (3.6), uma solução é factível se χ k,i Ω, isto é, χ k,i,j 0, j, e η j=1 χ k,i,j = 1. Nesta dissertação, optamos por forçar que toda solução atenda as restrições para evitar o uso de tratamento de restrição pelo método de penalidades. Para isso aplicamos as seguintes operações sobre as soluções obtidas pelas operações de mutação e cruzamento: u k,i,j = u k,i,j, j = 1,..., η; u k,i = u k,i / u k,i 1, i = 1,..., N. (3.9) A primeira operação garante que u k,i,j > 0 e a segunda que η j=1 u k,i,j = 1. A Fig. 3.1 ilustra as operações de mutação, cruzamento e tratamento de restrição para η = 2, sendo que o índice relativo à iteração foi omitido para simplificar à anotação. A região factível é a reta interligando os vértices [1 0] T e [0 1] T. O operador de mutação gera a solução mutante, v i, somando a diferença entre x r2 e x r3 sobre a solução base x r1. Os quadrados brancos mostram as possíveis soluções testes geradas a partir da recombinação entre a solução alvo, x i, e a solução mutante, v i. Considerando que foi obtida a solução teste u i, após as operações para tornar os elementos positivos e forçar a soma dos elementos igual a 1, é obtido a solução teste, u i, representada pelo quadrado preto, que participará da seleção com a solução alvo, x i demonstrado na figura 3.1.

39 CAPÍTULO 3. ANÁLISE DE ESTABILIDADE ROBUSTA 22 v i χ 2 1 x r1 u i u i x r2 x i x r3 -a a 1 χ 1 Figura 3.1: Exemplo de operações de mutação, cruzamento e tratamento de restrição para η = Seleção A seleção adotada para o problema foi a padrão descrita no capítulo anterior na seção Critério de parada Foi escolhido como critérios de parada o número máximo de gerações, N g, ou a convergência da população comparando os valores máximo e mínimo de f(χ) da k-ésima população, max i f(χ k,i ) min j f(χ k,j ) ɛ, χ X k. Nessa dissertação foi adotado N g = 200η e ɛ = Testes exaustivos Para avaliação do método de análise de estabilidade robusta baseado no método DE, foram realizados dois testes exaustivos. No primeiro teste, foram gerados 100 sistemas aleatórios para valores combinados de n {2, 4, 8} e η {2, 4, 8}. As matrizes A i R n n, i = 1,..., η, foram criadas com elementos aleatórios, com distribuição Gaussiana, com média zero e desvio padrão unitário. Para garantir uma distribuição aproximada entre sistemas robustamente estáveis ou não, foram calculados os autovalores para cada vértice do politopo, sendo cada