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1 REDUÇÃO ROBUSTA DE CONTROLADORES Raphael José Simões Antunes, Eduardo Nunes Gonçalves, Reinaldo Martinez Palhares, Ricardo Hiroshi Caldeira Takahashi Departamento de Engenharia Elétrica Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Av. Amazonas 7675, , Belo Horizonte - MG - Brasil Departamento de Engenharia Eletrônica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos , Belo Horizonte - MG - Brasil Departamento de Matemática Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos , Belo Horizonte - MG - Brasil s: raphaeljose22@yahoo.com.br, eduardong@des.cefetmg.br, palhares@cpdee.ufmg.br, taka@mat.ufmg.br Abstract This paper deals with the problem of controller reduction aiming closed-loop transfer function approximation considering uncertain systems represented by polytopic models. It is presented a robust controller reduction procedure based in a multiobjective optimization problem formulated directly in the controller parameter space. A numerical example illustrates the effectiveness of the proposed procedure. Keywords Controller reduction, polytopic models, multiobjective optimization. Resumo Este artigo trata do problema de redução de controladores objetivando a aproximação da função de transferência a malha-fechada considerando sistemas incertos representados por modelos politópicos. É apresentado um procedimento de redução de controladores robusto baseado em um problema de otimização multiobjetivo formulado diretamente no espaço de parâmetros do controlador. Um exemplo numérico ilustra a capacidade do procedimento proposto. Keywords Redução de controladores, modelos politópicos, otimização multiobjetivo. 1 Introdução Várias técnicas de síntese de controladores existentes resultam em controladores de ordem igual ou maior do que a ordem da planta. É interessante, do ponto de vista de implementação, projetar controladores de ordem reduzida no caso de plantas de ordem elevada. A Fig. 1 apresenta três estratégias possíveis para síntese de controladores de ordem reduzida: projeto direto do controlador de ordem reduzida em função da planta de ordem elevada; redução do modelo da planta para posterior projeto do controlador de ordem reduzida e projeto de um controlador de ordem alta para a seguir ser utilizado um procedimento de aproximação por um controlador mais simples (Anderson and Liu, 1989). Este artigo irá tratar especificamente do caso de redução de controladores de ordem alta. Vários métodos para obtenção de controladores de baixa ordem a partir de controladores de alta ordem são baseados em técnicas de redução de modelos com ponderação em freqüência (Anderson and Liu, 1989). Na formulação do problema de redução com ponderação em freqüência simples, a redução é baseada em considerações de margem de estabilidade e o objetivo é minimizar o seguinte critério: e 1 = V (K Kr), ou e 2 = (K Kr)V, V = (I + GK) 1 G (1) sendo G, K e K r as funções de transferência da planta, do controlador original e do controlador de ordem reduzida respectivamente. O problema de redução com ponderação em freqüência dupla busca uma aproximação da função de transferência em malha-fechada considerando a minimização do seguinte critério: e = V 1 (K Kr)V 2, V 1 = (I + GK) 1 G e V 2 = (I + GK) 1 (2) Exitem disponíveis na literatura vários métodos para tratamento de problemas de redução de modelos com ponderação em freqüência que podem ser aplicados para solução dos problemas de redução mencionados (Enns, 1984; Al- Saggaf and Franklin, 1988; Kim et al., 1995; Zhou, 1995; Wang et al., 1999; Varga and Anderson, 23; Sreeram, 24). Em Goddard (1995) é tratado o problema de aproximação de controladores de ordem alta que satisfazem o mesmo nível de desempenho em termos de norma H. Em Chen and Zhou (1996)

2 são apresentadas técnicas de redução da ordem de controladores, sendo que a primeira considera o critério H 2, com garantia de estabilidade e desempenho, e a segunda considera uma técnica baseada em realizações balanceadas e ponderação em freqüência. Em Goddard and Glove (1998) é apresentada una estratégia de redução de controladores com garantia de estabilidade e desempenho H a malha fechada formulada em termos de redução ponderada em freqüência. Em Wang et al. (22) são apresentados dois métodos para redução de controladores obtidos diretamente da solução de problemas de redução de sistemas a malha-fechada com ponderações em freqüência para garantir o desempenho. Em Houlis and Sreeram (26) é apresentada uma técnica de redução de controladores baseada na redução de modelo com ponderação em freqüência, onde os pesos para garantia de desempenho incluem uma matriz extra de variáveis livres que permite obter diferentes resultados em relação ao pesos padrões. Neste artigo é apresentado um estratégia de aproximação robusta de controladores de alta ordem por controladores de ordem reduzida considerando sistemas incertos representados por modelos politópicos. A estratégia é baseada em um problema de otimização em que os elementos das matrizes do controlador são as variáveis de otimização, tendo como objetivo a redução do custo H do erro de aproximação do sistema a malha-fechada utilizando o controlador original e o controlador reduzido, sendo garantida a estabilidade robusta do sistema a malha-fechada. O procedimento proposto é similar a estratégia utilizada anteriormente com sucesso para síntese de controladores (Gonçalves et al., 25a; Gonçalves et al., 25b), filtros (Gonçalves, Palhares and Takahashi, 26) e redução de modelos (Gonçalves, Chasin, Palhares and Takahashi, 26). Planta de Ordem Alta Redução de modelo Planta de Ordem Baixa Síntese LQG ou H8 (Ordem Alta) Síntese Direta Síntese LQG ou H8 (Ordem Baixa) Controlador de Ordem Alta Redução de controlador Controlador de Ordem Baixa Figura 1: Estratégias de síntese de controladores de ordem reduzida. 2 Formulação do Problema Considere um sistema linear invariante no tempo descrito por dx(t) dt = Ax(t) + B u u(t) + B w w(t) y(τ) = Cx(t) + D u u(t) + D w w(t) (3) Na eq. (3), x R n é o vetor de variáveis de estado, u R pu é o vetor de entradas de controle, w R pw é o vetor de entradas exógenas (tais como sinais de distúrbios, ruído de medições ou sinais de referência) e y R m é o vetor de saídas medidas. Este sistema pode ser representando de forma mais compacta através da definição da matriz do sistema: [ ] A Bu B S w (4) C D u D w A matriz do sistema S não é precisamente conhecida, mas pertence a um conjunto convexo poliédrico, ou politopo, P S, definido pelo conjunto de todas matrizes obtidas pela combinação convexa de seus N vértices: { } N S P S = S : S α i S i, α Ω (5) sendo [ Ai B S i ui B wi C yi D ui D wi i=1 ], i = 1,...,N (6) os vértices do politopo, α = [α 1... α N ] T, e { } N Ω α R N : α i, α i = 1 (7) i=1 Sem perda de generalidade, será considerando D u = de modo a simplificar as equações apresentadas a seguir. Considere o sistema de controle por realimentação dinâmica de saída, apresentado na Fig. 2, onde z é o vetor de variáveis controladas associadas a critérios de desempenho tais como normas H 2 e H. O controlador K é modelado por: dx c (t) dt u(t) = A c x c (t) + B c y(t) = C c x c (t) + D c y(t) (8) sendo x c R nc o vetor de estado do controlador. Ou na forma compacta [ ] Ac B K c (9) C c D c O sistema a malha-fechada com x(t) [x T (t) x T c (t)] T R n+nc, d x(t) dt = Ā x(t) + Bw(t) y(t) = C x(t) + D w w(t) (1)

3 é obtido na forma compacta como sendo: T Ā B C D = A + B u D c C B u C c B w + B u D c D w B c C A c B c D w w u C D w S K z y (11) Figura 2: Diagrama de blocos do sistema de controle por realimentação dinâmica de saída. Seja T e T r os sistemas a malha-fechada, como dado pela Eq. 11, utilizando os controladores de ordem completa, K, e reduzida, K r. O erro de aproximação, considerando os modelos no espaço de estados, é dado por: Ā B E T T r = Ā r Br (12) C C r D Dr O objetivo é obter o controlador robusto ótimo de ordem reduzida que minimiza a norma H do erro de aproximação, isto é, K r = arg min K r E (13) 3 Procedimento de Redução de Controladores Robusto O procedimento de projeto proposto é baseado em uma estratégia de otimização multiobjetivo, diretamente no espaço de parâmetros do controlador, para obter o controlador robusto de ordem reduzida que minimiza o custo H do erro E entre os sistemas a malha-fechada com o controlador de ordem elevada, T, e o controlador de ordem reduzida, T r. O termo custo H é empregado aqui como sendo o pior caso da norma E no espaço politópico de incerteza. Considerando que a otimização é realizada diretamente no espaço de parâmetros do controlador, resultando em uma formulação não convexa para o problema, a princípio seria necessário considerar os infinitos pontos do domínio de incerteza no problema de otimização. Para evitar essa dificuldade, é proposto um procedimento de otimização dividido em duas etapas, uma etapa de síntese e uma etapa de análise. Na etapa de síntese é utilizado um algoritmo de otimização para resolver um problema multiobjetivo formulado em termos de um problema escalar utilizando o método da programação alvo: x = arg min x F x f(x), f(x) = f(x) M (14) sendo x o vetor de parâmetros de otimização, correspondendo aos elementos das matrizes do controlador, F x a região no espaço de parâmetros de soluções viáveis ou factíveis, no caso, soluções que correspondam a sistemas a malha-fechada estáveis, f(x) o vetor de funções objetivo, no caso as normas H dos erros de aproximação, E, em um conjunto finito de pontos do espaço politópico de incerteza e M a meta a ser atingida, no presente caso um vetor nulo, de modo a reduzir ao máximo a norma do erro de aproximação em todos os pontos considerados. No procedimento proposto, o conjunto finito de pontos do espaço de incerteza utilizado para compor o vetor de funções objetivos f(x) é inicialmente o conjunto de vértices do politopo. Como a otimização, considerando apenas os vértices do politopo, não é suficiente para garantir a redução da norma E e a estabilidade robusta do sistema a malha-fechada, T r, para todo o espaço politópico de incerteza, é necessário uma segunda etapa de análise robusta do resultado obtido. Na etapa de análise, caso seja localizado um sistema T r que seja instável ou caso seja verificado que o pior caso da norma E não ocorre nos pontos considerados na etapa de síntese, então o ponto correspondente é acrescentado ao conjunto de pontos e nova rodada do procedimento é executada. O procedimento é finalizado quando é verificado que o sistema a malha-fechada T r é robustamente estável e que, dentro de uma determinada precisão especificada, o ponto de pior caso foi considerado na etapa de síntese. Várias experiências anteriores com este procedimento de otimização, em diferentes aplicações na área de controle robusto, resultaram em uma convergência rápida do mesmo, comprovando a sua viabilidade. 3.1 Etapa de Síntese O problema de otimização escalar (14) pode ser solucionado através do algoritmo cone-elipsoidal (Takahashi et al., 23). Seja a elipse na iteração k descrita como E k = { x R d : (x x k ) T Q 1 k (x x k) 1 }, sendo x k o centro do elipse e Q k = Q T k a matriz que determina as direções e as dimensões dos eixos da elipse. Dado os valores iniciais

4 x e Q, o algoritmo elipsoidal é descrito pelas seguintes equações recursivas: x k+1 = x k 1 d + 1 Q k m Q k+1 = definindo d 2 d 2 1 m ( Q k 2 ) d + 1 Q k m m T Q k m k m T k Q km k (15) sendo x R d o vetor de parâmetros de otimização (os elementos das matrizes do controlador) e m k o gradiente (ou sub-gradiente) da restrição mais violada g(x) : R d R s (restrições de estabilidade baseadas nas localizações dos pólos do sistema a malha-fechada), quando x k não é uma solução viável, ou o gradiente (ou sub-gradiente) da função objetivo, f(x) : R d R, quando x k é uma solução viável. O método de diferenças finitas é empregado para calcular o gradiente. O algoritmo de otimização é finalizado quando (f max f min )/f min ǫ, sendo f max e f min os valores máximos e mínimo da função objetivo nas últimas N ǫ iterações e ǫ é uma precisão relativa especificada. 3.2 Etapa de Análise Na etapa de análise é necessário verificar a estabilidade robusta do sistema a malha-fechada e, em caso contrário, localizar uma coordenada de um sistema no domínio politópico de incerteza que não seja estável. Para isso é utilizado o procedimento de análise de estabilidade robusta apresentado em Gonçalves, Palhares, Takahashi and Mesquita (26b). Tal procedimento é baseado na combinação de uma condição necessária de estabilidade robusta formulada em termos de LMIs (desigualdades matriciais lineares) com uma técnica de divisão de politopos em simplexos descrita em Gonçalves, Palhares, Takahashi and Mesquita (26a). O cálculo do custo H, isto é, o pior caso da norma E no domínio de incerteza, e a coordenada correspondente, é realizado através de um procedimento de análise robusta baseado no algoritmo branch-and-bound que também utiliza uma combinação de uma formulação de cálculo de custo garantido baseada em LMIs e a técnica de divisão de politopos (Gonçalves et al., 27). 4 Exemplo Ilustrativo Considere o modelo linear, invariante no tempo, de um satélite consistindo de dois corpos rígidos (módulo principal e módulo de sensores) conectados por um eixo elástico (Gahinet et al., 1995): θ 1 θ 2 θ 1 θ 2 = k J 1 k J 1 f f J 1 J 1 k J 2 k f J 2 J 2 f J 2 1 J 1 u + z = [ 1 ] x z 2 = y = 1 1 [ J 1 w x + ] x 1 u θ 1 θ 2 θ 1 θ 2 (16) com x = [θ 1 θ 2 θ 1 θ 2 ] T, sendo θ 1 e θ 2 os ângulos de rotação do corpo principal e do módulo de sensores, respectivamente, u é o conjugado de controle e w é um conjugado de distúrbio sobre o corpo principal. São considerados J 1 = 1 e J 2 = 1. Considere que k e f sejam parâmetros incertos que podem variar na faixa:,9 k,4 e,38 f,4. O sistema incerto é representado por um modelo politópico com quatro vértices correspondendo aos valores extremos dos dois parâmetros incertos. O objetivo de controle é minimizar a influência da perturbação w sobre a posição angular θ 2. Utilizando o procedimento de projeto descrito em Gonçalves et al. (25b), foi obtido um controlador robusto H 2 /H, de 4a. ordem, por realimentação dinâmica da saída, K, com a seguintes matrizes: A c = B c = 3,436 4,149 5,372 1,45 2,78 4,5 5,629 1,871 6,55 6,394 1,86 15,92 2,82 9,191 1,511 13,493 6,233 2,7 9,38 4,36 24,17 1,596 11,68 6,174 C c = [ 2,81 4,474 18,7 5,496 ] D c = [ 37,61 7,474 ] Utilizando o procedimento de redução de controladores proposto, é obtido as seguintes matrizes

5 do controlador reduzido de 2a. ordem, K r : [ ] 26,323 27,9593 A c = 63,838 46,9462 B c = [ 76,449 19, , ,5695 C c = [ 7, ,7417 ] ] Magnitude (db) To: Out(1) Bode Diagram Este controlador garante o pior caso de E igual a,3593, ocorrendo no vértice associado a k =,9 e f =,4, como pode ser verificado na Fig. 3. As respostas em freqüência e as respostas ao impulso, para os sistemas a malha-fechada, obtidos com os controladores de ordem completa, T, e reduzida, T r, considerando o ponto de pior caso de E, são apresentadas nas Figs. 4 e 5, repespectivamente. Observa-se que o procedimento proposto resultou em um controlador de 2a. ordem com resposta em freqüência similar ao do controlador de 4a. ordem e com resposta ao impulso adequada para ambas as funções de transferência: θ 1 (s)/ω(s) e θ 2 (s)/ω(s). To: Out(2) Frequency (rad/sec) Figura 4: Respostas em freqüência de T (linha tracejada) e T r (linha contínua) para o pior caso de E. To: Out(1) Impulse Response Amplitude To: Out(2).5 E f.1 Figura 3: Superfície de E para k e f variando entre seus valores limites. Para este caso, projetar um controlador com D c não resultou em melhoria significativa no pior caso da norma E. 5 Conclusões Foi apresentada uma estratégia de aproximação de controladores de alta ordem por controladores de baixa ordem, considerando sistemas incertos representados por modelos politópicos, garantido a estabilidade robusta do sistema a malha-fechada e minimizando o pior caso do erro de aproximação da função de transferência a malha-fechada em todo o domínio de incerteza. O procedimento proposto é baseado em um procedimento de otimização direto no espaço de parâmetros do controlador que considera um número finito de pon-.1.2 k Time (sec) Figura 5: Respostas ao Impulso de T (linha tracejada) e T r (linha contínua) para o pior caso de E. tos do domínio de incerteza. O controlador reduzido é validado por estratégias de análise robusta que combinam formulações LMIs e uma técnica de partição de politopos. O procedimento proposto é aplicado a um exemplo ilustrativo obtendo resultados satisfatórios que motivam posteriores desenvolvimentos na área. O procedimento proposto pode ser aplicado para sistemas discretos no tempo, bastando modificar as caracterizações de estabilidade robusta e de custo garantido. Agradecimentos Os autores agradecem o apoio das agências CAPES, CNPq e FAPEMIG. Referências Al-Saggaf, U. M. and Franklin, G. F. (1988). Model reduction via balanced realizations: An extension and frequency weighting tech-

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