Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 2012.

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1 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática CBA 22. SI NTESE DE PRE -FILTRO DISCRETO: FORMULAC A O LMI PARA APROXIMAC A O DE MODELO H Daniel A. Godinho Eduardo N. Goncalves Valter J. S. Leite Reinaldo M. Palhares Programa de Po s-graduac a o em Engenharia Ele trica - UFSJ/CEFET-MG Departamento de Engenharia Ele trica Centro Federal de Educac a o Tecnolo gica de Minas Gerais Av. Amazonas Belo Horizonte - MG - Brasil Campus Divino polis Centro Federal de Educac a o Tecnolo gica de Minas Gerais R. A lvares Azevedo 4 Divino polis - Brasil Departamento de Engenharia Eletro nica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Anto nio Carlos Belo Horizonte - MG - Brasil s: danielalmeidagodinho@gmail.com eduardong@des.cefetmg.br valter@ieee.org palhares@cpdee.ufmg.br Abstract The aim of this paper is to present a new formulation to the discrete-time H model matching problem. It is developed a formulation based on linear matrix inequality for discrete-time linear time-invariant systems. The H model matching will be applied to the prefilter synthesis in a two degrees-of-freedom controller configuration. While the feedback controller can be designed to assure stability disturbance rejection and measurement noise attenuation the prefilter can enforce the tracking response specifications and also decoupling in the case of multivariable systems. A illustrative example is presented to demonstrate the effectiveness of the proposed formulation. H model approximation LMI MIMO systems two degree-of-freedom control. Keywords Resumo O objetivo deste artigo e apresentar uma nova formulac a o para o problema de aproximac a o de modelo discreto H. E desenvolvida uma formulac a o baseada em desigualdade matricial linear para sistemas lineares invariantes no tempo discretos. A aproximac a o de modelo H sera aplicada para sı ntese do pre -filtro em uma configurac a o de controle com dois graus de liberdade. Enquanto o bloco do controlador na realimentac a o pode ser projetado para assegurar a estabilidade a rejeic a o de distu rbios e a atenuac a o de ruı dos de medic a o o pre filtro pode ser projetado para atender as especificac o es da resposta de rastreamento e tambe m o desacoplamento das malhas de controle no caso de sistemas multivaria veis. Um exemplo ilustrativo e apresentado para demonstrar a eficie ncia da formulac a o proposta. Aproximac a o de modelo H LMI sistemas MIMO controle com dois graus de liberdade. Keywords Introduc a o Configurac o es de controle com dois graus de liberdade sa o u teis para lidar com problemas de controle de sistemas multivaria veis que possuem como objetivos atender as especificac o es da resposta de rastreamento dos sinais de refere ncia e o desacoplamento entre malhas de controle. Em certas configurac o es de controle com dois graus de liberdade os sinais de refere ncia e as saı das medidas sa o processadas de forma independente por diferentes blocos do controlador. O bloco de realimentac a o do controlador pode ser projetado para garantir a estabilidade a rejeic a o de perturbac o es e a atenuac a o de ruı dos de medic a o. Um pre -filtro pode ser projetado para melhorar o desempenho da resposta de rastreamento e no caso de sistemas multivaria veis impor o desacoplamento das malhas de controle. A aproximac a o de um modelo e um problema cla ssico da teoria de controle linear (Doyle et al. 99) que pode ser aplicada na sı ntese de controladores com dois graus de liber- ISBN: dade. O objetivo do problema de aproximac a o de modelo e combinar a func a o transfere ncia da planta e compensadores para aproximar a func a o de transfere ncia de um modelo de refere ncia. Isto significa que o desempenho em malha-fechada do sistema de controle aproxima o desempenho desejado estabelecido pelo modelo de refere ncia. Seja Tm (z) e Tcr (z) func o es de transfere ncia pro prias e esta veis representando o modelo de refere ncia e o sistema em malha-fechada com o bloco de realimentac a o do controlador. O problema de aproximac a o de modelo H em tempo discreto e determinar o pre -filtro Tr (z) esta vel e causal que minimiza a norma H de Tm (z) Tcr (z)tr (z). Procedimentos para ana lise e sı ntese de sistemas de controle com base em desigualdade matricial linear (LMI do ingle s linear matrix inequality) tornaram-se bastante populares devido ao fato de serem problemas de otimizac a o convexo que podem ser facilmente implementados e eficientemente solucionados por meio de softwares comerciais (Gahinet et al. 995) ou livres (Sturm 756

2 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática CBA ) disponíveis. Existem formulações LMI para análise de estabilidade e desempenho robusto de sistemas de controle. Ao se considerar uma formulação LMI de análise para síntese é obtida uma formulação com desigualdade matricial bilinear (BMI do inglês bilinear matrix inequality) que é um problema não-convexo em geral. Existem vários trabalhos que apresentam métodos para transformar problemas BMI em problemas LMI. Alguns destes trabalhos são baseados em transformações congruentes e mudança de variáveis linearizantes (Bernussou et al. 989; Scherer et al. 997; Masubuchi et al. 998; de Oliveira et al. 22). Em (Lee et al. 29) é proposta uma formulação LMI para síntese de controladores com dois graus de liberdade. A principal contribuição deste trabalho é desenvolver uma formulação baseada em LMI do problema de aproximação de modelo H em tempo discreto. Um controlador por realimentação de estados ou realimentação da saída pode ser projetado para garantir a estabilidade a rejeição de perturbações e atenuação de ruídos de medição. A nova formulação proposta para o problema de aproximação de modelo H permite projetar um pré-filtro para garantir as especificações de resposta de rastreamento sem afetar a rejeição de distúrbios e a atenuação de ruídos de medição obtidas pelo bloco de realimentação do controlador. No caso de sistemas multivariáveis o pré-filtro pode também ser aplicado para reduzir o acoplamento entre as malhas de controle com base na escolha apropriada do modelo de referência. Um exemplo ilustrativo de um problema de controle multivariável em tempo discreto é apresentado para demonstrar a eficiência da formulação LMI proposta para síntese de pré-filtro. A notação utilizada neste artigo é padrão. A notação compacta: A B G(z) = C D é aplicada para representar a matriz de transferência G(z) =C(zI A) B + D. 2 Formulação do Problema Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade apresentado na Fig.. O sistema linear invariante no tempo em tempo discreto P (z) pode ser descrito no espaço de estados como x(k +) = Ax(k)+B u u(k)+b w w(k) z(k) = C z x(k)+d zu u(k)+d zw w(k) y(k) = C y x(k)+d yw w(k) () sendo x(k) R n o vetor de variáveis de estado u(k) R nu o vetor de sinais de controle (variáveis manipuladas) w(k) R nw o vetor de variáveis exógenas (sinais de referência filtrados r(k) distúrbios d(k) e ruído de medição n(k)) z(k) R nz o vetor de variáveis controladas (saídas das planta c(k) e sinais de controle u(k)) e y(k) R ny o vetor de variáveis medidas (utilizadas como entradas do bloco de realimentação do controlador). O vetor de sinais de referência filtrados é dado por R(z) =T r (z) R(z) sendo r(z) o vetor de sinais de referência. Figura : Diagrama de blocos geral do sistema de controle. Dada a ação de controle U(z) =K(z)Y (z) a matriz de transferência em malha-fechada relacionando as variáveis exógenas com as variáveis controladas pode ser particionada como C(z) Tcr (z) T = cd (z) T cn (z) R(z) D(z). U(z) T ur (z) T ud (z) T un (z) N(z) (2) O bloco de realimentação do controlador K(z) pode ser projetado para garantir a estabilidade e otimizar a rejeição de distúrbios e a atenuação dos ruídos de medição por meio da minimizaç ã o d a s n o r m a s T cd (z) e T un (z) 2 respectivamente. Isto pode ser feito através de formulações LMI disponíveis na literatura (de Oliveira et al. 22). O objetivo deste artigo é desenvolver uma formulação LMI para síntese independente do pré-filtro de modo a assegurar as especificações da resposta de rastreamento dos sinais de referência e o desacoplamento das malhas de controle no caso de sistemas multivariáveis. Defina Acr B C(z) =T cr (z)r(z) T cr (z) cr e Ar B T r (z) r C r D r C cr D cr Am B T m (z) m C m D m em que o modelo de referência T m (z) garante as especificações de resposta transitória de rastreamento (sobresinal tempo de acomodação etc.) e no caso de sistemas multivariáveis possui uma forma diagonal para garantir o desacoplamento entre as malhas de controle. O problema de aproximação de modelo H em tempo discreto pode ISBN:

3 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática CBA 22. ser descrito como: encontre o pré-filtro T r (z) que minimize o erro entre o modelo de referência e o produto do pré-filtro e a matriz de transferência em malha-fechada E(z) T m (z) T cr (z)t r (z): Tr = arg min E T r sujeito a: T r F (3) sendo F o conjunto de pré-filtros estáveis e causais. Na próxima seção este problema será formulado em termos de LMI de modo que ele possa ser solucionado eficientemente por LMI solvers disponíveis. 3 Procedimento Proposto Baseado em Formulação LMI No desenvolvimento apresentado a seguir a matriz D r será considerada nula. A matriz D r será calculada aposterioripara garantir que o ganho de regime estacionário seja unitário de modo que lim r i(k) = r i (k) i. k O erro de aproximação de modelo E(z) = T m (z) T cr (z)t r (z) poder ser representado no espaço de estados por A B E(z) C D sendo = = A m B m A cr B cr C r A r B r C m C cr D cr C r D m  ˆB C r ˆB2 A r B r Ĉ ˆDCr D m Am  A cr Bm ˆB ˆB2 B cr Ĉ C m C cr ˆD Dcr. (4) Considerando o Teorema 2 (norma H estendida) apresentada em de Oliveira et al. (22) o problema de aproximação de modelo pode ser estabelecido como: Problema BMI de aproximação de modelo H em tempo discreto: minimizar µ sujeito a P AG B ( ) T G + G T P G T C T ( ) T ( ) T I D T ( ) T ( ) T ( ) T µi (5) sendo variáveis as matrizes A r B r C r G e a matriz simétrica P. Os termos ( ) T representam blocos simétricos. O pré-filtro T r (z) com D r = garante que E(z) 2 <µ. Esta é uma formulação BMI uma vez que os termos AG e G T C T apresentam produtos entre as matrizes do filtro A r B r e C r e a variável G. Considere a mesma transformação apresentada em de Oliveira et al. (22) para o caso de realimentação dinâmica de saída. Defina G e G como G X? U? G Y T? V T? (6) e a matriz de transformação como sendo I Y T T V T (7) e considere as seguintes mudanças de variáveis linearizantes L C r U (8) F VB r (9) Q VA r U + Y ÂX + Y ˆB C r U () P J J T T T PT H () S YX+ VU. (2) Multiplicando a desigualdade matricial no problema BMI (5) a direita por T diagt T I I e a esquerda por T T e considerando as mudanças de variáveis (8)-(2) a BMI pode ser transformada em uma LMI (maiores detalhes em de Oliveira et al. (22)): Problema LMI de aproximação de modelo H em tempo discreto: minimizar µ sujeito a P J ÂX + ˆB L  ( ) T H Q Y ( ) T ( ) T X + X T P I + S T J ( ) T ( ) T ( ) T Y + Y T H ( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ˆB 2 Y ˆB 2 + F X T Ĉ T + L T ˆDT Ĉ T I Dm T ( ) T µi (3) sendo variáveis as matrizes X L Y F Q S J e as matrizes simétricas P e H. A desigualdade E(z) 2 <µé garantida pelo pré-filtro calculado como: C r = LU B r = V F A r = V (Q Y ÂX Y ˆB C r U)U (4) ISBN:

4 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática CBA 22. sendo U e V quaisquer matrizes não-singulares tal que VU = S YX Para fixar os ganho de regime permanente do préfiltro D r deve ser calculado como D r = I C r (I A r ) B r (5) não sendo esperada uma variação significativa do erro de aproximação em relação ao pré-filtro com D r =. A ordem do pré-filtro é a soma das ordens de T m (z) et cr (z). A ordem do pré-filtro não é tão importante no caso de sistemas em tempo discreto. Se desejado é possível aplicar técnicas de redução de modelos disponíveis para reduzir a ordem do pré-filtro mantendo desempenho similar. Como ocorre no caso de síntese de controladores por realimentação dinâmica de saída (de Oliveira et al. 22) o problema LMI (3) pode ser aplicado para calcular um pré-filtro fixo apenas no caso de sistemas precisamente conhecidos uma vez que a matriz A r é f u n ç ã o d a s m a - trizes do sistema. Em caso de sistemas incertos é necessário utilizar procedimentos para solução de problemas BMI como em Bachur et al. (2). 4 Exemplo Ilustrativo Considere o problema de controle de nível de dois tanques interligados apresentado na Fig. 2. Será considerado um modelo linear de um ponto de operação. As variáveis em letras maiúsculas correspondem aos valores do ponto de operação: Qu =45m 3 /s Q =4m 3 /s Qu2 = Q d = 5m 3 /s Q 2 = 5m 3 /s H = 2m e H 2 =m. As variáveis em letras minúsculas correspondem às variações em torno do ponto de operação. O vetor de estados é definido como sendo x(t) h (t) h 2 (t) ν (t) ν 2 (t) T incluindo as variáveis associadas com a ação de controle integral ν i (t) r i (t) h i (t) n i (t)dt i = 2. As saídas controladas do sistema são os níveis dos dois tanques c(t) =h (t) h 2 (t) T. Os sinais de controle são as vazões de entrada em cada tanque u(t) =q u (t) q u2 (t) T e o distúrbio é a segunda vazão entrada no tanque 2 d(t) =q d (t). Figura 2: Sistema de tanques interligados. A representação linear em tempo contínuo no espaço de estados pode ser escrita como h k k A A h d h 2 dt ν = k A 2 k+k2 A 2 h 2 ν ν 2 ν 2 A A + A 2 qu q u2 + z = A 2 x + r r 2 q d n n 2 u y = x. (6) As áreas transversais dos tanques são A = m 2 e A 2 =5m 2. Os coeficientes de vazão nos dutos são k =2 ek 2 =25. Os objetivos de controle são: obter resposta de rastreamento do sinal de referência similar à especificada por um modelo de referência desacoplar as duas malhas de controle minimizar a influência da perturbação sobre os níveis dos tanques e atenuar os efeitos dos ruídos de medição sobre os sinais do sistema. Combinando os Teoremas 5 (realimentação de estado H 2 ) e 6 (realimentação de estado H ) apresentados em de Oliveira et al. (22) para minimizar λ T cd + λ 2 T un 2 éprojetadoo seguinte controlador por realimentação de estado u(k) = Kx(k) para garantir um bom compromisso entre rejeição ao distúrbio e atenuação dos ruídos de medição: K = que resulta em T cd (z) =652 e T un (z) 2 = As respostas transitórias para uma variação na perturbação de q d (t) =25.(t 5) 25.(t 2) e ruídos de medição com distribuição normal e variância igual a são apresentadas nas Figs. 3 e 4. Estas respostas independem do uso do pré-filtro. Para desacoplar as duas malhas de controle deve-se adotar um modelo de referência diagonal: T m (z) = Tm (z) T m2 (z) (7) sendo T mi (z) determinado a partir das funções de transferência em tempo contínuo: T mi (s) = ω 2 n i s 2 +2ζ i ω ni s + ω 2 n i (8) ISBN:

5 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática CBA 22. h h 2 (m) Figura 3: Respostas transitórias dos níveis dos tanques h (linha sólida) e h 2 (linha tracejada) para variação na perturbação e ruídos de medição. q u q u2 (m 3 /s) Figura 4: Respostas transitórias das vazões de entrada dos tanques q u (linha sólida) e q u2 (linha tracejada) para variação na perturbação e ruídos de medição. com ζ = ζ 2 =9 ω n = ω n2 =6. Considerando tempo de amostragem T s =25s: T mi (z) = 283(z +939) z 2 i= 2. (9) 744z É utilizada uma representação no espaço de estados balanceada da matriz de transferência. Aplicando a função mincx( ) domatlab R LMI Control Toolbox para obter uma solução do problema LMI (3) com options = é obtido o pré-filtro: sendo T r (z) = D(z) N (z) N 2 (z) N 2 (z) N 22 (z) N (z) = 359(z +28)(z 8636) (z 549)(z 353) (z +334)(z 83 8 ) (z 2 744z +7634) N 2 (z) = z(z ) (z )(z 48) (z 3464)(z +334) (z 2 744z +7634) N 2 (z) = 55 5 (z ) (z )(z 48)(z 3655) (z +334)(z 8 8 ) (z 2 744z +7634) N 22 (z) = 352z(z +2663) (z 9257)(z 4964) (z 682)(z +334) (z 2 744z +7634) D(z) = z(z +334)(z +334) (z ) (z 2 744z +7634) 2. Este pré-filtro resulta em E(z) = 36 ( E(z) =38 para D r = ). Aplicando a função balred( ) domatlab R é possível obter um filtro de 4 a ordem a partir do pré-filtro de 8 a ordem com desempenho similar e E(z) = 73. A Fig. 5 apresenta a resposta em frequência do modelo de referência e do sistema de controle com pré-filtro. Nesta figura pode ser observada a boa aproximação obtida em relação às respostas desejadas para cada malha de controle diagramas na diagonal onde o ganho é significativo. Além disso pode também ser observado o desacoplamento significativo entre as malhas de controle considerando os pequenos valores de ganho máximo nos diagramas fora da diagonal: o pior caso de ganho igual a 27( 396db). Magnitude (db) ; Phase (deg) To: Out() To: Out() To: Out(2) To: Out(2) From: In() Bode Diagram System: sist_fil I/O: In() to Out(2) Frequency (rad/sec):.68 Magnitude (db): 39.6 From: In(2) System: sist_fil I/O: In(2) to Out() Frequency (rad/sec):.449 Magnitude (db): Frequency (rad/sec) Figura 5: Resposta em frequência de T m (z) (linha tracejada) e T r (z)t cr (z) (linha sólida). As respostas transitórias para o sistema de controle com e sem o pré-filtro para variações nos sinais de referência de r (t) =.(t) e r 2 (t) =.(t 2) são apresentadas nas Figs. 6 e 7. Pode ser observada a interação entre as malhas de controle sem o pré-filtro: variação do sinal de referência do nível em um tanque influencia o nível no outro tanque. Aplicando o pré-filtro além de se obter a resposta transitório similar à determinada pelo modelo de referência é obtido um excelente desacoplamento entre as malhas de controle: variação do sinal de referência do nível em um tanque influencia pouco o nível no outro tanque. ISBN:

6 Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática CBA 22. h h 2 (m) Figura 6: Respostas transitórias dos níveis dos tanques para o sistema sem filtro (linha tracejada) com filtro (linha sólida) e modelo de referência (linha traço-ponto) para variações nos sinais de referência. q u q u2 (m 3 /s) q u q u Figura 7: Respostas transitórias das vazões de entrada dos tanques para o sistema sem filtro (linha tracejada) e com filtro (linha sólida) para variações nos sinais de referência. Foram realizados vários testes diferentes considerando inclusive diferentes projetos do controlador K(z) e mesmo em casos em que o sistema sem o pré-filtro apresentava resposta muito mais lenta e maior interação entre as malhas de controle foi possível projetar um pré-filtro para garantir a resposta de rastreamento similar ao do modelo de referência e um bom desacoplamento. É possível projetar pré-filtros para atender diferentes compromissos entre o erro de aproximação e o nível de desacoplamento de acordo com o modelo de referência obtendo sempre melhor desempenho que o sistema sem o pré-filtro. 5 Conclusões Foi apresentada uma formulação LMI para o problema de aproximação de modelo aplicada a sistemas lineares invariantes no tempo em tempo discreto. A formulação proposta é aplicada ao projeto independente de pré-filtro em uma configuração de controle com dois graus de liberdade. O pré-filtro é projetado de modo a garantir as especificações da resposta transitória e no caso de sistemas multivariáveis o desacoplamento das malhas de controle. O problema de síntese do pré-filtro pode ser facilmente solucionado por softwares comerciais ou gratuitos disponíveis. A formulação de síntese proposta já foi testada em diferentes problemas um do quais apresentados neste artigo apresentando sempre bons resultados. No caso de sistemas incertos devem ser considerados procedimentos para solução da formulação BMI. 6 Agradecimentos Os autores agradecem o apoio das agências CAPES CNPq e FAPEMIG. Referências Bachur W. E. G. Gonçalves E. N. de S. Leite V. J. epalharesr.m.(2). Multiobjectiverobust discrete dynamic output-feeback control synthesis based on closed-loop reference model Proceedings of the 2 IEEE International Symposium on Computer-Aided Control System Design part of 2 IEEE Multi-Conference on Systems and Control IEEEDenverCOUSApp Bernussou J. Peres P. L. D. e Geromel J. C. (989). A linear programming oriented procedure for quadratic stabilization of uncertain systems Systems & Control Letters 3: de Oliveira M. C. Geromel J. C. e Bernussou J. (22). Extended H 2 and H norm characterizations and controller parametrizations for discretetime systems International Journal of Control 75(9): Doyle J. C. Francis B. A. e Tannenbaum A. R. (99). Feedback Control Theory Macmillan Publishing Co. Gahinet P. Nemirovski A. Laub A. J. e Chilali M. (995). LMI Control Toolbox: For Use with MATLAB R TheMATHWORKSInc.Natick. Lee C. Salapaka S. M. e Voulgaris P. G. (29). Two degree of freedom robust optimal control design using a linear matrix inequality optimization Proceedings of the Joint 48th IEEE Conference on Decision and Control and 28th Chinese Control Conference IEEEShanghaiP.R. China pp Masubuchi I. Ohara A. e Suda N. (998). LMIbased controller synthesis: an unified formulation and solution International Journal of Robust and Nonlinear Control 8: Scherer C. Gahinet P. e Chilali M. (997). Multiobjective output-feedback control via LMI optimization IEEE Transactions on Automatic Control 42(7): Sturm J. (999). Using SeDuMi.2 a MAT- LAB toolbox for optimization over symmetric cones Optimization Methods and Software 2: Version. available at sedumi.mcmaster.ca. ISBN: