CONTROLE ÓTIMOAPLICADO A UMA REDE DE TROCADORES DE CALOR FABIO DELATORE JOSÉ JAIME DA CRUZ FABRIZIO LEONARDI

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1 CONTROLE ÓTIMOAPLICADO A UMA REDE DE TROCADORES DE CALOR FABIO DELATORE Laboratório de Automação e Controle - LAC, Departamento de Eng. Elétrica, Escola Politécnica - USP Av. Prof. Luciano Gualberto, travessa 3, nº380 CEP , SP, Brasil. fdelatore@usp.br JOSÉ JAIME DA CRUZ Laboratório de Automação e Controle - LAC, Departamento de Eng. Elétrica, Escola Politécnica - USP Av. Prof. Luciano Gualberto, travessa 3, nº380 CEP , SP, Brasil. jaime@lac.usp.br FABRIZIO LEONARDI Mestrado em Engenharia Mecânica, Centro Universitário da FEI Av. Humberto de A. C. Branco, nº3972 CEP , São Bernardo do Campo, SP, Brasil fabrizio@fei.edu.br LUIZ FERNANDO NOVAZZI Departamento de Engenharia Química, Centro Universitário da FEI Av. Humberto de A. C. Branco, nº3972 CEP , São Bernardo do Campo, SP, Brasil lnovazzi@fei.edu.br Abstract A myriad of different multivariable control techniques, ranging from the simplest decentralized PID control to the most sophisticated model predictive controls, are presented in the literature and applied to chemical plants. However, between the simplest and the more complex control technique, there are other control structures that are possible to be applied on chemical process. This work intends to present an intermediate control solution, based on optimal control theory, with a relative simplicity, in combination with a superior performance when compared to traditional PID controllers. It was used the linear quadratic regulator (LQR) to implement the closed loop control on a heat exchanger and also on a heat exchanger network, which are typical equipments in industries processes. The simulations results demonstrated that the proposed approach leaded to a reasonable control performance, i.e., process variables became almost totally decoupled, no offset was observed and the output responses presented a reasonable time constant for the heat transfer process. Keywords Heat Exchanger Network, Optimal Control, Chemical Process. Resumo Diferentes técnicas de controle multivariável desde as mais simples, como o controle PID descentralizado, até os modelos mais sofisticados, como o controle preditivo, são encontrados na literatura com aplicações às plantas químicas. Porém, entre a técnica de controle mais simples e a mais complexa, existem outras estruturas de controle que são possíveis de serem aplicadas em plantas químicas com facilidade. O foco principal deste trabalho é de apresentar uma solução de controle de intermediária baseada em controle ótimo, com uma relativa simplicidade de projeto, combinado com um desempenho superior, quando comparado ao controle PID tradicional. Utilizou-se o regulador linear quadrático (LQR) para implementar o controle em malha fechada em um trocador de calor e também, à uma rede de trocadores de calor, que são equipamentos tradicionais em processos químicos. Os resultados das simulações demonstraram que a técnica proposta apresentou um desempenho de controle razoável, onde as iterações entre as variáveis de processo foram eliminadas, não foi observado offset e as respostas de saída apresentaram uma constante de tempo adequada para o processo de troca térmica em questão. Palavras-chave Rede de Trocadores de Calor, Controle Ótimo, Processo Químico. 1 Introdução O trocador de calor é um equipamento bastante difundido e amplamente usado em indústrias químicas, com o objetivo principal de realizar a transferência de energia entre uma corrente quente e uma corrente fria de processo. Apesar dos trocadores do tipo casco e tubo, representarem a maioria dos trocadores utilizados para essa aplicação, a utilização de trocadores do tipo placa, vem crescendo constantemente. Entretanto, independentemente do tipo de trocador empregado, é extremamente importante que as temperaturas de saída de cada corrente estejam em um determinado valor, sendo por esse motivo, as variáveis controladas nesse tipo de equipamento (Hewitt et al., 1993). Os sistemas de controles em processos industriais estão se tornando indispensáveis hoje em dia, principalmente devido a razões econômicas: um sistema de controle é indispensável, por exemplo, para que uma minimização do ponto de vista de desperdício de matéria prima possa ser obtida. E existem diversos tipos de metodologias de controle que podem ser aplicadas em processos químicos. Algumas dessas metodologias são bastante complexas, demandando várias horas de engenharia de projeto, apresentando normalmente um desempenho final superior. 4089

2 Outras metodologias, entretanto, são extremamente simples do ponto de vista de projeto e sintonia, porém podem não serem capazes de apresentarem um desempenho adequando. Os controladores mais comuns utilizados em indústrias químicas são do tipo PID, cuja metodologia de projeto é simples e de fácil implantação em campo. Porém, caso o sistema a ser controlado apresente um número elevado de variáveis de entrada e saída, o projeto e sintonia do controlador PID poderá se tornar complexo. Nesses casos, o controlador DMC (Dynamic Matrix Control) se tornam mais adequados para os processos que envolvem dinâmicas complexas e uma quantidade elevada de entradas e saídas (Gonzalez et al., 2006). A principal desvantagem do controle DMC é que ele necessita de um tempo de projeto bastante razoável, o que é comum para controladores preditivos (Gonzalez et al., 2006). Tipicamente, as estratégias de controle mais comum encontradas na literatura, aplicada ao controle de trocadores de calor, e também de redes de trocadores de calor, são os controladores preditivos, as redes neurais e também, os PID s (Ogunnaike, 1994). O principal objetivo desse trabalho é demonstrar que, entre a estratégia mais complexa e a estratégia mais simples de controle encontrada na literatura, existe uma solução intermediária bastante adequada, baseada na teoria de controle ótimo. As aplicações de teoria de controle ótimo não foram encontradas na literatura com aplicações direcionadas ao controle de redes de trocadores de calor. Essa solução intermediária possui como principal característica, uma etapa de projeto relativamente simples e, ao mesmo tempo, um desempenho dinâmico elevado, quando aplicado no controle de trocadores de calor. A estratégia de controle adotada é o Regulador Linear Quadrático LQR (do inglês, Linear Quadratic Regulator), cuja lei de controle ótimo é baseado na realimentação por estado de espaço do tipo u = -Kx, minimizando a função quadrática do tipo (Athans, 1986) T T (1) 0 J x Qx u Ru dt calor do tipo casco e tubo e as simulações foram desenvolvidas com sucesso. Como nem todos os estados estavam disponíveis no modelo não linear, um observador de estados foi desenvolvido em conjunto com o controlador LQR. A técnica aplicada com sucesso em um trocador de calor único foi aplicada com sucesso para uma rede de trocadores de calor, contendo dois trocadores, duas variáveis controladas e duas manipuladas. Apesar da metodologia adotada ser amplamente conhecida na comunidade de controle, o LQR foi escolhido justamente pelo caráter inédito na aplicação em redes de trocadores de calor, e também pela possibilidade de encontrar uma lei de controle equivalente PID, que será demonstrada na seção 5 (Leonardi et al., 1993). O restante desse artigo está dividido em 6 seções. Na seção 2, uma introdução do modelo não linear do trocador de calor, incluindo as suas características dinâmicas é apresentada. Na secção 3, é apresentado o projeto do controlador LQR e simulações, aplicado ao trocador de calor. Já na seção 4, é apresentado o projeto da rede de trocadores, enquanto na seção 5, temos o controlador LQR aplicado à rede de trocadores de calor, com o seu desempenho verificado através de simulações. Finalizando, a seção 6 apresenta as conclusões obtidas com o presente trabalho apresentado. 2 O modelo não linear do trocador de calor do tipo Casco e Tubo (Shell and Tube) O trocador de calor do tipo casco e tubo é o modelo mais usado em indústrias químicas, devido a algumas características em particular. A sua escolha, frente aos diferentes tipos de trocadores existentes, é dada graças ao seu baixo custo e a facilidade de manutenção (Hewitt, et al., 1993). Além disso, esse trocador pode ser construído com diferentes áreas de troca térmica, permitindo a sua aplicação em praticamente todos os processos químicos. A Figura 1 representa o trocador de calor, com as válvulas proporcionais de desvio de vazão (bypasses) considerado nesse trabalho. onde Q e R são as matrizes de ponderação dos estados e das entradas, respectivamente, x é o vetor dos estados e u é o vetor das entradas. O controle LQR é uma técnica no domínio do tempo, onde, durante o seu projeto, a resposta transitória desejada não é levada em consideração, pois a resposta em malha fechada é verificada posteriormente, como geralmente é realizado com os controladores PID. Se a resposta transitória desejada não é satisfatória, um novo controlador pode ser projetado modificando os valores adotados para as matrizes de ponderação Q e R (Doyle et al., 1981). Para demonstrar o desempenho do controlador LQR, foi desenvolvido um controlador aplicado inicialmente, a um modelo não linear de um trocador de Figura 1 Representação do trocador de calor Casco e Tubo. O modelo matemático do trocador de calor usado neste presente trabalho, para o estudo em regime permanente e transitório em malha fechada, usando o controlador LQR, é apresentado pelas equações (2) e (3) a seguir (Novazzi, 2006): 4090

3 TH m H TH U. A. TH T t H. H z H. VH. CpH TC m C TC U. A. TH TC t. z. V. Cp C C C C C C (2) (3) onde: T é a temperatura da corrente, m é a vazão mássica, é a densidade do fluido, ν é a relação entre o volume e o comprimento do trocador, t é o tempo, z é a posição axial, A é a área de troca térmica do trocador, C P é o calor específico do fluido, V é o volume do trocador e U é o coeficiente global de troca térmica. Os índices c e h se referem às variáveis relacionadas à corrente quente e fria do processo. As equações (2) e (3) foram discretizadas e resolvidas pelo método das diferenças finitas, no software Matlab (Novazzi, 2006). Apesar das posições das válvulas dos bypasses f H e f C não estarem explícitos nas Equações (2) e (3) apresentadas, elas são as variáveis manipuladas, afetando diretamente as variáveis controladas TH OUT e TC OUT. Os valores nominais para todas as variáveis do modelo, incluindo as dimensões físicas do trocador, são apresentados pela Tabela 1. Esses valores foram usados para desenvolver as simulações dinâmicas apresentadas pelas Figuras 2, 3 e 4 (Novazzi, 2006). Figura 2 Degrau positivo na temperatura de entrada. Continuando o estudo dinâmico, o distúrbio agora é aplicado sobre as vazões nominais de entrada. É fácil de perceber que as maiores amplitudes observadas nas respostas de saída foram nas correntes diretamente perturbadas, apresentando também um comportamento dinâmico de primeira ordem. A Figura 3 confirma o exposto anteriormente, mostrando a perturbação aplicada na vazão da corrente quente, provocando uma variação de maior intensidade em TH OUT. Tabela 1 Valores das variáveis do modelo não linear Densidade Fluido Linha fria: C = 900 kg.m -3 Linha quente: H = 900 kg.m -3 Calor Específico Vazão T IN T OUT Coef. Global Troca Térmica Área Troca Térmica Linha fria: C P,C = 3230 Jkg -1 ºC -1 Linha quente: C P,H = 2215 Jkg -1 ºC -1 Linha fria: m C = 4 kg.s -1 Linha quente: m H = 6 kg.s -1 Linha fria: TC IN = 133,1 ºC Linha quente: TH IN = 204,4 ºC Linha fria: TC OUT = 188,1 ºC Linha quente: TH OUT = 150,8 ºC U = 190 Wm -2 ºC -1 A = 220 m 2 Figura 3 Degrau positivo na vazão quente de entrada. Concluindo essa análise dinâmica, a posição das válvulas de bypasses foi modificada. A dinâmica das temperaturas de saída pode ser aproximada por funções de transferência contendo um pólo e um zero. A Figura 4 apresenta a simulação através da variação positiva do bypass da corrente quente e os efeitos observados nas temperaturas de saída (TH OUT e TC OUT ). Com o objetivo de analisar as características dinâmicas do trocador, algumas simulações foram realizadas, aplicando perturbações nas variáveis de entrada. Essas variações foram aplicadas na forma de um degrau nos valores nominais de temperatura, vazão e posição dos bypasses. As perturbações escolhidas representam as variações mais comuns que ocorrem em processos químicos. Modificando o valor nominal da temperatura de entrada, as temperaturas de saída (TH OUT e TC OUT ) apresentaram um comportamento dinâmico de primeira ordem, com tempo morto, como é possível de ser observado pela Figura 2. Figura 4 Degrau positivo no bypass da corrente quente. Analisando as respostas dinâmicas apresentadas pelas Figuras 2, 3 e 4 a conclusão obtida é de que basicamente as dinâmicas envolvidas em um trocador de calor são de primeira ordem. 4091

4 Além disso, essa análise preliminar permitiu visualizar que o trocador de calor apresenta um tempo morto na sua resposta de saída. Apesar das dinâmicas envolvidas serem simples, as variáveis de saída apresenta um forte acoplamento entre elas, onde ambas as saídas do modelo são afetadas quando apenas uma das entradas é alterada. 3 O projeto do controlador LQR aplicado ao modelo não linear do trocador de calor O controlador LQR foi projetado a partir da linearização do modelo não linear, apresentado pelas Equações (2) e (3), a partir dos valores apresentados na Tabela 1. Os valores das posições dos bypasses foram ajustados para 50% de abertura. Em função da ordem elevada do modelo obtido com a linearização, a apresentação das matrizes A, B e C (15x15, 15x2, 2x15 respectivamente) torna-se impraticável. Para representar sua dinâmica, utilizou-se então a resposta em freqüência multivariável (Figura5). desacoplador por si só, não é capaz de realizar o controle em malha fechada, necessitando de um controlador PID, por exemplo, para que a malha fechada possa ser executada (Delatore et al., 2009). Sendo assim, além do projeto do desacoplador, mais um projeto, agora para o controle PID, se faz necessário, fato que no controle LQR, o desacoplamento + controle em malha fechada é obtido em um único projeto. O controlador foi projetado usando uma forma alternativa da realimentação por estado de espaço (adicionando dois estados extras ao modelo, através de um termo integral), em conjunto com um observador de estados. O acréscimo dos integradores permite que a resposta do sistema em baixas frequências possa ser melhorada, além de permitir que o setpoint de temperatura de saída pudesse ser acoplado à malha fechada. Essa nova lei de controle LQR é apresentada pela Equação (4) abaixo (Delatore et al., 2009): t u KX. x KZ. ydt (4) 0 Os ganhos K X e K Z apresentam dimensões iguais à 2x15 e 2x2. Os valores das matrizes de ponderação Q e R, usadas no projeto do controlador LQR, são apresentados a seguir: Q I R I (5) ; 15x15 2 x2 Figura 5 Valores singulares do modelo linearizado. Note que nas altas frequências os valores singulares máximo e mínimo são muito próximos implicando que a resposta estacionária senoidal do sistema independe da direção do vetor de entradas senoidais. Além, disso o sistema praticamente não responde para frequências superiores a 1 rad/s. Nas baixas frequências, nota-se que há uma direção (associada ao valor singular máximo) em que os sinais são amplificados mais que na outra direção (associada ao valor singular mínimo) em que a amplificação é menor. Pela tendência do gráfico, conclui-se que há uma direção do vetor de entrada em que o sistema não responde em baixas frequências. Assim, é necessário, por exemplo, adicionar integradores aos canais para que as especificações de desempenho de regime permanente possam ser satisfeitas. A vantagem implícita na utilização da estrutura de controle LQR, é ela também realiza o desacoplamento das variáveis do processo usando apenas um único projeto. Existem outras técnicas na literatura (RGA Array, dynamic decoupling), usadas em controle de processos químicos, em que um desacoplador de variáveis é projetado, para que os acoplamentos entre as variáveis de processo possam ser eliminados. Porém, o Quando a matriz de penalização das entradas (matriz R) é diagonal, a Margem de Ganho (MG) está contida no intervalo (1/2, + ) e a Margem de Fase (MF) está contida no intervalo (-60º, +60º) (Cruz, J. J., 1996). Ou seja, o simples fato de se usar o LQR já há boas propriedades de estabilidade associadas. A simulação executada para verificar o desempenho do controlador LQR aplicado ao trocador de calor envolveram duas análises: à mudança de setpoint e também à rejeição de distúrbio. Para tal, um degrau unitário foi aplicado nos instantes t=300 segundos em t=600 segundos, para a primeira e para a segunda entrada, respectivamente. Os distúrbios foram aplicados logo em seguida, nos instantes t=800 segundos e t=1200 segundos e a Figura 6 mostra o resultado dessas simulações. Analisando a Figura, fica fácil identificar que o controlador LQR foi capaz de eliminar os acoplamentos entre as variáveis. O desempenho do controlador foi satisfatório à mudança de setpoint e à rejeição dos distúrbios, apresentando uma constante de tempo adequada ao processo. A sintonia do controlador LQR foi executada de forma empírica, como já mencionada na primeira parte do presente trabalho, onde primeiro projeta-se o controlador e depois é verificado o seu desempenho em malha fechada. 4092

5 Variáveis manipuladas: o fh I 1 Válvula de bypass do fluido quente, corrente quente 1; o fh I 2 Válvula de bypass do fluido quente, corrente quente 2. Figura 6 Desempenho do LQR aplicado ao trocador de calor 4 O projeto da rede de trocadores de calor Antes de mostrar o projeto e o desempenho do controlador LQR aplicado à rede de trocadores de calor, é importante definir um arranjo físico dessa rede, deixando claro quais são as variáveis manipuladas, as controladas e as de distúrbios a serem consideradas nessa análise. Dentre as diferentes possibilidades existentes para o arranjo de uma rede de trocadores de calor, escolheu-se a rede apresentada pela Figura 7 para o estudo do desempenho do controlador LQR. Variáveis de distúrbio: o TH IN 1 Temp. de entrada do fluido quente, corrente quente 1; o TH IN 2 Temp. de entrada do fluido quente, corrente quente 2; o TC IN Temp. de entrada do fluido frio. 5 O projeto do controlador LQR aplicado à rede de trocadores de calor O projeto do controlador LQR aplicado à rede de trocadores, utiliza os mesmos passos já apresentados no item 3 desse artigo. A partir do modelo linearizado, o controlador é projetado para posterior simulação, usando a mesma estrutura LQR aplicada no item 3. A Tabela 2 apresenta as características nominais de cada variável presente na rede de trocadores projetada. O controlador LQR foi projetado a partir da linearização do modelo não linear, apresentado pelas Equações (2) e (3), devidamente configurado para o arranjo de uma rede, de acordo com a estrutura apresentada pela Figura 7. A linearização foi executada a partir dos valores apresentados pela Tabela 2 e os valores das posições dos bypasses foram ajustados para 25% de abertura. Tabela 2 Valores das variáveis da rede de trocadores Densidade Fluido Linha fria: C = 900 kg.m -3 Linha quente 1: H 1 = 900 kg.m -3 Linha quente 2: H 2 = 900 kg.m -3 Figura 7 Estrutura da rede de trocadores de calor. Tipicamente em redes de trocadores de calor, aplicados a processos industriais, o controle da temperatura de saída de cada corrente é realizado, desviando uma parcela da vazão do fluido de entrada, usando uma válvula proporcional de bypass. Por essa razão, na configuração escolhida para o estudo, as variáveis manipuladas são as válvulas de bypass de cada corrente quente. As variáveis manipuladas, as variáveis controladas e as variáveis de distúrbio escolhidas para as simulações da rede são: Variáveis controladas: o TH OUT 1 Temp. de saída do fluido quente, corrente quente 1; o TH OUT 2 Temp. de saída do fluido quente, corrente quente 2. Calor Específico Vazão T IN T OUT Coef. Global Troca Térmica Linha fria: C PC = 3230 Jkg -1 ºC -1 Linha quente 1: C PH 1 = 2215 Jkg -1 ºC -1 Linha quente 2: C PH 2 = 2215 Jkg -1 ºC -1 Linha fria: m C = 4 kg.s -1 Linha quente 1: m H 1 = 3 kg.s -1 Linha quente 2: m H 2 = 3 kg.s -1 Linha fria: TC IN = 22,7 ºC Linha quente 1: TH IN 1 = 64,4 ºC Linha quente 2: TH IN 2 = 45,3 ºC Linha fria: TC OUT = 44,13 ºC Linha quente 1: TH OUT 1 = 39,69 ºC Linha quente 2: TH OUT 2 = 28,35 ºC U = 1110 Wm -2 ºC -1 Área Trocador A = 220 m 2 O desempenho do controlador aplicado a rede de trocadores é apresentado a seguir. Na primeira simulação, são aplicados distúrbios de +10% no valor nominal das temperaturas quentes de cada corrente. 4093

6 Os distúrbios foram aplicados nos instantes t=1000 segundos e em t=3000 segundos, respectivamente. O comportamento dinâmico das temperaturas de saída da rede de trocadores é apresentado pela Figura 8. estacionário foi obtido em aproximadamente, 400 segundos para ambas as temperaturas de entrada. A seguir é apresentado o desempenho do controlador LQR a mudança de setpoint, sem que nenhuma perturbação seja aplicada à rede. A Figura 11 apresenta o perfil das temperaturas de saída. O novo setpoint desejado para as temperaturas de saída quente foi de +10% para TH OUT 1 e de -10% para TH OUT 2, escolhidos de forma aleatória para análise. As mudanças foram introduzidas nos instantes t=3000 segundos e t=6000 segundos, respectivamente. Figura 8 Desempenho do LQR à rejeição de distúrbio. Já a Figura 9 apresenta os instantes em que os distúrbios são introduzidos na rede, bem como a sua amplitude (+10% a partir do valor nominal). Finalizando a primeira simulação, a Figura 10 apresenta o esforço de controle aplicado, para que a temperatura de saída pudesse ser mantida constante, com o setpoint fixo, rejeitando os distúrbios introduzidos. Figura 11 Desempenho do LQR à mudança de setpoint Novamente, as simulações apresentaram resultados satisfatórios, onde um novo estado estacionário é obtido em aproximadamente 500 segundos, usando um esforço de controle, compatível com as variações da válvula. Além disso, percebe-se praticamente o total desacoplamento das variáveis de saída. A Figura 12 apresenta o esforço de controle necessário para que a mudança de setpoint em +10% para TH OUT 1 e de -10% para TH OUT 2 possa ser satisfeita. Figura 9 Instantes em que os distúrbios são aplicados. Figura 12 Esforço de controle à mudança de setpoint Figura 10 Esforço de controle à rejeição dos distúrbios. A observação dos resultados dessas simulações permite que algumas conclusões possam ser obtidas. Nota-se que a escolha das matrizes de ponderação Q e R para o projeto do controlador LQR foram adequadas, proporcionando um esforço de controle dentro dos limites exigidos pelas válvulas de bypasses, que deve ficar entre 0 e 1 (que corresponde à válvula totalmente fechada ou totalmente aberta, respectivamente). Além disso, a partir do instante em que os distúrbios foram aplicados à rede, um novo estado Para as simulações apresentadas, tanto para a rejeição a distúrbios, quando a mudança de setpoint, os valores das matrizes de ponderação dos estados e das saídas, Q e R, obtidos a partir do projeto do controlador LQR, usados nessas simulações, foram respectivamente iguais a: Q 10. I ; R 10. I (6) x27 2 x2 Novos projetos do controlador LQR podem ser realizados, modificando os pesos das matrizes Q e R. Como já comentado anteriormente, as alterações serão realizadas caso as respostas transitórias e/ou o 4094

7 esforço de controle obtidos com as simulações, não apresentem uma capacidade de satisfazer as exigências iniciais pré-estabelecidas. Mantendo-se o mesmo valor da matriz Q, e diminuindo a penalização das entradas, proporcionada pela matriz R, observa-se nas simulações realizadas, que a resposta transitória melhora significativamente, diminuindo a constante de tempo do esforço de controle, apresentado pela Figura 10 e 12. Essa diminuição da constante de tempo tem impacto direto na rejeição do distúrbio, pois as alterações nos perfis de temperatura de saída obtidos foram bem menores. 6 Conclusões finais e contribuições do trabalho Observando o desempenho dinâmico do controlador LQR, aplicado para realizar o controle do trocador de calor e também, da rede de trocadores de calor, as seguintes conclusões podem ser obtidas: O projeto do controlador LQR, apresentando um ótimo desempenho dinâmico das variáveis de saída, é obtido facilmente, quando comparado a outras técnicas, como, por exemplo, o sistema de desacoplamento dinâmico; Apesar da metodologia LQR não ser nenhuma novidade, os resultados obtidos sugerem que a técnica foi aplicada com sucesso na aplicação do controle em malha fechada na rede de trocadores de calor. O LQR apresentou a habilidade de realizar o desacoplamento das variáveis de processo, associando um tempo de resposta rápido na estabilização do sistema, como foi possível observar na Figura 11; Novos estudos serão realizados com essa topologia de rede de trocadores apresentada, incluindo características de robustez nos controladores a serem estudados e projetados. Diferentemente da técnica LQR, o controle robusto geralmente exige que sejam especificadas as exigências de desempenho no início do projeto (Athans, 1986); A lei de controle LQR pode ser transformada em uma lei de controle equivalente, baseada em controladores do tipo PID. As constantes K P, K I and K D são obtidas a partir da aplicação das relações apresentadas pelas Equações (7) e (8) (Leonardi, 1993): 1 C KP KD K X. C. A C. B. K (7) X K I kd. C. B. K, (8) I Z onde A, B, C são as matrizes do modelo matemático da planta em estudo. Todas as simulações aqui reportadas foram desenvolvidas com sucesso. O equipamento físico encontra-se em fase final de testes, para a validação experimental das simulações apresentadas no trabalho. 6 Referências Bibliográficas Athans, M. (1986). A tutorial on the LQG/LTR method, Proceedings of the American control conference, Seattle. Cruz, J. J. (1996), Controle Robusto Multivariável, 1996, Universidade de São Paulo. Delatore, F., Cruz, J.J., Leonardi, F., Novazzi, L.F. (2009). Multivariable Control of a Heat Exchanger with Bypasses, 11 th IASTED International Conference on Control and Applications, 2009, Cambridge, UK Delatore, F., Cruz, J. J., Leonardi, F., Novazzi, L. F. (2009). Multivariable Optimal PID Control of a Heat Exchanger with Bypsses, 20 th International Congress of Mechanical Engineering - COBEM, 2009, Gramado, RS Doyle, J.C., Stein, G. (1981). Mutivariable Feedback Design: Conceps for a Classical / Modern Synthesis. IEEE Transactions on Automatic Control, 26, 4-16 Gonzalez, A. H., Odloak D., Marchetti, J. L. (2006). Predictive control applied to heat-exchanger networks, Chemical Engineering and Processing, 45 Hewitt, G. F., Shires, G. L., Bott, T. R. (1993). Process Heat Transfer (CRC Press Inc, 1993) Leonardi, F., Cruz, J. J. (1993). Multivariable Robust Control with PID Structure, Proc. II Congresso Internacional ISA, Salvador, Novazzi, L. F. (2006). Dynamics and control of heat exchanger networks. Dissertação apresentada para a obtenção do título de doutor em Engenharia Química - UNICAMP Campinas, SP, 2006, 121p. Ogunnaike, B. A. (1994). Process, dynamics, modeling and control (Oxford University Press, 1994) 4095